6.5正態(tài)分布學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過實例了解正態(tài)分布密度曲線及其特點，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點）2.理解正態(tài)分布的意義，并且會用圖象和函數(shù)的觀點分析隨機(jī)變量的分布情況，體會正態(tài)分布在實際應(yīng)用中的廣泛性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)計算能力（重難點）新課導(dǎo)入思考下面的問題：前面討論了離散型隨機(jī)變量，它們的取值是可以一一列舉的．但在實際問題中，還有許多隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間中的所有值．例如：1.某一自動裝置無故障運轉(zhuǎn)的時間X是一個隨機(jī)變量，它可以取區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的所有值．2.某種產(chǎn)品的壽命(使用時間)X是一個隨機(jī)變量，它可以取區(qū)間[0,b]或[0,+∞)內(nèi)的所有值．怎樣描述這樣的隨機(jī)變量的分布情況呢?新課學(xué)習(xí)分析上面的問題：我們先看一個例子設(shè)X表示某產(chǎn)品的壽命(單位：h).假設(shè)人們對該產(chǎn)品有如下了解：壽命小于500h的概率為0.71，壽命在500h~800h的概率為0.22，壽命在800h~1000h的概率為0.07，如何用直觀的方式呈現(xiàn)其概率分布?可以用直方圖表示概率分布，如下圖．這個直方圖的缺點是比較粗糙，沒有告訴我們壽命在200h~400h的概率是多少.新課學(xué)習(xí)思考一下：假設(shè)人們對該產(chǎn)品有進(jìn)一步的了解：壽命在0~200h的概率為0.2，壽命在200h~400h的概率為0.32，壽命在400h~600h的概率為0.25，壽命在600h~800h的概率為0.16，壽命在800h~1000h的概率為0.07，如何用直觀的方式呈現(xiàn)其概率分布？可以用直方圖表示概率分布，如下圖．新課學(xué)習(xí)思考一下：那么，什么曲線可以更好表示概率分布呢？為了完全了解產(chǎn)品壽命的分布情況，需要將區(qū)間無限細(xì)分，最終得到一條曲線，這條曲線稱為隨機(jī)變量X的分布密度曲線，這條曲線對應(yīng)的函數(shù)稱為X的分布密度函數(shù)，記為f(x)．新課學(xué)習(xí)思考一下：如果知道了隨機(jī)變量X的分布密度曲線，如何求X取值于區(qū)間(a,b]的概率呢?X取值于區(qū)間(a,b]的概率是該曲線下相應(yīng)“曲邊梯形”(如下圖中的陰影部分)的面積．新課學(xué)習(xí)思考一下：根據(jù)上圖中的分布密度的圖象，思考一下分布密度有什么性質(zhì)？1.誤差在0附近的概率大，遠(yuǎn)離0的概率小，誤差大于0的概率與小于0的概率相同，即誤差分析具有對稱性2.連續(xù)隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)曲線一般是形狀像“鐘”的光滑曲線新課學(xué)習(xí)正態(tài)分布的概念由誤差引起的連續(xù)型隨機(jī)變量其分布密度函數(shù)圖象如圖,對應(yīng)的分布密度函數(shù)解析式為其中實數(shù)μ,σ(σ>0)為參數(shù),這一類隨機(jī)變量X的分布密度(函數(shù))稱為正態(tài)分布密度(函數(shù)),簡稱正態(tài)分布,對應(yīng)的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱為正態(tài)曲線.新課學(xué)習(xí)思考一下：正態(tài)分布有什么特點？1.如果一個隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，那么對于任何一個實數(shù)a,b(a<b)，隨機(jī)變量X在區(qū)間(a,b]的概率可以用P(a<X≤b)來表示.它的幾何意義就是隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)在區(qū)間(a,b]對應(yīng)的曲邊梯形面積的值.2.如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，那么這個正態(tài)分布完全由參數(shù)μ,σ(σ>0)確定，記作X~N(μ,σ2),其中EX=μ,DX=σ2.新課學(xué)習(xí)思考一下：根據(jù)數(shù)形結(jié)合，可以發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線有哪些特點和性質(zhì)？(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交；(非負(fù)性)(2)曲線是單峰的，關(guān)于直線x=μ對稱；(對稱性)(3)曲線的最高點位于x=μ處；(集中性)(4)當(dāng)x<μ時，曲線上升；當(dāng)x>μ時，曲線下降；當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線．(單調(diào)性)新課學(xué)習(xí)思考一下：觀察當(dāng)μ或者σ一定時，正態(tài)曲線的變化情況?2.當(dāng)μ一定時，曲線的形狀σ由確定．σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中．1.當(dāng)σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移.參數(shù)μ的含義：參數(shù)μ反映了隨機(jī)變量取值的平均水平．正態(tài)分布隨機(jī)變量X在區(qū)間(μ-σ,μ+σ](σ>0)上取值的概率為陰影部分面積.新課學(xué)習(xí)3σ原則的概念特別地，P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974,因此，隨機(jī)變量X在區(qū)間(μ-σ,μ+σ]，(μ-2σ,μ+2σ]，(μ-3σ,μ+3σ]上取值的概率分別為68.3%，95.4%，99.7%.新課學(xué)習(xí)3σ原則的概念而隨機(jī)變量X在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]外取值概率只有約0.3%，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗中不可能發(fā)生.因此，在實際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布X~N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X只取區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]之間的值，并稱之為3σ原則.新課學(xué)習(xí)例1:根據(jù)正態(tài)曲線的函數(shù)解析式，找出其均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ．將函數(shù)解析式與正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式對照可得：(1)μ=0,σ

=1;(2)μ=1,σ

=.新課學(xué)習(xí)例2:某設(shè)備在正常運行時，產(chǎn)品的質(zhì)量服從正態(tài)分布，其參數(shù)分別為：μ=500g，σ=lg．為了檢查設(shè)備運行是否正常，質(zhì)量檢查員需要隨機(jī)地抽取產(chǎn)品，測量其質(zhì)量．當(dāng)檢查員隨機(jī)地抽取一個產(chǎn)品，測得其質(zhì)量為504g時，他立即要求停止生產(chǎn)，檢查設(shè)備，他的決定是否有道理?檢查員是有道理的，理由如下:當(dāng)該設(shè)備正常運行，產(chǎn)品的質(zhì)量服從正態(tài)分布，其參數(shù)分別為μ=500g，σ=1g，所以根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可知產(chǎn)品的質(zhì)量在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]，即(497,503]之間的概率約為99.7%，而產(chǎn)品的質(zhì)量超出這個范圍的概率只有0.3%，這是一個幾乎不可能發(fā)生的事件．新課學(xué)習(xí)但是，檢查員隨機(jī)抽取的產(chǎn)品為504g，這說明設(shè)備的運行可能不正常，因此檢查員的決定是有道理的．例2:某設(shè)備在正常運行時，產(chǎn)品的質(zhì)量服從正態(tài)分布，其參數(shù)分別為：μ=500g，σ=lg．為了檢查設(shè)備運行是否正常，質(zhì)量檢查員需要隨機(jī)地抽取產(chǎn)品，測量其質(zhì)量．當(dāng)檢查員隨機(jī)地抽取一個產(chǎn)品，測得其質(zhì)量為504g時，他立即要求停止生產(chǎn)，檢查設(shè)備，他的決定是否有道理?新課學(xué)習(xí)思考一下：上面的例子反映了質(zhì)量控制的基本思想，那么什么是質(zhì)量控制呢？在產(chǎn)品生產(chǎn)過程中，假設(shè)生產(chǎn)過程是穩(wěn)定的，則產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)X~N(μ,σ2)．當(dāng)生產(chǎn)正常時，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)觀測值應(yīng)在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]內(nèi)，而一旦觀測值取值于區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]外，則屬于小概率事件，由小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的原理，我們有理由拒絕“生產(chǎn)過程穩(wěn)定”的假設(shè)，即認(rèn)為生產(chǎn)過程的穩(wěn)定性遭到破壞，須采取措施，以確保生產(chǎn)正常進(jìn)行，此即為質(zhì)量控制的基本思想，其實質(zhì)是一個假設(shè)檢