幻燈片1：封面課程名稱：11.5因式分解授課教師：[教師姓名]授課班級(jí)：[具體班級(jí)]配圖建議：含有整式乘法與因式分解對(duì)比算式（如\(a(b+c)=ab+ac\)與\(ab+ac=a(b+c)\)）的背景圖，突出互逆關(guān)系幻燈片2：目錄情境引入：因式分解的實(shí)際背景復(fù)習(xí)回顧：整式乘法的相關(guān)知識(shí)因式分解的概念與意義提公因式法因式分解典型例題講解課堂互動(dòng)：分解與辨析課堂總結(jié)與歸納課后作業(yè)布置幻燈片3：情境引入：因式分解的實(shí)際背景實(shí)際問(wèn)題1：一個(gè)長(zhǎng)方形的面積為\(ab+ac\)，已知它的一條邊長(zhǎng)為\(a\)，如何用含有\(zhòng)(a\)、\(b\)、\(c\)的式子表示另一條邊長(zhǎng)？分析：長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)

×

寬，因此另一條邊長(zhǎng)=面積

÷

邊長(zhǎng)=\((ab+ac)?·a=b+c\)，即\(ab+ac=a(b+c)\)。思考：這種把多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式乘積的形式有什么意義？實(shí)際問(wèn)題2：計(jì)算\(37??99+37\)，如何快速得出結(jié)果？（可轉(zhuǎn)化為\(37??(99+1)=37??100=3700\)）引入概念：像\(ab+ac=a(b+c)\)這樣，把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，叫做因式分解，也叫做分解因式。配圖：長(zhǎng)方形面積分解示意圖，標(biāo)注多項(xiàng)式與整式乘積的對(duì)應(yīng)關(guān)系幻燈片4：復(fù)習(xí)回顧：整式乘法的相關(guān)知識(shí)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：法則：\(a(b+c+d)=ab+ac+ad\)。示例：\(2x(3x+y)=6x^2+2xy\)。多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：法則：\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\)。示例：\((x+2)(x+3)=x^2+5x+6\)。乘法公式：平方差公式：\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)。完全平方公式：\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)，\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)。引入新問(wèn)題：整式乘法是把幾個(gè)整式的積化為多項(xiàng)式，那么反過(guò)來(lái)，如何把多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積？配圖：整式乘法運(yùn)算過(guò)程示意圖，標(biāo)注“積→和”的轉(zhuǎn)化幻燈片5：因式分解的概念與意義概念定義：文字語(yǔ)言：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，叫做因式分解（或分解因式）。符號(hào)表示：若\(p\)、\(q\)為整式，則多項(xiàng)式\(m=pq\)的變形過(guò)程即為因式分解。與整式乘法的關(guān)系：互逆關(guān)系：整式乘法是“積化和差”，因式分解是“和差化積”。示例：\(a(b+c)\underset{\text{??

??????è§￡}}{\stackrel{\text{??′????1??3?}}{\rightleftharpoons}}ab+ac\)；\((x+2)(x-2)\underset{\text{??

??????è§￡}}{\stackrel{\text{??′????1??3?}}{\rightleftharpoons}}x^2-4\)。意義與作用：簡(jiǎn)化運(yùn)算：如簡(jiǎn)便計(jì)算、約分、通分等。解決問(wèn)題：在代數(shù)式求值、解方程、幾何圖形計(jì)算等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。判斷標(biāo)準(zhǔn)：結(jié)果必須是整式的積的形式。分解要徹底（直到不能再分解為止）。配圖：整式乘法與因式分解的互逆關(guān)系對(duì)比圖，標(biāo)注轉(zhuǎn)化方向幻燈片6：提公因式法因式分解（一）——公因式的確定公因式的定義：多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。公因式的確定方法：系數(shù)：取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)（若系數(shù)為負(fù)，通常取正數(shù)作為公因式的系數(shù)）。字母：取各項(xiàng)中都含有的相同字母。指數(shù)：取相同字母的最低次冪。示例：多項(xiàng)式\(8a^3b^2-12ab^3c\)的公因式：系數(shù)：8和12的最大公約數(shù)是4。字母：都含有的字母是\(a\)、\(b\)。指數(shù)：\(a\)的最低次冪是1，\(b\)的最低次冪是2。因此，公因式是\(4ab^2\)。多項(xiàng)式\(-6x^2y-9xy^2+3xy\)的公因式：\(-3xy\)（或\(3xy\)，通常取負(fù)號(hào)使首項(xiàng)系數(shù)為正）。配圖：公因式確定步驟示意圖，標(biāo)注系數(shù)、字母、指數(shù)的選取過(guò)程幻燈片7：提公因式法因式分解（二）——分解方法提公因式法定義：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來(lái)，將多項(xiàng)式化為公因式與另一個(gè)多項(xiàng)式的積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。分解步驟：確定公因式：按系數(shù)、字母、指數(shù)的方法找出各項(xiàng)公因式。提取公因式：把公因式寫(xiě)在括號(hào)外面，多項(xiàng)式各項(xiàng)除以公因式的商寫(xiě)在括號(hào)里面。檢查結(jié)果：確保括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式不再有公因式，且分解前后相等（可用整式乘法驗(yàn)證）。示例：分解\(8a^3b^2-12ab^3c\)：公因式為\(4ab^2\)，原式=\(4ab^2(2a^2-3bc)\)。分解\(-6x^2y-9xy^2+3xy\)：公因式為\(-3xy\)，原式=\(-3xy(2x+3y-1)\)。分解\(3x(x-2)-2(x-2)\)：公因式為\((x-2)\)，原式=\((x-2)(3x-2)\)。注意事項(xiàng)：公因式要提盡，不能遺漏任何一項(xiàng)。當(dāng)多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，通常提取負(fù)的公因式，使括號(hào)內(nèi)首項(xiàng)系數(shù)為正。提取公因式后，括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。配圖：提公因式法分解步驟示意圖，標(biāo)注每一步的操作要點(diǎn)幻燈片8：典型例題講解（一）——提公因式法例題1：用提公因式法分解下列因式。（1）\(15x^3y^2+5x^2y-20x^2y^3\)解：公因式為\(5x^2y\)，原式=\(5x^2y(3xy+1-4y^2)\)。（2）\(-4a^3b^2+6a^2b-2ab\)解：公因式為\(-2ab\)，原式=\(-2ab(2a^2b-3a+1)\)。（3）\(3a(x-y)-6b(y-x)\)解：先變形\(y-x=-(x-y)\)，公因式為\(3(x-y)\)，原式=\(3(x-y)(a+2b)\)。（4）\(x(m-n)+y(n-m)-3(m-n)\)解：變形\(n-m=-(m-n)\)，公因式為\((m-n)\)，原式=\((m-n)(x-y-3)\)。關(guān)鍵技巧：當(dāng)多項(xiàng)式的項(xiàng)含有互為相反數(shù)的因式時(shí)（如\(x-y\)與\(y-x\)），先通過(guò)符號(hào)變形轉(zhuǎn)化為相同因式。提取公因式后，括號(hào)內(nèi)的常數(shù)項(xiàng)“1”或“-1”不能遺漏（如例題1（2）中的“+1”）。配圖：例題1的公因式標(biāo)注與分解步驟分解幻燈片9：典型例題講解（二）——公式法因式分解例題2：運(yùn)用乘法公式分解下列因式（平方差公式）。（1）\(x^2-16\)解：符合\(a^2-b^2\)形式，\(a=x\)，\(b=4\)，原式=\((x+4)(x-4)\)。（2）\(4a^2-9b^2\)解：\(a=2a\)，\(b=3b\)，原式=\((2a+3b)(2a-3b)\)。（3）\((x+y)^2-(x-y)^2\)解：\(a=x+y\)，\(b=x-y\)，原式=\([(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]=(2x)(2y)=4xy\)。例題3：運(yùn)用乘法公式分解下列因式（完全平方公式）。（1）\(x^2+8x+16\)解：符合\(a^2+2ab+b^2\)形式，\(a=x\)，\(b=4\)，原式=\((x+4)^2\)。（2）\(4a^2-12ab+9b^2\)解：\(a=2a\)，\(b=3b\)，原式=\((2a-3b)^2\)。（3）\(3x^2+6xy+3y^2\)解：先提公因式\(3\)，再用公式，原式=\(3(x^2+2xy+y^2)=3(x+y)^2\)。公式特征回顧：平方差公式：\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)（兩項(xiàng)式，符號(hào)相反，都是平方形式）。完全平方公式：\(a^2?±2ab+b^2=(a?±b)^2\)（三項(xiàng)式，首尾平方，中間是兩倍積）。配圖：例題2、3的公式應(yīng)用標(biāo)注，平方差與完全平方公式特征對(duì)比圖幻燈片10：典型例題講解（三）——綜合應(yīng)用與實(shí)際問(wèn)題例題4：綜合運(yùn)用多種方法分解因式。（1）\(x^3-4x\)解：先提公因式，再用平方差公式，原式=\(x(x^2-4)=x(x+2)(x-2)\)。（2）\(a^4-2a^2b^2+b^4\)解：先看作完全平方公式，再用平方差公式，原式=\((a^2-b^2)^2=[(a+b)(a-b)]^2=(a+b)^2(a-b)^2\)。例題5：實(shí)際應(yīng)用：已知一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為\(20\)，長(zhǎng)比寬大\(2\)，求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積。解題步驟：設(shè)寬為\(x\)，則長(zhǎng)為\(x+2\)，周長(zhǎng)=\(2(x+x+2)=20\)，解得\(x=4\)，長(zhǎng)=\(6\)。面積=\(4??6=24\)。用因式分解驗(yàn)證：面積也可表示為\(x(x+2)\)，代入\(x=4\)得\(4??6=24\)；或由長(zhǎng)+寬=\(10\)，長(zhǎng)-寬=\(2\)，面積=\(\frac{(é??+???)^2-(é??-???)^2}{4}=\frac{10^2-2^2}{4}=\frac{96}{4}=24\)。說(shuō)明：復(fù)雜多項(xiàng)式分解需先提公因式，再用公式法；因式分解在實(shí)際問(wèn)題中可簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。配圖：例題4的分步分解過(guò)程圖，例題5的長(zhǎng)方形尺寸關(guān)系示意圖幻燈片11：課堂互動(dòng)：分解與辨析活動(dòng)一：基礎(chǔ)分解：練習(xí)1：用提公因式法分解\(12x^2y-8xy^2\)；\(-5a^2+15a\)；\(2x(x+y)-3(x+y)\)。練習(xí)2：用公式法分解\(9x^2-1\)；\(x^2-6x+9\)；\(25a^2+20ab+4b^2\)?；顒?dòng)二：辨析糾錯(cuò)：指出錯(cuò)誤并改正：（1）\(x^2+2x+1=x(x+2)+1\)（錯(cuò)誤，未化為積的形式，應(yīng)為\((x+1)^2\)）。（2）\(a^2-4=(a-2)^2\)（錯(cuò)誤，誤用完全平方公式，應(yīng)為\((a+2)(a-2)\)）。（3）\(3x^2+6x=3x(x+6x)\)（錯(cuò)誤，提取公因式后括號(hào)內(nèi)計(jì)算錯(cuò)誤，應(yīng)為\(3x(x+2)\)）?；顒?dòng)三：能力提升：練習(xí)3：分解因式\(x^3y-xy^3\)；\((x^2+4)^2-16x^2\)。練習(xí)4：已知\(a+b=5\)，\(ab=3\)，求\(a^2b+ab^2\)的值（提示：先因式分解）。配圖：練習(xí)題展示圖，附帶答題區(qū)和糾錯(cuò)提示（用不同顏色標(biāo)注錯(cuò)誤位置）幻燈片12：課堂總結(jié)與歸納知識(shí)要點(diǎn)回顧：因式分解的定義：把多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，與整式乘法互逆。提公因式法：確定公因式（系數(shù)、字母、指數(shù)），提取公因式并檢查結(jié)果。公式法：平方差公式：\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)（適用于兩項(xiàng)式）。完全平方公式：\(a^2?±2ab+b^2=(a?±b)^2\)（適用于三項(xiàng)式）。綜合應(yīng)用：先提公因式，再用公式法，分解要徹底。方法總結(jié)：因式分解的一般步驟為“一提（公因式）、二套（公式）、三查（徹底）”；對(duì)于不同形式的多項(xiàng)式，選擇合適的分解方法，確保結(jié)果是整式的積且無(wú)法再分解。易錯(cuò)提醒：結(jié)果不是整式的積的形式（如仍含和差形式）。公因式提取不徹底或遺漏項(xiàng)（尤其是常數(shù)項(xiàng)“1”）。公式應(yīng)用錯(cuò)誤（混淆平方差與完全平方公式的特征）。2025-2026學(xué)年華東師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)授課教師：

.班級(jí)：

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時(shí)間：

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12.1.1命題第12章

全等三角形aiTujmiaNg1、理解命題及命題的條件、結(jié)論的概念，會(huì)區(qū)分一個(gè)命題的條件和結(jié)論，并能把一個(gè)命題改寫(xiě)成“如果……，那么……”的形式；2.、能判斷一個(gè)命題的真假，會(huì)用反例說(shuō)明假命題.問(wèn)題：說(shuō)一說(shuō)，下面哪些句子具有判斷功能？（1）兩點(diǎn)之間，線段最短;（2）畫(huà)直線AB;（3）對(duì)頂角相等嗎？（4）同位角相等，兩直線平行．√√

我們已經(jīng)學(xué)過(guò)一些圖形的特性，試判斷下列句子是否正確？它們有什么共同點(diǎn)？（1）三角形的內(nèi)角和等于180°

（2）如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等;（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角相等;（4）直角都相等;（5）經(jīng)過(guò)一點(diǎn)確定一條直線.

依據(jù)所學(xué)知識(shí)可以判斷（1）（2）（4）是正確的，（3）（5）是錯(cuò)誤的，這幾個(gè)句子的特點(diǎn)是可以判斷一件事情的正確或錯(cuò)誤，這樣的句子就是命題.問(wèn)題導(dǎo)入知識(shí)點(diǎn)一

命題探究新知說(shuō)一說(shuō)，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些圖形的特性？（1）三角形的內(nèi)角和等于180°；（2）如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等；（3）兩直線平行，同位角相等；（4）直角都相等.它們都是判斷某一件事情的語(yǔ)句。像這樣表示判斷的語(yǔ)句叫做命題.命題的兩層含義:1.命題必須是一個(gè)完整的句子，通常是一個(gè)陳述句，

包括肯定句和否定句；2.命題必須是對(duì)某件事情作出肯定或否定的判斷．判斷下列語(yǔ)句是不是命題？（1）你飯吃了嗎？（2）請(qǐng)畫(huà)出兩條互相平行的直線。（3）如果兩個(gè)角的和是90o，那么這兩個(gè)角互余?！痢痢堂}的構(gòu)成:1.命題是由條件和結(jié)論兩部分組成的，條件是已知事項(xiàng)，

結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)．2.命題通?？蓪?xiě)成“如果……，那么……”的形式．用

“如果”開(kāi)始的部分就是條件，用“那么”開(kāi)始的部分就是結(jié)論．如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等；條件結(jié)論命題改寫(xiě)的原則如果命題不是“如果……，那么……”的形式，可將其進(jìn)行改寫(xiě)，改寫(xiě)的原則是不改變命題的原意，必要時(shí)可添加一些“修飾”成分使句子完整、語(yǔ)言通順．改寫(xiě)：直角都相等.如果兩個(gè)角都是直角，那么這兩個(gè)角相等.典例精析例1指出下列命題的條件和結(jié)論，并改寫(xiě)成“如果……，那么……”的形式：⑴同位角相等，兩直線平行；⑵三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.條件是：結(jié)論是：改寫(xiě)成：條件是：結(jié)論是：改寫(xiě)成：同位角相等兩直線平行

如果一個(gè)三角形的三邊相等，那么這個(gè)三角形是等邊三角形.這個(gè)三角形是等邊三角形一個(gè)三角形的三個(gè)角相等

如果同位角相等，那么兩直線平行.練一練1.把下列命題改寫(xiě)成“如果……，那么……”的形式:（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等;

（2）有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.解:（1）如果兩個(gè)三角形是全等三角形，那么它們的對(duì)應(yīng)角相等．（2）如果一個(gè)等腰三角形有一個(gè)角等于60°，那么它是等邊三角形．知識(shí)點(diǎn)二

真命題與假命題（1）三角形的內(nèi)角和等于180°

（2）如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等;（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角相等;（4）直角都相等;（5）經(jīng)過(guò)一點(diǎn)確定一條直線.

根據(jù)前面的學(xué)習(xí)，我們可以判斷（1）（2）（4）是正確的，也就是說(shuō)，如果條件成立，那么結(jié)論一定成立.像這樣的命題，稱為真命題.其中（3）（5）是錯(cuò)誤的，也就是說(shuō)，當(dāng)條件成立時(shí)，不能保證結(jié)論總是正確，或者說(shuō)結(jié)論不成立，像這樣的命題，稱為假命題.真假命題的判斷:（1）要判斷一個(gè)命題是真命題，可以用演繹推理加以論證．（2）要判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子，說(shuō)明該命題不成立，即只要舉出一個(gè)符合該命題條件而不符合該命題結(jié)論的例子就可以了.在數(shù)學(xué)中，這種方法稱為“舉反例”.典例精析【例2】

哪些是真命題，哪些是假命題？（1）一個(gè)角的補(bǔ)角大于這個(gè)角；（2）相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角；（3）兩點(diǎn)可以確定一條直線；（4）若A=B，則2A=2B；（5）銳角和鈍角互為補(bǔ)角；（6）兩點(diǎn)之間線段最短；（假命題）（假命題）（真命題）（真命題）（假命題）（真命題）1.要判斷一個(gè)命題是真命題，可以用演繹推理加以論證；2.要判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子，說(shuō)明該命題不成立，比如（1）中若∠A=120°，那么它的補(bǔ)角是60°，從而它的補(bǔ)角比∠A小，所以（1）是假命題.在數(shù)學(xué)中，這種方法稱為“舉反例”.練一練判斷下列命題是真命題還是假命題，若是假命題，舉一個(gè)反例加以說(shuō)明:

（1）兩個(gè)銳角的和等于直角;（2）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等.解:（1）假命題，例:50°和20°是兩銳角，但50°＋20°＝70°≠90°．（2）假命題，例:如圖，直線AB、CD

被EF所截，但AB

不平行于CD

，此時(shí)，∠EMB≠∠END

．1.試用舉反例的方法說(shuō)明下列命題是假命題．（1）如果a＋b≥0，那么ab＞0；（2）兩個(gè)銳角的和是銳角．解:（1）取a＝2，b＝－1，則a＋b＝2＋(－1)＝1＞0，但是ab＝2×(－1)＝－2＜0，所以此命題是假命題．（2）取兩個(gè)銳角的度數(shù)分別為30°,60°,則30°＋60°＝90°是直角，而不是銳角,所以此命題是假命題．2.把下列命題改寫(xiě)成“如果……，那么……”的形式，并分別指出它們的條件和結(jié)論：（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；（2）在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行.解：(1)改寫(xiě)成：如果兩個(gè)三角形全等，那么它們的對(duì)應(yīng)邊相等；條件：兩個(gè)三角形全等；結(jié)論：這兩個(gè)三