4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用一、幾種常見的函數(shù)模型1、一次函數(shù)模型：（，為常數(shù)，）2、二次函數(shù)模型：（為常數(shù)，）3、指數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）4、對數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）5、冪函數(shù)模型：（為常數(shù)，）6、分段函數(shù)模型：二、用函數(shù)模型解應(yīng)用問題的四個步驟1、審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；2、建模：將自然語言化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；3、求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型；4、還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題。三、函數(shù)擬合與預(yù)測的一般步驟1、通過原始數(shù)據(jù)、表格，繪出散點圖；2、通過觀察散點圖，畫出擬合直線或擬合曲線；3、求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式；4、根據(jù)擬合誤差要求判斷，選擇最佳的擬合函數(shù)；5、利用選取的擬合函數(shù)進(jìn)行預(yù)測；6、利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件所給問題進(jìn)行預(yù)測和控制，為決策和管理提供依據(jù)。題型一根據(jù)實際問題的增長率選擇合適的函數(shù)模型【例1】在密閉培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會減慢．在一次實驗中，檢測到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量（單位：百萬個）與培養(yǎng)時間（單位：時）的關(guān)系如下表，為了描述從第2小時開始細(xì)菌數(shù)量隨時間變化的關(guān)系，現(xiàn)有以下四種模型供選擇，則最符合實際的函數(shù)模型為（）2345683.53.844.164.34.5A．B．C．D．【答案】A【解析】根據(jù)條件畫出散點圖，依題意，所選函數(shù)必須滿足三個條件：①定義域包含；②是增函數(shù)；③隨著自變量的增加，函數(shù)值的增長速度變?。驗楹瘮?shù)的定義域為，當(dāng)時無意義，故排除B；函數(shù)隨著自變量的增加，函數(shù)值的增長速度變大，故排除C；在上隨著自變量的增加，函數(shù)值的增長速度變大，故排除D．函數(shù)可以同時符合上述條件.故選：A．【變式1-1】今有一組實驗數(shù)據(jù)如下：x23456y1.52.012.985.028.98現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)所滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，作出散點圖，如圖所示，根據(jù)散點圖可知，隨著的增大，的值增大，并且增長速度越來越快，結(jié)合選項：函數(shù)增長速度越來越緩慢，不符合題意；函數(shù)增長速度越來越快，符合題意；函數(shù)，增長速度不變，不符合題意；而函數(shù)，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得，此時與真實數(shù)據(jù)誤差較大，所以最接近的一個函數(shù)是.故選：B.【變式1-2】有一組實驗數(shù)據(jù)如下現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最佳的一個是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】選項A：當(dāng)時，，與相差較多，當(dāng)時，，與相差較多，故選項A不正確；選項B：當(dāng)時，，與相差較多，當(dāng)時，，與相差較多，故選項B不正確；選項C：當(dāng)時，，當(dāng)時，，故選項C正確；選項D：當(dāng)時，，與相差較多，當(dāng)時，，與相差較多，故選項D不正確；故選：C.【變式1-3】一組關(guān)于的觀測數(shù)據(jù)通過的轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)對應(yīng)關(guān)系如表所示：1234513.14.97.18.8則y與t近似滿足這些數(shù)據(jù)的函數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根據(jù)題意求得和的對應(yīng)數(shù)據(jù)，113.14.97.18.8對A，當(dāng)時，和相差較遠(yuǎn)，故排除A，對C，當(dāng)時，和相差較遠(yuǎn)，故排除C，對D，當(dāng)時，，和7.1相差較遠(yuǎn)，故排除D，對B，各個數(shù)據(jù)代入基本符合，故選：B【變式1-4】某地區(qū)植被被破壞，土地沙化越來越嚴(yán)重，最近三年測得沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠增加數(shù)y（萬公頃）關(guān)于年數(shù)x（年）的函數(shù)關(guān)系較為近似的是（）A．y＝0.2xB．y＝（x2＋2x）C．y＝D．y＝0.2＋log16x【答案】C【解析】因為三年測得沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，所以可以看出來不是線性增加，故選項A不符合題意；對于選項B：把分別代入解析式中，得，不符合題意；對于選項C：把分別代入解析式中，得，符合題意，對于選項D：把代入解析式中，得，把代入解析式中，得，把代入解析式中，得，跟選項C來比，選項C更近似，故選：C題型二指數(shù)函數(shù)的模型應(yīng)用【例2】牛奶保鮮時間因儲藏溫度的不同而不同，假定保鮮時間與儲藏溫度之間的函數(shù)關(guān)系是（且），若牛奶放在0℃的冰箱中，保鮮時間是200小時，而在1℃的溫度下則是160小時，而在2℃的溫度下則是128小時.（1）寫出保鮮時間關(guān)于儲藏溫度（℃）的函數(shù)解析式；（2）利用（1）的結(jié)論，若設(shè)置儲藏溫度為3℃的情況下，某人儲藏一瓶牛奶的時間為90至100小時之間，則這瓶牛奶能否正常飲用？（說明理由）【答案】（1）；（2）可以正常飲用【解析】（1）由題意可知解得（2）由（1）知溫度為3℃時保鮮的時間為：小時故可以正常飲用【變式2-1】銀行儲蓄存款是一種風(fēng)險較小的投資方式，將一定數(shù)額的本金存入銀行，約定存期，到期后就可以得到相應(yīng)的利息，從而獲得收益，設(shè)存入銀行的本金為P（元），存期為m（年），年化利率為r，則到期后的利息（元）．以下為上海某銀行的存款利率：存期一年二年三年年化利率1.75%2.25%2.75%（1）洪老師將10萬元在上海某銀行一次性存滿二年，求到期后的本息和（本金與利息的總和）；（2）杜老師準(zhǔn)備將10萬元在上海某銀行存三年，有以下三種方案：方案①：一次性存滿三年；方案②：先存二年，再存一年；方案③：先存一年，再續(xù)存一年，然后再續(xù)存一年；通過計算三種方案的本息和（精確到小數(shù)點后2位）判斷哪一種方案更合算，并基于該實際結(jié)果給予杜老師一般性的銀行儲蓄存款的建議．【答案】（1）10.45萬元；（2）方案①，建議見解析.【解析】（1）由題意，，，故所以，到期后的本息和為104500元，即10.45萬元；（2）方案①為單利模型，方案②③為復(fù)利模型，三種方案到期后的本息和計算如下．方案①：；方案②：方案③：由于方案①的本息和大于方案②的本息和，方案②的本息和大于方案③的本息和，故方案①最合算，其次是方案②，最后是方案③，議杜老師在銀行儲蓄存款時，對于確定的本金和存期，選擇一次性存滿存期的方式最合算，即本息和最大；如果無法一次性存滿存期，盡量選擇較長的存期進(jìn)行拆分時更合算，即本息和更大．【變式2-2】甲、乙兩城市現(xiàn)有人口總數(shù)都為100萬人，甲城市人口的年自然增長率為1.2%，乙城市每年增長人口1.3萬.試解答下面的問題：（1）寫出兩城市的人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；（2）計算10年、20年、30年后兩城市的人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；（3）對兩城市人口增長情況作出分析.參考數(shù)據(jù)：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430.【答案】（1）甲城市人口總數(shù)，乙城市人口總數(shù)；（2）見解析；（3）甲、乙兩城市人口都逐年增長，而甲城市人口增長的速度快些，呈指數(shù)增長型，乙城市人口增長緩慢，呈線性增長.從中可以體會到，不同的函數(shù)增長模型，增長變化存在很大差異.【解析】（1）1年后甲城市人口總數(shù)為100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；2年后甲城市人口總數(shù)為100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；3年后甲城市人口總數(shù)為100×(1＋1.2%)3；…；x年后甲城市人口總數(shù)為＝100×(1＋1.2%)x.x年后乙城市人口總數(shù)為＝100＋1.3x.（2）10年、20年、30年后，甲、乙兩城市人口總數(shù)(單位：萬人)如表所示.10年后20年后30年后甲112.7126.9143.0乙113126139（3）甲、乙兩城市人口都逐年增長，而甲城市人口增長的速度快些，呈指數(shù)增長型，乙城市人口增長緩慢，呈線性增長.從中可以體會到，不同的函數(shù)增長模型，增長變化存在很大差異.【變式2-3】為了做好新冠疫情防控工作，某學(xué)校要求全校各班級每天利用課間操時間對各班教室進(jìn)行藥熏消毒.現(xiàn)有一種備選藥物，根據(jù)測定，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥含量（單位：mg）隨時間（單位：）的變化情況如圖所示，在藥物釋放的過程中與成正比，藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系為（為常數(shù)），其圖象經(jīng)過，根據(jù)圖中提供的信息，解決下面的問題.（1）求從藥物釋放開始，與的函數(shù)關(guān)系式；（2）據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的藥物含量降低到mg以下時，才能保證對人身無害，若該校課間操時間為分鐘，據(jù)此判斷，學(xué)校能否選用這種藥物用于教室消毒？請說明理由.【答案】（1）；（2）可以，理由見解析.【解析】（1）依題意，當(dāng)時，設(shè)，因函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，即，解得，又當(dāng)時，，解得，而圖象過點，則，因此，所以與的函數(shù)關(guān)系式是.（2）由（1）知，因藥物釋放完畢后有，，則當(dāng)空氣中每立方米的藥物含量降低到mg以下，有，解得：，因此至少需要36分鐘后才能保證對人身無害，而課間操時間為分鐘，所以學(xué)校可以選用這種藥物用于教室消毒.題型三對數(shù)函數(shù)的模型應(yīng)用【例3】盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報地震，但科學(xué)家們通過研究，已經(jīng)對地震有所了解.例如，地震釋放出的能量（單位：焦耳）與地震級數(shù)之間的關(guān)系式為.若某次地震釋放出的能量是另一次地震釋放出的能量的3000倍，則兩次地震的震級數(shù)大約相差（

）（參考數(shù)據(jù)：A．B．C．2.2D．【答案】C【解析】設(shè)某次地震釋放出的能量為，級數(shù)為，另一次為，級數(shù)為，故＝3000，代入關(guān)系式可得，，故，即，＝3000，∴．故選：C.【變式3-1】中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式:.它表示:在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內(nèi)信號的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，而將信噪比從1000提升到8000，則大約增加了（）A．10%B．20%C．30%D．50%【答案】C【解析】由題意可知，，，故提升了，故選：C．【變式3-2】有一種候鳥每年都按一定的路線遷陟，飛往繁殖地產(chǎn)卵．科學(xué)家經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù)，單位是，其中表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù)，表示測量過程中候鳥每分鐘的耗氧偏差．（參考數(shù)據(jù)：，，）（1）若=3，候鳥每分鐘的耗氧量為8100個單位時，它的飛行速度是多少？（2）若=6，候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為多少個單位？（3）若雄鳥的飛行速度為，雌鳥的飛行速度為，那么此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘的耗氧量的多少倍？【答案】（1）；（2）555；（3）9【解析】（1）因為候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù)，所以將，代入函數(shù)式可得：故此時候鳥飛行速度為（2）因為候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù)，將，代入函數(shù)式可得：即所以于是．故候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為555個單位．（3）設(shè)雄鳥每分鐘的耗氧量為，雌鳥每分鐘的耗氧量為，依題意可得：，兩式相減可得：，于是．故此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘的耗氧量的9倍．【變式3-3】根據(jù)專家對高一學(xué)生上課注意力進(jìn)行的研究，發(fā)現(xiàn)注意力集中程度的指數(shù)與聽課時間之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線．當(dāng)時，曲線是二次函數(shù)圖像的一部分，其中頂點，且過點；當(dāng)時，曲線是函數(shù)圖像的一部分．專家認(rèn)為，當(dāng)指數(shù)大于或等于時定義為聽課效果最佳．（1）試求的函數(shù)關(guān)系式；（2）若不是聽課效果最佳，建議老師多提問，增加學(xué)生活動環(huán)節(jié)，問在什么時間段老師多提問，增加學(xué)生活動環(huán)節(jié)？【答案】（1）（2）當(dāng)和這兩個時間段老師多提問，增加活動環(huán)節(jié)【解析】（1），，將代入得所以時，將代入得所以時，所以（2），得當(dāng)，得所以當(dāng)和這兩個時間段老師多提問，增加活動環(huán)節(jié)．題型四建立擬合函數(shù)模型解決實際問題【例4】某大型家電商場，在一周內(nèi)，計劃銷售、兩種電器，已知這兩種電器每臺的進(jìn)價都是萬元，若廠家規(guī)定，一家商場進(jìn)貨的臺數(shù)不高于的臺數(shù)的倍，且進(jìn)貨至少臺，而銷售、的售價分別為元/臺和元/臺，若該家電商場每周可以用來進(jìn)貨、的總資金為萬元，所進(jìn)電器都能銷售出去，則該商場在一個周內(nèi)銷售、電器的總利潤（利潤售價進(jìn)價）的最大值為（）A．萬元B．萬元C．萬元D．萬元【答案】D【解析】設(shè)該賣場在一周內(nèi)進(jìn)貨的臺數(shù)為臺，則一周內(nèi)進(jìn)貨的臺數(shù)為，設(shè)該賣場在一周內(nèi)銷售、電器的利潤為萬元，由題意可得，可得，且，，函數(shù)隨著的增大而增大，故（萬元）.故選：D.【變式4-1】茶文化起源于中國，中國飲茶據(jù)說始于神農(nóng)時代．現(xiàn)代研究結(jié)果顯示，飲茶溫度最好不要超過．一杯茶泡好后置于室內(nèi)，1分鐘、2分鐘后測得這杯茶的溫度分別為，，給出三個茶溫T（單位：）關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時間t（單位：分鐘）的函數(shù)模型：①；②；③．根據(jù)生活常識，從這三個函數(shù)模型中選擇一個，模擬茶溫T（單位：）關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時間t（單位：分鐘）的關(guān)系，并依此計算該杯茶泡好后到飲用至少需要等待的時間為（參考數(shù)據(jù)）（）A．2.72分鐘B．2.82分鐘C．2.92分鐘D．3.02分鐘【答案】B【解析】依據(jù)生活常識，茶溫一般不會低于室內(nèi)溫度，因此選擇模型③，得到解得因此