第十五章軸對(duì)稱大單元教學(xué)設(shè)計(jì)

一大單元主題背景分析（教材分析）一

教材地位與作用

“軸對(duì)稱”位于人教版八年級(jí)上冊(cè)第15章，在初中數(shù)學(xué)體系里占據(jù)關(guān)鍵位置。它是對(duì)圖形變換的深

入探究，此前學(xué)生已接觸簡(jiǎn)單平面圖形，像二角形、四邊形等，也了解平移這一圖形變換方式。軸對(duì)稱作

為又一基礎(chǔ)圖形變化，不但豐富了圖形變換的知識(shí)架構(gòu)，還為后續(xù)學(xué)習(xí)等腰三角形、等邊三角形、菱形、

正方形等特殊圖形的性質(zhì)與判定筑牢根基。在現(xiàn)實(shí)生活中，軸對(duì)稱現(xiàn)象隨處可見，如建筑設(shè)計(jì)、藝術(shù)創(chuàng)作、

日常用品等，通過對(duì)這一章節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生能更好地感知數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，提升運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)剖析

和解決實(shí)際問題的能力，進(jìn)一步培育空間觀念和幾何直觀素養(yǎng)。

新課標(biāo)銜接與核心素養(yǎng)

2022版初中數(shù)學(xué)新課標(biāo)在“圖形與幾何”領(lǐng)域著重強(qiáng)調(diào)圖形的變化，軸對(duì)稱便屬于其中關(guān)鍵主題。

依據(jù)課標(biāo)要求，學(xué)生需理解軸對(duì)稱的基本性質(zhì)，能夠繪制簡(jiǎn)單圖形的軸對(duì)稱圖形，借助軸對(duì)稱進(jìn)行圖案設(shè)

計(jì)，并運(yùn)用其性質(zhì)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題。在這一學(xué)習(xí)進(jìn)程中，可有效培育學(xué)生多方面的核心素養(yǎng)：

數(shù)學(xué)抽象：從生活里豐富的軸對(duì)稱實(shí)例中抽象出軸對(duì)稱圖形及兩個(gè)圖形關(guān)于某直線成軸對(duì)稱的概念，

提煉出軸對(duì)稱的本質(zhì)特征。

邏輯推理：在探究軸對(duì)稱性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)定理與判定定理、等腰三角形和等邊三角形性質(zhì)

與判定定理時(shí)，歷經(jīng)觀察、猜想、驗(yàn)證、證明等環(huán)節(jié)，鍛煉邏輯推理能力。

直觀想象：借助繪制軸對(duì)稱圖形、利用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱等活動(dòng)，增強(qiáng)對(duì)圖形的直觀感知，培育空間想

象能力，能夠在腦海中構(gòu)建出圖形經(jīng)軸對(duì)稱變換后的形態(tài)。

數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)解決諸如最短路徑等實(shí)際問題，將實(shí)際情境抽象成數(shù)學(xué)模型，通過求解模

型得出實(shí)際問題的答案，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

學(xué)情分析

八年級(jí)學(xué)生正處于從形象思維向抽象思維過渡的關(guān)鍵階段，他們對(duì)直觀、生動(dòng)的生活實(shí)例興趣濃厚，

且具備一定的觀察、分析和歸納能力。此前已學(xué)習(xí)過一些基本圖形和圖形變換知識(shí)，積累了一定的幾何學(xué)

習(xí)經(jīng)驗(yàn)，但在抽象概念的理解以及邏輯推理的嚴(yán)密性上還有待提升。在學(xué)習(xí)本章時(shí)，學(xué)生能夠輕松識(shí)別生

活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象，可對(duì)于精準(zhǔn)提煉軸對(duì)稱的數(shù)學(xué)概念或許存在一定難度：在探究圖形性質(zhì)和證明定理過

程中，部分學(xué)生可能在思路梳理和推理表述方面遭遇困難；對(duì)于將軸對(duì)稱知識(shí)靈活運(yùn)用于解決實(shí)際問題，

更是對(duì)學(xué)生的綜合素養(yǎng)提出了較高要求，需要教師加以引導(dǎo)和啟發(fā)。

------單元教學(xué)目標(biāo)------

知識(shí)與技能

?清晰識(shí)別軸對(duì)稱圖形，準(zhǔn)確理解軸對(duì)稱及相關(guān)概念，熟練掌握軸對(duì)稱的基本性質(zhì)。

?能夠精準(zhǔn)繪制簡(jiǎn)單平面圖形關(guān)于給定對(duì)稱軸對(duì)稱的圖形，切實(shí)掌握用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱的方法。

?透徹理解線段垂直平分線、等腰三角形、等邊三角形的概念，牢固掌握其性質(zhì)定理與判定定理，并能

熟練運(yùn)用。

數(shù)學(xué)思考

?歷經(jīng)從具體實(shí)例抽象出軸對(duì)稱概念的過程，提升數(shù)學(xué)抽象能力。

?通過探究軸對(duì)稱性質(zhì)、各類定理的證明，鍛煉邏輯推理能力，學(xué)會(huì)有條理地思考與表達(dá)。

?借助圖形繪制、變換等活動(dòng)，發(fā)展空間觀念和直觀想象能力，提高對(duì)圖形的感知與處理能力。

問題解決

?能夠敏銳發(fā)現(xiàn)并提出與軸對(duì)稱相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)加以分析和解決。

?在解決問題過程中，積極嘗試不同策略和方法，積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力。

?通過小組合作探究活動(dòng)，提升合作交流能力與團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神，共同攻克問題。

情感態(tài)度

?積極主動(dòng)參與課堂探究活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)滿懷熱情，感受數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

?在解決問題遭遇困難時(shí)，勇于堅(jiān)持和嘗試，培養(yǎng)克服困難的意志品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

?體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的價(jià)值，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性。

■學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)

活動(dòng)一軸對(duì)稱及其性質(zhì)

活動(dòng)二線段的垂直平分線

活動(dòng)三軸對(duì)稱的圖形的畫法

活動(dòng)四等腰三角形

活動(dòng)五最短路徑問題

?學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

過程性評(píng)價(jià)

?課堂表現(xiàn)：密切觀察學(xué)生在課堂上的參與度，包括是否積極回答問題、參與小組討論，關(guān)注其思維活

躍度和對(duì)知識(shí)的理解程度。對(duì)于主動(dòng)發(fā)言且回答正確的學(xué)生給予口頭表?yè)P(yáng)；針對(duì)在討論中提出新穎觀

點(diǎn)或思路的小組，在班級(jí)內(nèi)進(jìn)行展示和肯定。

?作業(yè)完成情況：認(rèn)真批改作業(yè)，對(duì)作業(yè)完成質(zhì)量高、解題思路清晰、書寫規(guī)范的學(xué)生進(jìn)行表?yè)P(yáng)，并在

班級(jí)展示優(yōu)秀作業(yè)；針對(duì)作業(yè)中存在的普遍問題，在課堂上集中講解；對(duì)于個(gè)別學(xué)生的問題，進(jìn)行單

獨(dú)輔導(dǎo)，要求學(xué)生及時(shí)訂正，并對(duì)訂正情況進(jìn)行二次批改。

?小組活動(dòng)評(píng)價(jià)：在小組探究活動(dòng)中，觀察學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力，如是否能明確分工、積極配合，對(duì)表

現(xiàn)突出的小組和個(gè)人進(jìn)行記錄，活動(dòng)結(jié)束后進(jìn)行總結(jié)評(píng)價(jià)，可通過小組自評(píng)、互評(píng)和教師評(píng)價(jià)相結(jié)合

的方式，讓學(xué)生相互學(xué)習(xí)，共同提高。

終結(jié)性評(píng)價(jià)

?單元測(cè)試：精心設(shè)計(jì)單元測(cè)試卷，涵蓋選擇題、填空題、解答題等多種題型，全面考查學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱

知識(shí)的掌握程度，包括概念理解、性質(zhì)運(yùn)用、定理證明、圖形繪制以及實(shí)際問題解決等方面。嚴(yán)格按

照考試規(guī)范進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試結(jié)束后認(rèn)真批改，統(tǒng)計(jì)分析成績(jī)，了解學(xué)生的整體學(xué)習(xí)情況和知識(shí)薄弱點(diǎn)。

?項(xiàng)目式學(xué)習(xí)成果展示：布置項(xiàng)目式學(xué)習(xí)任務(wù)，如讓學(xué)生利用軸對(duì)稱知識(shí)設(shè)計(jì)一個(gè)校園景觀方案或一件

藝術(shù)品等。學(xué)生以小組形式完成項(xiàng)目，在課堂上進(jìn)行成果展示。從項(xiàng)目的創(chuàng)新性、實(shí)用性、數(shù)學(xué)知識(shí)

運(yùn)用的合理性以及展示效果等方面進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，評(píng)選出優(yōu)秀項(xiàng)目進(jìn)行表彰。

-----反思性教學(xué)改進(jìn)------

教學(xué)結(jié)束后，全面收集學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋，深入分析過程性評(píng)價(jià)和終結(jié)性評(píng)價(jià)結(jié)果，總結(jié)教學(xué)中的優(yōu)點(diǎn)

與不足，據(jù)此提出針對(duì)性的改進(jìn)措施。若發(fā)現(xiàn)學(xué)生在軸對(duì)稱概念理解上存在模糊之處，后續(xù)可補(bǔ)充更多豐

富且典型的實(shí)例，強(qiáng)化直觀教學(xué)；要是學(xué)生在定理證明環(huán)節(jié)困難較大，可增加證明思路引導(dǎo)和專項(xiàng)練習(xí)；

針對(duì)學(xué)生實(shí)際問題解決能力有待提升的狀況，可引入更多貼近生活的真實(shí)案例，加強(qiáng)建模訓(xùn)練，從而持續(xù)

優(yōu)化教學(xué)過程，提升教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生更好地掌握知識(shí)，發(fā)展核心素養(yǎng)。

-----單元教學(xué)結(jié)構(gòu)圖------

軸對(duì)稱圖形

關(guān)于工軸對(duì)稱

關(guān)于丁軸對(duì)稱用坐標(biāo)表兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱示軸對(duì)稱性質(zhì)

定義

?性質(zhì)■

?判定■

互逆命題/定理

一尺規(guī)作圖

畫軸對(duì)畫對(duì)稱軸

含有落三角形

3稱圖形

步驟

直角三角形

追問：常見的幾何圖形中哪些是軸對(duì)稱圖形？

圖照對(duì)稱軸條數(shù)圖形對(duì)稱軸條數(shù)

師生活動(dòng)：觀察圖片，學(xué)生判斷哪些是軸對(duì)稱圖形，教師訂正。

設(shè)計(jì)意圖：通過不同類型圖片的觀察，幫助學(xué)生理解生活中的軸對(duì)稱圖形。

思考：下面的每對(duì)圖形有什么共同特點(diǎn)？乂有什么區(qū)別？

把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線

（成軸）對(duì)稱，這條直線叫對(duì)稱軸浙疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).

思考：軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱有什么區(qū)別？

一個(gè)圖形具有的特殊形狀兩個(gè)有特殊位置關(guān)系的全等圖彩

1.都是沿著某條直線折疊后能重合；f為二

'2.可以通過分割或整合互相轉(zhuǎn)化.岫對(duì)稱圖形.一軸對(duì)掰

師生活動(dòng)：觀察圖片，回答問題。

設(shè)計(jì)意圖：通過不同圖片的對(duì)比，幫助學(xué)生理解軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的區(qū)別。

■應(yīng)用新知

例L下列四組圖片中有哪兒組圖形成軸對(duì)稱？

Nd冷移

00I

例2E.猜字游戲H

4一C

日

口Z

例3.一輛汽車的車牌在水中的倒影如圖所示，你能確定該車車牌的號(hào)碼嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過例題的解答，讓學(xué)生真正掌握軸對(duì)稱圖形的含義，會(huì)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)補(bǔ)全圖形。

活動(dòng)二線段的垂直平分線

■情境引入

思考：如圖所示，某快遞公司為方便居民收取快遞，準(zhǔn)備在幸福大道上修建一個(gè)快遞收發(fā)點(diǎn)，請(qǐng)問快遞收

發(fā)點(diǎn)應(yīng)建在什么地方，才能使A,B到它的距離相等？

■探究新知

思考：如圖，ZXABC和AA'B'U關(guān)于直線MN對(duì)稱，點(diǎn)A',B',C'分別是點(diǎn)A,B,C的對(duì)稱點(diǎn),

線段AA'，BB，,CC與直線心有什么關(guān)系？

A.WMN,

BB'A-MN,

CCA-MN.

線段垂直平分線的定義：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條戲段的垂直平分線.

如圖，MNJ_AA',AP=A'P.直線MN是線段AA'的垂直平分線.

圖形軸對(duì)稱的性質(zhì)：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分

線.

思考：如圖，直線1垂直平分線段AB,Pl,P2,P3,……是1上的點(diǎn)，請(qǐng)你猜想點(diǎn)Pl,P2,P3,…到

點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之間的數(shù)量關(guān)系.

猜想:AP=BP.

追問：你能證明以上猜想嗎？

已知：如圖，直線dLHB,垂足為C,』C=C5,

求證：PA=PB.

證明：/?ZPC1=ZPC5.

又AC=CB,PC=PC、

△PCAgbPCB(SAS).PA=PB.

線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

師生活動(dòng)：觀察圖片，動(dòng)手實(shí)踐，得出線段垂直平分線的性質(zhì)。

設(shè)計(jì)意圖：通過動(dòng)手實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力。

■應(yīng)用新知

例I.如圖,AD_LBC,BD=DC,點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，AB,AC,CE的長(zhǎng)度有什么關(guān)系?AB+BD與DE有

什么關(guān)系？

解：:AD1BC,BD=DC,

3是的垂直平分線，

「?AB^AC

:點(diǎn)。在花的垂直平分線上,

AC=CE.

*'-AB=AC=CE.

AB=CE,BD=DC,

AB+BD=CD+CE.

即AB+BD=DE.

例2.如圖，在AABC中，BC=8,AB的垂直平分線交BC于D,AC的垂直平分線交BC于E,求△ADE的周

長(zhǎng).

解：:線段3的垂直平分線,

:.DA=DB.

同理可得E4=EC

，ZUDE的周長(zhǎng)三4。+。七+/1￡

=BD+DE+EC

=BC

=8.

思考：如果PA=PB,那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？

已知:如圖,PA=PB.

求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.

證明：過點(diǎn)尸作"的垂線尸C,垂足為點(diǎn)C.

則NPC4=NPCB=90°.

在RtAPC4和RtAPCB中，P

R4=PBtPC=PC,

；?RtAPG4?RtAPCB(HL)./|X.

AC-BC.4N-------菅-、

又PC工AB,

:.點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.

線段垂直平分線的判定：與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.

應(yīng)用格式：

PA=PB,

???點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.

作用：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上.

--------!--------

例3.Z\ABC中，AB=AC,D在AB邊上,M在線段AD上，且MB例C,求證:DB=DC.

證明：A

,..4B=AC,MB=MC,/\

「?直線4”是線段另。的垂直平分線，/\

。在直線上，//r\\

「?DB=DC._I__A

BDC

設(shè)計(jì)意圖：通過例題的解答，讓學(xué)生真正掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生變相思考問題

的能力，運(yùn)用知識(shí).學(xué)生審題是解題的關(guān)鍵，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

從上面兩個(gè)結(jié)論可以看出，線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過來，與線段

兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.所以線段的垂直平分線可以看成與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)

距離相等的所有點(diǎn)的集合.

思考：分析上面關(guān)于線段的垂直平分線的兩個(gè)命題，它們的題設(shè)和結(jié)論有什么關(guān)系？

你還學(xué)習(xí)過其他具有類似關(guān)系的命題嗎？

這兩個(gè)命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反.

我們把具有這種關(guān)系的兩個(gè)命題叫作互逆命題，如果把其中一個(gè)叫作原命題，那么另一個(gè)叫作它的逆命題.

一般地，原命題成立時(shí)，它的逆命題可能成立，也可能不成立.

例如，上面關(guān)于垂直平分線的兩個(gè)互逆命題都是成立的；

而命題“對(duì)頂角相等”成立，它的逆命題“如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角”卻不成立.

如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫作互逆定理，其中一

個(gè)定理叫作另一個(gè)定理的逆定理.

在幾何中，有許多互逆的定理.

例如，上面關(guān)于垂直平分線的兩個(gè)互逆命題是互逆定理，“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”和“內(nèi)錯(cuò)角相

等，兩直線平行”也是互逆定理.

你還能舉出類似的例子嗎？

例4.命題：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角的平分線互相垂直.

(1)請(qǐng)寫出該命題的逆命題；

(2)判斷(1)中的命題是否是真命題？如果是真命題，請(qǐng)畫圖，寫出已知、求證，并證明：如果是假命題,

請(qǐng)舉反例畫圖說明.

(1)解：逆命題：如果兩條直線被笫三條直線

所截形成的同旁內(nèi)角的平分線互相垂直，那么

這兩條直線互相平行.

(2)解：已知：如圖，直線

思考：我們知道下面的圖形是對(duì)稱的，那么我們應(yīng)該如何驗(yàn)證呢？又如何作出它們的對(duì)稱軸呢？

如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，你能作出這條直線嗎？

分析：我們只要連接點(diǎn)A和點(diǎn)B,作出線段AB的垂直平分線，就可得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的對(duì)稱軸.為此作

出到點(diǎn)A,B的距離相等的兩點(diǎn)，即線段AB的垂直平分線上的兩點(diǎn)，從而作出線段AB的星直平分線.

(1)分別以點(diǎn)A,B為圓心，以大于1/2AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于C,D兩點(diǎn)；

⑵作直線CD.CD即為所求.

例5.如圖，某小區(qū)有A,B,C三個(gè)單元，現(xiàn)準(zhǔn)備在小區(qū)內(nèi)建一個(gè)純凈水取水點(diǎn)，要求取水點(diǎn)到三個(gè)單元的

距離相等，請(qǐng)你確定取水點(diǎn)的位置.

追問：根據(jù)線段垂直平分線的尺規(guī)作圖方法，你會(huì)作軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸嗎？

總結(jié)：學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線的作法,就可以作對(duì)稱軸了.

由于成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸是其任意一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)所連線段的垂直平分線，所以只要任意找一對(duì)對(duì)稱

點(diǎn),作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸.同樣地，對(duì)于軸對(duì)稱圖形，只要任

意找一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線,就得到此圖形的對(duì)稱軸.

師生活動(dòng)：利用尺規(guī)作圖，明確俏圖步驟和方法，教師指導(dǎo)。

設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)習(xí)線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖，解決實(shí)際問題，為學(xué)習(xí)作圖形的對(duì)稱軸做鋪墊。

思考：右圖中的六角星有幾條對(duì)稱軸？如何作出這些對(duì)稱軸呢？

作法：

⑴找出六角星上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)A和B,連接AB.

⑵作出線段AB的垂直平分線I.則I就是這個(gè)六角星的一條對(duì)稱軸.

用同樣的方法，一共可以找出六條對(duì)稱軸，所以六角星有六條對(duì)稱軸.

例6.畫出下列圖形的對(duì)稱軸.

思考：尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.

追問：你能寫出已知和求作嗎？

已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C.

求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C.

作法：(1)任意取一點(diǎn)K,使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁；

(2)以點(diǎn)C為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E；

(3)分別以點(diǎn)D,E為圓心，大于1/2DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)F(不同于點(diǎn)C)；

⑷作直線CF.直線CF就是所求作的垂線.

追問1：為什么直線CF即為所求？

團(tuán)從作法的(2)(3)步可知CD=CE,DF=EF,

團(tuán)點(diǎn)C,F都在DE的垂直平分線上.

HCF就是線段DE的垂直平分線.

團(tuán)點(diǎn)D,E在直線AB上，

0CF就是所求直線AB的垂線.

追問2：為什么任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K與點(diǎn)C在直線兩旁？

如果K、C在同側(cè)，則以KC為半徑畫弧將會(huì)與直線AB沒有交點(diǎn).

追問3：為什么要以大于1/2DE的長(zhǎng)為半徑作??？

如果以小于1/2DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧將沒有交點(diǎn).

師生活動(dòng)：教師提問，學(xué)生思考回答。

設(shè)計(jì)意圖：通過問題串的形式，讓學(xué)生充分掌握經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線的尺規(guī)作圖方法,

避免出現(xiàn)錯(cuò)誤。

活動(dòng)三軸對(duì)稱的圖形的畫法

■情境引入

思考：前面我們學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱圖形以及軸對(duì)稱圖形的一些相關(guān)的性質(zhì)，知道了作軸對(duì)稱圖形或成軸對(duì)稱的兩

個(gè)圖形的對(duì)稱軸的方法.

1.找到軸對(duì)稱圖形或成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)

2.連接這一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)

3.作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線

師生活動(dòng)：觀察圖片，回顧舊知。

設(shè)計(jì)意圖：通過熟悉的窗花圖案，回顧作軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸的方法。

■探究新知

思考：果果的父母給孩子定制了一份特別的周歲禮物，將孩子的腳印制作成相框留作紀(jì)念.如何根據(jù)左腳的

腳印制作兩腳的足跡呢？

思考：果果的父母制作的兩腳的足跡有何特點(diǎn)？

追問：1?點(diǎn)P和點(diǎn)P'有何關(guān)系？

2.線段PP'與對(duì)稱軸有何關(guān)系？

歸納：由一個(gè)平面圖形可以得到與它關(guān)于?條直線I對(duì)稱的圖形，這個(gè)圖形與原圖形的形狀、大小完全相

同（位置、朝向可能不同）：新圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)；連接任意一對(duì)對(duì)

應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分.

■應(yīng)用新知

例1.已知點(diǎn)A和直線I,畫出點(diǎn)A關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)A'.

0

AA

解.：如圖所示即為所求，步驟如下：

1.過點(diǎn)A作直線I的垂線，垂足為0,

2.在垂線上截取0Az=0A,

3.點(diǎn)A，就是點(diǎn)A關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn).

例2.已知線段AB和直線I,畫出線段AB關(guān)于直線I的對(duì)稱線段A'B'.

BPB'

（1）過點(diǎn)A作直線I的垂線，垂足為0,在垂線上截取0A，=0A,點(diǎn)A，就是點(diǎn)A關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn).

（2）過點(diǎn)B作直線I的垂線，垂足為P,在垂線上截取PBGPB,點(diǎn)夕就是點(diǎn)B關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn).

（3）連接A，、B\則線段AB即是所畫.

思考：已知線段AB,畫出AB關(guān)于直線I對(duì)稱的線段.

歸納總結(jié)：幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成，對(duì)?于某些圖形，只要畫出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線段端點(diǎn)）

的對(duì)稱點(diǎn)，連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形.

注意：

（1）特殊點(diǎn)對(duì)畫軸對(duì)稱圖形特別重要，找特殊點(diǎn)時(shí)，要把確定圖形形狀的特殊點(diǎn)找全，否則畫出的圖形將

不準(zhǔn)確或不完整.

（2）常見的特殊點(diǎn)，除線段的端點(diǎn)外，還有線與線的交點(diǎn)、中點(diǎn)等.

總結(jié)：畫軸對(duì)稱圖形的方法可以歸納為“一找、二畫、三連”：

L在原圖形上找特殊點(diǎn)（如線段端點(diǎn)）

2.畫出各個(gè)特殊點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)

3.依次連接各對(duì)稱點(diǎn)

例3.如圖，把下列圖形補(bǔ)成關(guān)于直線I對(duì)稱的圖形.

例4.如圖，在正方形網(wǎng)格中，^ABC是格點(diǎn)三角形.（請(qǐng)僅用無刻度直尺完成以下作圖，保留作圖痕跡）.

⑴畫出用A1B1C1,使得mA1B1C1和（3ABC關(guān)于直線I對(duì)稱：

（2）i青在直線I上找一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到A,C兩點(diǎn)的距離相等.

追問2：你能寫出其他點(diǎn)關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)嗎?這些對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)有何特點(diǎn)？

已知點(diǎn)關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)

42國(guó)

?(-U)

。（6用

伏1.1)

自4⑼

總結(jié)：關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)：橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

思考：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中你能畫出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'嗎?

追問2：你能寫出其他點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)嗎?這些對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)有何特點(diǎn)？

已知點(diǎn)關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)

/(23)

?(-U)

。(6尚

歡1.1)

￡(4,0)

總結(jié)：關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)：縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).

城里標(biāo)不直.根

坐標(biāo)互為相反長(zhǎng)

■，產(chǎn)力—一對(duì)稱.和口

.，.-en?.-2＞橫里標(biāo)不變,以

愛標(biāo)互為於反JK

師生活動(dòng)：教幣提問，學(xué)生思考回答。小組交流，班內(nèi)匯報(bào)。

設(shè)計(jì)意圖：通過觀察、操作、交流得出體會(huì)一對(duì)關(guān)于x軸或者y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，加強(qiáng)學(xué)生用數(shù)

學(xué)語(yǔ)言表達(dá)所表示規(guī)律的能力。

■應(yīng)用新知

例5.填空：

1.點(diǎn)P(-5,6)與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為__________.

2.點(diǎn)M(a,-5)與點(diǎn)N(-2,b)關(guān)于x軸對(duì)稱，則a=_____,b=_____.

3.點(diǎn)P(-5,6)與點(diǎn)Q關(guān)于y軸對(duì)稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_______.

4.點(diǎn)M(a,-5)與點(diǎn)N(-2,b)關(guān)于y軸對(duì)稱，則a=____,b=_____.

5.點(diǎn)M(a,-5)與點(diǎn)N(-2,b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a=____,b=_____.

例6.如圖，已知網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1.

⑴作出AABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形4A'B'C',并分別寫出A「，U三點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)求4ABC的面積.

:在直角坐標(biāo)系中畫軸對(duì)稱圖形的方法

:計(jì)算出已知圖形中的一些特殊點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo);

:根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)描點(diǎn)；

:按原圖對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接所描各點(diǎn)得到對(duì)稱圖形.

例7.已知點(diǎn)A(2a-b,5+a),B(2b-1,-a+b).

(1)若點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，求a、b的值；

(2)若A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，求(4a+b)2025的值.

解：(1”..點(diǎn)4、5關(guān)于x軸對(duì)稱，

2a—b=2b—\t5+a-a+Z>=0.

解得々=—8,b=-5.

(2),/A.3關(guān)于y軸對(duì)稱，

二.2a—6+26-1=0,5+a=-a+6.

解得a=-1,b=3.

(4a+Z>)2025=-l.

師生活動(dòng)：學(xué)生思考例題，主動(dòng)練習(xí)，教師引導(dǎo)學(xué)生解題并講評(píng)。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過例題鞏固所學(xué)，熟悉點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的規(guī)律，并能利用其解決實(shí)際問題。

活動(dòng)四等腰三角形

■情境引入

思考：觀察圖片，你能找到什么特殊的幾何圖形？

師生活動(dòng)：觀察圖片，回答問題。

設(shè)計(jì)意圖：通過生活中的圖片，得到等腰三角形的定義。

■探究新知

定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，

另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.

思考：找一張等腰二角形紙片，動(dòng)手折?折，它是軸對(duì)稱圖形嗎？其中有哪些相等的角和線段？

相等的邊相等的角

AB^ACN5與NC

BD與CDNSzLD與NC4Q

AD與AD與NdDC

等腰三角形的性質(zhì)1:等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）.

追問1:你能寫出已知和求證嗎？

已知：如圖,在"BC'|>,AB=AC.

求證：ZB=ZC.

追問2：你能寫出證明過程嗎？

證明：作頂角的平分線4D,

方法1：作底邊上的中線.證明：作底邊BC上的高HD.

則N5HD=NC/1D.

證明：作底邊的中線TO,貝IJ5O=CDVAD1BC,AZ.ADB=^ADC=9C°.

AB=AC在△45。和△48中，

在RtAjBD與RtZkJCD中，

在公切。和△CXO中，■BD=CDAB=AC（B?）,

AD=AD.N54。=NCW（己作）.（已知），

???^BAD^ACAD（SSS）.1AD=AD（公共邊），

=（公共邊），

???NB=NC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.

AJ5D221JCD（SAS）.N5=NC二.RtA.lBD^RtZUCD（HL）：N3=NC.

師生活動(dòng)：學(xué)習(xí)等腰三角形的概念，舉手回答問題，學(xué)生思考等邊對(duì)等角的證明方法。

設(shè)計(jì)意圖：通過折紙活動(dòng)理解等股三角形的性質(zhì)1,通過一題多解鍛煉學(xué)生的邏輯思維。

例L填空：

（1）等腰直角三角形的每一個(gè)銳角的度數(shù)是；

（2）如果等腰三角形的底角等于40°,那么它的頂角的度數(shù)是;

（3）如果等腰三角形有一個(gè)內(nèi)角等于80°,那么這個(gè)三角形的最小內(nèi)角等于

（4）AABC中，AB=AC,NA=36<^|NB=,ZC=.

（5IAABC中，AB=AC,NB=36<^I|NA=，ZC=.

例2.如圖，ZAOB=15°,且OA=AB=BC=CD.求N1的度數(shù).

解：VOA=AB,

ALABO=Z.O=\y,砌0=150°,

/.ZBAC=/.AB&￥￡0=309.

,；AB=BC,

A/.ACB=^BAC=3Q°,

，NCBO=135°,:.乙CBD=48乙ACB=45°.

,/BC=CD,：.^D=ZCBD=4S9,AZBCD=909,

???N1=180°一/BCD—/BCO=60°.

例3.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)定理完成卜.列填空.

在“BC中，AB=AC.

(1)0AD0BC,

03=0,=.

(2)0AD是中線,

團(tuán)0,m=0.

(3)SAD是角平分線，

00,=.

思考：對(duì)于以上三組條件和結(jié)論，你有何思考？

總結(jié)：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(簡(jiǎn)寫成“三線合一”).

注意：一定是需要底邊上的中線和高才行！

例4.如圖，在ZXABC中，AB=AC,AD±BC,CE1AB,AE=CE.

求證：⑴△AEFgACEB；(2)AF=2CD.

證明：；Z.B+^BAD=909,

CELAB,:.NB+NBCE=90’,

(2)-."AAEF^△CE5,

，乙EAF=4ECB,

在△ylEFiftJZkCES中，：AF=BC,

2EAF=4CB,

'：AB=AC,AD上BC,

=

■"AECEt

ZAEF=4CEB/.CD=BD,：.BC=2CD,：AF=2CD

：.AAEFa△CEB(ASA)

例5.Z\ABC,AB=AC=5,AB的垂直平分線DE交AB、AC于E、D.

(1)若ABCD的周長(zhǎng)為8,求BC的長(zhǎng)；

(2)若(3ABD=(3DBC,求同A.

BC

解：(2)設(shè)乙4=x,

懈:(1)

vDA=DB,

的垂亙平分線DE交48、4c于E、D,乙48。=乙4=x,

DA=DB,■:Z.ABD=Z.DBC,

:.AD3C=x,

,??△8CD的周長(zhǎng)為8,???AB=AC,

--.4C+BC=8,乙48c■LACB■2x,

則x+2x+2x=180°,

又AC=?5,

解得*=36°,

BZ-3.LA=36°.

師生活動(dòng)：學(xué)生思考例題，主動(dòng)練習(xí)，教師引導(dǎo)學(xué)生解題并講評(píng)。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過例題見周所學(xué)，熟悉等腰三南形的性質(zhì)，并能利用其熟練解題。

探究：己知aABC中，NA=NC,求證：AB=BC.

證明：過B作平分NH5C交4C千點(diǎn)Q.

BI]Z1=Z2.

在&4BD與ACBD中,

「/1=/2，發(fā)

//=",

BD=BD,A^~-------------

&4BD9ACBD.

AB=BC.

等腰三角形的判定方法:如果個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）.

?應(yīng)用格式：

在A45C中，A

?,，b=/C（已知），

?AC^AB（等角對(duì)等邊）,

即AC為等腰三角形./C

名稱圖形叔念性質(zhì)判定

兩晨相等兩邊相等

A

有兩邊相等

等原的三角形是

等這對(duì)等角等角對(duì)等邊

三,形等用三用形

BAC

三段合一

師生活動(dòng)：結(jié)合猜想，學(xué)生說出已知和求證，指定學(xué)生板演。教師歸納定理，寫出幾何語(yǔ)言，同時(shí)講解判

定和性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系。

設(shè)計(jì)意圖：在自主探究的過程中，學(xué)會(huì)合作學(xué)習(xí)，強(qiáng)化學(xué)生的合作意識(shí)，提升交流能力，使學(xué)生在探究學(xué)

習(xí)的過程中領(lǐng)悟得到其命題的方法。

例6.如圖，D是AC上的一點(diǎn).

（1）若回A=E）ABD,則=

（2）若CB=CD,貝幅=0

例7.如圖，在AABC中，BD平分/ABC,過點(diǎn)D作BC的平行線DE交AB于E,試說明DE=BE的理由.

解：

平分NTIBC（已知）

：.4BD=NDBC（角的平分線的意義）

,:DEHBC（已知）

:.乙DBC=4EDB（兩直姣平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

:.乙ABD=ZEDB（等量代換）

BE=DE（等角對(duì)等邊）

例8.尺規(guī)作圖：已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)為a,底邊上的高為h（如圖所示），求作這個(gè)等腰三角形.

作法：

a⑴作線電45=a

（2）作線阻5的垂直平分線MV與X5相交于點(diǎn)。

h<3）在MV上取一點(diǎn)C使DC=〃.

--------------------------------（4）連接4cBe則。C就是所作的等腹三角形.

思考：下面的交通標(biāo)志是什么圖形？什么是等腰三角形？

氐N

在等腰三角形中，有一種特殊的情況，就是底與腰相等，即三角形的三邊相等，我們把三條邊都相等

的三角形叫做等邊三角形.

追問：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角之間有何關(guān)系？

等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60。.

已知：AJ5c中，.4B=aC=BC求證：ZJ=ZB=ZC=60°.

證明：VAB=AC,A

.../5=NC（等邊對(duì)等角）.A

同理，ZJ=ZC./

LA=Z-B=Z-C./

VZJ+ZB+ZC=180°,?/

A/J=ZB=ZC=60°.

追問：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？有幾條對(duì)稱軸？

等邊三角形一定是銳角三角形嗎？

等邊三角形仍然滿足"三線合一"嗎？

（1）等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有3條對(duì)稱軸.

（2）等邊三角形三個(gè)角都相等，都是60".

（3）等邊三角形三條邊都相等.

（4）等邊三角形一定是銳角三角形.

（5）等邊三角形每條邊上的中線，高和所對(duì)角的

平分線都“三線合一”.

追問：等邊三角形和等腰三角形有什么區(qū)別和聯(lián)系？

圖形等屋三角影等邊三角影

兩條邊相等三條邊任相等

兩個(gè)底角相等三個(gè)角都相等，且邯是60?

性質(zhì)

底邊上的中戰(zhàn)、每一邊上的中線、高和這

高和頂角的平分一邊所對(duì)的角的平分線互

統(tǒng)互相生合相重合

1條對(duì)稱軸3條對(duì)希勃

師生活動(dòng)：以小組為單位先猜想、再通過合作探究，得出結(jié)論后表達(dá)交流。先獨(dú)立猜想，然后以小組為單

位對(duì)本組成員的所有猜想通過畫圖利定義進(jìn)行驗(yàn)證。

設(shè)計(jì)意圖；類比等腰三角形的學(xué)習(xí)方法理解和學(xué)報(bào)等邊三角形的性質(zhì)梟判定，使學(xué)生對(duì)研究幾何圖形的一

般方法有了進(jìn)一步的感知和體臉。

例9.如圖，I3ABC為等邊三角形，DE0BC,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E.

求證：姐DE為等邊三角形.

證明：

???△48C為等邊三角形，

???LA=zS=zC,

vDEIBC9

???Z.ADE=zS,Z,AED=zC,

-%―4—^.ADE=^AED9

.?.△4DE為等邊三角形

例10.求證：有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

證明：

情況二：

情況一：

若底角NA=NO60'，

若頂角,

由三角形的內(nèi)角和得

由三角形的內(nèi)角和得

Z.A=（180s-60°B）WO,

Z5=ZO=^x（180。-60°）

z^=zs=zc

等邊三角形

/.Z^=ZB=ZC綜上所示，有一個(gè)角是60’的

為等邊三羯形等腰三角形是等邊三角形

歸納：等邊三角形的判定方法

三條邊都相等的三角形是等邊三角形

三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形

例11.如圖，等邊0ABe中，D、E,F分別是各邊上的點(diǎn)，且AD=BE=CF.

求證：0DEF是等邊三角形.

證明：乙^。為等邊三角形，且AD=BE=CF,

:.AF=BD=CE,ZJ=ZB=ZC=6O°.

，MDF受ABED叁4CFE(SAS).

DF=ED=FE.

「.△DEF是等邊三角形.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立解答，并板書展示，學(xué)生相互評(píng)價(jià)。

設(shè)計(jì)意圖：夯實(shí)底礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力。

思考：如圖，在RtZ\ABC中，ZBCA=90°,如果NA=30°,那么直角邊BC與斜邊AB有什么關(guān)系呢?

BA

含30°角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)更角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于

斜邊的一半.即BC=CD=1/2BD=1/2AB.

應(yīng)用格式：

在RtAABC中，VZC=90°,NA=30°,

:.BC=1/2AB.

思考：如何證明以上結(jié)論？

證明方法二：中姣法

證明方法一：或長(zhǎng)法

證明：在上假取B￡=8C,連接EC.

證明：取線段45的中點(diǎn)D,連接8

VZB=60°,BE=BC,

ABCE是等邊三角影.CD為RtZUSC斜邊AB上的中線,

Z5￡C=60*,BE=EC.:.CD=xAB=BD

VZy<=30,,

ZECABEC-N/=60°-30*=30°?-?4BCA=9Q‘，且N/=3(T,

AE=EC.

:.N5=60’.

：.AE=BE=BC

AB-AE-BE~2BC???4CBD為等邊三角形

3C=^AB?*-BC=BD=；AB.

證明方法三：倍長(zhǎng)法

證明：在△々c中，

VZJC5=90°,ZfiJC=30".

，NB=60°.

延長(zhǎng)5c到。，使BD=4B,送接.4D,

則△的是等邊三角形.

BC=-BD=-AB.

22

追問：如圖，在RtZ\ABC中，NBCA=90°,若BC=1/2AB,那么NA=30"嗎？

解:如圖，取線段X5的中點(diǎn)。，連接8.

CD是曲邊上的中線，

：-CD^\AB=BD.

???BC=^AB,

BC=BD=CD,即△5DC為等邊三角形.

."5=60°.

,/Nd+N5=90°

，N4=30°.

互為逆命題

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30。，那么它所時(shí)的直角邊等于斜邊的一半.

在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30。.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立解答，并板書展示，學(xué)生相互評(píng)價(jià)。

設(shè)計(jì)意圖：利用等邊三角形的性質(zhì)學(xué)習(xí)在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等

于斜邊的一半，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，同時(shí)學(xué)習(xí)互逆命題的概念。

例12.如圖，在aABC中，已知NACB=90°,CD垂直于AB,垂足為點(diǎn)D,/A=30°.求證:AB=4BD.

解：在RtZX/fBC中，VZJ=30°,..BC=\AB.

又Nd+/B=90°,N5=60°.

在RtZkBCD中，,??N5+NBCD=90。，

A^BCD=9Q9-N5=30°.

故BZ>=：5C.又5cg5,

則或>二95,即J5=45Z).

例13.如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC,DE垂直于橫梁AC,AB=7.4cm,NA=30°.

求立柱BCZDE的長(zhǎng).

解：vDE1AC,BC1AC,ZLA=30°,

11

BC=-AB.DE=-=AD.

22

BC=-x7.4=3.7(m).

又

:.DE=-/ID=-x3.7=1.85(m).

二立柱8c的長(zhǎng)是3.7m,DE的長(zhǎng)是1.85m.

設(shè)計(jì)意圖：通過例題的解答，讓學(xué)生真正掌握知識(shí)的應(yīng)用，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生變相思考問題的能力，運(yùn)用知識(shí).

學(xué)生審題是解題的關(guān)鍵，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

活動(dòng)五最短路徑問題

■情境引入

思考：如圖，一位將軍從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊1飲馬，然后到B地，將軍到河邊的什么地方飲

馬，可使所走的路徑最短？

■探究新知

思考：如何把前面我們提到的“將軍飲馬”問題抽象成我們熟知的數(shù)學(xué)問題？

將A,B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河1抽象為條直線

問題轉(zhuǎn)化為：在直線1上確定一點(diǎn)C,使得AC+BC最短.

數(shù)學(xué)問題

追問1：現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A,B分別是直線I異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在I上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B

的距離的和最短？

連接AB,與直線I相交于點(diǎn)C.根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，電知這個(gè)交點(diǎn)C即為所求.

追問2：如果點(diǎn)A,B分別是直線I同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，乂應(yīng)該如何解決？能夠借助異側(cè)兩點(diǎn)的思路來解決同

側(cè)問題？

如果將點(diǎn)B"移”到I的另一側(cè)B，處，滿足直線I上的任意一點(diǎn)C,都保持CB與CB，的長(zhǎng)度相等，就可

以了！利用軸對(duì)稱，作出點(diǎn)B關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)

總結(jié)：“將軍飲馬”問題解決思路

⑴作點(diǎn)B關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)B，；

⑵連接ABS與直線I相交于點(diǎn)C.則點(diǎn)C即為所求.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，教師板書展示，學(xué)生相互討論。

設(shè)計(jì)意圖：通過情境引入，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，利用異側(cè)兩點(diǎn)之間的最短距離的學(xué)習(xí)，類匕同側(cè)兩點(diǎn)之

間的最短距離，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)建立新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，幫助學(xué)生快速獲得問題的答案。

■應(yīng)用新知

例L如圖，在長(zhǎng)度為1個(gè)單位的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C在小正方形的頂點(diǎn)上.(1)在區(qū)中畫出與4

ABC關(guān)于直線MN成軸對(duì)稱的ADEF;

⑵在直線MN上找一點(diǎn)P,使PB+PC的長(zhǎng)最短.

⑴分別作出點(diǎn)A,B,C關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)，再順次連接即可;

(2)由題意，PB+PC=PB+PF,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可求作.

例2.如圖，在RtZ\ABC中，NC=90°,AC=3如B=5,D,E,F分別是AB,BC,AC邊上的動(dòng)點(diǎn),求DE+EF+FD的最小

值.

解：如圖，作D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)M,關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)N,

連接CM,CN,CD,EN,FM,DN,DM.

0DF=FM/DE=EN,CD=CM/CD=CN/

0CD=CM=CN/

配]MCA=13DCA,(3BCN=[2)BCD,

0ACD+@BCD=9O°,

團(tuán)團(tuán)MCD+回NCD=180°,

0M,C,N共線，

團(tuán)DE+EF+FD=FM+EN+EF,

0FM+EN+EF>MN,

團(tuán)當(dāng)M,F,E,N四點(diǎn)共線時(shí),且CD回AB時(shí)，

DE+EF+FD的值最小為MN=2CD,

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