6.3.1離散型隨機(jī)變量的均值學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解離散型隨機(jī)變量的均值的含義，了解隨機(jī)變量的均值與樣本均值的區(qū)別與聯(lián)系，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點(diǎn)）2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)計(jì)算能力（難點(diǎn)）新課導(dǎo)入回顧一下本章第2節(jié)中的例1：已知在10件產(chǎn)品中有2件不合格品.從這10件產(chǎn)品中任取3件,用X表示取得產(chǎn)品中的不合格品的件數(shù).我們可求得X的分布列如表:k012p現(xiàn)在我們關(guān)心,取3件該產(chǎn)品時(shí),平均會(huì)取到幾件不合格品?那么,怎樣的一個(gè)數(shù)能夠"代表"這個(gè)隨機(jī)變量取值的平均水平呢?新課學(xué)習(xí)分析上面的問(wèn)題：我們來(lái)看看一個(gè)常見(jiàn)的求平均值的問(wèn)題.設(shè)有12個(gè)西瓜，其中有4個(gè)質(zhì)量是5kg，3個(gè)質(zhì)量是6kg，5個(gè)質(zhì)量是7kg，求這12個(gè)西瓜的平均質(zhì)量？有平均數(shù)的意義，西瓜的平均質(zhì)量應(yīng)為12個(gè)西瓜的總重量除以西瓜的總個(gè)數(shù)，即①式也可以寫出如下的形式：其中

，，分別為質(zhì)量是5kg,6kg,7kg的西瓜質(zhì)量個(gè)數(shù)在西瓜總個(gè)數(shù)中所占的比例.②式告訴我們，如果我們知道各個(gè)質(zhì)量所占的比例，則平均質(zhì)量等于各個(gè)質(zhì)量乘相應(yīng)的比例，再求和.新課學(xué)習(xí)那么，前面“取不合格品的問(wèn)題”中，根據(jù)X的分布列，有③式表示，在一次抽取中，3件產(chǎn)品中平均有0.6件是不合格品．這樣，平均數(shù)0.6就代表“取次品的問(wèn)題”中隨機(jī)變量X的平均取值.新課學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量X的均值的概念設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：Xx1x2…xi…xnpp1p2…pi…pn則稱為EX=x1p1+x2p2+…+xipi+xnpn為隨機(jī)變量X的均值或者數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱期望)．新課學(xué)習(xí)拓展：對(duì)離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望理解：1.均值EX刻畫的是X取值的“中心位置”，反映了離散型隨機(jī)變量X取值的平均水平，是隨機(jī)變量X的一個(gè)重要特征．2.兩個(gè)不同的分布可以有相同的均值.3.均值EX是隨機(jī)變量取各個(gè)值的加權(quán)平均，由X的分布列完全確定.4.均值只是刻畫了隨機(jī)變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機(jī)變量的性質(zhì).新課學(xué)習(xí)思考一下：隨機(jī)變量的均值與樣本均值的聯(lián)系與區(qū)別是什么？區(qū)別:隨機(jī)變量的均值是一個(gè)確定的數(shù)，而樣本均值具有隨機(jī)性，它圍繞隨機(jī)變量的均值波動(dòng).聯(lián)系:隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)的增加，樣本均值的波動(dòng)幅度一般會(huì)越來(lái)越小.常用隨機(jī)變量的觀測(cè)值的均值去估計(jì)隨機(jī)變量的均值.新課學(xué)習(xí)思考交流：舉例說(shuō)明不同的分布會(huì)有相同的均值.設(shè)離散隨機(jī)變量ξ的分布列如下表：ξ012p設(shè)離散隨機(jī)變量η的分布列如下表：ξ1p新課學(xué)習(xí)例1：設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，求EX．依題意知EX=0·P(X=0)+1·P(X=1)=0·(1-p)+1·p=p因此，當(dāng)X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布時(shí)，其均值EX=p．新課學(xué)習(xí)例2：設(shè)X表示拋擲一枚均勻骰子擲出的點(diǎn)數(shù)，求EX．依題意知X的分布列為P(X=i)=

(i=1,2,3,4,5,6)如下表：i0123456P(X=i)根據(jù)均值的定義，可知新課學(xué)習(xí)思考交流：拋擲一枚均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)只可能是1,2,3,4,5,6，怎樣解釋這個(gè)均值

呢?均值

，指的是擲出的點(diǎn)數(shù)1，2，…，6的中心位置，反應(yīng)了點(diǎn)數(shù)值的平均水平，是概率意義下的平均值，不是指某次投擲出現(xiàn)的結(jié)果．新課學(xué)習(xí)例3：一個(gè)袋子里裝有除顏色外完全相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中同時(shí)取出2個(gè)球，則取出的紅球個(gè)數(shù)的均值是多少？設(shè)X表示取出紅球的個(gè)數(shù)，則X的取值為0，1，2．故X的分布列如下表：新課學(xué)習(xí)例3：一個(gè)袋子里裝有除顏色外完全相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中同時(shí)取出2個(gè)球，則取出的紅球個(gè)數(shù)的均值是多少？X012P根據(jù)均值的定義，可知新課學(xué)習(xí)思考一下：根據(jù)上面的例題，總結(jié)一下求離散型隨機(jī)變量X的均值的步驟？1.理解X的實(shí)際意義，寫出X全部可能取值；2.求出X取每個(gè)值時(shí)的概率；3.寫出X的分布列；4.利用定義公式

求出均值．新課學(xué)習(xí)例4:根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期暴發(fā)小洪水的概率為0.25，暴發(fā)大洪水的概率為0.01．該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案：方案1：運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元．方案2：建一保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元，但圍墻只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水，此時(shí)遇到大洪水時(shí)要損失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元．你會(huì)選擇哪一種方案呢？新課學(xué)習(xí)用X1，X2，X3和分別表示以上3種方案的損失采用方案1，無(wú)論有無(wú)洪水，都損失3800元，即X1=3800，故EX1=3800(元)采用方案2，遇到大洪水時(shí)，損失2000+60000=62000元；沒(méi)有大洪水時(shí)，損失2000元.因此EX2=62000×0.01+2000×(1-0.01)=2600（元）采用方案3，遇到大洪水時(shí)，損失60000元；遇到小洪水時(shí)，損失10000元；無(wú)洪水時(shí)，損失為0元，因此EX3=60000×0.01+10000×0.25+0×(1-0.01-0.25)=3100（元）由此可見(jiàn)，就平均而言，方案2的損失最?。n堂