第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年江蘇省南京市玄武區(qū)蘇科版九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)模擬試卷一、選擇題：本題共6小題，每小題3分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.已知的半徑，，則點(diǎn)與的位置關(guān)系是（）A.點(diǎn)P在內(nèi) B.點(diǎn)P在上 C.點(diǎn)P在外 D.不能確定3.關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（

）A. B. C. D.且4.如圖，小紅想用長為的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個(gè)矩形羊圈，并在邊上留一個(gè)寬的門（建在處，另用其他材料）．當(dāng)羊圈的面積為時(shí)，的長為多少米？設(shè)矩形的邊，根據(jù)題意所列的方程是（

）

A. B. C. D.5.如圖，A、B、C是上的點(diǎn)，是圓的直徑，在延長線上取一點(diǎn)D，使，連接，則為（

）

A. B. C. D.6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的圓心在軸上，且經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)是第一象限圓上的任意一點(diǎn)，且，則的圓心的坐標(biāo)是（

）

A. B. C. D.二、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分。7.請(qǐng)寫出一元二次方程的所有解：

．8.若關(guān)于的一元二次方程可配成的形式，

．9.若，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為

．10.如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，的半徑為6，則的長為

．

11.如圖，在中，是上一點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)不重合若在的直角邊上有且僅有個(gè)不同的點(diǎn)分別和點(diǎn)、成為直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則長的取值范圍是

．

12.如圖，的半徑為5，C是上一點(diǎn)，直線交于A，B兩點(diǎn)，垂足為H，已知．若將直線l沿所在的直線平移后恰與相切，則平移的距離為

．

13.矩形兩條對(duì)角線交于點(diǎn)，且、的長是關(guān)于的方程的根，則的值為

．14.關(guān)于x的方程的解是（a，m，b均為常數(shù)，），則方程的解是

．15.已知關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)整數(shù)根恰好比方程的兩個(gè)根都大1，則的值是

．16.如圖，是的直徑，半徑的長為1，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)的弦，將沿翻折交直線于點(diǎn)，當(dāng)?shù)拈L為正整數(shù)時(shí)，線段的長為

．

三、計(jì)算題：本大題共1小題，共6分。17.解下列方程：(1)

(2)

(3)

(4)．四、解答題：本題共10小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。18.(本小題8分)如圖，為直徑，弦分別與半徑相交，且．

(1)求證：；(2)若，且，求的度數(shù)．19.(本小題8分)如圖，四邊形為平行四邊形，為圓的直徑，請(qǐng)僅用無刻度的直尺按要求畫圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．

(1)在圖1中作出圓心．(2)在圖2中，畫出，使得．20.(本小題8分)

若關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根比另一個(gè)根大2，那么稱這樣的方程為“隔根方程”．例如，方程x2+2x＝0的兩個(gè)根是x1＝0，x2＝﹣2，則方程x2+2x＝0是“隔根方程”．(1)方程x2﹣x﹣20＝0是“隔根方程”嗎？判斷并說明理由；(2)若關(guān)于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，求m的值．21.(本小題8分)如圖，為直角三角形，，點(diǎn)在的延長線上，且．

(1)尺規(guī)作圖：作的外接圓；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)求證：直線是切線；(3)若，求的半徑．22.(本小題8分)如圖，為的直徑，弦于點(diǎn)，是弧上一點(diǎn)；延長，交于點(diǎn)，連結(jié)，，與交于點(diǎn)．

(1)若，用含的代數(shù)式表示；(2)如圖2，連結(jié)，，若，求證：．23.(本小題8分)如圖，在中，，以為直徑作，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F．

(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為5，求的長．24.(本小題8分)如圖，在中，，cm，cm若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．

(1)問幾秒后，的面積為？(2)的面積能否為？若能，求出點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間；若不能，請(qǐng)說明理由．25.(本小題8分)

如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，其中一個(gè)實(shí)數(shù)根是另一個(gè)實(shí)數(shù)根的2倍，那么稱這樣的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的兩個(gè)根是，，則方程是“倍根方程”．(1)根據(jù)上述定義，一元二次方程

（填“是”或“不是”）“倍根方程”；(2)若是“倍根方程”，求m與n的關(guān)系；(3)若關(guān)于x的一元二次方程是“倍根方程”，求之間的關(guān)系．26.(本小題8分)如圖1是用鋼絲制作的一個(gè)幾何探究工具，其中內(nèi)接于，是的直徑，，．現(xiàn)將制作的幾何探究工具放在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），然后點(diǎn)在軸上由點(diǎn)開始向右滑動(dòng)，點(diǎn)在軸上也隨之向點(diǎn)滑動(dòng)（如圖），當(dāng)點(diǎn)滑動(dòng)至與點(diǎn)重合時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束．

(1)試說明在運(yùn)動(dòng)過程中，原點(diǎn)始終在上；(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，試探求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；(3)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長是

．27.(本小題8分)[發(fā)現(xiàn)問題]愛好數(shù)學(xué)的小明在做作業(yè)時(shí)碰到這樣的一道題目∶如圖①，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的半徑為1，點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)B在上，連結(jié)，作等邊（A，B，C為順時(shí)針順序），求的最大值．[解決問題]小明經(jīng)過多次的嘗試與探索，終于得到解題思路∶在圖①中，連接，以為邊在的左側(cè)作等邊三角形，連接．(1)請(qǐng)你找出圖中與相等的線段，并說明理由；(2)線段的最大值為

．(3)[靈活運(yùn)用]如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)P為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且，以P為旋轉(zhuǎn)中心，把逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，求長的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．(4)[遷移拓展]如圖③，，點(diǎn)D是以為直徑的半圓上不同于B、C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊作等邊，請(qǐng)直接寫出的最值．

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】

8.【答案】25

9.【答案】2025

10.【答案】

11.【答案】

12.【答案】2或8

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】-3或29

16.【答案】或或2

17.【答案】【小題1】解：，，∴，∴；【小題2】解：，，∴或，∴，；【小題3】解：，，∴，∴；【小題4】解：，∴，∴或，∴．

18.【答案】【小題1】證明：∵為直徑，，∵，∴，，即，∴；【小題2】解：∵，∴的度數(shù)為，∴的度數(shù)為，的度數(shù)為，∴的度數(shù)為．

19.【答案】【小題1】解：延長，與圓交于點(diǎn)H，連接，與的交點(diǎn)即為所求的圓心O；理由：平行四邊形中，，又，，，，為圓的直徑，為圓的直徑，點(diǎn)O即為圓心；【小題2】解：設(shè)與交于點(diǎn)G，連接并延長交于點(diǎn)E，連接，交于點(diǎn)K，即為所求．理由：由作圖可知：為的直徑，，，，．

20.【答案】【小題1】不是，理由如下：∵x2﹣x﹣20＝0，即（x﹣5）（x+4）＝0，∴x1＝5，x2＝﹣4．∵5﹣（﹣4）＝9≠2，∴方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”．【小題2】∵x2+mx+m﹣1＝0，即（x+1）[x+（m﹣1）]＝0，∴x1＝﹣1，x2＝1﹣m．又∵關(guān)于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，∴|1﹣m﹣（﹣1）|＝2，解得：m＝0或m＝4．

21.【答案】【小題1】解：如圖所示，即為所求.【小題2】證明：如圖所示，連接

＝，，，，又，，，，又為半徑直線為☉的切線【小題3】由（2）得設(shè)，，在中，由勾股定理得解得的半徑為．

22.【答案】【小題1】解：，，，，；【小題2】證明：，且由（1）得，，，，且由（1）得，，

23.【答案】【小題1】證明：如圖，連接，則，，，，．于點(diǎn)F，，，即．是的半徑，是的切線．【小題2】解：如圖，連接．是的直徑，，即．，的半徑為5，．在中，由勾股定理，得．，，．

24.【答案】【小題1】設(shè)后，的面積為，則，，，解得，∴或時(shí)，的面積為；【小題2】不能，理由如下：設(shè)y秒時(shí)，的面積為，，即，，∴原方程無實(shí)數(shù)根，即的面積不能是．

25.【答案】【小題1】是【小題2】，解得，是“倍根方程”，或，或．【小題3】設(shè)與是方程的解，，，即，，，整理得．

26.【答案】【小題1】連接，∵是的直徑，為中點(diǎn)，∴，∴，∴始終等于的半徑長，∴原點(diǎn)始終在上；【小題2】∵，，∴，∴，即弧的長保持不變，∴，∴，如圖，其中，，，，，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即自變量的取值范圍是；【小題3】

27.【答案】【小題1】如圖中，結(jié)論：，理由：∵都是等邊三角形，∴，∴，∴，∴．【小題2】3【小題3】如圖，連接，∵將繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則是等腰直角三角形，∴，∵A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴，∴，∴線段長的最大值=線段長的最大值，∴當(dāng)N在線段的延長線時(shí)，線段取得最大值（如圖2中）最大值，∵，∴最大值為；如圖，過P作軸于E，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴．【小題4】如