2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試題庫(kù)——統(tǒng)計(jì)與決策方法解析與應(yīng)用試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述參數(shù)估計(jì)的基本思想。在什么情況下通常采用大樣本估計(jì)方法？并說(shuō)明中心極限定理在參數(shù)估計(jì)中的作用。二、設(shè)總體服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\)未知。從該總體中抽取一個(gè)容量為\(n\)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本均值為\(\bar{X}\)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為\(S\)。1.寫出總體均值\(\mu\)的\(1-\alpha\)置信區(qū)間的計(jì)算公式。2.在檢驗(yàn)假設(shè)\(H_0:\mu=\mu_0\)vs\(H_1:\mu\neq\mu_0\)時(shí)，說(shuō)明應(yīng)選擇何種檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并寫出其分布形式（在\(H_0\)為真時(shí)）。3.解釋犯第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤的含義，并說(shuō)明兩者之間通常存在怎樣的制約關(guān)系。三、在一項(xiàng)關(guān)于廣告效果的研究中，研究者想比較兩種不同廣告方案（方案A和方案B）對(duì)產(chǎn)品購(gòu)買意愿的影響。隨機(jī)抽取了200名潛在消費(fèi)者，其中100人接觸方案A廣告，100人接觸方案B廣告。一個(gè)月后，調(diào)查發(fā)現(xiàn)接觸方案A的消費(fèi)者中有65人表示會(huì)購(gòu)買該產(chǎn)品，接觸方案B的消費(fèi)者中有55人表示會(huì)購(gòu)買。1.描述本問題中可以使用的假設(shè)檢驗(yàn)方法。2.運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒z驗(yàn)兩種廣告方案在產(chǎn)品購(gòu)買意愿上是否存在顯著差異（顯著性水平\(\alpha=0.05\)）。請(qǐng)寫出檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量、拒絕域，并說(shuō)明你的結(jié)論。3.如果要進(jìn)一步估計(jì)兩種方案購(gòu)買意愿的比例差\(\pi_A-\pi_B\)，請(qǐng)給出一個(gè)\(95\%\)的置信區(qū)間，并解釋區(qū)間的含義。四、某公司經(jīng)理希望了解員工的工作滿意度與其工作年限之間是否存在關(guān)系。他隨機(jī)抽取了30名員工，記錄了他們的工作年限（年）和工作滿意度評(píng)分（滿分100分）。初步分析發(fā)現(xiàn)，工作年限與滿意度評(píng)分之間存在一定的線性趨勢(shì)。1.寫出簡(jiǎn)單線性回歸模型\(Y=\beta_0+\beta_1X+\epsilon\)中各符號(hào)的含義，并說(shuō)明\(\beta_1\)在本問題中的實(shí)際意義。2.描述如何利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)回歸模型中的參數(shù)\(\beta_0\)和\(\beta_1\)。3.解釋線性回歸模型中\(zhòng)(F\)檢驗(yàn)的用途，并寫出檢驗(yàn)回歸模型整體線性顯著性（即\(H_0:\beta_1=0\)）的\(F\)統(tǒng)計(jì)量公式。4.假設(shè)通過(guò)數(shù)據(jù)分析得到回歸方程為\(\hat{Y}=50+2X\)，請(qǐng)預(yù)測(cè)一名工作年限為5年的員工的滿意度評(píng)分（點(diǎn)預(yù)測(cè)），并說(shuō)明這種預(yù)測(cè)的局限性。五、某工廠生產(chǎn)一批零件，其重量服從正態(tài)分布。為了檢查生產(chǎn)過(guò)程的穩(wěn)定性，質(zhì)檢員隨機(jī)抽取了25個(gè)零件，測(cè)得樣本均值重量為50.5克，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為0.8克。1.檢驗(yàn)該批零件的平均重量是否顯著大于50克（顯著性水平\(\alpha=0.01\)）。2.求該批零件重量標(biāo)準(zhǔn)差\(\sigma\)的\(95\%\)置信區(qū)間。3.如果要求零件重量的標(biāo)準(zhǔn)差不超過(guò)1克，根據(jù)本樣本數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)過(guò)程滿足這一要求？請(qǐng)說(shuō)明理由。六、假設(shè)一家超市對(duì)某種商品的銷售量\(Y\)（單位：件）與廣告投入\(X_1\)（單位：千元）以及商店位置等級(jí)\(X_2\)（等級(jí)用1到5表示）之間的關(guān)系感興趣。他們收集了15周的銷售數(shù)據(jù)。1.寫出多元線性回歸模型來(lái)描述\(Y\)與\(X_1\)、\(X_2\)之間的關(guān)系。2.解釋多元線性回歸模型中總離差平方和（SST）、回歸平方和（SSR）和殘差平方和（SSE）的意義。3.在多元線性回歸分析中，如何判斷模型的整體擬合效果是否顯著？4.假設(shè)模型分析結(jié)果顯示，廣告投入\(X_1\)的回歸系數(shù)估計(jì)值為2.5，且其對(duì)應(yīng)的\(p\)-值小于0.05，解釋這一結(jié)果的含義。七、某研究機(jī)構(gòu)想了解城市居民對(duì)公共交通的滿意度。他們計(jì)劃進(jìn)行一項(xiàng)抽樣調(diào)查，要求估計(jì)的總體滿意度比例的抽樣誤差不超過(guò)0.05（在95%置信水平下），并且置信區(qū)間寬度盡可能窄。1.如果假設(shè)沒有關(guān)于總體比例\(\pi\)的先驗(yàn)信息，需要抽取多大的樣本量？2.如果根據(jù)以往調(diào)查，估計(jì)總體滿意度的比例約為70%，那么在同樣的置信水平和抽樣誤差要求下，需要抽取的樣本量是多少？3.比較這兩個(gè)樣本量，并解釋為什么第二個(gè)樣本量更小。在實(shí)際抽樣時(shí)，如何確定更準(zhǔn)確的先驗(yàn)比例以優(yōu)化樣本量？八、某投資者對(duì)兩種股票A和B的回報(bào)率感興趣。他收集了過(guò)去10年這兩種股票的年度回報(bào)率數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)股票A的回報(bào)率標(biāo)準(zhǔn)差為15%，股票B的回報(bào)率標(biāo)準(zhǔn)差為25%。假設(shè)兩種股票的回報(bào)率均服從正態(tài)分布。1.在顯著性水平\(\alpha=0.10\)下，檢驗(yàn)兩種股票回報(bào)率的方差是否存在顯著差異。2.如果方差無(wú)顯著差異，請(qǐng)構(gòu)造兩種股票平均回報(bào)率之差\(\mu_A-\mu_B\)的\(95\%\)置信區(qū)間。如果方差有顯著差異，應(yīng)使用何種方法構(gòu)造置信區(qū)間？請(qǐng)說(shuō)明。3.在進(jìn)行上述檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)時(shí)，最關(guān)鍵的假設(shè)條件是什么？如果該假設(shè)條件不滿足，可能會(huì)對(duì)結(jié)論產(chǎn)生什么影響？試卷答案一、參數(shù)估計(jì)是指利用樣本信息推斷總體參數(shù)的方法。其基本思想是用樣本的統(tǒng)計(jì)量（如樣本均值、樣本方差）來(lái)估計(jì)總體的參數(shù)（如總體均值、總體方差）。當(dāng)總體分布未知或樣本量較小（通常\(n<30\)）時(shí)，需要利用總體的具體分布（如正態(tài)分布）來(lái)進(jìn)行估計(jì)。大樣本估計(jì)方法通?；谥行臉O限定理，該定理指出：無(wú)論總體分布如何，當(dāng)樣本量足夠大時(shí)（通常\(n\geq30\)），樣本均值的分布近似于正態(tài)分布。這使得在大樣本情況下，即使總體方差未知，也可以使用\(Z\)統(tǒng)計(jì)量或\(t\)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。中心極限定理是大樣本估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的理論基礎(chǔ)。二、1.總體均值\(\mu\)的\(1-\alpha\)置信區(qū)間為：\(\left(\bar{X}-t_{\alpha/2,n-1}\frac{S}{\sqrt{n}},\bar{X}+t_{\alpha/2,n-1}\frac{S}{\sqrt{n}}\right)\)。2.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為\(t\)統(tǒng)計(jì)量：\(t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\)。當(dāng)\(H_0\)為真時(shí)，該統(tǒng)計(jì)量服從自由度為\(n-1\)的\(t\)分布，即\(t\simt_{n-1}\)。3.第一類錯(cuò)誤是指假設(shè)\(H_0\)為真，但錯(cuò)誤地拒絕了\(H_0\)的錯(cuò)誤。犯第一類錯(cuò)誤的概率用\(\alpha\)表示。第二類錯(cuò)誤是指假設(shè)\(H_0\)為假，但錯(cuò)誤地接受了\(H_0\)的錯(cuò)誤。犯第二類錯(cuò)誤的概率用\(\beta\)表示。兩者之間存在制約關(guān)系：通常情況下，減小\(\alpha\)會(huì)增大\(\beta\)，反之亦然。在實(shí)際應(yīng)用中，需要在兩者之間進(jìn)行權(quán)衡。三、1.可以使用二項(xiàng)分布比較法（對(duì)比例進(jìn)行檢驗(yàn)）或卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)（對(duì)分類數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)）。對(duì)于本問題，比較兩種方案購(gòu)買意愿的比例差異，使用二項(xiàng)分布比較法（檢驗(yàn)\(H_0:\pi_A=\pi_B\)vs\(H_1:\pi_A\neq\pi_B\)）或卡方檢驗(yàn)更合適。2.方法一：使用二項(xiàng)分布比較法。*合并比例：\(\hat{\pi}=\frac{65+55}{100+100}=0.6\)。*在\(H_0:\pi_A=\pi_B=0.6\)下，方案A的購(gòu)買人數(shù)期望為\(100\times0.6=60\)，方案B的購(gòu)買人數(shù)期望為\(100\times0.6=60\)。*觀察值與期望值的差異：\(|65-60|+|55-60|=10\)。*在\(H_0\)下，差異\(D=|X_A-X_B|\)近似服從\(N(0,2\times100\times0.6\times(1-0.6))=N(0,48)\)分布。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量\(Z=\frac{D}{\sqrt{48}}=\frac{10}{\sqrt{48}}\approx1.44\)。*拒絕域：\(Z<-z_{\alpha/2}\text{或}Z>z_{\alpha/2}\)。對(duì)于\(\alpha=0.05\)，\(z_{0.025}\approx1.96\)。*結(jié)論：由于\(1.44\)不在拒絕域內(nèi)，不能拒絕\(H_0\)。即沒有足夠證據(jù)表明兩種方案在購(gòu)買意愿上存在顯著差異。方法二：使用卡方檢驗(yàn)。*構(gòu)造列聯(lián)表：||購(gòu)買|不購(gòu)買|合計(jì)||----------------|------------|-------------|-----------||方案A|65|35|100||方案B|55|45|100||合計(jì)|120|80|200|*期望頻數(shù)計(jì)算（基于\(H_0\)）：||購(gòu)買|不購(gòu)買||----------------|------------|-------------||方案A|60|40||方案B|60|40|*卡方統(tǒng)計(jì)量：\(\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}=\frac{(65-60)^2}{60}+\frac{(35-40)^2}{40}+\frac{(55-60)^2}{60}+\frac{(45-40)^2}{40}=\frac{25}{60}+\frac{25}{40}+\frac{25}{60}+\frac{25}{40}\approx1.04+0.63+0.42+0.63=2.72\)。*拒絕域：\(\chi^2>\chi^2_{\alpha,1}=\chi^2_{0.05,1}\approx3.841\)。*結(jié)論：由于\(2.72<3.841\)，不能拒絕\(H_0\)。即沒有足夠證據(jù)表明兩種方案在購(gòu)買意愿上存在顯著差異。3.\(95\%\)置信區(qū)間為：\(\left(\hat{\pi}_A-\hat{\pi}_B\pmz_{0.025}\sqrt{\frac{\hat{\pi}_A(1-\hat{\pi}_A)}{n_A}+\frac{\hat{\pi}_B(1-\hat{\pi}_B)}{n_B}}\right)\)。\(\hat{\pi}_A=0.65,\hat{\pi}_B=0.55,n_A=100,n_B=100,z_{0.025}\approx1.96\)。區(qū)間為：\((0.65-0.55\pm1.96\sqrt{\frac{0.65\times0.35}{100}+\frac{0.55\times0.45}{100}})\)。\((0.1\pm1.96\sqrt{0.002275+0.002475})=(0.1\pm1.96\sqrt{0.00475})=(0.1\pm1.96\times0.0689)=(0.1\pm0.135)\)。區(qū)間為\((-0.035,0.235)\)。含義：我們有95%的置信度認(rèn)為，方案A的購(gòu)買意愿比例與方案B的購(gòu)買意愿比例之差在-3.5%到23.5%之間。由于區(qū)間包含0，這支持了兩種方案比例無(wú)顯著差異的結(jié)論。四、1.\(Y\)是因變量（員工工作滿意度評(píng)分），\(X\)是自變量（員工工作年限）。\(\beta_0\)是回歸常數(shù)，表示當(dāng)工作年限\(X=0\)時(shí)員工滿意度的期望值（在本情境下可能無(wú)實(shí)際意義）。\(\beta_1\)是回歸系數(shù)，表示工作年限\(X\)每增加一個(gè)單位（年），員工滿意度評(píng)分\(Y\)平均變化的量（期望增量）。2.最小二乘法是估計(jì)回歸參數(shù)\(\beta_0\)和\(\beta_1\)的常用方法。通過(guò)使殘差平方和\(\sum(Y_i-\hat{Y}_i)^2\)最小來(lái)確定\(\beta_0\)和\(\beta_1\)的估計(jì)值\(\hat{\beta}_0\)和\(\hat{\beta}_1\)。具體公式為：\(\hat{\beta}_1=\frac{\sum(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{\sum(X_i-\bar{X})^2}\)\(\hat{\beta}_0=\bar{Y}-\hat{\beta}_1\bar{X}\)3.\(F\)檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)多元線性回歸模型的整體線性顯著性，即檢驗(yàn)所有自變量\(X_1,X_2,\ldots,X_k\)的系數(shù)是否同時(shí)為零。其零假設(shè)\(H_0\)為\(X_1,X_2,\ldots,X_k\)的系數(shù)全為零（模型不顯著）。\(F\)統(tǒng)計(jì)量公式為：\(F=\frac{SSR/k}{SSE/(n-k-1)}\)其中，\(SSR\)是回歸平方和，\(SSE\)是殘差平方和，\(n\)是樣本量，\(k\)是自變量的個(gè)數(shù)。4.點(diǎn)預(yù)測(cè)值為\(\hat{Y}=50+2\times5=60\)克。局限性在于：點(diǎn)預(yù)測(cè)只給出一個(gè)單一的預(yù)測(cè)值，沒有考慮隨機(jī)誤差的存在，沒有給出預(yù)測(cè)的精度或不確定性范圍。實(shí)際滿意度評(píng)分可能圍繞這個(gè)值波動(dòng)。應(yīng)計(jì)算預(yù)測(cè)區(qū)間以量化預(yù)測(cè)精度。五、1.檢驗(yàn)假設(shè)\(H_0:\mu=50\)vs\(H_1:\mu>50\)。*檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：\(t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}=\frac{50.5-50}{0.8/\sqrt{25}}=\frac{0.5}{0.16}=3.125\)。*自由度\(df=n-1=25-1=24\)。*拒絕域：\(t>t_{\alpha,df}=t_{0.01,24}\approx2.492\)。*結(jié)論：由于\(3.125>2.492\)，拒絕\(H_0\)。即有足夠證據(jù)認(rèn)為該批零件的平均重量顯著大于50克。2.\(\sigma\)的\(95\%\)置信區(qū)間為：\(\left(\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2,n-1}}},\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,n-1}}}\right)\)。\(\alpha=0.05\)，\(n-1=24\)，\(S^2=0.8^2=0.64\)。\(\chi^2_{0.025,24}\approx39.364\)，\(\chi^2_{0.975,24}\approx12.401\)。區(qū)間為：\(\left(\sqrt{\frac{24\times0.64}{39.364}},\sqrt{\frac{24\times0.64}{12.401}}\right)=\left(\sqrt{\frac{15.36}{39.364}},\sqrt{\frac{15.36}{12.401}}\right)\)。\(\approx\left(\sqrt{0.389},\sqrt{1.236}\right)\approx(0.624,1.112)\)。含義：我們有95%的置信度認(rèn)為，該批零件重量的標(biāo)準(zhǔn)差在0.624克到1.112克之間。3.檢驗(yàn)假設(shè)\(H_0:\sigma\leq1\)vs\(H_1:\sigma>1\)。*檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：\(\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}=\frac{24\times0.64}{1^2}=15.36\)。*拒絕域：\(\chi^2>\chi^2_{\alpha,df}=\chi^2_{0.05,24}\approx36.415\)。*結(jié)論：由于\(15.36<36.415\)，不能拒絕\(H_0\)。即根據(jù)本樣本數(shù)據(jù)，沒有足夠證據(jù)認(rèn)為生產(chǎn)過(guò)程不滿足零件重量標(biāo)準(zhǔn)差不超過(guò)1克的要求。六、1.模型為：\(Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\epsilon\)。其中\(zhòng)(Y\)是因變量（銷售量），\(X_1\)是自變量（廣告投入），\(X_2\)是自變量（商店位置等級(jí)）。\(\beta_0\)是截距項(xiàng)，\(\beta_1\)是廣告投入\(X_1\)的系數(shù)，表示廣告投入每增加一個(gè)單位，銷售量平均變化的量。\(\beta_2\)是位置等級(jí)\(X_2\)的系數(shù)，表示位置等級(jí)每提高一個(gè)等級(jí)，銷售量平均變化的量。2.SST=\(\sum(Y_i-\bar{Y})^2\)是總離差平方和，衡量因變量\(Y\)的總變異量。SSR=\(\sum(\hat{Y}_i-\bar{Y})^2\)是回歸平方和，衡量由模型中自變量的變化所解釋的因變量\(Y\)的變異量。SSE=\(\sum(Y_i-\hat{Y}_i)^2\)是殘差平方和，衡量模型未能解釋的因變量\(Y\)的變異量。滿足關(guān)系：SST=SSR+SSE。3.使用\(F\)檢驗(yàn)判斷模型的整體擬合效果是否顯著。零假設(shè)\(H_0\)為所有自變量的系數(shù)（\(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_k\)）全為零，即模型不顯著。備擇假設(shè)\(H_1\)為至少有一個(gè)自變量的系數(shù)不為零，即模型顯著。計(jì)算\(F\)統(tǒng)計(jì)量：\(F=\frac{SSR/k}{SSE/(n-k-1)}\)。如果計(jì)算得到的\(F\)值大于其臨界值\(F_{\alpha,k,n-k-1}\)，則拒絕\(H_0\)，認(rèn)為模型整體擬合效果顯著。4.廣告投入\(X_1\)的回歸系數(shù)估計(jì)值為2.5，其對(duì)應(yīng)的\(p\)-值小于0.05。這意味著在顯著性水平\(\alpha=0.05\)下，拒絕\(H_0:\beta_1=0\)（即認(rèn)為廣告投入對(duì)銷售量沒有影響）?？梢越忉尀椋涸诳刂粕痰晡恢玫燃?jí)\(X_2\)的影響后，廣告投入\(X_1\)對(duì)銷售量\(Y\)具有統(tǒng)計(jì)上顯著的線性影響。每增加一單位廣告投入，預(yù)計(jì)銷售量會(huì)增加2.5單位。七、1.在沒有先驗(yàn)信息時(shí)，使用正態(tài)近似，所需樣本量\(n\)滿足：\(n\geq\left(\frac{z_{\alpha/2}\sigma}{E}\right)^2\)。由于總體標(biāo)準(zhǔn)差\(\sigma\)未知，通常用歷史數(shù)據(jù)或預(yù)調(diào)查的估計(jì)值代替。若完全無(wú)信息，可能無(wú)法計(jì)算。假設(shè)能估計(jì)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差值，例如\(\sigma\approx15\)。對(duì)于\(\alpha=0.05\)，\(z_{0.025}\approx1.96\)，要求\(E=0.05\)。\(n\geq\left(\frac{1.96\times15}{0.05}\right)^2=\left(\frac{29.4}{0.05}\right)^2=(588)^2=345744\)。需要至少345744個(gè)樣本。2.如果估計(jì)總體滿意度的比例約為\(\hat{\pi}=0.7\)，使用正態(tài)近似，所需樣本量\(n\)滿足：\(n\geq\frac{z_{\alpha/2}^2\hat{\pi}(1-\hat{\pi})}{E^2}\)。\(n\geq\frac{(1.96)^2\times0.7\times(1-0.7)}{0.05^2}=\frac{3.8416\times0.21}{0.0025}=\frac{0.806736}{0.0025}=322.6944\)。需要至少322.6944個(gè)樣本，向上取整，即需要至少323個(gè)樣本。3.比較兩個(gè)樣本量：使用先驗(yàn)比例\(\hat{\pi}=0.7\)時(shí)，樣本量\(n=323\)；無(wú)先驗(yàn)信息時(shí)（假設(shè)\(\sigma\approx15\)），樣本量\(n=345744\)。使用先驗(yàn)比例顯著減小了所需樣本量。在實(shí)際抽樣時(shí)，應(yīng)盡可能收集關(guān)于總體比例\(\pi\)或標(biāo)準(zhǔn)差\(\sigma\)的先驗(yàn)信息或進(jìn)行小規(guī)模預(yù)調(diào)查，以更準(zhǔn)確地估計(jì)所需樣本量，從而優(yōu)化抽樣效率和成本。先驗(yàn)信息越準(zhǔn)確，所需樣本量通常越少。八、1.檢驗(yàn)假設(shè)\(H_0:\sigma_A^2=\sigma_B^2\)vs\(H_1:\sigma_A^2\neq\sigma_B^2\)。*檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：\(F=\frac{S_B^2}{S_A^2}=\frac{25^2}{15^2}=\frac{625}{225}\approx2.78\)。*自由度：\(df_1=n_B-1=10-1=9\)，\(df_2=n_A-1=10-1=9\)。*拒絕域：\(F<F_{1-\alpha/2,df_1,df_2}\text{或}F>F_{\alpha/2,df_1,df_2}\)。對(duì)于\(\alpha=0.10\)，\(F_{0.05,9,9}\approx3.18\)。*結(jié)論：由于\(2.78\)不在拒絕域內(nèi)（\(2.78\)介于\(F_{0.95,9,9}\approx0.312\)和\(F_{0.05,9,9}\approx3.18\)之間），不能拒絕\(H_0\)。即沒有足夠證據(jù)表明兩種股票回報(bào)率的方差