2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之排列與組合

一,選擇題（共7小題）

1.（2024?臺(tái)灣）想在5X5的棋盤上擺放4個(gè)相同的西洋棋的城堡棋子.由于城堡會(huì)將同一行或是同一列

的棋子吃掉，故擺放時(shí)規(guī)定每一行與每一列最多只能擺放一個(gè)城堡.在第一列的第一、三、五格（如圖

示畫叉的格子）不擺放的情況下，試問共有多少種擺放方式？（）

E.360

2.（2023?新高考II）某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣

調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)

生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）

A.C就。，。強(qiáng)種B.C器o,。羽o種

C.c溫?嚼）種D.C羽。?嚼）種

3.（2023?甲卷）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，

則兩天中恰有I人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）

A.120B.60C.40D.30

4.（2023?乙卷）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2和，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相

同的選法共有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

5.（2022?新高考H）甲、乙、西、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相

鄰，則不同的排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

6.（2021?乙卷）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，

每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

7.（2020?山東）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙

場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有（）

A.120種B.90種C.6（）種D.30種

二,填空題（共6小題）

8.（2022?上海）用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則這些四位數(shù)中比2134大的數(shù)字個(gè)數(shù)

為.（用數(shù)字作答）

9.（2025?上海）4個(gè)家長(zhǎng)和2個(gè)兒童去爬山，6個(gè)人需要排成一條隊(duì)列，要求隊(duì)列的頭和尾均是家長(zhǎng)，則

不同的排列個(gè)數(shù)有種.

10.（2024?新高考H）在如圖的4X4方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則

共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格的4個(gè)數(shù)之和的最大值

是________.

11213140

12223342

13223343

15243444

11.（2024?全國(guó)）用1,2,…，9這9個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)共有個(gè).

12.（2024?上海）設(shè)集合4中的元素皆為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，求

集合中元素個(gè)數(shù)的最大值.

13.（2023?新高考I）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2

門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）.

2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之排列與組合

參考答案與試題解析

一,選擇題（共7小題）

題號(hào)1234567

答案DDBCBCC

一.選擇題（共7小題）

1.（2024?臺(tái)灣）想在5X5的棋盤上擺放4個(gè)相同的西洋棋的城堡棋子.由于城堡會(huì)將同一行或是同一列

的棋子吃掉，故擺放時(shí)規(guī)定每一行與每一列最多只能擺放一個(gè)城堡.在第一列的第一、三、五格（如圖

示畫叉的格子）不擺放的情況下，試問共有多少種擺放方式？（）

XXX

A.216B.240C.288D.312

E.360

【考?點(diǎn)】其他排列形式及其計(jì)算.

【專?題】對(duì)應(yīng)思想：定義法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】。

【分析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列公式求解即可.

【解答】解：在第一行擺放城堡有2X4X&=192擺法，

不在第一行擺放有&=120種擺法，

故共有192+120=312種擺法.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查排列問題，是中檔題.

2.（2023?新高考II）某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣

調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)

A.30種B.60種c.co種D.240種

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)排列組合數(shù)公式，即可求解.

【解答】解：根據(jù)題意可得滿足題意的選法種數(shù)為：屬=120.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合問題，屬基礎(chǔ)題.

5.（2022?新高考H）甲、乙、西、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相

鄰，則不同的排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

【考點(diǎn)】部分元素相鄰的排列問題.

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】利用捆綁法求出丙和丁相鄰的不同排列方式，再減去甲站在兩端的情況即可求出結(jié)果.

【解答】解：把丙和丁捆綁在一起,4個(gè)人任意排列,有朗,川=48種情況,

甲站在兩端的情況有戲心腸=24種情況，

...甲不站在兩端，閃和丁相鄰的不同排列方式有48-24=24種，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考行排列組合的應(yīng)用，本題運(yùn)用排除法，可以避免討論，簡(jiǎn)化計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2021?乙卷）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)FI進(jìn)行培訓(xùn)，

每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單排列問題.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】5名志愿者先選2人一組，然后4組全排列即可.

【解答】解：5名志愿者選2個(gè)1組，有鬣種方法，然后4組進(jìn)行全排列，有用種，

共有戲外=240種,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列組合的應(yīng)用，利用先分組后排列的方法是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

7.（2020?山東）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙

場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有（）

A.120種B.90種C.6（）種D.30種

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】讓場(chǎng)館去挑人，甲場(chǎng)館從6人中挑一人有：盤=6種結(jié)果：乙場(chǎng)館從余下的5人中挑2人有:

廢=10種結(jié)果；余下的3人去丙場(chǎng)館；相乘即可求解結(jié)論.

【解答】解：因?yàn)槊棵瑢W(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，

甲場(chǎng)館從6人中挑一人有：盤=6種結(jié)果；

乙場(chǎng)館從余下的5人中挑2人有：盤=10種結(jié)果；

余下的3人去丙場(chǎng)館；

故共有：6X10=60種安排方法；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合知識(shí)的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

二.填空題（共6小題）

8.（2022?上海）用數(shù)字I、2、3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則這些四位數(shù)中比2134大的數(shù)字個(gè)數(shù)

為17.（用數(shù)字作答）

【考點(diǎn)】數(shù)字問題.

【專題】計(jì)算題：方程思想；轉(zhuǎn)化思想：綜合法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】17.

【分析】根據(jù)題意，按四位數(shù)的千位數(shù)字分2種情況討論，由加法原理計(jì)算可得答案.

【解答】解；根據(jù)題意，用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重友數(shù)字的四位數(shù)，

當(dāng)其千位數(shù)字為3或4時(shí)，有2A33=12種情況，即有12個(gè)符合題意的四位數(shù)，

當(dāng)其千位數(shù)字為2時(shí)，有6種情況，其中最小的為2134,則有6-1=5個(gè)比2134大的四位數(shù)，

故有12+5=17個(gè)比2134大的四位數(shù)，

故答案為：17.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，注意分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2025?上海）4個(gè)家長(zhǎng)和2個(gè)兒童去爬山，6個(gè)人需要排成一條隊(duì)列，要求隊(duì)列的頭和尾均是家長(zhǎng)，則

不同的排列個(gè)數(shù)有288種.

【考點(diǎn)】部分位置的元素有限制的排列問題.

【專題】對(duì)應(yīng)思想：綜合法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】288.

【分析】先安排特殊位置，再安排剩下元素，最后由分步乘法計(jì)算原理即可求得.

【解答】解：先選2個(gè)家長(zhǎng)排在隊(duì)列的頭和尾的排法數(shù)為：，*=4x3=12,

剩下的家長(zhǎng)和兒童全排的排法種數(shù)為：^=4x3x2x1=24,

由分步乘法計(jì)算原理可得，不同的排列個(gè)數(shù)有12X24=288種.

故答案為:288.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查部分元素有限制的排列問題，屬于基礎(chǔ)題.

10.（2024?新高考II）在如圖的4X4方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則

共有24種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格的4個(gè)數(shù)之和的最大值是112

11213140

12223342

13223343

15243444

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用.

【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】利用排列數(shù)公式能求出選法總數(shù)，在所有符合上述要求的選法中，分析各選項(xiàng)的數(shù)據(jù)，能求出

選中方格的4個(gè)數(shù)之和的最大值.

【解答】解：在如圖的4X4方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，

11213140

12223342

13223343

15243444

則共有題=24種選法，

每種選法可標(biāo)記為{。，b,c,d},a,b,c,d分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字,

則所有可能的結(jié)果為：

(II,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44；,(11,22,34,42),(11,24,33,43),

(II,24,33,42),

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),

(12,34,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44；,(13,22,34,40),(13,24,31,42),

(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),

(15,22,33,40),

在所有符合上述要求的選法中,選中方格的4個(gè)數(shù)之和最大的是（15,21,33,43）,最大值是:

15+21+33+43=112.

故答案為：24；112.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列數(shù)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考杳運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

II.（2024?全國(guó)）用1,2,…，9這9個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)共有280個(gè).

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單排列問題.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】280.

【分析】根據(jù)排列數(shù)公式，先排個(gè)位，再排其余，即可求解.

【解答】解：???1,2,…，9這9個(gè)數(shù)字中奇數(shù)共有5個(gè)，

???用1,2,9這9個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)共有4b力號(hào)=280個(gè).

故答案為：280.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列數(shù)公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

12.（2024?上海）設(shè)集合A中的元素皆為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，求

集合中元素個(gè)數(shù)的最大值329.

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】329.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合組合數(shù)、排列數(shù)公式，并分類討論，即可求解.

【解答】解：由題可知，集合A中每個(gè)元素都互異，且元素中最多有一個(gè)奇數(shù)，剩余全是偶數(shù)，

先研究集合中無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)：

（1）若個(gè)位為0,這樣的偶數(shù)有咫=72種；

（2）若個(gè)位不為0,這樣的偶數(shù)有盤=256種；

所以集合元素個(gè)數(shù)最人值為256+72+1=329科。

故答案為：329.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，屬于中檔題.

13.（2023?新高考【）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2

門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有64種（用數(shù)字作答）.

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用.

【專題】分類討論；定義法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】利用分類計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：若選2H，則只能各選1門，有屐屐=16種，

如選3門，則分體育類選修課選2,藝術(shù)類選修課選1,或體育類選修課選1,藝術(shù)類選修課選2,

則有程Gf4-ClCl=24+24=48,

綜上共有16+48=64種不同的方案.

故答案為：64.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題，利用分類計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵，歪基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)卡片

1.數(shù)字問題

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

-數(shù)字問題涉及數(shù)字的排列組合、數(shù)字的特性以及數(shù)位的安排.洌如：求解由數(shù)字構(gòu)成的不同整數(shù)的數(shù)量、

分析某一數(shù)字在特定數(shù)位上的可能性、或求解滿足特定條件的整數(shù)個(gè)數(shù).

-數(shù)字問題通常涉及到計(jì)數(shù)原理在數(shù)字排列中的應(yīng)用，以及整數(shù)的分配與組合.

【解題方法點(diǎn)撥】

-首先分析題目中的數(shù)字特性，如數(shù)字的范圍、允許的重復(fù)次數(shù)等.

■使用排列數(shù)或組合數(shù)來計(jì)算數(shù)字的不同排列組合方式，必要時(shí)采用分類討論的方式處理特殊情況.

-在涉及限制條件（如某些數(shù)位必須滿足特定要求）時(shí)，先處理限制條件，再進(jìn)行組合計(jì)算.

【命題方向】

-典型的數(shù)字問題命題包括：計(jì)算由給定數(shù)字組成的不同整數(shù)的數(shù)量，或者確定某一數(shù)位上特定數(shù)字出現(xiàn)

的頻率.

-可能涉及到數(shù)字排列的特殊情況，如求解滿足某些數(shù)位條件的整數(shù)個(gè)數(shù)，或計(jì)算某些數(shù)字在排列中的特

定組合數(shù)量.

-在更復(fù)雜的問題中，可能需要結(jié)合多種計(jì)數(shù)方法，如遞推公式或生成函數(shù)來處理數(shù)字的排列組合.

2.簡(jiǎn)單排列問題

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

-笥單排列問題通常涉及無任何限制條件的排列情況.〃個(gè)不同元素的全排列總數(shù)為4；：=n!.

-該類問題通常是排列問題的基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)對(duì)基本排列公式的理解與應(yīng)用.

【解題方法點(diǎn)撥】

-直接應(yīng)用排列公式進(jìn)行計(jì)算.對(duì)于全排列問題，計(jì)算階乘即可得到排列數(shù).

-在計(jì)算過程中，注意排列數(shù)中的階乘表示法，并理解排列的意義.

-對(duì)于涉及排列的實(shí)際問題，可以通過具體化問題，將其轉(zhuǎn)化為排列數(shù)計(jì)算.

【命題方向】

-基本排列問題的命題常見于簡(jiǎn)單元素排列的計(jì)算，如全排列數(shù)的求解、特定位置的排列數(shù)計(jì)算.

-可能涉及對(duì)排列數(shù)公式的直接應(yīng)用，以及對(duì)排列問題的基礎(chǔ)性理解與操作.

3.部分位置的元素有限制的排列問題

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

一部分位置的元素排列受限是指在排列問題中，某些元素只能匕現(xiàn)在特定位置或區(qū)域.例如：特定元素只

能出現(xiàn)在排列的前幾位或某些位置.

-這種問題通常要求考生在處理排列時(shí)，先考慮限制條件，再進(jìn)行一般排列.

【解題方法點(diǎn)撥】

-處理此類問題時(shí)，首先對(duì)有限制的部分進(jìn)行排列，將有限制的元素排好位置，然后對(duì)剩余元素進(jìn)行排列

組合.

-使用乘法原理，將有限制的排列與剩余元素的排列相乘得到總數(shù).

-對(duì)于較復(fù)雜的限制條件，可能需要分類討論，并對(duì)每種情況進(jìn)行單獨(dú)計(jì)算.

【命題方向】

-?？疾煸谔囟ㄎ恢没騾^(qū)域內(nèi)元素的排列，如規(guī)定某些元素必須在前幾位，或必須固定在某些位置的排列

問題.

-命題可能涉及多重限制條件的綜合分析，要求考生靈活運(yùn)用排列數(shù)公式.

4.部分元素相鄰的排列問題

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

一部分元素相鄰的排列問題要求在排列過程中，特定元素必須相鄰排列.例如：在排列中，兩個(gè)或多個(gè)元

素必須排在一起.

-這類問題通常通過將相鄰元素視為一個(gè)整體來簡(jiǎn)化排列.

【蟀題方法點(diǎn)撥】

-通過將相鄰的元素看作一個(gè)整體，然后對(duì)這個(gè)整體和其他元素一起進(jìn)行排列.最后，再對(duì)這個(gè)整體內(nèi)部

的元素進(jìn)行排列.

-使用乘法原理，將整體的排列與內(nèi)部元素的排列相乘，得到總的排列數(shù).

-對(duì)于涉及多個(gè)相鄰元素的問題，可以進(jìn)行多重整體處理，逐層遞進(jìn)排列.

【命題方向】

-常見命題方向包括要求特定元素相鄰的排列問題，或多組元素必須相鄰排列的情況.

-題目可能涉及多個(gè)相鄰條件的處理，要求考生靈活應(yīng)用相鄰元素排列的策略.

5.其他排列形式及其計(jì)算

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

-其他排列形式包括環(huán)形排列、多重排列等特殊形式的排列問題.環(huán)形排列是一種特殊排列，因首尾相連，

所以排列數(shù)與線性排列不同.

-多重排列指存在相同元素的排列問題，計(jì)算時(shí)需要考慮重復(fù)元素的排列數(shù)量.

【解題方法點(diǎn)撥】

■在環(huán)形排列中，〃個(gè)元素的環(huán)形排列數(shù)為"3,其中左是相同排列方式的重復(fù)次數(shù)（如對(duì)稱性）.

■在處理多重排列時(shí)，使用多重排列公式一5^~~；，其中〃I，〃2,…，加是相同元素的個(gè)數(shù).

-對(duì)于涉及多個(gè)重復(fù)元素的排列問題，可能需要結(jié)合分步排列與組合計(jì)算.

【命題方向】

-可能要求考生計(jì)算環(huán)形排列、對(duì)稱排列或存在重復(fù)元素的排列問題.

-命題可能涉及復(fù)雜排列形式的組合，如同時(shí)涉及環(huán)形排列和多重排列的問題，或要求證明特定排列形式

的規(guī)律.

6.排列組合的綜合應(yīng)用

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1、排列組合問題的一些解題技巧：

①特殊元索優(yōu)先安排；

②合理分類與準(zhǔn)確分步；

③排列、組合混合問題先選后排；

④相鄰問題捆綁處理；

⑤不相鄰問題插空處理；

⑥定序問題除法處理；

⑦分排問題直排處理；

⑧“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部；

⑨構(gòu)造模型；

⑩正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化.

對(duì)于無限制條件的排列組合問題應(yīng)遵循兩個(gè)原則：一是按元素的性質(zhì)分類，二是按時(shí)間發(fā)生的