二次根式運算專項訓(xùn)練題集二次根式的運算是初中代數(shù)學(xué)習(xí)中的重要環(huán)節(jié)，它不僅是對平方根、算術(shù)平方根等概念的深化，也是后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜代數(shù)式運算、方程以及函數(shù)的基礎(chǔ)。掌握二次根式的運算，關(guān)鍵在于理解其基本性質(zhì)、運算法則，并能熟練運用這些知識進行化簡與計算。本專項訓(xùn)練題集旨在幫助同學(xué)們系統(tǒng)鞏固二次根式的相關(guān)概念與運算技巧，提升解題能力。一、知識梳理與要點回顧在進行專項訓(xùn)練之前，我們先簡要回顧二次根式運算的核心知識點，確保基礎(chǔ)扎實。1.二次根式的定義：形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。其中，a稱為被開方數(shù)，且被開方數(shù)必須是非負數(shù)。2.最簡二次根式：滿足以下兩個條件的二次根式稱為最簡二次根式：*被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；*被開方數(shù)不含分母。3.同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式。同類二次根式是進行加減運算的基礎(chǔ)。4.二次根式的性質(zhì)：*(√a)2=a(a≥0)*√(a2)=|a|={a,a≥0;-a,a<0}5.二次根式的運算法則：*乘法：√a·√b=√(ab)(a≥0,b≥0)*除法：√a/√b=√(a/b)(a≥0,b>0)*加減法：先將各二次根式化為最簡二次根式，再把同類二次根式分別合并，合并方法與合并同類項類似。6.分母有理化：把分母中的根號化去，叫做分母有理化。通常采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法。常見的有理化因式：√a的有理化因式是√a；a√b+c√d的有理化因式是a√b-c√d。二、專項訓(xùn)練題（一）基礎(chǔ)鞏固題1.判斷下列各式是否為二次根式，并說明理由。(1)√5(2)√(-3)(3)√(x2+1)(4)√(a-1)(a<1時)2.求下列二次根式中字母的取值范圍。(1)√(3x-2)(2)√(1/(x-1))(3)√(x2+2x+1)3.化簡下列二次根式。(1)√12(2)√(1/8)(3)√(27a3b)(a≥0,b≥0)(4)√(x?+x2y2)(x≥0)4.下列二次根式中，哪些是同類二次根式？√2,√8,√(1/2),√3,√(27),√(12)5.計算下列各題。(1)√6×√15(2)√28÷√7(3)√3×√6-√2(4)(√48-√27)÷√36.計算下列各題。(1)3√2+5√2-√2(2)√18-√8+√(1/2)(3)(√24+√(1/6))×√6(4)(3√5-2√3)(3√5+2√3)（二）能力提升題7.計算下列各題。(1)√(1/3)×√27+√12(2)(√20-√(45))÷√5+√(1/3)×√6(3)(√3+√2)2-(√3-√2)2(4)(√5-2)2?23×(√5+2)2?2?8.把下列各式分母有理化。(1)3/√6(2)√2/(√3-√2)(3)(√5-√3)/(√5+√3)9.先化簡，再求值。(1)已知x=√3+1，求代數(shù)式x2-2x+3的值。(2)已知a=√2-1，b=√2+1，求a2b+ab2的值。10.已知a+1/a=√5，求下列各式的值。(1)a2+1/a2(2)a-1/a11.若最簡二次根式√(2a+b)與√(a-2b+8)是同類二次根式，求a、b的值。（三）概念辨析與易錯點剖析12.判斷下列說法是否正確，若不正確，請說明理由。(1)√a一定是二次根式。(2)若√a與√b是同類二次根式，則a=b。(3)√(a2)=(√a)2。(4)兩個無理數(shù)的和一定是無理數(shù)。13.指出下列運算中的錯誤，并改正。(1)√(-4)×√(-9)=√[(-4)×(-9)]=√36=6(2)√(16-9)=√16-√9=4-3=1(3)√2+√3=√5三、參考答案與提示（以下僅提供簡要答案或提示，詳細解題過程請同學(xué)們自行完成，以達到訓(xùn)練效果。）（一）基礎(chǔ)鞏固題1.(1)是；(2)否（被開方數(shù)為負）；(3)是；(4)否（被開方數(shù)為負）。2.(1)x≥2/3；(2)x>1；(3)全體實數(shù)。3.(1)2√3；(2)√2/4；(3)3a√(3ab)；(4)x√(x2+y2)。4.同類二次根式組：(√2,√8,√(1/2))；(√3,√27,√12)。5.(1)3√10；(2)2；(3)3√2-√2=2√2；(4)(4√3-3√3)÷√3=√3÷√3=1。6.(1)7√2；(2)3√2-2√2+√2/2=(3-2+0.5)√2=1.5√2或3√2/2；(3)√24×√6+√(1/6)×√6=√144+√1=12+1=13；(4)(3√5)2-(2√3)2=45-12=33。（二）能力提升題7.(1)√(1/3×27)+2√3=√9+2√3=3+2√3；(2)(2√5-3√5)/√5+√2=(-√5)/√5+√2=-1+√2；(3)(3+2√6+2)-(3-2√6+2)=5+2√6-5+2√6=4√6；(4)[(√5-2)(√5+2)]2?23×(√5+2)=(5-4)2?23×(√5+2)=1×(√5+2)=√5+2。8.(1)√6/2；(2)√2(√3+√2)/[(√3-√2)(√3+√2)]=√6+2；(3)[(√5-√3)2]/[(√5)2-(√3)2]=(5-2√15+3)/(5-3)=(8-2√15)/2=4-√15。9.(1)x2-2x+3=(x-1)2+2=(√3+1-1)2+2=(√3)2+2=3+2=5；(2)a2b+ab2=ab(a+b)=((√2)2-12)((√2-1)+(√2+1))=(2-1)(2√2)=1×2√2=2√2。10.(1)a2+1/a2=(a+1/a)2-2=(√5)2-2=5-2=3；(2)(a-1/a)2=a2+1/a2-2=3-2=1，故a-1/a=±1。11.由同類二次根式定義可得：2a+b=a-2b+8，且根指數(shù)都為2（隱含條件）。解得a+3b=8。由于題目未給出更多條件，若默認a、b為正整數(shù)，可能有多個解，但通常此類題會保證解的唯一性，可能題目隱含a、b為最簡形式下的特定值，需結(jié)合最簡二次根式條件，此處暫得關(guān)系式a+3b=8。（三）概念辨析與易錯點剖析12.(1)錯誤，當(dāng)a<0時不是；(2)錯誤，被開方數(shù)相同，系數(shù)可以不同；(3)錯誤，左邊√(a2)=|a|，右邊(√a)2=a(a≥0)，僅當(dāng)a≥0時相等；(4)錯誤，如√2+(-√2)=0是有理數(shù)。13.(1)錯誤，√(-4)和√(-9)無意義，二次根式被開方數(shù)須非負；(2)錯誤，√(a-b)≠√a-√b，正確結(jié)果為√7；(3)錯誤，√2與√3不是同類二次根式，不能直接合并。三、結(jié)語二次根式的運算看似繁瑣，實則有章