5.3.2組合數(shù)及其性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解組合數(shù)的概念，能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)組合數(shù)公式，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點(diǎn)）2.能運(yùn)用組合數(shù)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點(diǎn)）3.通過對(duì)實(shí)際問題的分析，掌握組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)計(jì)算能力（難點(diǎn)）新課導(dǎo)入上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了通過列舉法計(jì)算組合，或者用排列來計(jì)算組合的問題，那么根據(jù)排列數(shù)的學(xué)習(xí)，組合數(shù)還有計(jì)算公式嗎？如果有，是什么？排列數(shù)的計(jì)算公式與組合數(shù)的計(jì)算公式有什么區(qū)別和聯(lián)系嗎？讓我們這節(jié)課學(xué)習(xí)一下.新課學(xué)習(xí)組合數(shù)的概念從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n且m,n∈N+)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫作從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n且m,n∈N+)個(gè)元素的一個(gè)組合數(shù).記作

.舉個(gè)例子：從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)表示為新課學(xué)習(xí)思考一下：對(duì)于一般的組合問題，如何計(jì)算所有組合的個(gè)數(shù)呢？下面我們通過分解排列數(shù)的計(jì)算步驟來計(jì)算組合數(shù)的方法.對(duì)于上面的問題2，從a,b,c,d這4個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列問題可以分解成一下兩個(gè)步驟：第1步，從a,b,c,d這4個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素，共有種取法;第2步，將取出的2個(gè)元素進(jìn)行排列，共有種排法.因此，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，

從而新課學(xué)習(xí)思考一下：把“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個(gè)元素進(jìn)行排列”這件事，要怎么做？第1步，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，共有種取法;第2步，將取出的m個(gè)元素進(jìn)行排列，共有種排法.因此，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，我們得到“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個(gè)元素進(jìn)行排列”共有種排法，即.新課學(xué)習(xí)組合數(shù)公式的概念從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個(gè)元素的組合數(shù)為上述這個(gè)公式叫作組合數(shù)公式.規(guī)定：新課學(xué)習(xí)例1：計(jì)算：(1)

；(2).(1)

(2)新課學(xué)習(xí)例2：已知平面內(nèi)有12個(gè)點(diǎn),任何3個(gè)點(diǎn)均不在同一直線上,以每3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)三角形,一共可以畫多少個(gè)三角形？分析：

已知"任何3個(gè)點(diǎn)均不在同一直線上"，

所以在12個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)都可以構(gòu)成一個(gè)三角形，

且這3個(gè)點(diǎn)不必考慮順序，

如△ABC，△ACB，△BAC，△BCA，△CAB，△CBA都表示同一個(gè)三角形.因此，

這是一個(gè)從12個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合問題.新課學(xué)習(xí)例2：已知平面內(nèi)有12個(gè)點(diǎn),任何3個(gè)點(diǎn)均不在同一直線上,以每3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)三角形,一共可以畫多少個(gè)三角形？依題意知以平面內(nèi)12個(gè)點(diǎn)中的每3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，可畫的三角形的個(gè)數(shù)，就是從12個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)，

即因此，一共可以畫220個(gè)三角形.新課學(xué)習(xí)思考下面的問題：?jiǎn)栴}4：分別計(jì)算“從10人中選出6人參加比賽”與“從10人中選出4人不參加比賽”的方法數(shù).分析:“從10人中選出6人參加比賽”相當(dāng)于“從10人中選出4人不參加比賽”,因此，從10人中選出6人參加比賽的方法數(shù)和從10人中選出4人不參加比賽的方法數(shù)是相同的,即新課學(xué)習(xí)思考一下：根據(jù)上面的計(jì)算式子，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？1.兩個(gè)組合數(shù)的下標(biāo)相同；2.兩個(gè)上標(biāo)的和等于下標(biāo).所以，組合數(shù)有下面的性質(zhì)新課學(xué)習(xí)證明上面的性質(zhì)：因此新課學(xué)習(xí)問題5：從10名普通戰(zhàn)士和1名班長(zhǎng)中選出5名參加軍事比武大賽，共有多少種方案？分析：一方面，從11名中選出5名參加軍事比武大賽，共有

種方案.另一方面，選出的5名可以分成以下2類:第1類，含有班長(zhǎng)，共有

種方案；第2類，不含班長(zhǎng)，共有

種方案.因此，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有

種方案.由此，我們得到：課堂鞏固思考一下：根據(jù)問題5，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？通過構(gòu)造下面的情境來說明猜想.猜想的左邊表示：從(n+1)個(gè)不同的小球中取出m個(gè)小球的組合數(shù).現(xiàn)將這(n+1)個(gè)小球看成n個(gè)紅球和1個(gè)黑球，從中取出m個(gè)球.所有取法可以分成以下2類：第1類，不取黑球，從n個(gè)紅球中，取出m個(gè)球，方法數(shù)為

;課堂鞏固通過構(gòu)造下面的情境來說明猜想.第2類，取出1個(gè)黑球和(m-1)個(gè)紅球，因此，取出的方法數(shù)相當(dāng)于從n個(gè)紅球中，取出(m-1)個(gè)球，方法數(shù)為

.由此，我們得到：因此，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有種取法.新課學(xué)習(xí)組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)