第一章經(jīng)典方程導(dǎo)出、定解問題及二階方程分類與化簡第1頁命題1設(shè)開集在內(nèi)連續(xù)．假如對于任意子集，都有則在上命題2設(shè)開集在內(nèi)連續(xù)．假如對于任意，都有則在上第2頁命題3(Stokes公式)設(shè)是一個(gè)有界光滑區(qū)域，對于m維向量值函數(shù)v，下面積分等式成立：其中n是上單位外法向量，dS是上面積元素．當(dāng)m=1,2,3時(shí)，上式就分別是牛頓－萊布尼茲公式，Green公式和奧高公式．第3頁第一節(jié)經(jīng)典方程導(dǎo)出本節(jié)用到兩大物理定律是守恒律（質(zhì)量守恒，能量守恒，動(dòng)量守恒）和變分原理（最小勢能原理）。所用到數(shù)學(xué)方法是微元法和交換積分次序定理。利用守恒律推導(dǎo)微分方程基本方法是：守恒律+Stokes公式+交換積分次序定理，得到微分方程．第4頁1.弦振動(dòng)方程模型：一根拉緊柔軟細(xì)弦，假定在外力作用下，弦在平面上作微小橫振動(dòng)，即振動(dòng)方向與弦平衡位置垂直．問題：研究弦振動(dòng)規(guī)律．第5頁記---單位長度質(zhì)量（密度）；

u---位移；f0---在u正方向,單位長度上外力密度，T---張力．建立坐標(biāo)系：以弦平衡位置為x軸，在弦作振動(dòng)平面上取與x軸垂直方向?yàn)閡軸，弦一端為原點(diǎn)，弦長為l.第6頁分析：(1)細(xì)：橫截面直徑d<<

l，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在同一橫截面上處處相同;(2)拉緊：指是弦線在彈性范圍內(nèi)，所以Hooke定律成立，張力與弦線相對伸長成正比；(3)柔軟：弦在每一點(diǎn)處，該點(diǎn)兩端部分之間有相互作用力．這個(gè)力分量普通來講有切向力和法向力．柔軟是指沒有抗彎曲張力，張力只是沿切線方向；(4)微小位移：弦位置只作了微小改變，即|ux|<<1；(5)橫振動(dòng)：只有沿u方向位移．第7頁動(dòng)量守恒律能夠?qū)懗桑簍=t2時(shí)動(dòng)量t=t1時(shí)動(dòng)量外力在[t1,t2]內(nèi)沖量－＝一維弦振動(dòng)方程第8頁二維波動(dòng)方程n維波動(dòng)方程n維Poisson方程n維Laplace方程第9頁2.熱傳導(dǎo)方程模型：各向同性物體，內(nèi)部有熱源，與周圍介質(zhì)有熱交換，求物體內(nèi)部溫度分布．物理規(guī)律：(1)能量守恒：在物體內(nèi)任取一部分,取任意時(shí)段(2)Fourier熱力學(xué)定律：熱流量大小與溫度梯度成正比。V中增加熱量流入熱量內(nèi)部產(chǎn)生熱量＝＋第10頁記---物體密度；u---溫度；c---比熱；f0---熱源強(qiáng)度，q---熱流密度．三維熱傳導(dǎo)方程第11頁第二節(jié)偏微分方程基本概念一、定義含有未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)方程叫偏微分方程．方程中出現(xiàn)最高階偏導(dǎo)數(shù)階數(shù)稱為方程階數(shù)．假如方程中項(xiàng)關(guān)于未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)整體來講是線性，就稱方程為線性，不然就稱為非線性．非線性又分為半線性，擬線性和完全非線性．第12頁二、定解條件和定解問題給出它初始狀態(tài)和邊界狀態(tài)，即給出外加特定條件，這種特定條件稱為定解條件．描述初始時(shí)刻物理狀態(tài)定解條件稱為初值條件或初始條件。描述邊界上物理狀態(tài)條件稱為邊界條件或邊值條件。一個(gè)方程匹配上定解條件就組成定解問題．第13頁1.弦振動(dòng)方程初值條件是初始時(shí)刻(t=0)位移和速度：第14頁邊界條件是弦在兩端點(diǎn)狀態(tài)，普通有三種：(1)第一類邊界條件(Dirichlet邊界條件)：已知端點(diǎn)x=a處弦位移：u(a,t)=g(t)．(2)第二類邊界條件(Neumann邊界條件)：已知端點(diǎn)處弦所受垂直于弦線外力，即

(3)第三類邊界條件(混合邊界條件或Robin邊界條件)：已知端點(diǎn)處弦位移和所受垂直于弦線外力和：第15頁2.熱傳導(dǎo)方程初值條件:已知初始溫度分布邊界條件:依據(jù)邊界上溫度受周圍介質(zhì)影響情況，可分為三種：第一類邊界條件：已知邊界上溫度分布第二類邊界條件：已知經(jīng)過邊界進(jìn)入內(nèi)部熱量第三類邊界條件：經(jīng)過邊界物體與周圍介質(zhì)有熱交換．第16頁3.Poisson方程或Laplace方程只有邊界條件（一樣有三類），沒有初值條件．對于波動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程，假如區(qū)域沒有邊界，當(dāng)然也沒有邊界條件，只有初值條件．第17頁偏微分方程+初值條件+邊界條件，稱為初邊值問題或混合問題；偏微分方程+初值條件，稱為初值問題，也叫Cauchy問題；偏微分方程+邊界條件，稱為邊值問題．第18頁三、定解問題適定性1解存在性：給出定解問題有解；2解唯一性：給出定解問題只有一個(gè)解；3解穩(wěn)定性：當(dāng)定解條件（初值條件，邊界條件）以及方程中系數(shù)有微小變動(dòng)時(shí)，對應(yīng)解也只有微小變動(dòng)．解穩(wěn)定性也稱為解關(guān)于參數(shù)連續(xù)依賴性．解存在性、唯一性和穩(wěn)定性，三者合起來稱為解適定性．第19頁第三節(jié)二階線性偏微分方程分類與化簡第20頁二階線性偏微分方程普通形式是n=2時(shí)普通形式是第21頁二次曲線二階方程標(biāo)準(zhǔn)形式雙曲線雙曲型方程橢圓橢圓型方程拋物線拋物型方程第22頁一.2個(gè)自變量2階線性偏微分方程分類與化簡引入自變量替換假如變換可逆，即第23頁特征方程第24頁第25頁結(jié)論：假如在點(diǎn)處則稱方程在該點(diǎn)處是雙曲型．假如方程在該點(diǎn)鄰域內(nèi)是雙曲型，那么在該鄰域內(nèi)方程能夠化簡成形如(3)標(biāo)準(zhǔn)形式．假如方程在每一點(diǎn)處都是雙曲型，則稱它在中是雙曲型．第26頁第27頁結(jié)論：假如在點(diǎn)處則稱方程在該點(diǎn)處是拋物型．假如方程在該點(diǎn)鄰域內(nèi)是拋物型，那么在該鄰域內(nèi)方程能夠化簡成形如(4)標(biāo)準(zhǔn)形式．假如方程在每一點(diǎn)處都是拋物型，則稱它在中是拋物型．第28頁第29頁結(jié)論：假