高一上學(xué)期共享革命與數(shù)學(xué)再思考試題一、集合與不等式：共享資源的邊界構(gòu)建在共享經(jīng)濟(jì)模式中，用戶群體的劃分、資源分配的邊界問題，本質(zhì)上與數(shù)學(xué)中的集合概念高度契合。某共享單車企業(yè)在A市運(yùn)營時(shí)，將用戶分為"活躍用戶"（每周騎行≥5次）、"普通用戶"（每周騎行2-4次）和"低頻用戶"（每周騎行≤1次）三類，分別對(duì)應(yīng)集合A、B、C。已知該市總注冊(cè)用戶為120萬人，其中集合A與B的交集有8萬人，B與C的交集有15萬人，A與C的交集有3萬人，三類用戶均不屬于的群體占總用戶的1/5。若用card(X)表示集合X的元素個(gè)數(shù)，試回答：用集合符號(hào)表示"既非活躍用戶也非低頻用戶"的群體，并計(jì)算該群體人數(shù)；若活躍用戶中70%使用月卡，普通用戶中40%使用月卡，低頻用戶中10%使用月卡，且月卡用戶續(xù)訂率與騎行頻次正相關(guān)：活躍用戶續(xù)訂率為80%，普通用戶為50%，低頻用戶為20%?，F(xiàn)從所有月卡用戶中隨機(jī)抽取1人，求該用戶為普通用戶且續(xù)訂的概率（精確到小數(shù)點(diǎn)后三位）；企業(yè)計(jì)劃推出"區(qū)域共享套餐"，將市區(qū)劃分為東西南北四個(gè)區(qū)域，用戶跨區(qū)域騎行需額外付費(fèi)。已知用戶在區(qū)域間的流動(dòng)概率矩陣如下：起始區(qū)域\目的區(qū)域東西南北東0.60.20.10.1西0.10.70.10.1南0.20.10.50.2北0.10.20.20.5若某用戶初始在東區(qū)，試計(jì)算其第三騎行目的地仍在東區(qū)的概率。（解答提示：本題綜合考查集合運(yùn)算、條件概率與全概率公式、矩陣乘法等知識(shí)，需注意在計(jì)算條件概率時(shí)，先確定樣本空間為"所有月卡用戶"，再利用貝葉斯公式求解）二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)：共享平臺(tái)的動(dòng)態(tài)優(yōu)化共享充電寶的租借價(jià)格受時(shí)段、位置、供需關(guān)系等多重因素影響，呈現(xiàn)明顯的函數(shù)特征。某品牌充電寶在寫字樓A的租借價(jià)格p（元/小時(shí)）與時(shí)間t（小時(shí)，t∈[0,24)）的關(guān)系滿足函數(shù)p(t)=0.5sin(πt/12-π/3)+1.5，同時(shí)該時(shí)段的租借需求量q（單位：個(gè)/小時(shí)）與價(jià)格的關(guān)系近似為q(p)=120-30p。求該充電寶在一天中價(jià)格的最大值與最小值，并指出對(duì)應(yīng)的時(shí)間段；建立租借收入函數(shù)R(t)=p(t)·q(p(t))，求t∈[8,20]（工作時(shí)段）內(nèi)的收入最大值點(diǎn)；為實(shí)現(xiàn)資源優(yōu)化配置，平臺(tái)采用動(dòng)態(tài)調(diào)價(jià)策略：當(dāng)某區(qū)域充電寶剩余量低于20%時(shí)，啟動(dòng)價(jià)格上浮機(jī)制。已知寫字樓A共有100個(gè)充電艙位，每個(gè)用戶平均租借時(shí)長為2小時(shí)，且歸還概率服從λ=0.5的指數(shù)分布（即歸還時(shí)間T的概率密度函數(shù)為f(t)=0.5e^(-0.5t)）。若當(dāng)前10:00時(shí)所有艙位均已借出，求12:00時(shí)剩余電量低于20%的概率（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）。（拓展思考：在實(shí)際運(yùn)營中，價(jià)格函數(shù)往往不是簡單的三角函數(shù)模型，而是結(jié)合大數(shù)據(jù)分析的復(fù)雜分段函數(shù)。當(dāng)考慮天氣因素時(shí)，可引入修正項(xiàng)ω(t)=0.3cos(π(t-8)/12)（t∈[8,20]），此時(shí)收入函數(shù)的極值點(diǎn)會(huì)如何移動(dòng)？）三、三角函數(shù)與向量：共享空間的幾何規(guī)劃某共享辦公空間要設(shè)計(jì)六邊形開放式工位區(qū)，其平面結(jié)構(gòu)可抽象為正六邊形ABCDEF，中心為O點(diǎn)。已知正六邊形邊長為4米，建立以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸正方向的平面直角坐標(biāo)系：寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并計(jì)算向量AB與向量AD的數(shù)量積；現(xiàn)要在六邊形內(nèi)劃分出兩個(gè)全等的菱形會(huì)議區(qū)，要求菱形的頂點(diǎn)均為六邊形的頂點(diǎn)或邊的中點(diǎn)。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)兩種不同的劃分方案，用向量坐標(biāo)表示菱形的四個(gè)頂點(diǎn)；為優(yōu)化采光，需在天花板安裝可旋轉(zhuǎn)的條形燈帶。燈帶AB長為2米，繞中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，其兩端A、B在以M為圓心的單位圓上運(yùn)動(dòng)。若初始時(shí)AB與x軸夾角為60°，當(dāng)燈帶旋轉(zhuǎn)至與初始位置夾角為θ時(shí)，求向量MA在向量MB方向上的投影（用θ表示），并求出投影的最大值。（實(shí)際應(yīng)用：在共享空間設(shè)計(jì)中，常需通過三角函數(shù)計(jì)算日照角度、用向量分析空間利用率。例如當(dāng)θ=150°時(shí)，可計(jì)算燈帶在墻面產(chǎn)生的光影長度變化率，這涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義）四、數(shù)列與不等式：共享經(jīng)濟(jì)的增長模型共享廚房平臺(tái)通過收取入駐商戶的服務(wù)費(fèi)實(shí)現(xiàn)盈利，其增長模型符合以下規(guī)律：平臺(tái)初期投入100萬元建設(shè)成本，第1年入駐商戶20家，每家年均服務(wù)費(fèi)5萬元。從第2年起，商戶數(shù)量每年比上一年增加k家，服務(wù)費(fèi)單價(jià)每年比上一年增長5%。設(shè)第n年的總服務(wù)費(fèi)收入為a_n萬元，求a_n的表達(dá)式（用n、k表示）；平臺(tái)運(yùn)營成本包括固定成本和可變成本：固定成本每年10萬元，可變成本第1年為5萬元，以后每年比上一年增長40%。若平臺(tái)從第m年開始盈利（即總收入超過總成本），求m關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算當(dāng)k=5時(shí)的最小盈利年份；為吸引商戶入駐，平臺(tái)推出"階梯服務(wù)費(fèi)"：當(dāng)年交易額x（萬元）不超過50萬元的部分收取5%服務(wù)費(fèi)，超過50萬元不超過100萬元的部分收取4%，超過100萬元的部分收取3%。某商戶第1年交易額為80萬元，計(jì)劃每年比上一年增長d%，若希望第3年的服務(wù)費(fèi)不超過交易額的4.2%，求d的最大值（精確到1%）。（數(shù)據(jù)建模反思：本題的等比數(shù)列增長模型在實(shí)際中需考慮市場飽和效應(yīng)，當(dāng)商戶數(shù)量達(dá)到區(qū)域餐飲需求上限時(shí)，需引入Logistic增長模型：商戶數(shù)量N(t)=M/(1+e^(-rt))，其中M為環(huán)境容納量，r為增長率參數(shù)。試分析當(dāng)t→+∞時(shí)，該模型與指數(shù)增長模型的差異）五、概率統(tǒng)計(jì)：共享數(shù)據(jù)的分析決策某共享汽車平臺(tái)收集了500位用戶的單次用車時(shí)長（單位：分鐘）數(shù)據(jù)，整理得到頻率分布直方圖（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）：時(shí)長區(qū)間[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]頻率/組距0.0080.0160.024a0.0120.006求a的值及樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點(diǎn)值代替）；若用車時(shí)長服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ為樣本平均數(shù)，σ2為樣本方差（計(jì)算時(shí)方差可用近似值225）?，F(xiàn)隨機(jī)抽取100位用戶，求其中用車時(shí)長在(μ-2σ,μ+σ]內(nèi)的人數(shù)期望；平臺(tái)計(jì)劃根據(jù)用車時(shí)長實(shí)施動(dòng)態(tài)定價(jià)：時(shí)長t≤30分鐘收費(fèi)15元，30<t≤50分鐘收費(fèi)15+0.5(t-30)元，t>50分鐘收費(fèi)25+0.3(t-50)元。已知用戶用車時(shí)長與距離x（公里）的關(guān)系近似為t=12+2x+ε，其中ε~N(0,9)為隨機(jī)誤差。若某用戶行駛距離為15公里，求其預(yù)期費(fèi)用（精確到整數(shù)）。（統(tǒng)計(jì)倫理思考：在共享經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)分析中，需注意"幸存者偏差"問題——平臺(tái)收集的數(shù)據(jù)可能僅來自留存用戶，而流失用戶的行為模式未被納入分析。若流失用戶的平均用車時(shí)長比留存用戶少15分鐘，試修正本題中的樣本平均數(shù)）六、數(shù)學(xué)建模綜合題：校園共享儲(chǔ)物柜的優(yōu)化設(shè)計(jì)為解決學(xué)生物品存放問題，某校計(jì)劃在教學(xué)樓設(shè)置共享儲(chǔ)物柜系統(tǒng)，需完成以下數(shù)學(xué)建模任務(wù)：需求分析：通過問卷調(diào)查得到學(xué)生取放物品的高峰時(shí)段分布（如下表），若每個(gè)儲(chǔ)物柜平均使用時(shí)長為15分鐘，且學(xué)生到達(dá)服從泊松分布，試計(jì)算12:00-13:00時(shí)段需至少設(shè)置多少個(gè)儲(chǔ)物柜才能使排隊(duì)等待概率低于5%？時(shí)段8:00-9:0010:00-11:0012:00-13:0015:00-16:00到達(dá)率λ(人/分鐘)2.51.84.23.0空間布局：儲(chǔ)物柜有A（30cm×40cm×50cm）、B（40cm×40cm×60cm）兩種規(guī)格，單價(jià)分別為120元/個(gè)和180元/個(gè)。安裝區(qū)域?yàn)殚L6米、寬3米的矩形墻面，要求A、B兩種規(guī)格至少各占30%。若預(yù)計(jì)A型柜使用率為80%，B型柜為60%，如何組合采購才能使"單位有效容積成本"最低？（有效容積=規(guī)格容積×使用率）調(diào)度策略：系統(tǒng)采用"隨機(jī)分配+預(yù)約鎖定"模式，學(xué)生預(yù)約后需在10分鐘內(nèi)使用，否則取消資格。已知學(xué)生預(yù)約后實(shí)際到達(dá)概率p(t)與等待時(shí)間t（分鐘）的關(guān)系為p(t)=0.9-0.05t（0≤t≤10）。若某時(shí)段有20個(gè)預(yù)約，每個(gè)預(yù)約獨(dú)立，求至少18個(gè)預(yù)約成功使用的概率（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）。（建模拓展：可進(jìn)一步考慮不同年級(jí)學(xué)生的使用習(xí)慣差異，建立分層隨機(jī)抽樣模型；或引入物聯(lián)網(wǎng)傳感器數(shù)據(jù)，通過機(jī)器學(xué)習(xí)預(yù)測儲(chǔ)物柜使用高峰，這涉及到數(shù)學(xué)與信息技術(shù)的跨學(xué)科融合）七、跨學(xué)科應(yīng)用題：共享能源網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)優(yōu)化在"雙碳"目標(biāo)背景下，某社區(qū)構(gòu)建了包含太陽能發(fā)電、儲(chǔ)能電池和用戶負(fù)載的共享能源網(wǎng)絡(luò)，其能量流動(dòng)滿足以下關(guān)系：能量轉(zhuǎn)化：太陽能板的發(fā)電功率P（kW）與日照強(qiáng)度I（kW/m2）的關(guān)系為P=2.5I-0.3（當(dāng)I≥0.2時(shí)），儲(chǔ)能電池的充放電效率η與充放電深度DOC（0≤DOC≤1）的關(guān)系為η=0.9-0.2|DOC-0.5|。若某日日照強(qiáng)度變化函數(shù)為I(t)=0.8sin(πt/12)（t∈[6,18]，單位：時(shí)），求該日的總發(fā)電量（精確到1kWh）；負(fù)荷分配：社區(qū)用戶分為三類，其用電需求（kW）與時(shí)間t（時(shí)）的關(guān)系分別為：居民負(fù)荷：L1(t)=5+3sin(π(t-8)/12)（t∈[0,24]）商業(yè)負(fù)荷：L2(t)=8+5cos(π(t-12)/12)（t∈[8,20]），其他時(shí)段為2kW公共設(shè)施：L3(t)=4（恒定）求t∈[0,24]內(nèi)的最大總負(fù)荷及出現(xiàn)時(shí)刻；經(jīng)濟(jì)調(diào)度：當(dāng)發(fā)電量大于總負(fù)荷時(shí)，多余電能可賣給電網(wǎng)，電價(jià)為0.5元/kWh；當(dāng)發(fā)電量不足時(shí)，需從電網(wǎng)購電，電價(jià)為0.8元/kWh。儲(chǔ)能電池容量為20kWh，初始SOC（荷電狀態(tài)）為30%。若不考慮電池自放電，求該日的凈收益（精確到1元）。（工程數(shù)學(xué)鏈接：本題涉及的分段函數(shù)積分、最值優(yōu)化問題，在實(shí)際能源系統(tǒng)中需通過MATLAB的fmincon函數(shù)求解，其中目標(biāo)函數(shù)為