第二十一章一元二次方程·拔尖卷【人教版】參考答案與試題解析第Ⅰ卷一．選擇題（共10小題，滿(mǎn)分30分，每小題3分）1．（3分）（24-25八年級(jí)下·山東淄博·期末）已知關(guān)于x的方程k+2xk+xA．±2 B．-2 C．2 D【答案】C【分析】本題考查一元二次方程定義，根據(jù)一元二次方程的定義，方程的最高次數(shù)為2，且二次項(xiàng)系數(shù)不為0，列方程求解即可得到答案，熟記一元二次方程定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程k+2∴|k|=2，且解得k=2或k=-2；且∴k=2故選：C．2．（3分）（24-25九年級(jí)上·四川成都·期末）小穎在探索一元二次方程x2+3xx-012x---5A．-1 B．0 C．1 D．【答案】C【分析】本題考查了估算一元二次方程的近似解，此類(lèi)題要細(xì)心觀察表格中的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，即可找到x的取值范圍．【詳解】解：當(dāng)x=1時(shí)，x當(dāng)x=2時(shí)，x∵-1更接近于0∴方程的一個(gè)解得整數(shù)部分是1，故選：C．3．（3分）（24-25九年級(jí)下·浙江衢州·自主招生）若分式1x2-6xA．m>9 B．m≥9 C．m<9【答案】A【分析】本題主要考查了分式有意義的條件、一元二次方程根的判別式等知識(shí)點(diǎn)，掌握一元二次方程根的判別式與解的關(guān)系成為解題的關(guān)鍵．分式有意義的條件是分母不為零．即分母x2-6【詳解】解：∵分式1x∴分母為二次函數(shù)x2∴方程x2∴Δ=(-6)2故選A．4．（3分）（24-25九年級(jí)上·湖北省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）設(shè)a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2+x+m2+2A．-1或-2 B．-1 C．±1【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程根的判別式、解一元二次方程，由題意可得a2+a+m2+2m-1=0①，a+b=-1②【詳解】解：∵a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2∴a2+a∴由①-②可得：∵a2∴a2∴1-2m解得：m=1或m由題意可得Δ=解得：-5∴m=-1故選：B．5．（3分）（2025·河北邯鄲·二模）已知x1=-1是關(guān)于x的方程x2+bxA．b-c=-1C．b=1-x2【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的解，一元二次方程解的判別式，一元二次方程的解與系數(shù)的關(guān)系．分別根據(jù)一元二次方程的解，一元二次方程解的判別式，一元二次方程的解與系數(shù)的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：∵x1=-1∴1-b∴b-c由題意得，該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ∴b2≥4c∵x2+bx+∴-1+x∴b=1-x2,故選：C．6．（3分）（24-25九年級(jí)下·安徽合肥·期中）已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a2+2ab+b2-3aA．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】本題考查了解一元二次方程，將原方程變?yōu)閍+b2【詳解】解：∵a2∴a+設(shè)x=∴x2∴x-解得：x=1或x故選：A．7．（3分）（2025·內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，有一張長(zhǎng)32cm、寬16cm的矩形硬紙片，裁去角上2個(gè)小正方形和2個(gè)小矩形（圖中陰影部分）之后，恰好折成如圖2所示的有蓋紙盒．若紙盒的底面積是130cm2，則紙盒的高為（

A．2cm B．3cm C．4cm D．21【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)當(dāng)紙盒的高為xcm時(shí)，紙盒的底面積是130cm2，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式結(jié)合紙盒的底面積是130【詳解】解：設(shè)當(dāng)紙盒的高為xcm時(shí)，紙盒的底面積是130依題意，得：32-2x化簡(jiǎn)，得：x2解得：x1=3，當(dāng)x=3時(shí)，16-2當(dāng)x=21時(shí)，16-2答：紙盒的底面積是130cm2時(shí)，紙盒的高為故選：B．8．（3分）滿(mǎn)足方程x2-4xy+19A．0對(duì) B．2對(duì) C．4對(duì) D．6對(duì)【答案】C【分析】利用一元二次方程有解判斷出y的范圍，根據(jù)y是整數(shù)求出y的值，進(jìn)而求出x的值，利用x也是整數(shù)判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：原方程可化為x2∵方程x2∴Δ=16∴y2∵y是整數(shù)，∴y=-3，-2，-1，0，1，2當(dāng)y=0時(shí)，原方程可化為x∴x=±151（由于當(dāng)y=1時(shí)，原方程可化為x∴x=2±234（由于當(dāng)y=-1時(shí)，原方程可化為x∴x=-2±234（由于當(dāng)y=2時(shí)，原方程可化為x∴x=4±91（由于當(dāng)y=-2時(shí)，原方程可化為x∴x=-4±91（由于當(dāng)y=3時(shí)，原方程可化為x∴x=2或x當(dāng)y=-3時(shí)，原方程可化為x∴x=-2或x∴原方程的整數(shù)解為：x=2y=3或x=10y即：方程x2-4xy+19y2=151的整數(shù)對(duì)x,故選：C．【點(diǎn)睛】此題是非一次不定方程，主要考查了一元二次方程的有整數(shù)根問(wèn)題．解題的關(guān)鍵是將原方程變形，利用判別式求解．9．（3分）（2024九年級(jí)上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）已知方程x2-2A．0 B．-2 C．2 D．【答案】A【分析】本題主要考查了解一元二次方程．熟練掌握絕對(duì)值的意義，解一元二次方程，分類(lèi)討論，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．根據(jù)已知方程x2-2x-15=0，分【詳解】解：①當(dāng)x>0方程化為：x2即x+3∴x+3=0解得x1=-3（舍去），②當(dāng)x<0方程化為：x2即x-∴x-解得x3=3（舍去），③當(dāng)x=0∴此方程的所有實(shí)數(shù)根的和為：5+-故選：A．10．（3分）（2023·江蘇蘇州·一模）如圖，一塊正方形地磚的圖案是由4個(gè)全等的五邊形和1個(gè)小正方形組成的，已知小正方形的面積和五邊形的面積相等，并且圖中線(xiàn)段a的長(zhǎng)度為10-2，則這塊地磚的面積為（A．50 B．40 C．30 D．20【答案】B【分析】如圖，根據(jù)題意易知，點(diǎn)O為正方形ABCD，EFGH的中心，利用圖中的面積關(guān)系最終可推出14S正方形ABCD=5S△EOF，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為【詳解】解：如圖，根據(jù)題意易知，點(diǎn)O為正方形ABCD，∴S△EOF=14∵S五邊形∴S五邊形∵S五邊形∴14設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2x,則OF∴14?2∵a=∴x=10或∵710∴x=∴S正方形故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等圖形、正方形的性質(zhì)、二次根式的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，利用已知條件，得到各部分圖形之間的面積關(guān)系并列出方程是解題關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿(mǎn)分18分，每小題3分）11．（3分）（24-25九年級(jí)上·山西太原·期中）關(guān)于x的一元二次方程m-3x2+x+【答案】5【分析】本題考查了一元二次方程的定義及一般式，根據(jù)一元二次方程的常數(shù)為0可得m2-8m+15=0【詳解】解：由題意得，m2解得m=3或m∵方程是關(guān)于x的一元二次方程，∴m-∴m≠3∴m=5故答案為：5．12．（3分）（24-25九年級(jí)下·安徽蕪湖·期中）已知α，β是一元二次方程x2+x-【答案】100【分析】本題考查了一元二次方程的解、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2和系數(shù)a，b，c，有如下關(guān)系：x【詳解】解：∵α、β是一元二次方程x2∴α2+α∴α2∴α3∴α==16=16=48-16=-40α∴α=-40=-40=40+60=100．故答案為：100．13．（3分）（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·期中）設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程x2-2x-【答案】8【分析】本題考查一元二次方程的根，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=--21【詳解】解：∵x1，x2是關(guān)于x的方程∴x1∵2x∴x1將x=-2代入x2-解得m=8故答案為：8．14．（3分）（24-25九年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·期中）“程，課程也，二物者二程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程．”這是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)家劉徽對(duì)《九章算術(shù)》中方程一詞給出的注釋?zhuān)畬?duì)于一些特殊的方程，我們給出定義：若兩個(gè)方程有相同的整數(shù)解，則稱(chēng)這兩個(gè)方程為“相伴方程”，已知關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+c=0和一元一次方程2x-【答案】3【分析】本題考查了解一元一次方程，一元二次方程的解，先解一元一次方程得出x=3，再結(jié)合題意得出x=3是一元二次方程【詳解】解：解方程2x-6=0∵關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+c=0∴x=3是一元二次方程x∴32∴c=3故答案為：3．15．（3分）（24-25八年級(jí)下·安徽合肥·期中）實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足b+（1）當(dāng)b=2時(shí)，則a=（2）實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】-1【分析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)式子特點(diǎn)，構(gòu)造一元二次方程：（1）把b=2（2）根據(jù)b+c-1=0,a-bc-1=0【詳解】解：（1）把b=2代入b2+c∴c=-1∴a=2故答案為：-1（2）∵b+∴b+∴b,c可以看作是一元二次方程∴Δ=解得：a≤故答案為：a≤16．（3分）（24-25八年級(jí)下·安徽合肥·期中）如圖，是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周脾算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，圖中的四個(gè)直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面積是小正方形EFGH面積的25倍，那么AEDE=【答案】4【分析】本題主要考查了勾股定理，解一元二次方程，全等三角形的性質(zhì)，設(shè)DE=AF=x，EF=a，則AE=AF+【詳解】解：設(shè)DE=AF=∴S正方形在Rt△AED中，由勾股定理得AD∵大正方形ABCD的面積是小正方形EFGH面積的25倍，∴x2∴x2∴x2∴x+4解得x=3a或∴DE=3∴AEDE故答案為：43第Ⅱ卷三．解答題（共8小題，滿(mǎn)分72分）17．（6分）（24-25八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）按要求解下列關(guān)于x的一元二次方程：(1)2x(2)3x【答案】(1)x(2)x【分析】本題考查了解一元二次方程．（1）根據(jù)公式法解一元二次方程即可；（2）根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：2∴a=2，b=-4，∴Δ=∴x=解得：x（2）3因式分解得3移項(xiàng)得3x提取公因式得3x即2x解得x18．（6分）（24-25八年級(jí)下·浙江寧波·期末）小明準(zhǔn)備進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)操作：把一根長(zhǎng)為32cm(1)要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于34cm(2)小明認(rèn)為，這兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于30cm【答案】(1)3cm，(2)正確，見(jiàn)解析．【分析】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用和一元二次方程根的判定式，找出等量關(guān)系并列出方程是解題的關(guān)鍵．（1）兩個(gè)正方形的周長(zhǎng)之和為32cm，則兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和為8cm，設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則另一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為(8-x（2）先建立方程，再根據(jù)根的判定式判定即可．【詳解】（1）設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則另一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為(8-x)整理得：x2解得x1=3，因此這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是3cm，5（2）兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于30c若兩個(gè)正方形的面積和為30cx2∴x2b2∴此方程無(wú)解，∴兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于30cm19．（8分）（24-25八年級(jí)下·安徽滁州·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程mx(1)判斷此方程根的情況，并說(shuō)明理由．(2)若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，求符合條件的整數(shù)m的值的和．(3)若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1,x【答案】(1)此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，見(jiàn)解析(2)0(3)0【分析】本題考查了根的判別式、方程的解得定義、根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax（1）由根的判別式Δ=（2）根據(jù)韋達(dá)定理知x1+x（3）根據(jù)方程的解得定義得mx12-2m+1【詳解】（1）解：此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．理由：∵Δ∴不論m為何值，2m∴此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2）解：設(shè)方程的兩個(gè)根為x1則x1+x∵此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，∴m的值為±1∴符合條件的整數(shù)m的值的和為0．（3）解：∵x1,∴mx1∴mx1以上兩式相加，可得mx即mx20．（8分）（24-25八年級(jí)下·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以1cms的速度向點(diǎn)B移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以2(1)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PQ的長(zhǎng)度能否為35cm？若能，求出(2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△PDQ的面積能否為10?cm(3)取PQ的中點(diǎn)M，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)∠AMD=90°時(shí)，求【答案】(1)當(dāng)t=3時(shí)PQ的長(zhǎng)度能為3(2)△PDQ的面積能為10(3)t1=6【分析】（1）由題意可知：AP=tcm，BP（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)x秒后△PDQ的面積為10?cm2，則AP=xcm，BP=6-xcm（3）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線(xiàn)為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P0,6-t，Q2t,0，則Mt,3-12t，取AD的中點(diǎn)【詳解】（1）解：PQ的長(zhǎng)度能為35根據(jù)題意可知：AP=tcm，BP∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B在Rt△BPQ中，∴6-解得：t=-53∴當(dāng)t=3時(shí)PQ的長(zhǎng)度能為3（2）解：不能，理由如下：設(shè)運(yùn)動(dòng)x秒后△PDQ的面積為10?cm2，則AP=xcmS△=AB=6×12-1=x=10，即x2∴x∴Δ∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根，∴△PDQ的面積不能為10（3）解：如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線(xiàn)為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P0,6-t，∵PQ的中點(diǎn)為∴M又∵A0,6，∴取AD的中點(diǎn)N6,6，連接MN，則AD∵∠AMD∴MN∴t解得：t1=6，【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理，矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，一元二次方程根的判別式，兩點(diǎn)間的距離公式，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握所涉及到的知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用．21．（10分）（24-25八年級(jí)下·安徽淮北·期末）一元二次方程ax2+b-(1)若此方程一根為1，則a+b(2)當(dāng)x1=-1，x2=2時(shí)，求(3)若-2at=b，x1=m【答案】(1)6(2)a=2；(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解，熟練掌握了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）將x=1代入a（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解；（3）將x1=m，x2=n代入方程，作差，進(jìn)行因式分解得到m-【詳解】（1）解：∵一元二次方程ax2+b-∴將x=1代入，則a∴a+（2）解：∵x1=-1，∴-1+2=2-b解得：a=2，b（3）解：當(dāng)x1=maman①－②得：a即m因m-∴am∴n由題知：2∴2a-ba-22．（10分）（24-25八年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·期末）定義：已知x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若x1<x2<0，且2<x(1)判斷：一元二次方程x2+13x+22=0______“2-3限制方程”（填“是”或(2)若關(guān)于x的一元二次方程x2+k+9x+k2+8=0是“2-3(3)若關(guān)于x的一元二次方程x2+2-mx-2m【答案】(1)不是(2)6(3)-1<m【分析】本題考查了解一元二次方程、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，正確理解“限根方程”的定義是解題關(guān)鍵．（1）先利用因式分解法求出方程的解，再根據(jù)“限根方程”的定義進(jìn)行判斷即可得；（2）先根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=-k-9，x1（3）先利用因式分解法求出方程的兩個(gè)根，再根據(jù)“限根方程”的定義可得m<0，然后分兩種情況，根據(jù)“限根方程”【詳解】（1）解：x2x+11x+11=0x1∴-11<-2<0，∴x2+13x+22=0不是（2）解：x1,x則x1+x∵x1∴x1k2+8+11解得k=5或6當(dāng)k=5時(shí)，x2+14∵-∴不符合題意，舍去，當(dāng)k=6時(shí)，x2+15x+44=0∴k=6（3）解：方程x2+2-∵該方程是“2-3限制方程”，∴m<0當(dāng)-2<m<0時(shí)，2<當(dāng)m<-2時(shí)，2<m-∴m的取值范圍是-1<m<-23．（12分）（23-24八年級(jí)下·安徽安慶·期中）閱讀下列材料：已知實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足2m2+n解：設(shè)2m2+n2=t∴t=±9，∵2m2+上面這種方法稱(chēng)為“換元法”，換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運(yùn)算中，若把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問(wèn)題，并寫(xiě)出解答過(guò)程.(1)已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足2x2+2(2)設(shè)a，b滿(mǎn)足等式a2+b(3)若四個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積為24，求這四個(gè)連續(xù)正整數(shù).【答案】(1)x(2)3(3)這四個(gè)連續(xù)正整數(shù)為1，2，3，4【分析】（1）設(shè)2x2+2y2=m，則m（2）設(shè)a2+b2=m，則m2m-（3）設(shè)最小正整數(shù)為x，則xx+1x+2x+3=24，即：x2+3xx2+3x+2=24本題考查了換元法，換元法是數(shù)學(xué)