五年（2021-2025）高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題06圓錐曲線考點(diǎn)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1直線與圓（5年2考）2024北京卷、2022北京卷分析近五年北京卷高考命題情況，圓錐曲線相關(guān)內(nèi)容是高考熱點(diǎn)。在題型分布上，選擇填空題側(cè)重對(duì)雙曲線和拋物線的考查，主要檢驗(yàn)考生對(duì)這兩種曲線基本性質(zhì)、方程特點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度。而解答題則聚焦于直線與橢圓的綜合問題，這類問題綜合性強(qiáng)。它涉及直線與圓錐曲線關(guān)系中的諸多方面，如求弦長、面積，探究弦中點(diǎn)、定點(diǎn)、定值，確定參數(shù)取值范圍以及求解最值等。備考時(shí)，考生需對(duì)雙曲線、拋物線的基礎(chǔ)知識(shí)爛熟于心，同時(shí)針對(duì)直線與橢圓綜合問題加強(qiáng)訓(xùn)練，掌握解題思路與方法，提升綜合運(yùn)用知識(shí)的能力?？键c(diǎn)2橢圓方程及其性質(zhì)（5年5考）2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷考點(diǎn)3雙曲線方程及其性質(zhì)（5年5考）2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷考點(diǎn)4拋物線方程及其性質(zhì)（5年4考）2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2021北京卷考點(diǎn)5新定義（5年2考）2024北京卷、2022北京卷考點(diǎn)01直線與圓1．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，即，則其圓心坐標(biāo)為，則圓心到直線的距離為.故選：D.2．（2022·北京·高考真題）若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】由題可知圓心為，因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選：A．考點(diǎn)02橢圓方程及其性質(zhì)3．（2025·北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，橢圓E上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上，直線與直線，分別交于點(diǎn)A，B．設(shè)與的面積分別為，比較與的大小．【解析】（1）由橢圓可知，，所以，又，所以，，故橢圓E的方程為；（2）聯(lián)立，消去得，，整理得，①，又，所以，，故①式可化簡(jiǎn)為，即，所以，所以直線與橢圓相切，為切點(diǎn).設(shè)，易知，當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性可知，．故設(shè)，易知，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，所以，，故．法二：不妨設(shè)，易知，當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性可知，．故設(shè)，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，則，，,又，所以，所以，，則，即，所以.4．（2024·北京·高考真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長為2的正方形.過點(diǎn)且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，過點(diǎn)和的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．【解析】（1）由題意，從而，所以橢圓方程為，離心率為；（2）直線斜率不為0，否則直線與橢圓無交點(diǎn)，矛盾，從而設(shè)，，聯(lián)立，化簡(jiǎn)并整理得，由題意，即應(yīng)滿足，所以，若直線斜率為0，由橢圓的對(duì)稱性可設(shè)，所以，在直線方程中令，得，所以，此時(shí)應(yīng)滿足，即應(yīng)滿足或，綜上所述，滿足題意，此時(shí)或.5．（2023·北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B，D分別是的左、右頂點(diǎn)，．(1)求的方程；(2)設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：．【解析】（1）依題意，得，則，又分別為橢圓上下頂點(diǎn)，，所以，即，所以，即，則，所以橢圓的方程為.（2）因?yàn)闄E圓的方程為，所以，因?yàn)闉榈谝幌笙奚系膭?dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，易得，則直線的方程為，，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即，而，則直線的方程為，令，則，解得，即，又，則，，所以，又，即，顯然，與不重合，所以.6．（2022·北京·高考真題）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為．(1)求橢圓E的方程；(2)過點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)時(shí)，求k的值．【解析】（1）依題意可得，，又，所以，所以橢圓方程為；（2）依題意過點(diǎn)的直線為，設(shè)、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直線的方程為，令，解得，直線的方程為，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得7．（2021·北京·高考真題）已知橢圓一個(gè)頂點(diǎn)，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點(diǎn)P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與直線交于點(diǎn)M，N，當(dāng)|PM|+|PN|≤15時(shí)，求k的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)闄E圓過，故，因?yàn)樗膫€(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為，故，即，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率存在，故，故直線，令，則，同理.直線，由可得，故，解得或.又，故，所以又故即，綜上，或.考點(diǎn)03雙曲線方程及其性質(zhì)8．（2025·北京·高考真題）雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，，所以，即，所以，故選：B．9．（2024·北京·高考真題）若直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的一個(gè)取值為．【答案】（或，答案不唯一）【解析】聯(lián)立，化簡(jiǎn)并整理得：，由題意得或，解得或無解，即，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.故答案為：（或，答案不唯一）.10．（2023·北京·高考真題）已知雙曲線C的焦點(diǎn)為和，離心率為，則C的方程為．【答案】【解析】令雙曲線的實(shí)半軸、虛半軸長分別為，顯然雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其半焦距，由雙曲線的離心率為，得，解得，則，所以雙曲線的方程為.故答案為：11．（2022·北京·高考真題）已知雙曲線的漸近線方程為，則．【答案】【解析】對(duì)于雙曲線，所以，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，又雙曲線的漸近線方程為，所以，即，解得；故答案為：12．（2021·北京·高考真題）若雙曲線離心率為，過點(diǎn)，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，則，，則雙曲線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為.故選：B考點(diǎn)04拋物線方程及其性質(zhì)13．（2025·北京·高考真題）已知拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則．【答案】【解析】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)到焦距的距離為，故，故，故答案為：.14．（2024·北京·高考真題）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】【解析】由題意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.15．（2023·北京·高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為5，則（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)在上，所以到準(zhǔn)線的距離為，又到直線的距離為，所以，故.故選：D.16．（2021·北京·高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，垂直軸于點(diǎn).若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；的面積為．【答案】5【解析】因?yàn)閽佄锞€的方程為，故且.因?yàn)?，，解得，故，所以，故答案為?；.考點(diǎn)05新定義17．（2024·北京·高考真題）已知是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集.設(shè)是中兩點(diǎn)間距離的最大值，是表示的圖形的面積，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】對(duì)任意給定，則，且，可知，即，再結(jié)合x的任意性，所以所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，其中，可知任意兩點(diǎn)間距離最大值，陰影部分面積.故選：C.18．（2022·北京·高考真題）已知正三棱錐的六條棱長均為6，S是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則T表示的區(qū)域的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)頂點(diǎn)在底面上的投影為，連接，則為三角形的中心，且，故.因?yàn)椋?，故的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，而三角形內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，故的軌跡圓在三角形內(nèi)部，故其面積為故選：B

1．（2025·北京·三模）已知直線與圓交于、兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B．10 C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，圓，圓心的坐標(biāo)為，半徑，直線，恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，弦最小，此時(shí)，則的最小值為.故選：D2．（2025·北京大興·三模）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，與軸平行的直線與和分別交于，兩點(diǎn)，且，則（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【解析】由拋物線定義可知，因?yàn)?，所以為等邊三角形，故，，所以，其中?zhǔn)線與軸交點(diǎn)為，則，故，所以.故選：D3．（2025·北京大興·三模）已知直線：與圓：，則（

）A．與相離 B．與相切C．平分 D．與相交但不平分【答案】C【解析】已知圓：，則圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，即直線經(jīng)過圓心.故選：C.4．（2025·北京大興·三模）已知點(diǎn)是準(zhǔn)線為的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由題意拋物線的焦點(diǎn)為，由拋物線的定義可得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)．即的最小值是3．故選：C.5．（2025·北京海淀·三模）已知雙曲線，若雙曲線的左、右兩支上各存在一點(diǎn)、，使為等邊三角形，則該雙曲線離心率的一個(gè)可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)闉榈冗吶切?，由?duì)稱性可知，、關(guān)于軸對(duì)稱，如下圖所示，要使為等邊三角形，需，其中是軸正方向的單位向量．故斜率為正的漸近線與軸正半軸的夾角應(yīng)大于，所以漸近線斜率．故．所以只有D選項(xiàng)符合題意．故選：D.6．（2025·北京·三模）已知圖形T的面積為S，給出下列四個(gè)結(jié)論：①T是中心對(duì)稱圖形②T是軸對(duì)稱圖形③S=1④S=2其中所有正確的結(jié)論是（

）A．①③ B．①④C．②③ D．②④【答案】D【解析】根據(jù)題意曲線形成的圖形由去線與即所圍成，點(diǎn)集T為陰影部分，根據(jù)圖像可知，圖形T關(guān)于軸對(duì)稱非中心對(duì)稱圖，故②正確；根據(jù)對(duì)稱性，把左邊對(duì)稱補(bǔ)齊到右邊，，所以圖形T的面積為，故選：D.7．（2025·北京·三模）經(jīng)過點(diǎn)，半徑為2的圓的圓心為A，則點(diǎn)A到直線的距離最大值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】已知圓經(jīng)過點(diǎn)，半徑為，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，可得圓心到點(diǎn)的距離為，即，化簡(jiǎn)可得，所以圓心的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.可得原點(diǎn)到直線的距離為：，所以點(diǎn)到直線的距離最大值為原點(diǎn)到直線的距離加上圓的半徑，即.故選：B.8．（2025·北京東城·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，過總能作圓的切線，則直線斜率的最大值為（

）．A． B． C． D．1【答案】B【解析】由題意可知直線與圓不相交，則圓心到直線的距離大于等于半徑，即，由拋物線可得焦點(diǎn)，易知直線的斜率存在，設(shè)為，則直線，由，則，整理可得，解得，所以直線的斜率的最大值為.故選：B.9．（2025·北京豐臺(tái)·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．過的直線與交于兩點(diǎn)，過作的垂線，垂足分別為．若四邊形的周長等于，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由拋物線的定義可知，，，則四邊形的周長為，則，設(shè)直線的傾斜角為，則，則或，則，則直線的斜率為.故選：C10．（2025·北京昌平·二模）已知半徑為1的圓經(jīng)過原點(diǎn)，其圓心到直線的距離為，則的最大值為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因?yàn)榘霃綖?的圓經(jīng)過原點(diǎn)，所以其圓心的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，而原點(diǎn)到直線的距離為，所以圓心到直線的距離的最大值為.故選：D.11．（2025·北京朝陽·二模）若直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的一個(gè)取值為．【答案】3（答案不唯一）【解析】的漸近線為，且焦點(diǎn)在軸上，由題知：，因，解得，所以離心率，故離心率的一個(gè)取值可以為3.故答案為：3(答案不唯一).12．（2025·北京東城·二模）已知曲線.給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線為中心對(duì)稱圖形；②曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)；③曲線恰好經(jīng)過兩個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；④曲線上任意兩點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.【答案】①③【解析】對(duì)于①，假設(shè)曲線的對(duì)稱中心為，將對(duì)稱點(diǎn)代入原方程：，整理得，與原方程比較系數(shù)，有，解得，說明曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故①正確；對(duì)于②，聯(lián)立與，消去并整理可得，此時(shí)，故曲線與直線有一個(gè)交點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，原方程不成立，故曲線可變形為，若橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，則必須為整數(shù)，故或；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故曲線恰好經(jīng)過兩個(gè)整點(diǎn)和，故③正確；對(duì)于④，由③可知，因?yàn)?，令，，，，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，同理，由①知曲線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，所以當(dāng)和都最小時(shí)，三點(diǎn)共線，此時(shí)最小，所以，故④錯(cuò)誤.故選：①③13．（2025·北京昌平·二模）已知曲線，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線關(guān)于軸對(duì)稱；②當(dāng)時(shí)，曲線上任意一點(diǎn)到點(diǎn)，的距離均不超過；③曲線與直線圍成圖形的面積小于5；④經(jīng)過點(diǎn)且與平行的直線與曲線的所有交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①③④【解析】由曲線，用代換方程中的，方程不變，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，所以①正確；設(shè)曲線上的一點(diǎn)，其中，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，當(dāng)時(shí)，可得，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離可以超過，所以②不正確；當(dāng)時(shí)，可得，即；當(dāng)時(shí)，可得，即；令，可得，所以為增函數(shù)，令，可得，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，所以的增長趨勢(shì)越來越快，可得曲線大致圖象如圖所示，可得梯形的面積為，所以曲線與直線圍成圖形的面積小于5，所以③正確；過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，所以經(jīng)過點(diǎn)且與平行的直線與曲線的所有交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)，所以④正確．故答案為：①③④.14．（2025·北京東城·二模）已知直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為拋物線的焦點(diǎn)，則；若該拋物線的準(zhǔn)線上的點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和的最小值為，則.【答案】【解析】對(duì)于拋物線，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)檫^點(diǎn)作軸的垂線，垂足為拋物線的焦點(diǎn)，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.將代入拋物線方程，可得，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，即.已知直線過點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程可得，因?yàn)?，兩邊同時(shí)除以得；當(dāng)時(shí)，已知，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為.設(shè)焦點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)，則.因?yàn)?，故其最小值為，?所以，可得.故答案為：；.15．（2025·北京朝陽·一模）已知點(diǎn)在拋物線上，則拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為；以F為圓心，為半徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是．（填“相交”“相切”或“相離”）【答案】相切【解析】由題意可得，所以，所以拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為；由兩點(diǎn)間距離公式可得，即為圓的半徑，又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以為半徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是相切.故答案為：；相切.16．（2025·北京·三模）已知橢圓：過，兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)，，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，連接、交x軸于兩點(diǎn)（不重合），已知，求直線的方程.【解析】（1）將，代入橢圓的方程可得，解得，所以橢圓的方程為.（2）結(jié)合題意可知，直線的斜率存在，又，設(shè)直線方程為，，如下圖所示：聯(lián)立，整理可得，所以可得，且，可得，即或；因?yàn)?，所以、的斜率分別為，因此直線、的方程分別為，則交點(diǎn)的坐標(biāo)為；結(jié)合可知，即,也即，整理可得，又，可得，又因?yàn)椋瑢⒋?，可得，解得，所以，代入?jì)算可得，解得，即或，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以直線的方程為或.17．（2025·北京大興·三模）已知橢圓：（）的短軸長為，過左焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，分別交橢圓于，和，四點(diǎn)．設(shè)，的中點(diǎn)分別為，．(1)求橢圓的方程；(2)直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)，所以，又短軸長為，所以，由可得，故橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線和斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，設(shè)，，則有中點(diǎn)，聯(lián)立方程，消去得：，由韋達(dá)定理得：，所以的坐標(biāo)為，將上式中的換成，同理可得的坐標(biāo)為，若，即，，此時(shí)直線斜率不存在，直線過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即直線斜率存在，則，直線為，令，得，此時(shí)直線過定點(diǎn)，顯然當(dāng)直線或斜率不存在時(shí)，直線就是軸，也會(huì)過，綜上所述：直線經(jīng)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.18．（2025·北京海淀·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限．(1)求橢圓的焦距；若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若軸，垂足為，連結(jié)并延長交橢圓于點(diǎn)，取線段中點(diǎn)，求證：．【解析】（1）設(shè)橢圓長軸長、短軸長、焦距分別為．依題意，，，所以橢圓焦距為；設(shè)點(diǎn)，而，則，于是，即，由點(diǎn)在橢圓上，得，解得，，由點(diǎn)在第一象限，得，則，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）方法1：設(shè)點(diǎn)，，，則，依題意，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即，顯然直線斜率存在且不為0，設(shè)直線，代入中得，，，設(shè)，則，，，即，直線斜率，由在直線上，得，即，于是直線的斜率，，即，又為線段中點(diǎn)，所以．方法2：設(shè)點(diǎn)，，，則，依題意，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即，直線斜率，直線，聯(lián)立直線與橢圓方程得：，必有，設(shè)，則，，，即，直線斜率，而直線斜率，則，即，又為線段中點(diǎn)，所以．方法3：設(shè)點(diǎn)，，，則，依題意，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即，直線斜率，直線，聯(lián)立直線與橢圓方程得：，顯然，設(shè)，則，，于是，，點(diǎn)，，又，則，即，因此是直角三角形，又為斜邊中點(diǎn)，所以.方法4：設(shè)，與橢圓聯(lián)立，得，，而點(diǎn)在第一象限，則，，點(diǎn)，直線的斜率，直線，令，則，與橢圓聯(lián)立得，顯然，線段中點(diǎn)，有，，點(diǎn)，于是直線斜率，，又為中點(diǎn)，所以.19．（2025·北京·三模）已知橢圓過點(diǎn)，焦距為過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，已知點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，且直線.(1)求橢圓的方程及離心率；(2)求的橫坐標(biāo).【解析】（1）由題意可知，，由焦距，則，所以，所以橢圓方程為，離心率（2）若斜率不存在，則，則；設(shè)直線方程，，則，消元可得；則，設(shè)，由點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，，則存在，使得，則，由,則，故，代入可得，,故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.20．（2025·北京石景山·一模）已知橢圓過點(diǎn)，短軸長為4．(1)求橢圓的方程；(2)橢圓與軸的交點(diǎn)為，（點(diǎn)位于點(diǎn)的上方），直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，．設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)．試問點(diǎn)是否在某定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說明理由．【解析】（1）依題意可得，解得，所以橢圓的方程為；（2）在定直線上，理由如下：設(shè)點(diǎn)與直線聯(lián)立消去整理得，由，且，所以，易知，，則，，兩式作商得，解得，故在定直線上.專題06圓錐曲線考點(diǎn)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1直線與圓（5年2考）2024北京卷、2022北京卷分析近五年北京卷高考命題情況，圓錐曲線相關(guān)內(nèi)容是高考熱點(diǎn)。在題型分布上，選擇填空題側(cè)重對(duì)雙曲線和拋物線的考查，主要檢驗(yàn)考生對(duì)這兩種曲線基本性質(zhì)、方程特點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度。而解答題則聚焦于直線與橢圓的綜合問題，這類問題綜合性強(qiáng)。它涉及直線與圓錐曲線關(guān)系中的諸多方面，如求弦長、面積，探究弦中點(diǎn)、定點(diǎn)、定值，確定參數(shù)取值范圍以及求解最值等。備考時(shí)，考生需對(duì)雙曲線、拋物線的基礎(chǔ)知識(shí)爛熟于心，同時(shí)針對(duì)直線與橢圓綜合問題加強(qiáng)訓(xùn)練，掌握解題思路與方法，提升綜合運(yùn)用知識(shí)的能力?？键c(diǎn)2橢圓方程及其性質(zhì)（5年5考）2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷考點(diǎn)3雙曲線方程及其性質(zhì)（5年5考）2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷考點(diǎn)4拋物線方程及其性質(zhì)（5年4考）2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2021北京卷考點(diǎn)5新定義（5年2考）2024北京卷、2022北京卷考點(diǎn)01直線與圓1．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，即，則其圓心坐標(biāo)為，則圓心到直線的距離為.故選：D.2．（2022·北京·高考真題）若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】由題可知圓心為，因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選：A．考點(diǎn)02橢圓方程及其性質(zhì)3．（2025·北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，橢圓E上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上，直線與直線，分別交于點(diǎn)A，B．設(shè)與的面積分別為，比較與的大小．【解析】（1）由橢圓可知，，所以，又，所以，，故橢圓E的方程為；（2）聯(lián)立，消去得，，整理得，①，又，所以，，故①式可化簡(jiǎn)為，即，所以，所以直線與橢圓相切，為切點(diǎn).設(shè)，易知，當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性可知，．故設(shè)，易知，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，所以，，故．法二：不妨設(shè)，易知，當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性可知，．故設(shè)，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，則，，,又，所以，所以，，則，即，所以.4．（2024·北京·高考真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長為2的正方形.過點(diǎn)且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，過點(diǎn)和的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．【解析】（1）由題意，從而，所以橢圓方程為，離心率為；（2）直線斜率不為0，否則直線與橢圓無交點(diǎn)，矛盾，從而設(shè)，，聯(lián)立，化簡(jiǎn)并整理得，由題意，即應(yīng)滿足，所以，若直線斜率為0，由橢圓的對(duì)稱性可設(shè)，所以，在直線方程中令，得，所以，此時(shí)應(yīng)滿足，即應(yīng)滿足或，綜上所述，滿足題意，此時(shí)或.5．（2023·北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B，D分別是的左、右頂點(diǎn)，．(1)求的方程；(2)設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：．【解析】（1）依題意，得，則，又分別為橢圓上下頂點(diǎn)，，所以，即，所以，即，則，所以橢圓的方程為.（2）因?yàn)闄E圓的方程為，所以，因?yàn)闉榈谝幌笙奚系膭?dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，易得，則直線的方程為，，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即，而，則直線的方程為，令，則，解得，即，又，則，，所以，又，即，顯然，與不重合，所以.6．（2022·北京·高考真題）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為．(1)求橢圓E的方程；(2)過點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)時(shí)，求k的值．【解析】（1）依題意可得，，又，所以，所以橢圓方程為；（2）依題意過點(diǎn)的直線為，設(shè)、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直線的方程為，令，解得，直線的方程為，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得7．（2021·北京·高考真題）已知橢圓一個(gè)頂點(diǎn)，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點(diǎn)P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與直線交于點(diǎn)M，N，當(dāng)|PM|+|PN|≤15時(shí)，求k的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)闄E圓過，故，因?yàn)樗膫€(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為，故，即，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率存在，故，故直線，令，則，同理.直線，由可得，故，解得或.又，故，所以又故即，綜上，或.考點(diǎn)03雙曲線方程及其性質(zhì)8．（2025·北京·高考真題）雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，，所以，即，所以，故選：B．9．（2024·北京·高考真題）若直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的一個(gè)取值為．【答案】（或，答案不唯一）【解析】聯(lián)立，化簡(jiǎn)并整理得：，由題意得或，解得或無解，即，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.故答案為：（或，答案不唯一）.10．（2023·北京·高考真題）已知雙曲線C的焦點(diǎn)為和，離心率為，則C的方程為．【答案】【解析】令雙曲線的實(shí)半軸、虛半軸長分別為，顯然雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其半焦距，由雙曲線的離心率為，得，解得，則，所以雙曲線的方程為.故答案為：11．（2022·北京·高考真題）已知雙曲線的漸近線方程為，則．【答案】【解析】對(duì)于雙曲線，所以，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，又雙曲線的漸近線方程為，所以，即，解得；故答案為：12．（2021·北京·高考真題）若雙曲線離心率為，過點(diǎn)，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，則，，則雙曲線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為.故選：B考點(diǎn)04拋物線方程及其性質(zhì)13．（2025·北京·高考真題）已知拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則．【答案】【解析】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)到焦距的距離為，故，故，故答案為：.14．（2024·北京·高考真題）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】【解析】由題意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.15．（2023·北京·高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為5，則（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)在上，所以到準(zhǔn)線的距離為，又到直線的距離為，所以，故.故選：D.16．（2021·北京·高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，垂直軸于點(diǎn).若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；的面積為．【答案】5【解析】因?yàn)閽佄锞€的方程為，故且.因?yàn)?，，解得，故，所以，故答案為?；.考點(diǎn)05新定義17．（2024·北京·高考真題）已知是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集.設(shè)是中兩點(diǎn)間距離的最大值，是表示的圖形的面積，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】對(duì)任意給定，則，且，可知，即，再結(jié)合x的任意性，所以所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，其中，可知任意兩點(diǎn)間距離最大值，陰影部分面積.故選：C.18．（2022·北京·高考真題）已知正三棱錐的六條棱長均為6，S是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則T表示的區(qū)域的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)頂點(diǎn)在底面上的投影為，連接，則為三角形的中心，且，故.因?yàn)椋剩实能壽E為以為圓心，1為半徑的圓，而三角形內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，故的軌跡圓在三角形內(nèi)部，故其面積為故選：B

1．（2025·北京·三模）已知直線與圓交于、兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B．10 C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，圓，圓心的坐標(biāo)為，半徑，直線，恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，弦最小，此時(shí)，則的最小值為.故選：D2．（2025·北京大興·三模）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，與軸平行的直線與和分別交于，兩點(diǎn)，且，則（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【解析】由拋物線定義可知，因?yàn)?，所以為等邊三角形，故，，所以，其中?zhǔn)線與軸交點(diǎn)為，則，故，所以.故選：D3．（2025·北京大興·三模）已知直線：與圓：，則（

）A．與相離 B．與相切C．平分 D．與相交但不平分【答案】C【解析】已知圓：，則圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，即直線經(jīng)過圓心.故選：C.4．（2025·北京大興·三模）已知點(diǎn)是準(zhǔn)線為的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由題意拋物線的焦點(diǎn)為，由拋物線的定義可得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)．即的最小值是3．故選：C.5．（2025·北京海淀·三模）已知雙曲線，若雙曲線的左、右兩支上各存在一點(diǎn)、，使為等邊三角形，則該雙曲線離心率的一個(gè)可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)闉榈冗吶切?，由?duì)稱性可知，、關(guān)于軸對(duì)稱，如下圖所示，要使為等邊三角形，需，其中是軸正方向的單位向量．故斜率為正的漸近線與軸正半軸的夾角應(yīng)大于，所以漸近線斜率．故．所以只有D選項(xiàng)符合題意．故選：D.6．（2025·北京·三模）已知圖形T的面積為S，給出下列四個(gè)結(jié)論：①T是中心對(duì)稱圖形②T是軸對(duì)稱圖形③S=1④S=2其中所有正確的結(jié)論是（

）A．①③ B．①④C．②③ D．②④【答案】D【解析】根據(jù)題意曲線形成的圖形由去線與即所圍成，點(diǎn)集T為陰影部分，根據(jù)圖像可知，圖形T關(guān)于軸對(duì)稱非中心對(duì)稱圖，故②正確；根據(jù)對(duì)稱性，把左邊對(duì)稱補(bǔ)齊到右邊，，所以圖形T的面積為，故選：D.7．（2025·北京·三模）經(jīng)過點(diǎn)，半徑為2的圓的圓心為A，則點(diǎn)A到直線的距離最大值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】已知圓經(jīng)過點(diǎn)，半徑為，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，可得圓心到點(diǎn)的距離為，即，化簡(jiǎn)可得，所以圓心的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.可得原點(diǎn)到直線的距離為：，所以點(diǎn)到直線的距離最大值為原點(diǎn)到直線的距離加上圓的半徑，即.故選：B.8．（2025·北京東城·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，過總能作圓的切線，則直線斜率的最大值為（

）．A． B． C． D．1【答案】B【解析】由題意可知直線與圓不相交，則圓心到直線的距離大于等于半徑，即，由拋物線可得焦點(diǎn)，易知直線的斜率存在，設(shè)為，則直線，由，則，整理可得，解得，所以直線的斜率的最大值為.故選：B.9．（2025·北京豐臺(tái)·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．過的直線與交于兩點(diǎn)，過作的垂線，垂足分別為．若四邊形的周長等于，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由拋物線的定義可知，，，則四邊形的周長為，則，設(shè)直線的傾斜角為，則，則或，則，則直線的斜率為.故選：C10．（2025·北京昌平·二模）已知半徑為1的圓經(jīng)過原點(diǎn)，其圓心到直線的距離為，則的最大值為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因?yàn)榘霃綖?的圓經(jīng)過原點(diǎn)，所以其圓心的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，而原點(diǎn)到直線的距離為，所以圓心到直線的距離的最大值為.故選：D.11．（2025·北京朝陽·二模）若直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的一個(gè)取值為．【答案】3（答案不唯一）【解析】的漸近線為，且焦點(diǎn)在軸上，由題知：，因，解得，所以離心率，故離心率的一個(gè)取值可以為3.故答案為：3(答案不唯一).12．（2025·北京東城·二模）已知曲線.給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線為中心對(duì)稱圖形；②曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)；③曲線恰好經(jīng)過兩個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；④曲線上任意兩點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.【答案】①③【解析】對(duì)于①，假設(shè)曲線的對(duì)稱中心為，將對(duì)稱點(diǎn)代入原方程：，整理得，與原方程比較系數(shù)，有，解得，說明曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故①正確；對(duì)于②，聯(lián)立與，消去并整理可得，此時(shí)，故曲線與直線有一個(gè)交點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，原方程不成立，故曲線可變形為，若橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，則必須為整數(shù)，故或；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故曲線恰好經(jīng)過兩個(gè)整點(diǎn)和，故③正確；對(duì)于④，由③可知，因?yàn)?，令，，，，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，同理，由①知曲線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，所以當(dāng)和都最小時(shí)，三點(diǎn)共線，此時(shí)最小，所以，故④錯(cuò)誤.故選：①③13．（2025·北京昌平·二模）已知曲線，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線關(guān)于軸對(duì)稱；②當(dāng)時(shí)，曲線上任意一點(diǎn)到點(diǎn)，的距離均不超過；③曲線與直線圍成圖形的面積小于5；④經(jīng)過點(diǎn)且與平行的直線與曲線的所有交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①③④【解析】由曲線，用代換方程中的，方程不變，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，所以①正確；設(shè)曲線上的一點(diǎn)，其中，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，當(dāng)時(shí)，可得，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離可以超過，所以②不正確；當(dāng)時(shí)，可得，即；當(dāng)時(shí)，可得，即；令，可得，所以為增函數(shù)，令，可得，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，所以的增長趨勢(shì)越來越快，可得曲線大致圖象如圖所示，可得梯形的面積為，所以曲線與直線圍成圖形的面積小于5，所以③正確；過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，所以經(jīng)過點(diǎn)且與平行的直線與曲線的所有交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)，所以④正確．故答案為：①③④.14．（2025·北京東城·二模）已知直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為拋物線的焦點(diǎn)，則；若該拋物線的準(zhǔn)線上的點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和的最小值為，則.【答案】【解析】對(duì)于拋物線，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)檫^點(diǎn)作軸的垂線，垂足為拋物線的焦點(diǎn)，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.將代入拋物線方程，可得，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，即.已知直線過點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程可得，因?yàn)?，兩邊同時(shí)除以得；當(dāng)時(shí)，已知，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為.設(shè)焦點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)，則.因?yàn)?，故其最小值為，?所以，可得.故答案為：；.15．（2025·北京朝陽·一模）已知點(diǎn)在拋物線上，則拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為；以F為圓心，為半徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是．（填“相交”“相切”或“相離”）【答案】相切【解析】由題意可得，所以，所以拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為；由兩點(diǎn)間距離公式可得，即為圓的半徑，又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以為半徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線的