第四章：指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)章末測(cè)試一、單選題：1．下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（）A．B．C．（，）D．【答案】B【解析】對(duì)于A，真數(shù)為，而不是，故A不是對(duì)數(shù)函數(shù)；對(duì)于B，底數(shù)為常數(shù)，且，真數(shù)為，且函數(shù)系數(shù)為1，故B是對(duì)數(shù)函數(shù)；對(duì)于C，真數(shù)為常數(shù)，而不是，故C不是對(duì)數(shù)函數(shù)；對(duì)于D，真數(shù)為，而不是，故D不是對(duì)數(shù)函數(shù)．故選：B．2．在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意，因?yàn)椋?，由零點(diǎn)存在定理，故函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為故選：C3．聲強(qiáng)級(jí)Li（單位：dB）為聲強(qiáng)I（單位：）之間的關(guān)系是：，其中指的是人能聽(tīng)到的最低聲強(qiáng)，對(duì)應(yīng)的聲強(qiáng)級(jí)稱(chēng)為聞閾．人能承受的最大聲強(qiáng)為，對(duì)應(yīng)的聲強(qiáng)級(jí)為120dB，稱(chēng)為痛閾．某歌唱家唱歌時(shí)，聲強(qiáng)級(jí)范圍為[70，80]（單位：dB），下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）A．聞閾的聲強(qiáng)級(jí)為0dBB．此歌唱家唱歌時(shí)的聲強(qiáng)范圍（單位：）C．如果聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，對(duì)應(yīng)聲強(qiáng)級(jí)也變?yōu)樵瓉?lái)的2倍D．聲強(qiáng)級(jí)增加10dB，則聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉?lái)的10倍【答案】C【解析】由題意，則，故，當(dāng)時(shí)，dB，A正確；若，即，則；若，即，則，故歌唱家唱歌時(shí)的聲強(qiáng)范圍（單位：），B正確；將對(duì)應(yīng)的聲強(qiáng)級(jí)作商為，C錯(cuò)誤；將對(duì)應(yīng)聲強(qiáng)作商為，D正確.故選：C4．下列圖像表示的函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】四個(gè)圖像中，與x軸垂直的直線和圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，所以四個(gè)圖像都表示函數(shù)的圖像，對(duì)于A，函數(shù)圖像和x軸無(wú)交點(diǎn)，所以無(wú)零點(diǎn)，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，D，函數(shù)圖像和x軸有交點(diǎn)，函數(shù)均有零點(diǎn)，但它們均是不變號(hào)零點(diǎn)，因此都不能用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于C，函數(shù)圖像是連續(xù)不斷的，且函數(shù)圖像與x軸有交點(diǎn)，并且其零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn).故選：C．5．若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在為增函數(shù)，又，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在為增函數(shù)，則該函數(shù)在上也為增函數(shù)，且，由可得.當(dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，則，解得.綜上所述，不等式的解集為.故選：A.6．函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意得，解得，即函數(shù)的定義域是.故選：C.7．若，，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.因?yàn)?，所以，所?所以.故選：B8．已知函數(shù)，，若對(duì)于任意，存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意，得在上的最小值大于等于在上的最小值，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上的最小值為，所以，即.故選:D.二、多項(xiàng)選擇題：9．下列運(yùn)算中正確的是（）A．B．C．若，則D．【答案】BD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，由換底公式可得，故A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)，兩邊分別平方可得，因?yàn)?，所以，故，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，故D正確．故選：BD．10．已知函數(shù)（，），則下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)B．函數(shù)的圖像關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，且最大值為【答案】AD【解析】的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，則，故是偶函數(shù)，因此圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故A正確，B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知:在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由于單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最大值，且最大值為，當(dāng)時(shí)，由于是偶函數(shù)，故最大值為，故D正確，故選：AD11．已知函數(shù)，若方程有六個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)可能的取值為（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】的圖像如圖所示：則要使方程有六個(gè)相異實(shí)根，即使在上有兩個(gè)相異實(shí)根;則解得：.故選：BD.三、填空題：12．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．【答案】【解析】由，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．故答案為：.13．方程的解為_(kāi)__________．【答案】【解析】由且，則，故.故答案為：14．若函數(shù)在上的最大值為4，則a的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．作出的大致圖象，如圖所示．由圖可知，，，因?yàn)樵谏系淖畲笾禐?，所以的取值范圍為．故答案為：四、解答題：15．求下列各式的值：（1）若，求的值.（2）；【答案】（1）或；（2）2【解析】（1）因?yàn)?，所以，即，得，所以?）16．已知實(shí)數(shù)大于0，定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是偶函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值并判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且，所以，解得，又，所以,；設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，所以，所以在上單調(diào)遞增.（2）因?yàn)闉槎x在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，所以，平方得，又因?yàn)閷?duì)任意不等式恒成立，所以，解得.17．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．（1）求a的值；（2）求函數(shù)的值域；（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以時(shí)，是奇函數(shù).所以；（2）由（1）可得，因?yàn)椋傻?，所以，所以，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?；?）由可得，即，可得對(duì)于恒成立，令，則，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，所以，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為．18．已知函數(shù)，，且．（1）證明：在定義域上是增函數(shù)；（2）若，求的取值集合．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1），，，又，，．由，解得，的定義域?yàn)椋睿稳?，且，則．又，，，，即，又在上是增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：在上是增函數(shù)．（2），原不等式可化為，即．由（1）知，是增函數(shù)，．又的定義域?yàn)?，的取值集合?