2024年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)：新定義與閱讀理解問(wèn)題

一、單選題

1.用用“※”定義一種新運(yùn)算:對(duì)于任何有理數(shù)。和從規(guī)定〃※6=建+從.如W

2=1x2+22=6,則7派2的值為（）

A.-4B.8C.4D.-8

2.定義新運(yùn)算符號(hào)+〃）x3,例：2心二（2+3卜3=15；若。*3）力0=12,

則x的值為（）

3

A.1B.-5C.——D.-1

7

3.定義一種對(duì)正整數(shù)〃的“尸’運(yùn)算,①當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3〃+5；②當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

結(jié)果為￡（其中k是使學(xué)為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行，例如，取〃=26,如

圖所示，若〃=449,蛆第201次“b的運(yùn)算的結(jié)果是（）

|26|硝》|13|[44|臉aI11I…

I一I第一次I一I第二次I一I第三次I一I

A.1B.4C.6D.8

4.定義一種新運(yùn)算：a?b=2a+b,a^b=a2b,則方程（x+1）十2=（3必）-2的解是

（）

56

A.x=-B,x=-\C.x=—D.x=2

27

5.定義新運(yùn)算：〃%=必亙■（“工/，且。+人>0）,則6*（6叼）的值為（）

a-b

A.1B.立C.x/7D.-

55

6.對(duì)有理數(shù)定義運(yùn)算：x^y=ax+by,其中a,b是常數(shù)，如果2※（-1）=-3,齦2>1,

那么4,〃的取值范圍是（）

A.a<-\,b>\B.。>一1,b<\C.a<-\,b<\D.a>-\,h>\

7.定義：我們把三角形某邊上中線(xiàn)的長(zhǎng)度與這邊中點(diǎn)到高的距離的比值稱(chēng)為三角形某

邊的“中高偏度值”.如圖，在RtZ\48C中，ZACfi=9O0.AC=4,fiC=3,則乂BC中A3邊

的“中高偏度值''為（）

AH

8.經(jīng)過(guò)三邊都不相等的三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的線(xiàn)段把三角形分成兩個(gè)小三角形.如果其

中一個(gè)是等腰三角形，另外一個(gè)三角形和原三角形相似，那么把這條線(xiàn)段定義為原三角

形的“和諧分割線(xiàn)”，如圖，線(xiàn)段CD是A8C的“和諧分割線(xiàn)”，AC。為等腰三角形，

△C8O和?工8c相似，ZA=46°,則NAC8的度數(shù)為()

DB

A.113°B.92°C.113c或92。D.92°或134。

二、填空題

9.定義新運(yùn)算：a*b=a“a-b),如：2*3=2?(2-3)=-4.則2*(3*5)=.

10.定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)〃J,〃.都有〃餌〃=加〃十〃，等式右邊是常用的加法、

乘法及乘方運(yùn)算.例如：-3宓2=(-3)晨2+2=2().根據(jù)以上知識(shí)解決問(wèn)題：若八e4=20,

則x的值是—.

11.若〃、Z?都是有理數(shù)，定義“”如下：=例如3*2=32+2=11.現(xiàn)

b~+a(a<b)

己知4*x=29,則％的值為.

12.定義：對(duì)于給定的一次函數(shù)丁=公十。"，力為常數(shù)，且。工0),把形如

av+/?(x^0)

-av+Z>(t<0)的函數(shù)稱(chēng)為一次函數(shù)'="+〃的“衍生函數(shù)”，已知一次函數(shù)

y=~2x+\,若點(diǎn)尸(-2、〃?)在這個(gè)一次函數(shù)的“衍生函數(shù)”圖像上，則〃7的值是.

13.用“※”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意的自然數(shù)%和%滿(mǎn)足球丁=孫+。(1+)，)+1

為常數(shù)).例如：2^1=2xl+￡Yx(2+l)+l=3a+3.若3米4的值為20,貝心的值為

14.定義新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)db,都有。十〃=〃2-2必+1,例如：

2十(—1)=2?—2x2x(—1)+1=9,那么(—2)?3的值是.

15.定義：有一個(gè)圓分別和一個(gè)三角形的三條邊各有兩個(gè)交點(diǎn)，截得的三條弦相等，我

們把這個(gè)圓叫做三角形的“等弦圓”.如圖，中，ZACB=90°,AC=BC=26,

當(dāng)M8c的等弦圓最大E寸，這個(gè)圓的半徑為.

c

⑹定義一種新的運(yùn)算：，☆狂等，如2☆-竺=2,則-3）如二

三、解答題

17.若定義一種運(yùn)算：aAh=a3-h~+ab+\*如:

2A(-3)=2A-(-3)2+2x(-3)+1=8-9-6+1=-6.

（1）計(jì)算：（一x）A（l—x）.

⑵將（1）計(jì)算所得的多項(xiàng)式分解因式；

⑶若丁_x_2=0,求（1）中計(jì)算所得的多項(xiàng)式的值.

18.定義：任意兩個(gè)數(shù)a,b,按規(guī)則c=M+a+b擴(kuò)充得到一個(gè)新數(shù)c,稱(chēng)所得的新數(shù)

。為“如意數(shù)”.

⑴若a=6,b=T,直接寫(xiě)出。，〃的“如意數(shù)%;

⑵如果a=4,b=—m,求a,b的“如意數(shù)”c,并證明“如意數(shù)”c?0；

（3）已知a=f-l（衣0）,且小〃的“如意數(shù)％=父+3/-1,求瓦（用含力的式子表示）

19.定義：若a+〃=3,則稱(chēng)〃與〃是關(guān)于3的平衡數(shù).

（1）4與是關(guān)于3（1勺平衡數(shù)，8+x與是關(guān)于3的平衡數(shù).（填一個(gè)含x的代數(shù)

式）

⑵若。=依+1,d=x-2,且c與d是關(guān)于3的平衡數(shù)，若x為正整數(shù)，求整數(shù)k的值.

參考答案:

1.A

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解題中的新定義是解此類(lèi)題的關(guān)鍵.根據(jù)題中的

新定義計(jì)算即可求出之派2的值.

【詳解】解：根據(jù)新定義得：

TX2

=-4x2+2?

=-8+4

=4

故選：A

2.B

【分析】本題考查了新運(yùn)算，解一元一次方程，掌握新運(yùn)算正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵，根據(jù)

[(A*3)+10]X3=12,(x+3)x3=-6解方程即可.

【詳解】解:根據(jù)新定義得(~3)*10=12

[(A*3)+10]X3=12

"★3)+10=4

(.￥★3)=-6

(x+3)x3=-6

x=-5

故選：B

3.D

【分析】據(jù)提供的‘F'運(yùn)算，對(duì)正整數(shù)〃分情況(奇數(shù)、偶數(shù))循環(huán)計(jì)算，由于〃=449為奇數(shù)

應(yīng)先進(jìn)行RD運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)從第4次運(yùn)算結(jié)果開(kāi)始循環(huán)，且奇數(shù)次運(yùn)算的結(jié)果為8,偶數(shù)次為

1，而笫201次是奇數(shù)，這樣循環(huán)計(jì)算一直到笫201次“尸運(yùn)算，得到的結(jié)果為8.

本題主要考查了新定義運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算.熟練掌握''尸運(yùn)算法則，找到結(jié)果存在的

規(guī)律，根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算求出答案，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：第一次:3x449+5=1352,

第二次：詈，1352+8=169,即左二3,

第三次：3x169+5=512,

第四次：512=2%即k=9,計(jì)算結(jié)果為1,

第五次：lx3+5=8,

第六次：/，8=2,即k=3,計(jì)算結(jié)果為1,

此后計(jì)算結(jié)果為8和1循環(huán)，

V20I是奇數(shù)，

???第201次運(yùn)算結(jié)果是8.

故選：D.

4.C

【分析】本題考查解一元一次方程、有理數(shù)的混合運(yùn)算.根據(jù)。十2=2"+力，族』%,

可以求得題目中方程的解.

【詳解】解：Va?b=2ii+b,球b=fb,(x+1)十2=(3※力-2,

???2(X+1)+2=32-X-2,

整理得7x=6,

解得：x='j;

故選：C.

5.B

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的新定義運(yùn)算，根據(jù)題意列出算式，進(jìn)行計(jì)算即可求解?.

【詳解】解：依題意，6*(6*3)=6*^^=6*1=^^=立

')6-36-15

故選：B.

6.D

【分析】本題考查了新定義，求不等式的解集，理解新定義是解答本題的關(guān)鍵.由新定義得

=-3①，〃+助>1②，進(jìn)而得。+2(勿+3)>1,求出〃的取值范圍，進(jìn)而可求；I"的

取值范圍.

【詳解】解：根據(jù)題意得：2a-〃二一3①，a+2b>\@

由①得：〃=2〃+3③

/.a+2(2a+3)>\,

解得。>-1,

由①得：。二容，

.。-3、.

?.------>-1,

2

Jb>],

Aa>-\,Z?>1.

故選：D.

7.A

【分析】本題考查了勾股定理.根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出中人B邊上的

高和該邊上的中點(diǎn)到C。的距離，再求它們的比值即可.

【詳解】解：作C￡）_LA8干點(diǎn)CE為AACB的中線(xiàn)，

;NACB=90°,AC=4,BC=3、

???AB=ylAC2+BC2=\l41+31=5*

..ACBCABCD

?-2-=-2-'

.4x35CD

22

I?

解得C0=（,

???BD=NBC2-CD?=F3s=1,

???C￡為aAAC8斜邊A8上的中線(xiàn)，48=5,

??.BE=）,

2

597

/.ED=BE-BD=---=—

2510f

7

即點(diǎn)E到。。的距離為歷，

1

2

5-

24

-一

???ABC'PAB邊的“中偏度值”為：77

1-

O

AEDH

故選:A.

8.C

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)帶你，由AC。是等

腰三角形，ZADC>ZBCD,則N4QC>NA,即ACVCZ),分AC=A。和D4=DC兩種

情形，分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)求解即可.正確分類(lèi)是解題的關(guān)鍵

【詳解】解：???△8。和./灰?相似，

:.NBCO=NA=46°,

AC。是等腰三角形，ZADC>/BCD,

AZADC>ZA,H|JAC^CD,

①當(dāng)AC=AO時(shí)，即NACD=ZADC=^(180°-46°)=67。，

AZACB=67°+46O=113°,

②當(dāng)以=O。時(shí)，ZACD=ZA=46°,

AZACB=46°+46°=92°,

故選：C.

9.80

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，按照定義的新運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【詳解】由題意得:2*(3*5)

=2*[32X(3-5)]

=2*[9x(-2)]

=2*(-18)

=22X[2-(-18)]

=4x(2+18)

=4x20

=80,

故答案為：80.

10.不=2,X2=-2

【分析】本題考杳有理數(shù)的混合運(yùn)算，新定義問(wèn)題，根據(jù)已知公式得出4/+4=20,解之可

得答案.

【詳解】解:.-x04=2O,

/.4x2+4=20?

即4x2=16,

解得：內(nèi)=2,9=-2.

故答案為：％=2,々=—2.

II.5

【分析】此題考杳了解一元一次方程和平方根解方程.根據(jù)題中的新定義分兩種情況化簡(jiǎn)已

知等式，求出x的值即可.

【詳解】解：當(dāng)41時(shí)，則l6+x=29,解得x=13,不符合題意；

當(dāng)4Vx時(shí)，則丁+4=29,解得玉=5,x2=-5（舍去），

綜上，x的值為5.

故答案為：5.

12.-3

【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)“衍生函數(shù)”的定義，找出一次函數(shù)

），=-2x+l的“衍生函數(shù)”是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由定義知，一次函數(shù)y=-2x+i的“衍生函數(shù)"為），='J

2x+l（x〈0）

???點(diǎn)產(chǎn)（-2,m）在一次函數(shù)的“衍生函數(shù)”圖象上，x=-2<0,

in=2x（—2）+1=—3.

故答案為：-3.

13.1

【分析】本題考查了解一元一次方程.理解題意，正確的列一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

由題意知，3^4=3x4+d（3+4）+l,3^4=20,即3x4+a（3+4）+l=20,計(jì)算求解即可.

【詳解】解：由題意知,3X4=3X4+〃（3+4）+1,3X4=20,

???3x4+a（3+4）+l=20,

12+7?+1=20,

解得，a=\,

故答案為：1.

14.17

【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，把相應(yīng)的值代入到新定義的運(yùn)算即可；掌握有理

數(shù)混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：（-2）十3=（—2丫一2x（—2）x3+1=4+12+1=17.

故答案為：17.

15.4-272/-2x/2+4

【分析】先根據(jù)圓周角定理說(shuō)明當(dāng)。過(guò)C時(shí)，且在等腰直角三角形A8C的三邊上截得的

弦相等，此時(shí)0。最大，再過(guò)點(diǎn)。分別作弦CG、CF、OE的垂線(xiàn)，垂足分別為P、N、M,

,進(jìn)而得到==然后利用直角三角形的邊角關(guān)系以及三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)

算即可;掌握?qǐng)A周角定理、垂徑定理以及正確做出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖所示：

??一員1與三角形的三條邊都有兩個(gè)交點(diǎn)，截得的三條弦相等，

???圓心。就是三角形的內(nèi)心，

???當(dāng)I。過(guò)。時(shí)，且在等腰宜角三角形A8C的三邊上截得的弦相等，此時(shí)。最大,

過(guò)點(diǎn)。分別作弦CG、CF、DE的垂線(xiàn)，垂足分別為尸、N、M,

'：CG=CF=DE,

：.OP=OM=ON,

,?ZC8=90。，AC=BC=2日

JAB=&AC=4,

AOC+SHOC+SAOB=SABC，

,?SABC=-ACOP+-BCON+-ABOM=-ACBC

2226

設(shè)OM=x,則OQ=ON=x,

?**2>/2x+4y[2x+4x=7>/2x25/2，解得x=2&-2，即8=0N=2&-2,

在RtACON中，OC=?ON=S.

故答案為：4-25/2.

，6-I

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)?！?)="“，可以求得所求式子的值，本題得

a

以解決.

【詳解】解：。☆人=”殳

/.(2^3)☆1

2+2x3一

-----☆]

2

=4如

4+2x1

3

2；

3

故答案為:

2

17.(l)-x3+x

⑵r(x+1)(.1)

(3)-2

【分析】本題主要考查了新定義運(yùn)算，整式混合運(yùn)算，分解因式，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算.

(1)根據(jù)定義，列式進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)先提公因式，然后再用平方差公式分解因式；

(3)將丁-x=2整體代入求值即可.

【詳解】(1)解：由題意，得：

(-x)A(l-x)

=(-x)3-(l-x)2+(-x)(l-x)+l

=一/-1+2匯72一1+工2+1

=-x2,+X:

(2)解：-%3+x

=-21)

=-x(x+l)(x-l);

(3)解：?.?Y-X-2=0，

x3-x=2?

-x3+x=-(x3-x)=-2.

18.(I)c=2V2+1；

(2)見(jiàn)解析

⑶。=x+2.

【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用.

(1)根據(jù)“如意數(shù)”的定義即可判斷；

(2)利用配方法即可解決問(wèn)題；

(3)根據(jù)“如意數(shù)”的定義，構(gòu)建方程求出〃即可.

【詳解】(1)解：c=&xl+0+l=20+l;

(2)解：C=(〃L4)(T〃)+(〃L4)+(-"I)

=-in2+4/z2-4

=-(/??-2)2<0,

..c<0：

(3)解：由題意射+3爐-]=(f—1?+(』-1)+力,

x2b=d+2x2，

,XWO,

b=x+2.

19.(1)-1；-A-5

(2)0或1或3

【分析】本題主要考查了新定義，整式的加減計(jì)算，解?元?次方程，解題的關(guān)鍵在于能夠

準(zhǔn)確讀懂平衡數(shù)的含義.

(1)根據(jù)平衡數(shù)的定義列式求解即