5.1基本計數(shù)原理學習目標1.理解基本計數(shù)原理，能正確區(qū)分“類”和“步”，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點）2.理解分類加法計數(shù)原理和分布乘法計數(shù)原理的區(qū)別和聯(lián)系，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點）3.能夠準確運用計數(shù)原理解決一些簡單實際問題，體現(xiàn)數(shù)學計算能力（難點）新課導入在日常生活中，我們常常會遇到一些需要計數(shù)的問題，例如：用8個數(shù)字：1,2,...,8,組成電話號碼可以組成多少種不同的電話號碼？本節(jié)將介紹兩個計數(shù)原理——分類加法計數(shù)原理與分布乘法計數(shù)原理.思考下面的問題：問題1：從甲地到乙地，可以乘飛機，可以乘火車，也可以乘輪船，還可以乘汽車.每天有2個班次的飛機，有4個班次的火車，有2個班次的輪船，有1個班次的汽車，那么，乘坐以上交通工具中的一種從甲地到乙地，在一天中共有多少種選擇呢？新課學習分析一下上面的問題：如圖，要完成的一件事：從甲地到乙地共有多少種方法？所有方法可以分為：乘飛機、火車、輪船、汽車4類辦法；每類辦法中分別又有：2，4，2，1種方法.于是，乘坐以上交通工具從甲地到乙地，共有2+4+2+1=9種方法.新課學習解決以上問題的步驟為：（1）求完成一件事的所有方法數(shù)，這些方法數(shù)可以分成n類，且類與類之間兩兩不交；（2）求每一類中的方法數(shù)；（3）把各類的方法數(shù)相加，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù).新課學習分類加法計數(shù)原理完全一件事，可以有n類辦法，在第1類辦法中有m1種方法，在第2類辦法中有m2種方法......在第n類辦法中有mn種方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+...+mn種方法.（也稱“加法原理”）注意：完成這件事的若干種方法可以分成n類，且類與類之間兩兩不交.新課學習問題2：春節(jié)到了，某同學要與父母一起參加家庭聚會.(1)她有3件不同的上衣，4條不同的褲子，如果把1件上衣和1條褲子看作一種搭配方法，那么共有多少種搭配方法？分析：我們先看褲子的選擇數(shù)：有4條不同的褲子，則有4種選擇方法；我們再看上衣的選擇數(shù)：每一條褲子對應(yīng)3件不同的上衣.褲子1上衣A上衣B上衣C褲子2上衣A上衣B上衣C褲子3上衣A上衣B上衣C褲子4上衣A上衣B上衣C如圖，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有N＝3+3+3+3=12種搭配方法.新課學習(2)她還有5雙不同的鞋子，如果把1件上衣、1條褲子和1雙鞋子看作一種搭配方法，那么共有多少種搭配方法？分析：先選鞋子：有5雙不同的鞋子，則有5種選擇方法；再選上衣、褲子：每一雙鞋子對應(yīng)的褲子和上衣的搭配方法有12種.鞋子甲褲子1褲子2褲子3褲子4上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C鞋子乙褲子1褲子2褲子3褲子4上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C新課學習鞋子丙褲子1褲子2褲子3褲子4上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C鞋子丁褲子1褲子2褲子3褲子4上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C鞋子戊褲子1褲子2褲子3褲子4上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C因此，根據(jù)分類加法計數(shù)原則，共有N=12+12+12+12+12=12×5=3×4×5＝60種搭配方法.新課學習思考一下：如果再考慮圍巾、帽子等因素，計數(shù)的思路應(yīng)當如何呢？問題（1）是分兩步完成，第1步確定褲子有4種選擇方法，第2步確定每一條褲子對應(yīng)3件上衣；問題（2）是在問題（1）的基礎(chǔ)上確定每一雙鞋子對應(yīng)12種褲子和上衣的搭配方法，即需要分三步完成.新課學習思考一下：問題2有什么特點？1.完成一件事需要經(jīng)過n個步驟；2.完成每一步有若干種方法，且每一步對其他步?jīng)]有影響；3.把各個步驟的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù).新課學習分步乘法計數(shù)原理完全一件事，需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法······做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1·m2·...·mn種方法.（也稱“乘法原理”）新課學習加法原理與乘法原理的聯(lián)系與區(qū)別：分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理區(qū)別完成一件事，共有n類方法，關(guān)鍵詞是“分類”．完成一件事，共有n個步驟，關(guān)鍵詞是“分步”．每類方法都能獨立完成這件事，且每類方法得到的都是最后結(jié)果，只需一種方法就可以完成這件事．任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事．各類方法之間是互斥的、并列的、獨立的．各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨立的，“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏，“獨立”確保不重復．聯(lián)系都是求完成一件事情的方法種數(shù)．本質(zhì)一樣，乘法原理可以看成是加法原理的簡化，類似于數(shù)的運算中乘法是加法的簡化．解決實際問題時常常需要兩個原理結(jié)合應(yīng)用．新課學習例1：在1，2，3，…，200中，能夠被5整除的數(shù)共有多少個？第1類，末位數(shù)字是0的數(shù)，共有20個；第2類，末位數(shù)字是5的數(shù)，共有20個.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，在1，2，3...，200中，能夠被5整除的數(shù)共有N=20+20=40個.新課學習例2:某班班委由2位女同學、3位男同學組成，現(xiàn)要從中選出2人去參加學校組織的培訓活動，要求至少有1位女同學參加，則不同的選法共有多少種？按照選擇的女同學人數(shù)分為兩類情況：第一類：2位都是女同學，只有1種選法；第二類：只有1位女同學，可以分為兩步完成：第一步，先從2位女同學中選出1人，共2種選法；第二步，再從3位男同學中選出1人，共3種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理：共有2×3=6種方法.綜上，根據(jù)分類加法計數(shù)原理：不同的選法共有1+6=7種.新課學習例3：有一項活動，需在3名教師、8名男學生和5名女學生中選人參加.(1)若只需1名參加，共有多少種選法？只要選出1名就可以完成這件事，而選出的1名有3種不同類型，即教師、男學生或女學生，因此要分3類相加：第一類，選教師，3種選法；第二類，選男生，8種選法；第三類，選女生，5種選法.據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有N=3+8+5=16種選法.課堂鞏固例3：有一項活動，需在3名教師、8名男學生和5名女學生中選人參加.(2)若需教師、男學生、女學生各1名參加，共有多少種選法？完成這件事，需要1名教師、1名男同學和1名女同學，可以先選教師，再選男同學，最后選女同學，因此要分3步相乘：第一步，選1名教師，有3種選法；第二步，選1名男生，有8種選法；第三步，選1名女生，有5種選法據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有N=3×8×5=120種選法.新課學習拓展：利用兩個計數(shù)原理解題時的三個注意點：（1）當題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事，然后給出完成這件事的一種或幾種方法，從這幾種方法中歸納出解題方法.（2）分類時標準要明確