3.4.1.1直線的方向向量與直線的向量表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用向量語言表述直線，理解直線的方向向量的概念，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象能力（重點(diǎn)）2.理解直線的方向向量，并會(huì)求直線的方向向量，體現(xiàn)邏輯推能力（重點(diǎn)）3.理解點(diǎn)在直線上的充要條件，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象能力（難點(diǎn)）新課導(dǎo)入在前面的學(xué)習(xí)中，我們認(rèn)識(shí)到用空間向量解決立體幾何問題的基本步驟是：首先將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，然后運(yùn)用向量方法求解，最后再回到立體幾何問題．幾何特征的代數(shù)表述起著重要的作用．

我們知道，立體幾何研究的基本對象是點(diǎn)、直線、平面，以及由它們組成的空間圖形，因此用空間向量解決立體幾何問題時(shí)，首先需要把點(diǎn)、直線、平面用向量分別表示出來．那么如何用向量方法描述空間中的一個(gè)點(diǎn)、一條直線呢？新課學(xué)習(xí)思考一下：如何用向量表示空間中的一個(gè)點(diǎn)P?空間當(dāng)中點(diǎn)的位置一定是相對于某一固定參照物來說的．如圖，在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量

來表示，我們把向量

稱為點(diǎn)P的位置向量．如何用向量表示空間中的一條直線

l

?新課學(xué)習(xí)思考一下：我們知道，空間中給定一個(gè)點(diǎn)

A和一個(gè)方向就可以確定唯一一條直線

l.如何用向量表示直線

l?用向量表示直線l,就是利用點(diǎn)A和直線l的方向向量表示直線的任意一點(diǎn).新課學(xué)習(xí)直線l的方向向量的概念設(shè)點(diǎn)A，B是直線l上不重合的任意兩點(diǎn)，稱

為直線l的方向向量.顯然，一條直線有無數(shù)個(gè)方向向量，根據(jù)平行向量的定義可知:這些方向向量都平行，因此與

平行的任意非零向量a也是直線l的方向向量.空間中任意一條直線l的位置可以由直線l上的一個(gè)定點(diǎn)和該直線的方向向量唯一確定.新課學(xué)習(xí)直線l的向量表示的概念如圖，點(diǎn)M是直線l上的一點(diǎn)，非零向量a是直線l的一個(gè)方向向量，那么對于直線l上的任意一點(diǎn)P，一定存在實(shí)數(shù)t，使得由幾何知識(shí)不難確定，滿足上式的點(diǎn)P一定在直線l上，因此，我們把這個(gè)式子稱為直線l的向量表示.新課學(xué)習(xí)例1:在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(4，2，0)，B(1，3，3)，點(diǎn)E是線段AB上的一點(diǎn)，且AE=

AB，求點(diǎn)E的坐標(biāo).設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x1，y1，z1).由題意可知所以即解得所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為新課學(xué)習(xí)例2:在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1，1，0)，B(2，3，3)，C(0，1，2)，點(diǎn)D為直線AB上的一點(diǎn)，且CD⊥AB，求依題意知因?yàn)辄c(diǎn)D是直線AB上的一點(diǎn)，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得

則由CD⊥AB，得

即解得所以新課學(xué)習(xí)例3:求證：點(diǎn)P在直線AB上的充要條件是對空間任意一個(gè)確定的點(diǎn)O，存在實(shí)數(shù)t使得PABO如圖，根據(jù)直線的向量表示可知點(diǎn)P在直線AB上等價(jià)于存在實(shí)數(shù)t，使得又因?yàn)樗哉淼眠@個(gè)結(jié)論可以證明空間三點(diǎn)共線新課學(xué)習(xí)在空間中，一個(gè)向量成為直線l的方向向量，必須具備以下兩個(gè)條件：注意：1.該向量是非零向量；2.向量所在的直線與l平行或重合.與直線l平行的任意非零向量a都是直線的方向向量，且直線l的方向向量有無數(shù)個(gè).新課學(xué)習(xí)練一練：設(shè)(2,-2,1)，(3,-3,1)，

是空間直線l上的點(diǎn)，求直線l的一個(gè)方向向量.根據(jù)題意得：點(diǎn)(2,-2,1)和點(diǎn)(3,-3,1)是空間直線l上的點(diǎn)，那么直線l的方向向量為u=(3-2,-3+2,1-1)=(1,1,0)，故直線l的一個(gè)方向向量(1,1,0).新課學(xué)習(xí)練一練：在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2,1,3)，B(-1,3,1)，求直線AB與坐標(biāo)xOy的交點(diǎn)C的坐標(biāo).根據(jù)題意得：設(shè)則又因?yàn)辄c(diǎn)C在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，所以3-2t=0所以所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為課堂鞏固A課堂鞏固課堂鞏固B