微專題3數(shù)學(xué)分析法1.幾何法在共點(diǎn)力平衡問題中,常常借助三角形的有關(guān)知識(shí),例如矢量三角形、相似三角形、正

弦定理、余弦定理等來解決有關(guān)力的問題。典例1

如圖a所示,工人用推車運(yùn)送石球,到達(dá)目的地后,緩慢抬起把手將石球倒出

(圖b)。若石球與板OB、OA之間的摩擦不計(jì),∠AOB=60°,圖a中BO與水平面的夾角為3

0°,則在抬起把手使OA變?yōu)樗降倪^程中,石球?qū)B板的壓力N1、對(duì)OA板的壓力N2的

大小變化情況是()

A.N1變小

B.N1變大C.N2變大

D.N2先變小后變大

A

解析對(duì)石球受力分析如圖所示,緩慢抬起OB過程中,石球受力平衡,可得

=

=

,其中G和α不變,在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中β從90°增大到180°,sinβ變小,則N1'變小;γ從150°減小到60°,sinγ先變大后變小,則N2'將先變大后變小,根據(jù)牛頓第三定律知,N1變小,N2先變大

后變小,A正確。

2.小量近似法在中學(xué)物理中常用的近似算法主要有:(1)在角度θ(或Δθ)很小時(shí),弦長≈弧長,Δθ≈

(r為圓的半徑)。(2)在三角函數(shù)運(yùn)算中,當(dāng)角度θ很小時(shí)(通常θ<5°),可以認(rèn)為sinθ≈tanθ≈θ;cosθ≈1。(3)當(dāng)x?1時(shí),f(x)=(1+x)m≈1+mx(式中m可以是正或負(fù)的整數(shù)或分?jǐn)?shù))。典例2某同學(xué)看到魚池中池邊的魚離水面的距離約為1m,已知水的折射率為1.33,則

魚的實(shí)際深度約為

()A.0.50m

B.0.75m

C.1.33m

D.1.78m

C

解析由題意作出光路圖如圖所示,B點(diǎn)為人所觀察到的魚的虛像,即BO在一條直線上,

魚的實(shí)際位置應(yīng)在B點(diǎn)下方,設(shè)為C,設(shè)魚射來的光線在O點(diǎn)的入射角為i1,折射角為i2,如

圖所示,根據(jù)幾何關(guān)系得tani1=

,tani2=

,其中n=

=1.33,魚的實(shí)際深度B'C=BB'

,由于人在觀察時(shí)可視為接近在正上方觀察,則i1、i2都很小,則有B'C=BB'

≈BB'

,BB'=1m,則可解得B'C=1.33m,C正確。3.函數(shù)法(1)對(duì)于形如y=asinx+bcosx的函數(shù),可先進(jìn)行三角變換,然后確定其極值條件。y=asinx+bcosx=

令sinφ=

、cosφ=

,則當(dāng)x=φ時(shí),ymax=

。(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c,利用配方法可得y=a

+

,它的圖像是一條拋物線。當(dāng)a>0時(shí),拋物線開口向上,y有最小值,當(dāng)x=-

時(shí),極小值ymin=

;當(dāng)a<0時(shí),拋物線開口向下,y有最大值,當(dāng)x=-

時(shí),極大值ymax=

。4.微元法微元法是分析、解決物理問題中的常用方法,也是從部分到整體的思維方法。使用該

方法可以利用我們熟悉的物理規(guī)律高效處理復(fù)雜物理過程,顯著降低分析難度。在使

用微元法處理問題時(shí),需將所研究物理過程分解為眾多微小的“元過程”,而且每個(gè)

“元過程”所遵循的規(guī)律是相同的,這樣,我們只需分析這些“元過程”,然后再將“元

過程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理,進(jìn)而使問題得以解出。使用此方法會(huì)促

進(jìn)我們對(duì)已知規(guī)律的再思考,從而起到鞏固知識(shí)、加深認(rèn)識(shí)和提高能力的作用。典例3如圖所示,光滑平行導(dǎo)軌水平放置,間距為L,一端接有阻值為R的電阻。磁感應(yīng)

強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場垂直于導(dǎo)軌平面。一質(zhì)量為m的金屬桿ab垂直于導(dǎo)軌放置?，F(xiàn)給

ab一水平向右的初速度v0,使它沿導(dǎo)軌滑動(dòng),設(shè)導(dǎo)軌足夠長,不計(jì)其他電阻,求金屬桿向右

滑動(dòng)的最大距離。

解析根據(jù)受力分析可知,金屬桿在做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng),可把金屬桿減速運(yùn)

動(dòng)的整個(gè)過程劃分為無數(shù)個(gè)小的過程,每個(gè)小的過程時(shí)間Δt極短(可視為位移或時(shí)間的

微元),則有E=BLv,I=

,F=BIL,得F=

又F=ma,則

=ma=m

即

v·Δt=m·∑Δv,解得x=

。答案

5.極限法物理學(xué)中的極限思維是把某個(gè)物理量推向極端,從而作出科學(xué)的推理分析,給出判斷或

導(dǎo)出一般結(jié)論。該方法一般適用于題干中所涉及的物理量隨條件單調(diào)變化的情況。

極限法在進(jìn)行某些物理過程分析時(shí),具有獨(dú)特作用,使問題化難為易,化繁為簡,起到事

半功倍的效果。典例4物體在傾角為θ的斜面上運(yùn)動(dòng),若它的初速度為v0,它與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為

μ。在相同的情況下,物體下滑和上滑的加速度大小之比為

()A.

B.

C.μ+tanθ

D.

A

解析當(dāng)μ=0時(shí),物體下滑和上滑的加速度大小相等,由此可見,