2025年統(tǒng)計學專業(yè)期末考試題庫——統(tǒng)計與決策理論應用模擬試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.設(shè)總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，σ2已知。從該總體中抽取樣本容量為n的樣本，用樣本均值X?估計總體均值μ，則X?服從的分布是：A.N(μ,σ2/n)B.N(μ,σ2)C.N(μ,nσ2)D.N(μ/n,σ2/n)2.在假設(shè)檢驗H?:μ=μ?vsH?:μ≠μ?中，若選用顯著性水平α進行檢驗，則犯第一類錯誤（棄真錯誤）的概率為：A.μ≠μ?的概率B.H?為真時拒絕H?的概率C.H?為假時接受H?的概率D.H?為真時接受H?的概率3.對于一個隨機事件A，其概率P(A)=0.6，則其對立事件ā的概率P(ā)為：A.0.4B.0.6C.1.0D.-0.64.在參數(shù)估計中，若一個估計量既能保證無偏性，又能保證在所有無偏估計量中方差最小，則稱該估計量為：A.一致估計量B.有效估計量C.矩估計量D.極大似然估計量5.已知總體X服從泊松分布P(λ)，其中λ未知。若用樣本均值X?來估計λ，則X?是λ的：A.矩估計量B.極大似然估計量C.無偏估計量D.一致估計量6.在單因素方差分析（ANOVA）中，總離差平方和(SST)可以分解為：A.組內(nèi)平方和+組間平方和B.總平方和+誤差平方和C.個體離差平方和+總體離差平方和D.隨機誤差+系統(tǒng)誤差7.貝葉斯決策理論中，決策者選擇行動方案的主要依據(jù)是：A.先驗概率B.后驗概率C.先驗期望損失D.后驗期望損失8.對于正態(tài)分布總體的均值μ進行雙側(cè)假設(shè)檢驗，若檢驗結(jié)果接受原假設(shè)H?:μ=μ?，則意味著：A.μ一定等于μ?B.樣本提供的證據(jù)不足以拒絕H?C.μ不等于μ?的概率很小D.μ趨近于μ?9.在繪制Xbar-R控制圖時，中心線CL_R的值為：A.σB.R?C.d?σD.d?2σ210.設(shè)事件A和B互斥，且P(A)>0,P(B)>0，則下列結(jié)論正確的是：A.P(A|B)=P(B|A)B.P(A∪B)=P(A)+P(B)C.P(A∩B)=P(A)P(B)D.A和B相互獨立二、填空題1.若總體X服從正態(tài)分布N(μ,16)，從中抽取容量為25的樣本，則樣本均值X?的標準誤差（抽樣標準誤）為______。2.在假設(shè)檢驗中，犯第二類錯誤（取偽錯誤）的概率記為β，則β=P(接受H?|H?______)。3.設(shè)事件A的概率P(A)=0.7，事件B的概率P(B)=0.5，且P(A∩B)=0.3，則事件A和B互為______事件。4.對于點估計量θ?，若E(θ?)=θ，則稱θ?是θ的______估計量。5.在貝葉斯決策中，給定后驗概率P(θ|D)和損失函數(shù)L(α,θ)，最優(yōu)決策規(guī)則是選擇行動α使得______最小。6.控制圖的基本原理是利用統(tǒng)計圖表監(jiān)測過程的______變化，判斷過程是否處于統(tǒng)計控制狀態(tài)。7.設(shè)總體X服從N(0,1)，從中抽取樣本x?,x?,...,x?，樣本方差S2的自由度為______。8.在單因素方差分析中，檢驗統(tǒng)計量F的計算公式為______/______。9.若事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生，則稱事件A是事件B的______事件。10.統(tǒng)計推斷主要包括______推斷和______推斷兩部分。三、計算題1.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,25)。隨機抽取容量為36的樣本，樣本均值X?=55。(1)若已知總體方差σ2=25，求總體均值μ的95%置信區(qū)間。(2)若總體方差未知，但樣本標準差s=5，求總體均值μ的95%置信區(qū)間。2.某工廠生產(chǎn)一批零件，其長度X（單位：毫米）服從正態(tài)分布N(μ,22)。現(xiàn)從中抽取25個零件，測得樣本均值X?=50.5毫米。假設(shè)檢驗：H?:μ=50vsH?:μ≠50。(1)在顯著性水平α=0.05下，檢驗該批零件的平均長度是否顯著異于50毫米。（要求寫出檢驗統(tǒng)計量、拒絕域，并得出結(jié)論）(2)若樣本標準差s=2毫米，請重新進行檢驗（同顯著性水平α=0.05）。3.某公司考慮采用兩種不同的營銷策略（策略A和策略B）來提高產(chǎn)品銷量。隨機選取6個地區(qū)，每個地區(qū)隨機采用一種策略，一個月后的銷量數(shù)據(jù)如下（單位：件）：策略A：55,48,52,57,49,53策略B：50,47,45,49,53,51假設(shè)兩個地區(qū)的銷量均服從正態(tài)分布，且方差相等。檢驗兩種策略的平均銷量是否存在顯著差異？（α=0.05）4.某射手每次射擊命中目標的概率為0.8?，F(xiàn)進行4次射擊，求命中次數(shù)X的分布列，并計算命中次數(shù)至少為3次的概率。5.已知某產(chǎn)品的次品率θ服從貝葉斯先驗分布B(1,4)（即Beta分布，參數(shù)為1和4）。現(xiàn)進行一次抽樣檢驗，發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)2件次品。求次品率θ的后驗分布的參數(shù)。四、簡答題1.簡述假設(shè)檢驗中顯著性水平α和犯第一類錯誤的概率之間的關(guān)系。2.解釋什么是統(tǒng)計質(zhì)量控制，并簡述控制圖的基本原理。3.貝葉斯決策與經(jīng)典決策（如預期收益最大化）有何主要區(qū)別？五、論述題試述參數(shù)估計中點估計和區(qū)間估計的區(qū)別與聯(lián)系，并說明在什么情況下選擇點估計，在什么情況下選擇區(qū)間估計更為合適。試卷答案一、選擇題1.A2.B3.A4.B5.D6.A7.D8.B9.B10.B二、填空題1.4/√25=0.82.為真3.互斥且獨立4.無偏5.后驗期望損失（或后驗期望后悔值）6.波動（或變異）7.48.組間平方和/組內(nèi)平方和（或SSTSSA/SSE）9.充分10.參數(shù)/統(tǒng)計三、計算題1.(1)標準正態(tài)分布分位數(shù)z_(α/2)=z_0.025=1.96。置信區(qū)間=(55-1.96*sqrt(25/36),55+1.96*sqrt(25/36))=(55-1.96*5/6,55+1.96*5/6)=(55-1.6333,55+1.6333)=(53.3667,56.6333)毫米。答：95%置信區(qū)間為(53.37,56.63)毫米。(2)t分布分位數(shù)t_(α/2,n-1)=t_0.025,35≈2.0301。置信區(qū)間=(55-2.0301*5/sqrt(36),55+2.0301*5/sqrt(36))=(55-2.0301*5/6,55+2.0301*5/6)=(55-1.6834,55+1.6834)=(53.3166,56.6834)毫米。答：95%置信區(qū)間為(53.32,56.68)毫米。2.(1)檢驗統(tǒng)計量Z=|X?-μ?|/(σ/√n)=|50.5-50|/(2/√25)=0.5/0.4=1.25。拒絕域：|Z|>z_(α/2)=z_0.025=1.96。由于|1.25|=1.25<1.96，不落入拒絕域。結(jié)論：在α=0.05水平下，沒有充分證據(jù)拒絕H?，不能認為平均長度顯著異于50毫米。(2)檢驗統(tǒng)計量t=|X?-μ?|/(s/√n)=|50.5-50|/(2/√25)=0.5/0.4=1.25。自由度df=n-1=25-1=24。拒絕域：|t|>t_(α/2,df)=t_0.025,24≈2.0640。由于|1.25|=1.25<2.0640，不落入拒絕域。結(jié)論：在α=0.05水平下，沒有充分證據(jù)拒絕H?，不能認為平均長度顯著異于50毫米。3.計算樣本均值和方差：策略A:X??=(55+48+52+57+49+53)/6=52.0,S?2=[(55-52)2+(48-52)2+...+(53-52)2]/5=26.0。策略B:X??=(50+47+45+49+53+51)/6=49.0,S?2=[(50-49)2+(47-49)2+...+(51-49)2]/5=6.4。合并方差估計量：S_p2=[(6-1)S?2+(6-1)S?2]/[(6-1)+(6-1)]=(5*26.0+5*6.4)/10=170/10=17.0。合并標準差：S_p=sqrt(17.0)≈4.1231。檢驗統(tǒng)計量t=(X??-X??)/(S_p*sqrt(1/6+1/6))=(52.0-49.0)/(4.1231*sqrt(2/6))=3.0/(4.1231*sqrt(1/3))=3.0/(4.1231*0.5774)=3.0/2.3717≈1.269。自由度df=n?+n?-2=6+6-2=10。拒絕域：t>t_(α/2,df)=t_0.025,10≈2.2281。由于t≈1.269<2.2281，不落入拒絕域。結(jié)論：在α=0.05水平下，沒有充分證據(jù)認為兩種策略的平均銷量存在顯著差異。4.X服從二項分布B(n=4,p=0.8)。分布列：P(X=k)=C(4,k)*0.8^k*0.2^(4-k),k=0,1,2,3,4。P(X=0)=C(4,0)*0.8^0*0.2^4=1*1*0.0016=0.0016。P(X=1)=C(4,1)*0.8^1*0.2^3=4*0.8*0.008=0.0256。P(X=2)=C(4,2)*0.8^2*0.2^2=6*0.64*0.04=0.1536。P(X=3)=C(4,3)*0.8^3*0.2^1=4*0.512*0.2=0.4096。P(X=4)=C(4,4)*0.8^4*0.2^0=1*0.4096*1=0.4096。至少命中3次的概率P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=0.4096+0.4096=0.8192。5.先驗分布參數(shù)α=1,β=4。似然函數(shù)L(θ|D)∝θ^(2)*(1-θ)^(0)。后驗分布π(θ|D)∝L(θ|D)*π(θ)。π(θ|D)∝θ^(2)*(1-θ)^(0)*θ^(1-1)*(1-θ)^(-4+1)=θ^(2+1-1)*(1-θ)^(-4+0+1)=θ^(2)*(1-θ)^(-3)。后驗分布為Beta分布B(α'=α+2,β'=β-3)=B(3,1)。四、簡答題1.顯著性水平α是在原假設(shè)H?為真時，拒絕H?所犯錯誤（第一類錯誤）的概率上限。即P(拒絕H?|H?為真)≤α。犯第一類錯誤的概率實際是指在H?為真的一系列重復抽樣中，平均會有α的比例的樣本會因檢驗統(tǒng)計量落入拒絕域而錯誤地拒絕H?。α是決策者預先設(shè)定的一個閾值。2.統(tǒng)計質(zhì)量控制是利用統(tǒng)計方法監(jiān)測和管理生產(chǎn)或服務(wù)過程，以維持過程穩(wěn)定性和產(chǎn)品/服務(wù)質(zhì)量的一種技術(shù)?？刂茍D是主要的工具，它包含中心線（CL）、上控制限（UCL）和下控制限（UCL）。通過繪制樣本統(tǒng)計量（如樣本均值、樣本極差、樣本缺陷數(shù)等）的圖示，觀察其是否在控制限內(nèi)隨機波動。若點超出控制限或出現(xiàn)非隨機模式（如連續(xù)多點在中心線一側(cè)、