專題強(qiáng)化：頻率和概率的綜合訓(xùn)練

一、單選題

1.（2025?黑龍江?蘭西縣第三中學(xué)九年級期中）下列判斷正確的是（）

A.任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，一定有5次正面向上B.天氣預(yù)報(bào)說“明天的降

水概率為40%”，表示明天有40%的時(shí)間都在降雨

C.”籃球隊(duì)員在罰球線上投籃一次，投中”為隨機(jī)事件D.“a是實(shí)數(shù)，|a|N）”是不可能事件

2.（2025?黑龍江齊齊哈爾?九年級期末）袋子中裝有4個(gè)黑球和2個(gè)白球，這些球的形狀、

大小、質(zhì)地等完全相同，在看不到球的條件下，隨機(jī)地從袋子中摸出三個(gè)球.下列事件是必

然事件的是（）

A.摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)球是黑球B.摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)球是白球

C.摸出的三個(gè)球中至少有兩個(gè)球是黑球D.摸出的三個(gè)球中至

少有兩個(gè)球星白球

3.（2025?山東?濟(jì)南六十八中九年級期中）在一個(gè)不透明的盒子里，裝有4個(gè)黑球和若干個(gè)

白球，它們除顏色外沒有任何其他區(qū)別，搖勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回

盒子中，不斷重復(fù)，共摸球40次，其中10次摸到黑球，則估計(jì)盒子中大約有白球（）

A.12個(gè)B.16個(gè)C.20個(gè)D.30個(gè)

4.（2025?貴州?貴陽市烏當(dāng)區(qū)新天學(xué)校九年級階段練習(xí)）為了慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，

某校舉辦了黨史知識競賽活動，在獲得一等獎的學(xué)生中，有3名女學(xué)生，1名男學(xué)生，則從

這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，恰好抽到2名女學(xué)生的概率為（）

A.工3乩B—2。C-3口D—6

5.（2025?浙江?舟山市第一初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，小球從A入口往下落，在每個(gè)

交叉口都有向左或向右兩種可能，且可能性相等.則小球從E出口落出的概率是（）

6.（2025?全國?九年級）如圖所示，陰影是兩個(gè)相同菱形的重合部分，假設(shè)可以隨機(jī)在圖中

取點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是（）

11

C-

A.5-7-D.8-

7.（2025?山西?九年級專題練習(xí)）在一個(gè)不透明的袋子里裝有兩個(gè)黃球和一個(gè)白球，它們除

顏色外都相同，隨機(jī)從中原出一個(gè)球，記下顏色后放回袋子中，充分搖勻后，再隨機(jī)攜出一

個(gè)球.兩次都摸到黃球的概率是（）

8.（2025?全國,九年級課時(shí)練習(xí)）正方形ABCD的邊長為2,以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半

圓，得到如圖所示陰影部分，若隨機(jī)向正方形ABCD內(nèi)投一粒米，則米粒落在陰影部分的

9.（2025?山東?薛城區(qū)北臨城中學(xué)一模）小明用大小和形狀都完全一樣的正方體按照?定規(guī)

律排放了一組圖案（如圖所示），每個(gè)圖案中他只在最下面的正方體上寫“心”字，寓意“不忘初

心其中第（1）個(gè)圖案中有1個(gè)正方體，第Q）個(gè)圖案中有3個(gè)正方體，第（3）個(gè)圖案中有6個(gè)正方

體，……按照此規(guī)律，從第（100）個(gè)圖案所需正方體中隨機(jī)抽取一個(gè)正方體，抽到帶“心”字正

方體的概率是（）

(1)(2)(3)(4)

A.—B.—C.—D.—

10020101101

10.（2025?全國?九年級專題練習(xí)）從1、2、3、4四個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記

為.、J則關(guān)于x的一元二次方程o?+4x+c=0有實(shí)數(shù)解的概率為（）

A.；B.；C.：D.|

二、填空題

II.（2025?遼寧撫順?九年級階段練習(xí)）在一個(gè)不透明的袋中裝有若干個(gè)紅球和4個(gè)黑球，每

個(gè)球除顏色外完全相同.搖勻后從中摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回袋中.不斷重復(fù)這一過

程，共摸球100次.其中有40次摸到黑球，估計(jì)袋中紅球的個(gè)數(shù)是.

12.（2025?山西呂梁?九年級期末）袋中裝有6個(gè)黑球和〃個(gè)白球，經(jīng)過若干次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)“若

從袋中任摸出一個(gè)球，恰是黑球的概率為I"，則這個(gè)袋中白球大約有個(gè).

13.（2025?甘肅酒泉?二橫）在不誘明的口袋中有若干個(gè)完全一樣的紅色小球，現(xiàn)放入10個(gè)

僅顏色與紅球不同的白色小球，均勻混合后，有放回的隨機(jī)摸取30次，有10次摸到白色小

球，據(jù)此估計(jì)該口袋中原有紅色小球個(gè)數(shù)為.

14.（2025?浙江?衢江錦繡中學(xué)九年級階段練習(xí)）大數(shù)據(jù)分析技術(shù)為打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)發(fā)揮

了重要作用.如圖是小明同學(xué)的蘇康碼（綠碼）示意圖，用黑白打印機(jī)打印于邊長為2cm

的正方形區(qū)域內(nèi)，為了估計(jì)圖中黑色部分的總面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過大量重

復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，據(jù)此可以估計(jì)黑色部分的總而枳約為

cm2?

15.（2025?全國?九年級課時(shí)練習(xí)）有4根細(xì)木棒,長度分別為2cm、3cm、4cm、5cm,從

中任選3根，恰好能搭成一個(gè)三角形的概率是.

16.（2025?全國?九年級課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有四張正面分別標(biāo)有數(shù)字-1,I,2,3的不透明卡片,

它們除數(shù)字外其余完全相司，將它們背而面朝上洗均勻，隨機(jī)抽取?張，記下數(shù)字后四回，

背面朝上洗均勻，再隨機(jī)抽取一張記下數(shù)字，前后兩次抽取的數(shù)字分別記為，小小則點(diǎn)P

（陽，〃）在第二象限的概率為.

17.（2025.江蘇.九年級專題練習(xí)）一個(gè)小球在如圖所示的方格地磚上任意滾動，并隨機(jī)停留

在某塊地磚上.每塊地磚的大小、質(zhì)地完全相同，那么該小球停留在黑色區(qū)域的概率是

20.（2025?山東德州?一模）隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，人們?nèi)ド虉鲑徫锏闹Ц斗绞礁佣鄻印?/p>

便捷.某校數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了一份調(diào)查問卷，要求每人選且只選一種你最喜歡的支付方

式;.現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請結(jié)合圖中所給的信息解答

下列問題：

（1）這次活動共調(diào)查了人；在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，表示“支付寶”支付的扇形圓心角的度

數(shù)為;

（2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.觀察此圖，支付方式的“眾數(shù)”是“”；

（3）在一次購物中，小明和小亮都想從“微信”、“支付寶”、“銀行卡”三種支付方式中選一

種方式進(jìn)行支付,請用畫樹狀圖或列表格的方法,求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率.

支

微

銀

付

信

行

寶

卡

21.（2025?遼寧?沈陽市虹橋中學(xué)溪湖分校九年級階段練習(xí)）共享經(jīng)濟(jì)已經(jīng)進(jìn)入人們的生活.小

沈收集了自己感興趣的4個(gè)共享經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的圖標(biāo)，共享出行、共享服務(wù)、共享物品、共享知

識，制成編號為A、B、C、。的四張卡片（除字母和內(nèi)容外，其余完全相同）.現(xiàn)將這四張

卡片背面朝上，洗勻放好.

（I）小沈從中隨機(jī)抽取一張卡片是“共享服務(wù)”的概率是—;

（2）小沈從中隨機(jī)抽取一張卡片（不放回），再從余下的卡片中隨機(jī)抽取一張，請你用列表

或畫樹狀圖的方法求抽到的兩張卡片恰好是“共享出行”和“共享知識”的概率.（這四張卡片

分別用它們的編號A、B、C、D表示）

22.（2025?全國?九年級專題練習(xí)）甲、乙兩名同學(xué)玩一個(gè)游戲：在一個(gè)不透明的口袋中裝有

標(biāo)號分別為1，2,3,4的四個(gè)小球（除標(biāo)號外無其它差異）.從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記

下標(biāo)號后放回口袋中，充分搖勻后，再從口袋中隨機(jī)摸乜一個(gè)小球，記下該小球的標(biāo)號，兩

次記下的標(biāo)號分別用小y表示.若x+），為奇數(shù)，則甲獲勝；若工+），為偶數(shù)，則乙獲勝.

（1）用列表法或樹狀圖法（樹狀圖也稱樹形圖）中的一種方法，求），）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總

數(shù)；

（2）你認(rèn)為這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？請說明理由.

23.（2025?河北承德?一模）為了更好地解決養(yǎng)老問題，某服務(wù)中心引入優(yōu)質(zhì)社會資源為甲，

乙兩個(gè)社區(qū)共30名老人提供居家養(yǎng)老服務(wù)，收集得到這30名老人的年齡（單位：歲）如"

甲社區(qū)676873757678808283848585909295

乙社區(qū)666972747578808185858889919698

根據(jù)以上信息解答下列問題：

（1）求甲社區(qū)老人年齡的中位數(shù)和眾數(shù)；

（2）現(xiàn)從兩個(gè)社區(qū)年齡在70歲以下的4名老人中隨機(jī)抽取2名了解居家養(yǎng)老服務(wù)情況，求

這2名老人恰好來自同一個(gè)社區(qū)的概率.

24.（2025.全國?九年級單元測試）（1）某校招聘教師一名，現(xiàn)有甲、乙、丙三人通過專業(yè)知

識、講課、答辯三項(xiàng)測試，他們各自的成績?nèi)缦卤硭荆?/p>

應(yīng)聘者專業(yè)知識講課答辯

甲708580

乙908575

丙809085

按照招聘簡章要求，對專業(yè)知識、講課、答辯三項(xiàng)賦權(quán)5：4：1.請計(jì)算三名應(yīng)聘者的平均

成績，從成績看，應(yīng)該錄取誰？

（2）我市舉行了某學(xué)科實(shí)驗(yàn)操作考試，有A、B、C、D四個(gè)實(shí)驗(yàn)，規(guī)定每位學(xué)生只參加其

中一個(gè)實(shí)驗(yàn)的考試，并由學(xué)生自己抽簽決定具體的考試實(shí)驗(yàn).小王，小張，小厲都參加了本

次考試.

①小厲參加實(shí)驗(yàn)D考試的概率是；

②用列表或畫樹狀圖的方法求小王、小張抽到同一個(gè)實(shí)驗(yàn)的概率.

25.（2025?全國?九年級單元測試）某超市在端午節(jié)期間開展優(yōu)惠活動，凡購物者可以通過轉(zhuǎn)

動轉(zhuǎn)盤的方式享受折扣優(yōu)惠，本次活動共有兩種方式，方式一：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤甲，指針指向A

區(qū)域時(shí)，所購買物品享受9折優(yōu)惠、指針指向其它區(qū)域無優(yōu)惠；方式二：同時(shí)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤甲和

轉(zhuǎn)盤乙，若兩個(gè)轉(zhuǎn)盤的指針指向每個(gè)區(qū)域的字母相同，所購買物品享受8折優(yōu)惠，其它情況

無優(yōu)惠.在每個(gè)轉(zhuǎn)盤中，指針指向每個(gè)區(qū)域的可能性相同（若指針指向分界線，則重新轉(zhuǎn)動

轉(zhuǎn)盤）

（1）若顧客選擇方式一，則享受9折優(yōu)惠的概率為多少；

（2）若顧客選擇方式二,請用樹狀圖或列表法列出所有可能,并求顧客享受8折優(yōu)惠的概

26.（2025.遼寧.沈陽市第四十三中學(xué)九年級階段練習(xí)）動畫片《小豬佩奇》分靡仝球，受到

孩子們的喜愛.現(xiàn)有4張《小豬佩奇》角色卡片，分別是A佩奇，B喬治，C佩奇媽媽，D

佩奇爸爸（四張卜片除字母和內(nèi)容外，其余完全相同）.姐弟兩人做游戲，他們將這四張卜

片混在一起，背面朝上放好.

（1）姐姐從中隨機(jī)抽取一張卡片，恰好抽到A佩奇的概率為；

（2）若兩人分別隨機(jī)抽取一張卡片（不放回），請用列表或畫樹狀圖的分方法求出恰好姐姐

抽到A佩奇弟弟抽到B喬治的概率.

BCD

佩奇喬治佩奇媽媽佩奇爸爸

27.（2025?福建?寧德市博雅培文學(xué)校九年級階段練習(xí)）對垃圾進(jìn)行分類投放，能提高垃圾處

理和再利用的效率，減少污染，保護(hù)環(huán)境.為了檢查垃圾分類的落實(shí)情況，某居委會成立了

甲、乙兩個(gè)檢查組，采取隨機(jī)抽查的方式分別對轄區(qū)內(nèi)的A,B,C,。四個(gè)小區(qū)進(jìn)行檢查，

并且每個(gè)小區(qū)不重復(fù)檢查.

（1）甲組抽到A小區(qū)的概率是多少；

（2）請用列表或畫樹狀圖的方法求甲組抽到A小區(qū)，同時(shí)乙組抽到C小區(qū)的概率.

28.（2025?四川?成都市蜀西實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級期中）為了豐富校園文化生活，提高學(xué)生的綜合

素質(zhì)，促進(jìn)中學(xué)生全面發(fā)展，學(xué)校開展了多種社團(tuán)活動.小明喜歡的社團(tuán)有：合唱社團(tuán)、足

球社團(tuán)、書法社團(tuán)、科技社團(tuán)（分別用字母A,B,C,D依次表示這四個(gè)社團(tuán)），并把這四

個(gè)字母分別寫在四張完全相同的不透明的卡片的正面上，然后將這四張卡片背面朝上洗勻后

放在桌面上.

（1）小明從中隨機(jī)抽取一張卡片是足球社團(tuán)B的概率是.

（2）小明先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記錄下卡片上的字母后不放回，再從剩余的卡片中隨

機(jī)抽取一張卡片,記錄下E片卜的字母.請你用列表法或畫樹狀圖法求出小明兩次抽取的卡

片中有一張是科技社團(tuán)D的概率.

29.（2025.福建?泉州市第六中學(xué)九年級期中）“田忌賽馬”的故事閃爍著我國古代先賢的智慧

光芒.該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬A，然G，田忌也有上、中、下三匹馬4出C，

且這六匹馬在比賽中的勝負(fù)可用不等式表示如下：4＞42＞用＞與＞。|＞。2（注：A＞“表

示A馬與3馬比賽，A馬獲勝）.一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹馬都出場比賽一局，

共賽三局，勝兩局者獲得整場比賽的勝利.面對劣勢，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出

馬''順序?yàn)樯像R、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、

中馬、下馬比賽，即借助對陣（GA，44，&c）獲得了整場比賽的勝利，創(chuàng)造了以弱勝強(qiáng)

的經(jīng)典案例.

假設(shè)齊王事先不打探出忌的“出馬”情況，試回答以下問題：

＜1）如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場比賽

的勝利？并求其獲勝的概率；

（2）如果IU忌事先無法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必?cái)o疑？若是，請說明理

由；若不是，請列出田忌獲得整場比賽勝利的所有對陣情況，并求其獲勝的概率.

參考答案：

1.C

【分析】直接利用概率的意義以及隨機(jī)事件的定義分別分析得出答案.

【詳解】A、任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，一定有5次正面向上，錯(cuò)誤，不符合題意；

B、天氣預(yù)報(bào)說“明天的降水概率為40%”，表示明天有40%的時(shí)間都在降雨，錯(cuò)誤，不符合

題意；

C、”籃球隊(duì)員在罰球線上投籃一次，投中”為隨機(jī)事件，正確，符合題意；

D、“a是實(shí)數(shù)，|a|X）”是必然事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

故選C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了概率的意義以及隨機(jī)事件的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

2.A

【分析】根據(jù)必然事件的概念:在一定條件下，必然發(fā)生的事件叫做必然事件分析判斷即可.

【詳解】A、是必然事件、故本選項(xiàng)符合題意；

B、是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)不符合題意：

D、是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選A.

3.A

【詳解】解：???共摸了40次，其中10次摸到黑球，

,有30次摸到白球.

???摸到黑球與摸到白球的次數(shù)之比為1：3.

???口袋中黑球和白球個(gè)數(shù)之比為I：3.

???4x3=12（個(gè)）.

故選A.

4.B

【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與選出的2名學(xué)生

中恰好有2名女生的情況，再利用概率公式即可求得答案.

【詳解】解：畫樹狀圖得：

開始

女女女男

/[\A\A\/W

女女男女女男女女男女女女

:共畬12種等可能的結(jié)果，選出的2名學(xué)生中恰好有2名女生的有6種情況;

._6_1

??產(chǎn)pQ女生）=]^=2-

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考行的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺

漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完

成的事件.用到的知識點(diǎn)為：概率二所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

5.C

【分析】根據(jù)“在每個(gè)交叉口都有向左或向右兩種可能，且可能性相等''可知在點(diǎn)從aD

處都是等可能情況，從而得到在四個(gè)出口瓜F、G、，也都是等可能情況，然后概率的意

義列式即可得解.

【詳解】解：由圖可知，在每個(gè)交叉口都有向左或向右兩種可能，且可能性相等，

小球最終落出的點(diǎn)共有從F、G、”四個(gè)，

所以小球從E出口落出的概率是：7；

4

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查的是求概率問題，掌握概率公式是解決此題的關(guān)鍵.

6.C

【詳解】分析：先設(shè)陰影部分的面積是x,得出整個(gè)圖形的面積是7x,再根據(jù)幾何概率的求

法即可得出答案.

詳解：設(shè)陰影部分的面積是x,則整個(gè)圖形的面積是7x,

X1

則這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是1，

lx7

故選C.

點(diǎn)睛：本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)

域表示所求事件（A）；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件（A）

發(fā)生的概率.

7.A

【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次都摸到黃球的情

況，然后利用概率公式求解即可求得答案.注意此題屬于放回實(shí)驗(yàn).

【詳解】畫樹狀圖如下：

開始

黃黃白

黃黃白黃黃白黃黃白

由樹狀圖可知，共有9種等可能結(jié)果，其中兩次都摸到黃球的有4種結(jié)果，

???兩次都摸到黃球的概率為14,

故選A.

【點(diǎn)睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率的知識.注意畫樹狀圖與列表法可以不重

復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步

以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn).

8.A

【分析】求得陰影部分的面積后除以正方形的面積即可求得概率.

【詳解】解：如圖，連接PA、PB、0P,

貝IJS半閱o二^^匚二2，SAABP=^X2X]=1,

222

由題意得：圖中陰影部分的面積=4(S半1ao-SAABP)

=4(--I)=2兀-4,

2

???米粒落在陰影部分的概率為24量一二4=于Ji一2，

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概率的知識，解題的關(guān)鍵是求得陰影部分的面積.

9.D

【分析】根據(jù)圖形規(guī)律可得第n個(gè)圖形共有1+2+3+4+...+1經(jīng)以個(gè)正方體，最下面有n

2

個(gè)帶，，心，，字正方體，從而得出第100個(gè)圖形的情況，再利用概率公式計(jì)算即可.

【詳解】解：由圖可知：

第1個(gè)圖形共有1個(gè)正方體，最下面有1個(gè)帶“心”字正方體；

第2個(gè)圖形共有1+2=3個(gè)正方體，最下面有2個(gè)帶“心”字正方體；

第3個(gè)圖形共有1+2+3=6個(gè)正方體，最下面有3個(gè)帶“心”字正方體：

第4個(gè)圖形共有1+2+3+4=10個(gè)正方體，最下面有4個(gè)帶“心”字正方體；

第n個(gè)圖形共有1+2+3+4+...+產(chǎn)匕業(yè)個(gè)正方體，最下面有n個(gè)帶“心”字正方體；

2

則：第100個(gè)圖形共有1+2+3+4+...+100=匕出出"=5050個(gè)正方體，最下面有100個(gè)帶“心”

2

字正方體；

???從第(100)個(gè)圖案所需止方體中隨機(jī)抽取一個(gè)正方體，抽到帶“心”字正方體的概率是

100_2

5050-ToT*

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形變化規(guī)律，概率的求法，解題的關(guān)鍵是總結(jié)規(guī)律，得到第100個(gè)圖

形中總正方體的個(gè)數(shù)以及帶"心'’字正方體個(gè)數(shù).

10.C

【分析】先根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根求出ac$4,繼而畫樹狀圖進(jìn)行求解即可.

【詳解】由題意，△-42_/bcK),

ac<4,

畫樹狀圖如下：

a、c的積共有12種等可能的結(jié)果，其中積不大于4的有6種結(jié)果數(shù)，

所以a、c的積不大于4(也就是一元二次方程有實(shí)數(shù)根)的概率為2=g,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，列表法或樹狀圖法求概率，得到ac<4是解

題的關(guān)鍵.

11.6

4()

【分析】估計(jì)利用頻率估計(jì)概率可估計(jì)摸到黑球的概率為前，然后根據(jù)概率公式構(gòu)建方

程求解即可.

【詳解】解：設(shè)袋中紅球的個(gè)數(shù)是x個(gè)，根據(jù)題意得：

4_40

4+x-io6'

解得：.『6,

經(jīng)檢驗(yàn)：八=6是分式方程的解，

即估計(jì)袋中紅球的個(gè)數(shù)是6個(gè).

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，解題的關(guān)鍵是熟練掌握大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生

的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可

以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率用頻率估計(jì)概率得

到的是近似值，隨試驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來越精確.

12.2

【詳解】解：???袋中裝有6個(gè)黑球和〃個(gè)白球，

???袋中一共有球(6+〃)個(gè)，

???從中任摸一個(gè)球，恰好是黑球的概率為

4

.63

??-----=—，

6+〃4

解得：”=2.

故答案為2.

【點(diǎn)睛】此題考查了概率公式的應(yīng)用.注意用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)

之比.注意方程思想的應(yīng)用.

13.20

【分析】利用頻率估計(jì)概率，設(shè)原來紅球個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)摸取30次，有10次摸到白色小

球結(jié)合概率公式可得關(guān)于x的方程，解方程即可得.

【詳解】解：設(shè)原來紅球個(gè)數(shù)為x個(gè),

貝E|J有七--1-0--=—10,

xI1030

解得，x=20,

經(jīng)檢驗(yàn)尸20是原方程的根.

故答案為20.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率和概率公式的應(yīng)月，熟練掌握概率的求解方法以及分

式方程的求解方法是解題的關(guān)鍵.

14.2.4

【分析】求出正方形二維碼的面積，根據(jù)題意得到黑色部分的面積占正方形面積得60%計(jì)

算即可；

【詳解】???正方形的二維碼的邊長為2cm,

???正方形二維碼的面積為4c/,

;經(jīng)過大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，

???黑色部分的面積占正方形二維碼面積得60%,

，黑色部分的面積約為：4x60%=2.4cm2?

故答案為2.4CM.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用頻率估計(jì)概率進(jìn)行求解，準(zhǔn)確立即數(shù)據(jù)的意義是解題的關(guān)鍵.

15.-

4

【分析】根據(jù)題意，使用列舉法可得從有4根細(xì)木棒中任取3根的總共情況數(shù)目以及能搭成

一個(gè)三角形的情況數(shù)目，根據(jù)概率的計(jì)算方法，計(jì)算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，從有4根細(xì)木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、

3

5,共4種取法，而能搭成一個(gè)三角形的有2、3、4；3、4、5,2、4、5,三種，得P:二.

4

3

故其概率為：—.

4

【點(diǎn)睛】本題考查概率的計(jì)算方法，使用列舉法解題時(shí)，注意按一定順序，做到不重不漏.用

到的知識點(diǎn)為：概率二所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

16.A

16

【分析】畫樹狀圖展示所有16種等可能的結(jié)果數(shù)，利用第二象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定點(diǎn)P

（/”，〃）在第二象限的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

【詳解】解：畫樹狀圖為：

開始

共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中點(diǎn)夕（〃?，〃）在第二象限的結(jié)果數(shù)為3,

3

所以點(diǎn)P（相，在第二象限的概率=臺.

16

故答案為：白3.

16

【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果〃,

再從中選出符合事件A或8的結(jié)果數(shù)目〃?，然后利用概率公式計(jì)算事件4或事件8的概率.也

考查了點(diǎn)的坐標(biāo).

II

【分析】先求出黑色方磚在整個(gè)地面中所占的比值，再根據(jù)其比值即可得出結(jié)論.

【詳解】解：???由圖可知，黑色方磚6塊，共有16塊方磚，

???黑色方磚在整個(gè)區(qū)域中所占的比值=二二1,

168

???小球停在黑色區(qū)域的概率是

O

故答案為：1

O

【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何概率，用到的知識點(diǎn)為：幾何概率=相應(yīng)的面積與總面積之比.

18.（1）-1；（2）彳2

【分析】（1）直接根據(jù)概率公式計(jì)算可得；

（2）畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，再從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，利用概率公式計(jì)算可

得.

【詳解】解：（1）因?yàn)橛蠥,B,C3種等可能結(jié)果，

所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖國》的概率是g;

故答案為:.

（2）樹狀圖如圖所示:

ABc

AA4\

ABCABCABC

共有9種可能，八(I)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率=2二|.

【點(diǎn)睛】本題考杳了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果〃,

19.(1)50；(2)見解析；(3)1

6

【分析】⑴本次一共調(diào)查：15:30%;⑵先求出4對應(yīng)的人數(shù)為：50-16-15-7,再畫圖;

(3)先列表，再計(jì)算概率.

【詳解】(1)本次一共調(diào)查：15?30%=50(人)；

故答案為50；

(2)8對應(yīng)的人數(shù)為：50-16-15-7=12,

如圖所?。?/p>

(3)列表:

ABCD

AABACAD

BBABCBD

CCACBCD

DDADBDC

???共有12種等可能的結(jié)果，恰好選中A、4的有2種,

21

:?P(選中A、B)=-=--

126

【點(diǎn)睛】本題考核知識點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)初步，概率.解題關(guān)鍵點(diǎn)：用列表法求概率.

20.(1)200、81°；(2)補(bǔ)圖見解析；(3)-

【分析】(1)用支付寶、現(xiàn)金及其他的人數(shù)和除以這三者的百分比之和可得總?cè)藬?shù)，再用

360。乘以“支付寶”人數(shù)所占比例即可得；

(2)用總?cè)藬?shù)乘以對應(yīng)百分比可得微信、銀行卡的人數(shù)，從而補(bǔ)全圖形，再根據(jù)眾數(shù)的定

義求解可得；

(3)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩人恰好選擇何-

種支付方式的情況，再利用概率公式即可求得答案.

【詳解】(I)本次活動調(diào)查的總?cè)藬?shù)為(45+50+15)(1-15%-30%)=20()人，

45

則表示“支付寶”支付的扇形圓心角的度數(shù)為360。、丸二31。，

故答案為200、81°;

(2)微信人數(shù)為200x30%=60人，銀行卡人數(shù)為200xl5%=30人，

補(bǔ)全圖形如下：

支

微

銀

付

信

行

寶

卡

由條形圖知,支付方式的“眾數(shù)”是"微信”,

故答案為微信；

(3)將微信記為4、支付寶記為以銀行卡記為C,

畫樹狀圖如下:

畫樹狀圖得：

開始

???共有9種等可能的結(jié)果，其中兩人恰好選擇同一種支付方式的有3種，

，兩人恰好選擇同一種支付方式的概率為］3二§1.

【點(diǎn)睛】此題考杳了樹狀圖法與列表法求概率.用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情

況數(shù)之比.

21.(1)-；(2)-

46

【分析】(1)根據(jù)概率公式直接得出答案；

(2)根據(jù)題意先畫樹狀圖列出所有等可能的結(jié)果數(shù)，兩張卡片恰好是“共享出行”和“共享知

識''的結(jié)果數(shù)為2,根據(jù)概率公式求解可得.

【詳解】(1)???有共享出行、共享服務(wù)、共享物品、共享知識，共四張卡片，

???小沈從中隨機(jī)抽取一張卡片是“共享服務(wù)”的概率是：，

4

故答案為：Y；

(2)畫樹狀圖如圖：

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩張卡片恰好是“共享出行”和“共享知識”的結(jié)果數(shù)為2,

???抽到的兩張卡片恰好是洪享出行”和“共享知識”的概率==2=：1.

【點(diǎn)睛】本題考查了用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能

的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意

此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn).用到的知識點(diǎn)為：概率二所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

22.(1)見解析；(2)這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平，理由見解析.

【分析】(1)通過列表法即可得(x,y)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，分別找出x+y為奇數(shù)、x+y為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)，利用概率公式分別求解后

進(jìn)行比較即可.

【詳解】（1）列表如下：

1234

1(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)

2(2，1)(2,2)⑵3)(2,4)

3(3，1)(3,2)(3,3)(3,4)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)

由表格可知（x,y）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有16種；

（2）這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平，理由如下：

由列表法可知，在16種可能出現(xiàn)的結(jié)果中，它們出現(xiàn)的可能性相等，

Q1

Vx+y為奇數(shù)的有8種情況，JP（甲獲勝）=2=不

162

Q1

:x+y為偶數(shù)的有8種情況，JP（乙獲勝）=/=；；,

162

???P（甲獲勝）=p（乙獲勝）,

，這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平.

【點(diǎn)睛】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，判斷游戲的公平性，用到的知識點(diǎn)為：概率

二所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

23.（1）中位數(shù)是82,眾數(shù)是85；（2）

【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)及眾數(shù)的定義解答；

（2）列樹狀圖解答即可.

【詳解】（I）甲社區(qū)老人的15個(gè)年齡居中的數(shù)為：82,故中位數(shù)為82,

出現(xiàn)次數(shù)最多的年齡是85,故眾數(shù)是85；

（2）這4名老人的年齡分別為67,68,66,69歲，分別表示為A、B、C、D,

列樹狀圖如下：

ABCD

/Z/Tx/Tx/\

BCDACDABDABC

共有12種等可能的情況，其中2名老人恰好來自同一個(gè)社區(qū)的有4種，分別為AB,BA,

CD,DC,

???P（這2名老人恰好來自同一個(gè)社區(qū)）=^=1.

【點(diǎn)睛】此題考查統(tǒng)計(jì)知一只，會求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)，能列樹狀圖求事件的概率，熱

練掌握解題的方法是解題的關(guān)鍵.

24.（1）見解析；（2）①;；②小王、小張抽到同一個(gè)實(shí)驗(yàn)的概率為;.

44

【分析】（1）由加權(quán)平均數(shù)公式求解即可；（2）直接運(yùn)用簡單概率求法可得結(jié)果J；用列表

4

法列出所有可能情況，再計(jì)算概率.

⑴——=70X5+85X4+80X1=77

【詳解】解：x甲5+4+1分

=90X5+85X4+75X1=865

x乙

5+4+1分

—,80X5+90X4+85X1

X丙5+4+1分

因?yàn)橐业钠骄煽冏罡撸?/p>

所以應(yīng)該錄取乙；

（2）①小歷參加實(shí)驗(yàn)D考試的概率是I，

故答案足；

②解：列表如下:

ABCD

AAABACADA

BABBBCBDB

CACBCCCDC

DADBDCDDD

所有等可能的情況有16種，其中兩位同學(xué)抽到同一實(shí)驗(yàn)的情況有AA,BB,CC,DD,4

種情況，

41

所以小王、小張抽到同一個(gè)實(shí)驗(yàn)的概率為77=：.

【點(diǎn)睛】本題考核知識點(diǎn)：加權(quán)平均數(shù)，概率.解題關(guān)鍵點(diǎn)：熟記加權(quán)平均數(shù)公式，用列舉

法求概率.

25.（1）享受9折優(yōu)惠的概率為!；（2）顧客享受8折優(yōu)惠的概率為!.

46

【分析】（1）由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤甲共有四種等可能結(jié)果，其中指針指向A區(qū)域只有1種情況，利

用概率公式計(jì)算可得：

（2）畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中確定指針指向每個(gè)區(qū)域的字母相同的結(jié)果數(shù)，利

用概率公式計(jì)算可得.

【詳解】（I）若選擇方式一，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤甲一次共有四種等可能結(jié)果，其中指針指向A區(qū)域

只有1種情況，

???享受9折優(yōu)惠的概率為:；

（2）畫樹狀圖如下：

ABCD

AAAA

ABEABEABEABE

由樹狀圖可知共有12種等可能結(jié)果，其中指針指向每個(gè)區(qū)域的字母相同的有2種結(jié)果，

21

所以指針指向每個(gè)區(qū)域的字母相同的概率，即顧客享受8折優(yōu)惠的概率為.

【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)

不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以

上完成的事件.用到的知識點(diǎn)為：概率?所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

26.（1）-；（2）—

412

【分析】（1）直接利用求概率公式計(jì)算即可；（2）畫樹狀圖（或列表格）列出所有等可能結(jié)

果，根據(jù)概率公式即可解答.

【詳解】（1）7；

4

（2）方法1：根據(jù)題意可畫樹狀圖如下：方法2：根據(jù)題意可列表格如下:

所有可儉

蛆蛆笫第由理的鰭果

(AB)

(A.C)

(AD)

(BA)

(B.C)

(BJJ)

《CA》

(C3)

(CJJ)

g)

(DR)

(D.C)

弟弟

ABCD

姐姐

A(A,B)(A,C)(A,D)

B(B,A)(B,C)(B.D)

C(C,A)(C,B)(C,D)

D(D,A)(D,B)(D,C)

由列表（樹狀圖）可知，總共有12種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中姐姐抽到A

佩奇，弟弟抽到B喬治的結(jié)果有1種：（A,B）.

???P（妞姐抽到A佩奇，弟弟抽到B喬治）=，

【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可

能的結(jié)果，適合十兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解決問題用

到概率公式：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

27.（1）甲組抽到A小區(qū)的概率是:；（2）甲組抽到人小區(qū)，同時(shí)乙組抽到C小區(qū)的概率

4

哈

【分析?】（1）直接利用概率公式求解可得：

（2）畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，根據(jù)概率公式求解可得.

【詳解】（1）甲組抽到A小區(qū)的概率是二,