2024?2025學年吉林省四平市高一(下)期中數學試卷

一、選擇題：共8小題，每小題5分，共40分。

1.下列說法不正確的是()

A.圓柱的軸截面是矩形

B.圓錐的軸截面是等腰三角形

C.所有空間幾何體都是多面體

D.有些三棱錐的四個面都是直角三角形

2.已知。為實數，若復數z=(/_])+(〃+)?為純虛數，則”」=()

1+/'

A.iB.-iC.1D.-1

3.在&43c中，已知。=4G，c=12,C=y,則力=()

乙或包

AA.—兀B.工C.D?一一

366663

4.已知向量萬，B滿足|1+川=3,\a-b\=2,則。4=()

5.如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是邊長為2的正方形，則原圖形的周長是()

A.16B.12C.4+8應D.4+4及

6.想測量一座山的高度，可以通過飛機的航行來完成，如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂平面內，

已知飛機的高度為海拔20Q〃，速度為900Q〃/力，飛行員先看到山頂的俯角為30。，經過80s后又看到山頂

的俯角為75。，則山頂的海拔高度為()

30°75°

A.5（\/3+V）kmB.5（也-V）kmC.5（3-\/3）hnD.5（5-6）左〃？

7.已知復數z=&叵，當。開IE寸，不等式2|z|2Tlz|+6對恒成立，則實數/的最大值是（）

1-i

A.4GB.—C.—D.4x/6

55

8.如圖，AJ4c外接圓的圓心為0,4c8=90。，翦?祝=64,OBOC=1,則圓。的半徑H=（）

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

（多選）9.已知愛數馬，z2,則下列說法中正確的是（）

A.若馬+3=0,貝1]|4|=匕|

B.若Z1?Z[=z??z2,則|Z]|=|z21

C.若|4|=匕|,則z：=z；

D.若Z]+z?e火且Z1々2eA，則z1，z?為實數

（多選）10.如圖，在平行四邊形力BC。中，E為48的中點，尸為彳。的中點，8。與CE相交于點。，

方=萬，而=B,則（）

22

B.EC=-a+b

2

C.FO=-a--b

36

D.若4=60。，|,|二2,出卜1,則麗?或二一；

(多選)11.在418c中，角4,B,。所對的邊分別為a,b,c,則下列條件中能判斷ZU8C為鈍角

三角形的有()

A.a2+bz<c1B.sinJ-cosJ=—

5

C.tanJ+tan5+tanC>0D.ZU8c的三條高分別為2,3,4

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若復數z=」一，則|三|=____.

1+2/

13.如圖所示，圓錐的底面半徑為形,高為加，則該圓錐的側面積為.

14.已知。是A48C內部的一點，且E二小礪+〃反(m,neR),A48C和A//8O的面積分別是工，S2,

若S]=3s2>則2n-m=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。

15.己知Z]=1+mi,z2=3-2z?meR.

(I)若[N]+z2|=5,求zw的值;

(2)若復數z=①在復平面內對應的點P(x,y)滿足關系式y(tǒng)=2x,求機的值.

耳

16.在平面直角坐標系xQy中,已知點/(4,0),8(1，⑼?！?gt;0),|行|=5

(I)求小的值；

(2)C,M是坐標平面上的點，^C=(-l,-l),OM=xOA+(2-x)OC(0<x<3),求|西|的最小值.

17.在△48C中，角X,B,C的對邊分別為a,b,c,HV3?-2c=2/)cos(^+C).

(I)求8；

(2)若△"C的周長為6+26，且2a=小，求的面積.

18.(17分)在△48C中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知C=M.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。

1.下列說法不正確的是()

A.圓柱的軸截面是矩形

B.圓錐的軸截面是等腰三角形

C.所有空間幾何體都是多面體

D.有些三棱錐的四個面都是直角三角形

【答案】C

解：對于力,圓柱的軸截面是矩形，所以力正確,

對F8,圓錐的軸截面是等腰三角形，所以8正確,

對于C,因為旋轉體不是多面體，所以C項不正確，

對于。，如圖，三棱錐4-8CO中，當平面8c。時，ABA.BC,AB1BD,

所以△/8C,4ABD,A/iC￡>,△8CO均為直角三角形，所以。正確.

故選：C.

,-2023

2.已知。為實數，若復數2=52-1)+伍+)?為純虛數，則”」=()

1-FZ

A.iB.-iC.ID.-1

【答案】B

解:,.,?=(/-1)+(。+1)/?為純虛數,

2

6/-1=0Rn[a=\^La=-\

，即，即a=1,

4+1/0。H-I

則—二(5

1+/1+z(1+/)(1-/)

故選：B.

3.在A48C中，已知”=46，c=\2,C=-,則力=()

、汽C兀C4-??-5萬

A.—B.—C.一或——D.瀉

3666

【答案】B

解：因為在A48c中，a=4M,c=\2,C=1,

所以由正弦定理‘一二」一,可得勺殳=*,可得sin/=,，

sinAsinCsinA432

~T

又a<c,可得4為銳角，

則力=工.

6

故選：B.

4.已知向量5,5滿足|1+石|=3,|不一5|=2,則萬4=()

A.-B.-C.-

234

【答案】C

解：:|2+昨3,|小|=2,

|?|2+2a-b+\bf=9,\af-2a-b+\bf=4,解得日?/；=』.

4

故選：C.

5.如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是邊長為2的正方形,則原圖形的周長是()

B.12C.4+85/2D.4+472

【答案】A

解：設原圖形的四邊形為048。,

則根據斜二測法規(guī)則及題意可知:

原到形中|。8|=4五，|。川=2,

又原圖形中08_L04,

.?.原圖形中|,傷|=1(4拒-?2?=6,

.?.原圖形的周長是2x(2+6)=16.

故選：A.

6.想測量一座山的高度，可以通過飛機的航行來完成，如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂平面內,

已知飛機的高度為海拔2()燈〃，速度為9()0加〃〃，飛行員先看到山頂的俯角為30。，經過80s后又看到山頂

的俯角為75。，則山頂的海拔高度為()

A.5(方+1)gB.5(N/3-1)A7MC.5(3—川D.5(5—百)

【答案】C

解：如圖所示，

Zz1=30°,//。3=75°-3()。=45°,

AB=900x1000+3600x80=20(Aw),

BC_20

在&44C中,

sin30o-sin450

5c=10頁；

CD1AD,

:.CD=BCsinZCBD=8Cxsin75°=l()￡x亞'=5(6+1)A加，

4

???山頂的海拔高度為20-5(73+1)=5(3-5km.

故選：C.

7.已知愛數2=坦顯，當。開時，不等式2|Z『T|Z|+6開)恒成立,

則實數，的最大值是()

2-i

「8m

A.V.-----D.476

5

【答案】B

解：因為z=更宜=3酗出=4行4+2萬R,

2-i(2-/)(2+Z)

又〃開I,所以|z|=10a,

因為當。開時，不等式2|ZFT|Z|+6兩恒成立，

所以7?2|z|+Q恒成立，即，?20a+3恒成立，

⑶5a

3

令/(4)=20〃+3=20(4+儂)，

5aa

因為〃開時，f(a)單調遞增，

所以/—。)=華，

所以實數/的取值范圍是(―,⑼],

5

實數，的最大值為竽.

故選：B.

8.如圖，AJ8C外接圓的圓心為O,乙4c8=90。，ABAC=64,礪灰=7,則圓。的半徑R=()

B

A.10B.5C.7D.8

【答案】B

解：?/AACB=90°,

JCC5=(),

福充=(配+函?充+%?赤二萬2qX|2二64,

|JC|=8,

由礪灰=7,

得：-'AB-^A+~AC)=-~ABOA^-'ABJC=-R1+-^M=I,

2222

R=5.

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

（多選）9.已知復:數馬，z2,則下列說法中正確的是（）

A.若馬+22=0,則IzJTzzI

B.若Z1?ZI=z??z2,則|zj=|z21

C.若%|=匕|,則z；=z；

D.若Z]+z?e火且Z[々2e&,則z]，z?為實數

【答案】AB

解：由Z[+Z2=0,即Z2=-Z],可得I4|=|Z2I，故力正確；

因為Z|W=Z2耳，所以|為『=憶|2,所以I4RZ2I，故〃正確；

取4=1+i,z2=1-/>貝lj14|=|41=&，而z：=2i,z；=-27,z；/z；,故C錯誤；

取4=l+i,z2=\-i,則Z1+Z2=2WR,Z,.Z2=2G/?,而馬，句都不是實數，故0錯誤.

故選：AB.

（多選）10.如圖，在平行四邊形中，f為49的中點，產為/￡）的中點，與CE相交于點O,

AB=a,~AD=h,M（）

22

B.EC=-a+b

2

一2|_

C.FO=-a--b

36

D.若NW=60。，Ia|=2,|^|=1,則萬?亞=一,

【答案】BCD

解：在平行四邊形/6CO中，￡為的中點，/為力。的中點，4。與C￡相交于點0,AB=a,AD=b,

對于選項力，EF=-BD=-(AD-AB)=-(b-a)=-b--a,

22222

故選項/錯誤；

對于選項8,EC=BC-BE=b+-AB=b+-a,

22

故8選項正確；

對于選項C,利用△CODsAEOB,可得DO=208,

則冏=萬。一而=—方方+—四=一3一3)+—5=一方一一b,

323236

故選項。正確；

對于選項。，由展〃=|占卜|〃|8$60。=1,

^EFEC=^b-a)^a+b)=^(b-a)(a+2b)

=L^ab-a2+2b2)

=-x(-l-4+2)=--,

44

故選項。正確.

故選：BCD.

(多選)11.在A48C中，角力，B,C所對的邊分別為a,b,c,則下列條件中能判斷A/fBC為鈍角

三角形的有()

A.a2+b2<c2B.sinA-cosA=—

5

C.tan^+tan5+tanC>0D.A48。的三條高分別為2,3,4

2.22

解：對于力，由余弦定理有cosC="十一<0,可得C為鈍角，

2ab

故A48。為鈍角三角形，故4正魂；

對于8,sinA-cosA=—,平方化簡得sinXcosA=-口，

550

故4為鈍角，A48C為鈍角三角形，故8正確；

tan

對于C,因為tan(力+8)='a，'_=-tanC>

I-tan//tanB

tan力+tan8+tanC=tanAtan5tanC>0,

則用A,B,。都為銳角，AJ8C為銳角三角形，故。錯誤；

對于。，假設。，b,。邊上的高分別為2,3,4

，則一ax2=—bx3=」cx4,有2。=35=4c,

222

設a=6Z,則力=43c=3〃(％>0),

所以由余弦定理得cos彳=9K+16K36K=_H<0,

24k224

所以力為鈍角A48c為鈍角三角形，故。正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若復數z=」一，則|彳|=_正—.

1+2/5

解：因為z=?2，)=2+),所以15Hzi=佰21=立.

1+2/(1+2/)(1-2Z)55V555

故答案為：—.

5

13.如圖所示，圓錐的底面半徑為證,高為仇，則該圓錐的側面積為4TT

【答案】41r.

解：由題意可知，該圓錐的母線長為J(近)2+(證)2=2萬,

因此，該圓錐的側面積為TTX^X2&=4m

故答案為：4n.

14.已知。是A48C內部的一點，且況=機歷+4元(m,IIER),A44。和A/3。的面積分別是S1，S?,

若S|=3S2,貝1]2〃一〃?=_一1_.

【答案】—1.

解：連接CO交直線于點。，

vA.D、4三點共線，

OD=t()A+(l-t)dB,(/G/?),

?.?江=&=3,而」工，

S448OS22

...厲=3礪一,反，

IIt

又OA=mOB+nOC(m>neR),

t-\

m=-----,,

/c1f—1

9/.2/1-ffl=------------=-1?

故答案為：-1.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。

15.已知4=1+加，z2=3—2/?meR.

<I)若|%+z?|=5,求m的值；

(2)若復數z=包在復平面內對應的點尸(x,y)滿足關系式y(tǒng)=2x,求機的值.

4

【答案】(1)加=5或加=一1；

(2)加=8.

解:(1)因為4=1+mi,z2=3-2/?

所以4+z2=4+(w-2)/,

因為|Z[+z?|=5,

所以16+(加-2)2=25,

解得,m=5或m=-1；

⑺復數z=三=3-2i=(3—2)(1-mi)=3-2〃i-⑶〃+2)i

Z11+wz(1+/?/)(1-w/)\+m2

因為z在復平面內對應的點P(x,『)滿足關系式y(tǒng)=2工，

所以-(3m+2)=2(3-2m)?

所以〃？=8.

16.在平面直角坐標系X0中,已知點4(4,0),8(1,wX^>0),\AB\=5

(I)求小的值;

(2)C,M是坐標平面上的點，^C=(-l,-l),OM=xOA+[2-x)OC(0<x<3),求|西|的最小值.

【答案】(1)4：(2)—.

5

解：⑴因為4(4,0),8(1,M，所以而=(-3,小)，

故|萬|2=9+/〃2=25=小=±4,

因為〃?>0,所以陽=4；

(2)灰=麗+前=(0,3),

O!4=xOA+(2-x)OC=x.(4,0)+(27).(0,3)=(4x,6-3x),

22

OM=16x+(6-3x>=25/_36x+36=25(x-知+等，

因為()<x<3,所以當x=電時，I萬萬|取得最小值為絲.

255

17.在△/18C中，角人B,。的對邊分別為a,b,c,且內〃-2c=2bcos(8+。).

(I)求8：

(2)若的周長為6+2G，且2〃=GC,求的面積.

解：(1)由VJa-2c=2bcos(8+C),cos(5+C)=cos(^-A)=-cosA,

可得2c=-2bcos4,整理得6cosA+且a=c,結合正弦定理得sinBcosA+立sin/=sinC,

22

因為sinC=sin(^-C)=sin(^+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sin8cosA+—sinA=sinAcosB+cos力sin8,可得—sinA=sinAcosB,

22

因為4w(0,乃)，可得sin/l>0,所以COS8=N,結合86(0,不)，得8=工；

26

(2)根據2a=Gc,得2sin力=\AsinC,即2sin(2+C)=GsinC,

6

可得2(sin工cosC+cos工sinC)=、/5sinC,即cosC+GsinC=V5sinC,cosC=0,

66

因為Ce（0,不），所以C=%，可得b=csin8=c?sin%=』c,a=ccosB=c-cos—=—c,

26262

因為△48。的周長為6+2G,所以a+/）+c=（且+,+l）c=6+26,解得c=4,

22

因比，a=--c=2>/3?6=—c=2,可得△/AC的面積S=8=2G.

222

18.（17分）在△力4c中，角力，B,C的對邊分別為a,b,c,已知C=q.

（1）若6c=3,JC=1,NSO的內角平分線交/1￡于點。，求CO的K;

（2）若NB4C與N49C的內角平分線相交于點。，△力8C的外接圓半徑為2,求彳。+〃。的最大值.

解：（1）???/8C4的內角平分線交48于點。，

/./BCD=NDCA=-,

6

**SjC。+,^4BCD=S^ABC，

111

6

2-2-2-—x3x1x

22

(2)如圖，

AA,3

。的外接圓半徑為2,C=-,

3

e=27?sinC=4x—=25/3,

2

?/C=-,;.NCAB+NCBA='~,

33

?：4BAC與NABC的內角平分線相交于點O,

TT2/r

:.乙OA8+4O8A=—,即/力。8=—,

33

在△力08中，由余弦定理得，12=。才+082—20/04?

：.(OA+O8)2-OAOB=n,

-0A+0B^J0A0B,

2

:.{OA+OB)刑Q+OB)?-12]