（人教2024版）數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

專(zhuān)題。1三角形

目錄

A題型建模?專(zhuān)項(xiàng)突破

題型一、作圖問(wèn)題............................................

題型二、三角形三邊關(guān)系.......................................................2

題型三、分類(lèi)討論思想的應(yīng)用...................................................3

題型四、三角形的面積問(wèn)題.....................................................4

題型五、三角形的中線(xiàn)、面和角平分線(xiàn)...........................................7

題型六、三角形的折疊問(wèn)題.....................................................8

題型七、三角形的內(nèi)角和外角...................................................9

題型八、三角形的綜合探究.....................................................II

B綜合攻堅(jiān)?能力躍升

A題型建模?專(zhuān)項(xiàng)突破

題型一、作圖問(wèn)題

1.小涵求VA3C的面積時(shí),作了A8邊上的高，下列作圖正確的是（）

D.

2.如圖，0A8C中8C邊上的高是（）

C.BED.CF

3.如圖，在VA8c中，關(guān)于IWJ的說(shuō)法正確的是（）

A.線(xiàn)段AD是笈。邊上的高B.線(xiàn)段是A3邊上的面

C.線(xiàn)段。尸是人。邊上的高D.線(xiàn)段C尸是BC邊上的窗

4.如圖，在R"A8/中，//=90。，點(diǎn)C是線(xiàn)段跖上異于點(diǎn)8和點(diǎn)尸的一點(diǎn)，連接4C,過(guò)點(diǎn)C作CDJ.AC

交A8于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)C作CE上AB交AB于點(diǎn)E,則下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）

A.VA3C中，A8邊上的高是CEB.VA3C中，4c邊上的高是M

C.“VC力中，AC邊上的高是CED.△ACZ）中，CO邊上的高是AC

5.數(shù)學(xué)課上同學(xué)們用三角板作三角形的高，有四位同學(xué)的作法如下，其中正確的是（）

A.線(xiàn)段AQB.線(xiàn)段/C.線(xiàn)段8GD,線(xiàn)段CE

故選D.

題型二、三角形三邊關(guān)系

7.若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和9,則第三邊長(zhǎng)可能是（）

A.6B.3C.2D.11

8.如圖，已知點(diǎn)”是直線(xiàn)/上的一點(diǎn)，點(diǎn)。在直線(xiàn)/的上方，以點(diǎn)。為圓心，OW長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線(xiàn)/

于另一點(diǎn)、N.若OM=5,則MN佗長(zhǎng)不可能是（）

9.為估計(jì)池塘兩岸A、8間的距離，如圖，小明在池塘一側(cè)選取了一點(diǎn)0,測(cè)得0A=16m,0B=12m,

那么AB的距離不可能是（）

o

A.5mB.15mC.2（）mD.30m

10.如圖，A,8兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小麗在池塘的一側(cè)選取點(diǎn)P,測(cè)得P4=20m,PB=15m,

那么A,8間的距離可能是（）

力U05

A.40mB.35mC.25mD.5m

11.如圖，數(shù)軸上A,8兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離分別是三角形兩邊的長(zhǎng)，則該三角形第三邊的長(zhǎng)可能是（）

I.A.■IIII.B

-5-4-3-2-1012345

A.1B.4C.7D.8

12.三根底端對(duì)齊的小棒中有?根被擋板遮住了，它們的長(zhǎng)度如圖所示.若三根小棒可以圍成三角形，則

第三根小棒的長(zhǎng)度可以是（）

13.已知三角形的三邊長(zhǎng)為3,5,a+1,則化簡(jiǎn)的結(jié)果為.

14.已知一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且其中兩條邊長(zhǎng)分別3cm和5cm,則第三邊的長(zhǎng)度可能是

cm.（寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一個(gè)答案即可）

15.若VA3C的兩條邊分別長(zhǎng)3cm和2cm,第三邊的長(zhǎng)是一個(gè)奇數(shù)，則第三邊長(zhǎng)cm.

16.若三角形的三邊分別為5cm,Xcm，S-2）cm,則。的取值范圍是

題型三、分類(lèi)討論思想的應(yīng)用

17.等腰三角形兩邊的長(zhǎng)分別為3cm和7cm,則這個(gè)三角形的第三邊是（）

A.3cmB.7cmC.10cmD.無(wú)法確定

29.如圖，AO是VA3c的中線(xiàn)，CE是d8的中線(xiàn)，是gEC的中線(xiàn)，若S△即=2,則工.等于（)

30.如圖，財(cái)8C中，點(diǎn)。是A8邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是8C邊上的中點(diǎn)，若SA*二12,則圖中陰影部分的面

積是（）

A.6B.4C.3D.2

31.如圖，的WC中，AO是4c邊上的中線(xiàn)，6￡是財(cái)8。中A。邊上的中線(xiàn)，若財(cái)8。的面積是24,則財(cái)

的面積是（）

32.如圖，D、E是VA8C邊A汰上的點(diǎn)，AD=BD,BE=2CE,設(shè)△A。/7的面積為3，△（?斯的面

積為S2,若VA8C的面積為12,則S/§2的值為（）

A.1B.2C.3D.不能確定

33.如圖，在VA4C中，點(diǎn)。、E分別在BC、AC邊上，E是AC的中點(diǎn)，BC=3BD,的與A。相交于

點(diǎn)、F,S^ABE=6,則△AS的面積為（）

A

A.9B.12C.8D.10

34.如圖，在VA8C中，E是BC上的一點(diǎn)，EC=2BE,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，設(shè)VA8C,△ALE△比廠(chǎng)的面

積分別為，ABC，SjDF,S4BEF，且SAA8c=18，則，ADF-S"EF=（）

A.2B.3C.4D.5

35.如圖，在V48C中，D、E、尸分別是BC、AC.4。的中點(diǎn)，若V48C的面積是40,則四邊形8。四

的面積是（）

36.如圖是一塊面積為28cm?的三角形紙板，其中點(diǎn)。，旦廠(chǎng)分別是線(xiàn)段力凡次）,七C的中點(diǎn)，則陰影部分的

面積是—cm2.

37.如圖，。、石分別是VA4C的邊AB、4c的中點(diǎn)，連接。￡、BE,則凡八小：5BC￡=

A

BC

題型五、三角形的中線(xiàn)、高和角平分線(xiàn)

38.如圖，在VABC中，ZC：=壽，。，E是AC上兩點(diǎn)，且RD平分/EBC,那么下列說(shuō)法中

不正確的是（）

C

A.a:是△A8O的中線(xiàn)B.8。是△8CE的角平分線(xiàn)

C.Z1=Z2=Z3D.4c是的高

39.已知命題：“三角形三條高線(xiàn)的交點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部.”琪琪想舉一反例說(shuō)明它是假命題，則下列選

項(xiàng)中符合要求的反例是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等邊三角形D.任意三角形

40.如圖，三角形ABC中，ZACB=90°fCO_LA8于點(diǎn)。，若A8=5,4c=3,BC=4,則點(diǎn)C到直線(xiàn)

的距離是（）

C

ADB

12

A.—B.3C.4D.5

5

41.在VA3C中，4）是中線(xiàn)，△ACD與△ABO的周長(zhǎng)差為7.若A8=5,則AC=（）

A

aDc

A.10B.12C.14D.15

42.已知3。是V/WC的中線(xiàn)，若△AB。與△以?的周長(zhǎng)分別為21,⑵則A4—4C=

43.如圖，在V/WC中，BOJ.AC于點(diǎn)D,平分,交3。于點(diǎn)F,ZABC=90。，求證：ZBEF=ZBFE.

44.如圖，在VABC中，AO是AC邊上的中線(xiàn)，AADC的周長(zhǎng)比AABD的周長(zhǎng)多5cm,\ABC的周長(zhǎng)為50cm,

且BC=17cm,求AC的長(zhǎng).

45.在VAAC中：

(1)如圖，若NA=60。，AS,AC邊上的高CE,B。交于點(diǎn)。.求/8O。的度數(shù);

(?)若NA為鈍角，AB,46邊上的高CE,8C所在直線(xiàn)交于點(diǎn)O,畫(huà)出圖形，并用量角器量一量，可

知/物C+N3OC=_,用你已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)加以說(shuō)明；

(3)由(1)(2)可以得到什么結(jié)論，嘗試寫(xiě)出來(lái).

題型六、三角形的折疊問(wèn)題

46.如圖，將直角三角形紙片A8C的直角。沿E/折密，點(diǎn)C落在紙片內(nèi)部的點(diǎn)尸處.如果？FEP48?,

A.42°B.48°C.84°D.96°

47.如圖，在AABC中，ZA=28°,ZAC4=100。，點(diǎn)。在邊A8上，將V/WC沿CO折疊，使點(diǎn)8落在AC

邊上的點(diǎn)9處，則40?的度數(shù)為

48.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,4=52。，D、E分別在AB、AC上，將VAOE沿OE折疊得VFDE,

49.如圖，把三角形紙片"C折疊，使得點(diǎn)〃，點(diǎn)C都與點(diǎn)A重合，折痕分別為。E,MN,若N8/1C=100°,

則度.

50.如圖所示，在數(shù)學(xué)拓展課上，小聰將直角三角形紙片A8C（NA=25。，N8=65。）沿。石向上折疊，點(diǎn)A

題型七、三角形的內(nèi)角和外角

51.在“三角形拼角”實(shí)驗(yàn)中，明明把一副三角尺按如圖所示的方式放置，則Na=（）

52.如圖，在VABC中，。是48上一點(diǎn).連接CO.則Nl,N2,N3的大小關(guān)系是（）

E

A3

A.Z1<Z2<Z3B.Z1<Z3<Z2

C.?3?2?1D.Z2<Z1<Z3

53.如圖，N1的大小等于（）

C.60°D.70°

54.如圖，從A處觀測(cè)C處的仰角NC4O=30。,從8處觀測(cè)C處的仰角NC%>=55。，從C處觀測(cè)A,B

兩處的視角-AC。的度數(shù)是（）

D.35°

55.一把直尺與一塊三角板如圖放置，若Nl=43。，則N2的度數(shù)為（）

C.133°D.137°

Z2=62°,則/3的度數(shù)為（）.

C.55°D.68°

57.如圖，在VA4C中，。是8A延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，NC4O的平分線(xiàn)與NC/3D的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)￡當(dāng)

/E+/C=60。，/芯班=25。時(shí)，NC4O的度數(shù)為.

c

58.如圖，將三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，Zl=30°,Z2=50°,則N3=1

題型八、三角形的綜合探究

59.已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,8,a.

⑴求。的取值范圍；

⑵若“為偶數(shù)，則組成的三角形的周長(zhǎng)最小是多少？

60.(1)己知“18。的三邊長(zhǎng)分別為mb,c.化簡(jiǎn):\a-b-c\-\b-c-a\+\a+b-c\.

(2)一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為25cm,一邊長(zhǎng)為5cm，求另兩邊的長(zhǎng).

61.如圖，V人AC中，ZB=20°,NC=60。，點(diǎn)。為邊BC上一點(diǎn)，將△人9。沿直線(xiàn)4。折疊后，點(diǎn)8落

到點(diǎn)月處，恰有8'O〃AC,求NADC的度數(shù).

62.如圖，在VA4C中，8。平分/A5C交AC于點(diǎn)。，點(diǎn)E在A8邊上，連接OE,已知ZEBD=NEDB.

(1)請(qǐng)說(shuō)明：。月〃BC；

(2)若3D_LAC,/ADE=70°,求/BED的度數(shù).

63.如圖，在VA4c中，P是線(xiàn)段8c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不與8,C重合，PD工AB,PELAC.

A

A

圖①圖②

(1)已知N8AC=80。，ZB=ZC.

①NDPE=_；

②若ZAP8=3NE4C,則ZAPD=_；

(2)如圖②，已知A8=AC,作8尸_/AC,試探究8尸，PE,PD之間的關(guān)系.

綜合攻堅(jiān)?能力躍升

1.在等腰三角形A8C中，AB=AC,若中線(xiàn)8。將該三角形的周長(zhǎng)分為5和3兩個(gè)部分，則該等腰三角形

的底邊氏為（）

445

A.-B.4C.一或4D.，或4

333

2.如圖，分別延長(zhǎng)VA4C的邊A8,8C,C4,使得BD=A8,CE=2BC,4F=24C.若VA4C的面積為1,則

尸的面積為（）

3.在三角形紙片A8C中，ZA=90,NC=25。，點(diǎn)。為AC邊上靠近點(diǎn)C處一定點(diǎn)，點(diǎn)E為8C邊上一動(dòng)

點(diǎn)，沿。石折疊三角形紙片，點(diǎn)C落在點(diǎn)C處.

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)C落在BC邊上時(shí)，/4。仁=50;

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)C落在V48C內(nèi)部時(shí)，^ADC+^BEC=50;

③如圖3,當(dāng)點(diǎn)C落在V48C上方時(shí)，ZBEC-^ADC'=50;

④當(dāng)C'E〃AB時(shí)，/CDE=32.5或/CZ）E=123.5,以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

圖1圖2圖3

A.1B.2C.3D.4

4.定義：一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的2倍，這樣的三角形叫做“倍長(zhǎng)三角形〃.若等腰VA8C是〃倍長(zhǎng)

三角形”，腰48的長(zhǎng)為6,則VA3c'的周長(zhǎng)為.

5.如圖，在VABC中，AE工BC于點(diǎn)、E,AB=9,BC=8,AE=1,尸為A8邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接8，則U的

最小值為.

6.如圖，將長(zhǎng)方形紙片A8CD依次折疊兩次：第一次以MN為女痕，使點(diǎn)A落在CO上的點(diǎn)E處；第二次

以加1為折痕，使點(diǎn)N與點(diǎn)石重合，點(diǎn)K落在點(diǎn)9處.若ZD￡M=30°,則/石"G的度數(shù)為.

7.如圖，叫和C4分別是VA4C的內(nèi)角平分線(xiàn)和外角平分線(xiàn)，B4是乙的角平分線(xiàn)，CA2是幺6的

角平分線(xiàn)，是48。的角平分線(xiàn)，C4是N&CO的角平分線(xiàn)，依此下去，若NA=a,則NA位3為.

8.等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,在RlZ\A8C中，NA8C=90。，AB=6,BC=8,AC=\O,BDA.AC,垂足為點(diǎn)0,則8。的

長(zhǎng)是

⑵如圖2,在VA6c中，A8=3,3。=6,則VA4C的高AO與C￡的比是,

⑶如圖3,在VA8C中，ZA=90°,NAAC>45。，點(diǎn)。，E分別在邊AC,AC上，旦BE=EC,DMJ.BE,

DNLAC,垂足分別為點(diǎn)M,N.若A8=8,DM=3,求ON的值.

9.已知：點(diǎn)A在射線(xiàn)C￡上,ZC=ZD.

圖3

(1)如圖1,若AC〃BD,求證:AD//BC；

(2)如圖2,若NBAC=NBAD,RD1RC,請(qǐng)?zhí)骄縉D4E與NC的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的探究結(jié)論，并加以證

明;

(3)如圖3,在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)。作/）尸〃AC交射線(xiàn)CE于點(diǎn)尸，當(dāng)NO產(chǎn)E=8ND4E時(shí)，求/刖。的

度數(shù)（直接寫(xiě)出答案即可）.

10.如圖，已知直線(xiàn)AB〃CO.

H

G

DC

圖3

(1)如圖1,求證：/D=/E+NB.

⑵如圖2,點(diǎn)尸在48、CO之間，連接E尸、DF,EG平分ZBEF,AG平分NEF。，NO=26。，求與

NG之間的數(shù)量關(guān)系.

⑶如圖3,點(diǎn)G為直線(xiàn)A8,。。之間一點(diǎn)，且在內(nèi)部，點(diǎn)〃為直線(xiàn)A8上一點(diǎn)，連接EH,

ZDEH=nZGEHtZEDC=nZGDC,當(dāng)2NG-NE〃8=180。恒成立時(shí)，〃

11.已知/MON,點(diǎn)A,〃分別在射線(xiàn)QV,QW上移動(dòng)（不與點(diǎn)。重合），AO平分NRAN,BC平分

AD（或其反向延長(zhǎng)線(xiàn)）與BC交于點(diǎn)C.

圖①圖②

（1）如圖①，若NMON=9（）。，試猜想NACB的度數(shù)，并直接寫(xiě)出結(jié)果；

⑵如圖②，若/MON=a,問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)4,3在射線(xiàn)ON,OM上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，NAC8的度數(shù)是否改變？若

不改變，求出其值（用含。的式子表示）；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由.

12.根據(jù)以下探究過(guò)程，完成所提出的問(wèn)題.

圖3

⑴探究L如圖1,CP平分BP與CP相交于■點(diǎn)P,若/4=70。,

則ABPC=度.

⑵探究2：如圖2,ND8C與NEC8是VABC的兩個(gè)外角，BP平分/DBC,CP平分/EC8,AP與CP相

交干點(diǎn)尸，求N8PC與NA的數(shù)號(hào)關(guān)系.

（3）拓展：如圖3,NE8C與/8C/是四邊形"CO的兩個(gè)外角，BP平分NEBC,CP平分NBCF,BP和CP

相交于點(diǎn)尸，設(shè)NA+NO=a.

①求出/3PC與a的數(shù)量關(guān)系；

②根據(jù)a的值的情況，判斷△8PC的形狀（按角分類(lèi)）.

13.【問(wèn)題情景】如圖①，有一塊直角三角板尸的放置在VA8C上（產(chǎn)點(diǎn)在VABC內(nèi)），三角板kMV的兩

條直角邊EW、PN恰好分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)3和點(diǎn)C.

【特例探究】

（1）若ZA=50。，則4BC+4C4=,NPBC+NPCB=,ZABP+ZACP=；

【類(lèi)比探究】

（2）請(qǐng)猜想NA8P+/4c尸與的關(guān)系，并進(jìn)行證明；

【類(lèi)比延伸】

(3)如圖②，改變直角三角板胸的放置方式，使點(diǎn)P在VABC外，其兩條直角邊內(nèi)3，PN分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)

。和點(diǎn)B,(2)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出新的結(jié)論.

圖①

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(a,0),8(0,〃)，且小〃滿(mǎn)足"^+區(qū)+2|=0,線(xiàn)段AB向上平移左

個(gè)單位長(zhǎng)度得到線(xiàn)段CO.

(1)求點(diǎn)4,8的坐標(biāo);

⑵若點(diǎn)P在工軸上.且SsAB/>=5,求滿(mǎn)足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo);

⑶當(dāng)點(diǎn)RE分別為線(xiàn)段上任意一點(diǎn)時(shí)，N￡8=120。，點(diǎn)G為線(xiàn)段4B與CO之間一點(diǎn)，連接GEGF,

?DEGg彳立EO,EGF=80?,試猜想NGFO與NAR7的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

15.問(wèn)題1：如圖，我們將圖1所示的凹四邊形稱(chēng)為“鏢形"，在"鑲形"圖中，NAOC與-A、4、/尸的

數(shù)量關(guān)系為NAOC=NA+NC十NP.

問(wèn)題2：如圖2,己知AP平分NBA。，CP平分/BCD,ZB=28°,ZD=48°,求NP的大?。盒∶髡J(rèn)為

可以利用“鏢形〃圖的結(jié)論解次上述問(wèn)題；

由問(wèn)題1結(jié)論得：ZAOC=ZPAO+ZPCO+ZAPC,所以2Z4G2=2NE4O+2NPCO+2NAPC,

BP2ZAOC=ZBAO+ZDCO+2Z4PC：因?yàn)?40c分別是△OAB,△06的外角，所以

ZAOC=ZB+ZBAO,ZAOC=.所以2ZAOC=N8AO+NDCO+N8+NZ).

所以2ZAOC=ZBAO+ZDCO+ZB+ZD=

所以2NAPC=NB+NO.因?yàn)镹B=28。，ZD=48°,所以NP=

請(qǐng)招助小明完善上述說(shuō)理過(guò)程，并嘗試解決下列問(wèn)題(問(wèn)題1、問(wèn)題2中得到的結(jié)論可以直接使用，不需說(shuō)

明理由）：

解決問(wèn)題1：如圖3,已知AP平分△84）的外角NE4O,CP平分△8C。的外角N8CE,猜想NP與—8、

ND的關(guān)系為什么？（四邊形內(nèi)角和為360。，可直接運(yùn)用）請(qǐng)加以證明.

解決問(wèn)題2：如圖4,已知直線(xiàn)AP平分2840,CP平分N8CQ的外角N8CE,N3=64。，ZD=42°,求

出NT為多少度？

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專(zhuān)題。1三角形

目錄

A題型建模?專(zhuān)項(xiàng)突破

題型一、作圖問(wèn)題.............................................錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。

題型二、三角形三邊關(guān)系.......................................................4

題型三、分類(lèi)討論思想的應(yīng)用...................................................7

題型四、三角形的面積問(wèn)題.....................................................11

題型五、三角形的中線(xiàn)、高和角平分線(xiàn)..........................................19

題型六、三角形的折疊問(wèn)題..................................2錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。

題型七、三角形的內(nèi)角和外角..................................................27

題型八、三角形的綜合探究....................................................31

B綜合攻堅(jiān)?能力躍升

題型建模?專(zhuān)項(xiàng)突破

題型一、作圖問(wèn)題

1.小涵求VABC的面積時(shí)，作了48邊上的高，下列作圖正確的是（）

【答案】D

【分析】本題考查畫(huà)三角形的高，根據(jù)三角形的高線(xiàn)的定義，作4B邊上的高即過(guò)力:C向邊A6引垂線(xiàn)，垂

足為。即可.

【詳解】解：由題意，作圖正確的是：

C

DAB

故選D.

2.如圖，△/13c中3c邊上的高是（）

A.BDB.AEC.BED.CF

【答案】B

【分析】三角形高的定義是：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呉咕€(xiàn)，從頂點(diǎn)到垂足之間的線(xiàn)段是三角形的高,

據(jù)此可判斷.

【詳解】???班:邊對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)是4,AE1BC,

.ME是BC邊上的高.

故選:B.

3.如圖，在V4BC中，關(guān)于高的說(shuō)法正確的是（）

A.線(xiàn)段AO是8c邊上的高B.線(xiàn)段班:是AB之上的高

C.線(xiàn)段。尸是AC邊上的高D.線(xiàn)段CF是4c邊上的高

【答案】A

【分析】本題主要考查了三角形的高的定義,根據(jù)“三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂線(xiàn)段叫做三角形的高"對(duì)各

選項(xiàng)分析判斷即可求解.

【詳解】解：觀察圖形知人BE1AC,CF1AB,

???線(xiàn)段4。是邊上.的高，線(xiàn)段8E是AC邊上的高，線(xiàn)段b是A8邊上的高，

觀察四個(gè)選項(xiàng)，A選項(xiàng)符合題意.

故選:A.

4.如圖，在尸中，//=90。，點(diǎn)C是線(xiàn)段所上異于點(diǎn)8和點(diǎn)尸的一點(diǎn)，連接AC,過(guò)點(diǎn)C作CO_LAC

交AB于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)C作CEBAB交A8于點(diǎn)￡,則下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）

A.VABC中，AB邊上的窗是CEB.V/18C中，8C邊上的高是融

C.AACD中，AC邊上的高是CED.△AC。中，C。邊上的高是AC

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形的高的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：?.?過(guò)點(diǎn)C作CE2A8交A8于點(diǎn)E,ZF=90°,

「.△ABC中，A8邊上的高是CE,8c邊上的高是好，

「?A、B兩個(gè)選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；

?.?。。，4。交48于點(diǎn)。，

「.△AC0中，4c邊上的高是CO,CO邊上的高是AC,

??.C選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；D選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高：從三角形的?個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線(xiàn)，垂足與頂點(diǎn)之間的線(xiàn)段叫做三角形

的高.注意：銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形有兩條高與直角邊重

合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)；飩角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角

形內(nèi)部，三條高所在直線(xiàn)相交于三角形外一點(diǎn).

5.數(shù)學(xué)課上同學(xué)們用三角板作三角形的高，有四位同學(xué)的作法如下，其中正確的是（）

【答案】D

【分析】本題考查了三角形的高的定義，三角形的高的定義是從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到它的對(duì)邊作一條垂線(xiàn),

頂點(diǎn)到垂足之間的線(xiàn)段，由此逐項(xiàng)判斷即可得出答案，熟練掌握三角形的高的定義是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、不滿(mǎn)足三角形的高的定義，故不符合題意；

B、不滿(mǎn)足三角形的高的定義，故不符合題意；

C、不滿(mǎn)足三角形的高的定義，故不符合題意；

D、滿(mǎn)足三角形的高的定義，故符合題意；

故詵：D.

A.線(xiàn)段AOB.線(xiàn)段"C.線(xiàn)段8GD.線(xiàn)段CE

【答案】D

【分析】本題考查的是三角形的高，從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€(xiàn)，垂足與頂點(diǎn)之間的線(xiàn)段叫做三角

形的高.據(jù)此解答即可.

【詳解】解：A.線(xiàn)段AO是BC邊上的高，故不符合題意；

B.線(xiàn)段AF不是任何邊上的高，故不符合題意；

C.線(xiàn)段是AC邊上的高，故不符合題意；

D.線(xiàn)段CE是AB邊上的高，符合題意：

故選D.

題型二、三角形三邊關(guān)系

7.若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和9,則第三邊長(zhǎng)可能是（）

A.6B.3C.2D.11

【答案】D

【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系；根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，第三邊必須大于兩邊之差且小于兩邊

之和.

【詳解】解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為x,根據(jù)三角形三邊關(guān)系：

9-3<x<9+3,即6vxvl2.

因此，第三邊長(zhǎng)可能是11,

故選：D.

8.如圖，已知點(diǎn)M是直線(xiàn)/上的一點(diǎn)，點(diǎn)。在直線(xiàn)/的上方，以點(diǎn)。為圓心，QM長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線(xiàn)/

于另一點(diǎn)M若OM=5,則MN的長(zhǎng)不可能是（）

【答案】D

【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系定理；

三角形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊，由此得到0<MN<10,即可得到答案.

由三角形三邊關(guān)系定理得到5-5<MV<5+5,

/.0</WV<10,

.?./WN的長(zhǎng)不可能是10，

故選:D.

9.為估計(jì)池塘兩岸A、8間的距嗡，如圖，小明在池塘一側(cè)選取了一點(diǎn)0,測(cè)得QA=16m,O8=12m,

那么AB的距離不可能是（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)三邊關(guān)系求出A/3的取值范圍是解題的關(guān)鍵.

首先確定三角形的兩邊是16m,12m,再根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定AB的取值范圍，判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)三角形三邊關(guān)系得：16-12vA3<16+12,

即4<AB<28,

所以人B的距離不能是30m,

故選:D.

10.如圖，A,8兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小麗在池塘的一側(cè)選取點(diǎn)P,測(cè)得PA=20m,P8=15m,

那么A,8間的距離可能是（）

A.40mB.35mC.25mD.5m

【答案】C

【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系定理.三角形兩邊之和大于笫三邊，三角

形兩邊的差小于第三邊，由此得到，即可得到答案.

【詳解】解：由三角形三邊關(guān)系定理得到：AP-PB<AB<PA^PB,

/.20-15<4B<20+15,

/.5<A13<35,

:.A,B間的距禽可能是25m.

故選：C.

11.如圖，數(shù)軸上A,8兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離分別是三角形兩邊的長(zhǎng)，則該三角形第三邊的長(zhǎng)可能是（）

AB

11■I，■

-5-4-3-2-1012345

A.1B.4C.7D.8

【答案】B

【分析】此題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，三角形的三邊關(guān)系，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之

和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

直接利用數(shù)軸得出三角形的兩邊長(zhǎng)，進(jìn)而得出第三邊取值范圍，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：由數(shù)軸可得：A到原點(diǎn)距離為2,8到原點(diǎn)距離為5,

???數(shù)軸上A、8兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是三角形兩邊的長(zhǎng)，

二設(shè)該三角形第三邊長(zhǎng)為達(dá)

貝iji的取值范圍是：5-2<x<5+2,

3<x<7.

故選:B.

12.三根底端對(duì)齊的小棒中有一根被擋板遮住了，它們的長(zhǎng)度如圖所示.若三根小棒可以圍成三角形，則

第三根小棒的長(zhǎng)度可以是（）

【答案】C

【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系，設(shè)第三根小棒的長(zhǎng)度是X，根據(jù)題意，可得3<x<17,再由圖中擋板高

度進(jìn)一步確定3<xW5,結(jié)合選項(xiàng)即可得到答案.熟記三角形三邊關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【詳解】解：有圖可知，一根小棒的長(zhǎng)度為10,一根小棒的長(zhǎng)度為7,

設(shè)第二根小棒的長(zhǎng)度是x,若二根小棒可以圍成二角形，

則由三角形三邊關(guān)系可知10-7<KV10+7,

即3cx<17,

再由圖中擋板高度為5,則3<xW5,

結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知，第三根小棒的長(zhǎng)度可以是4或5,

故選:C.

13.已知三角形的三邊長(zhǎng)為3,5,a+1,則化簡(jiǎn)的結(jié)果為.

【答案】8

【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，此類(lèi)求范圍的問(wèn)題，實(shí)際上就是根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理列出

不等式組，然后解不等式組即可.根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；

可得。的取值范圍，進(jìn)而得到化簡(jiǎn)結(jié)果.

【詳解】解：由三角形三邊關(guān)系定理得5-3<。+1<5+3,

解得1<々<7.

16/—1|+|</—9|=t/—1+9—1/=8.

故答案為：8

14.已知一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且其中兩條邊長(zhǎng)分別女m和5cm,則第三邊的長(zhǎng)度可能是

cm.（寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一個(gè)答案即可）

【答案】4（答案不唯一）

【分析1本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形的任意兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三

邊成為解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定第三邊的取值范圍，然后確定第三邊可能取值即可.

【詳解】解：已知三角形兩條邊為女m和5cm,設(shè)第三邊為

則：5-3vxv5+3,即2Vx<8,

因?yàn)檫呴L(zhǎng)為整數(shù)，

所以x可以取3、4、5、6、7中任意一個(gè)，比如取4.

故答案為：4（不唯一）.

15.若VA3C的兩條邊分別長(zhǎng)女m和2cm,第三邊的長(zhǎng)是一個(gè)奇數(shù)，則第三邊長(zhǎng)cm.

【答案】3

【分析】本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系，三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第

三邊，據(jù)此求出第三邊長(zhǎng)的取值范圍即可得到答案.

【詳解】解：???VA5C的兩條邊分別長(zhǎng)3cm和2cm,

???3-2=1cm〈第三邊氏<3+2=5，m,

???第三邊的長(zhǎng)是一個(gè)奇數(shù)，

，第三邊長(zhǎng)女m,

故答案為：3.

16.若三角形的三邊分別為5cm,8m,（a-2）cm,則。的取值范圍是.

【答案】5<?<15

【分析】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形中任意兩邊之和大于第三邊、任意兩邊之差小于

第三邊成為解題的關(guān)鍵.

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系列不等式組求解即可.

【詳解】解：?.?三角形的一邊分別為5cm,8cm,（a-2）cm,

.??8-5<。-2<8+5,即5vavl5.

故答案為：5<a<\5.

題型三、分類(lèi)討論思想的應(yīng)用

17.等腰三角形兩邊的長(zhǎng)分別為女m和7cm，則這個(gè)三角形的第三邊是（）

A.女inB.7umC.lOuinD.無(wú)法確定

【答案】B

【分析】本題考查了等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

分①當(dāng)7cm為底邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)為3cm和②當(dāng)3cm為底邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)為7cm兩種情況，分類(lèi)進(jìn)行討論

即可.

【詳解】解：①當(dāng)7cm為底邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)為3cm,

因?yàn)?+3<7,故不能構(gòu)成三角形；

②當(dāng)女m為底邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)為7cm,

因?yàn)?-3<7<7+3,故能構(gòu)成三角形，

所以第三邊長(zhǎng)為7cm,

故選：B.

18.如圖，這是一個(gè)三角形裁剪后剩余的部分圖形，則原三角形不可能為（）

A.直角三角形B.鈍角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

【答案】D

【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理和三角形的分類(lèi)，會(huì)應(yīng)用三角形的內(nèi)角和定理和三角形的分類(lèi)求解

是解答的關(guān)鍵.

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三角形的分類(lèi)判斷即可.

【詳解】解：等邊三角形的每一個(gè)內(nèi)角均為60。，由圖可知該三角形有一個(gè)內(nèi)角為40。，故不可能為等邊三

角形，故選項(xiàng)D符合題意.

故選：D.

19.等腰三角形的底邊長(zhǎng)為16,則腰長(zhǎng)的取值可以為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【分析】木題主要考查等腰定義，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)三角形三邊關(guān)系求解即可.

【詳解】解：設(shè)腰長(zhǎng)為X,則X+.O16,

/.A>8.

故選:D.

20.等腰三角形的周長(zhǎng)為13cm,其中一邊長(zhǎng)為5cm,則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為（）

A.3cmB.5cmC.3cm或5cmD.4cm或5cm

【答案】C

【分析】此題考杳了等腰三角形的兩腰相等的性質(zhì)，此題分為兩種情況：5cm是等腰三角形的底邊或5cm是

等腰三角形的腰.然后進(jìn)一步根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析能否構(gòu)成三角形.同時(shí)注意三角形的三邊關(guān)

系.

【詳解】解：當(dāng)5cm是等腰三角形的底邊時(shí)，則其腰長(zhǎng)是（13-5）+2=4cm,能夠組成三角形；

當(dāng)5cm是等腰三角形的腰時(shí)，則其底邊是13-5x2=3cm,能夠處成一角形.

故選：C.

21.若等腰三角形兩邊長(zhǎng)為2cm,4cm,則周長(zhǎng)可以是err.

【笞案】10

【分析】本題考查等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，”分類(lèi)討論〃的數(shù)學(xué)思想是解題關(guān)鍵.分情況討論：

腰K為2cm,底為4cm：腰長(zhǎng)為4cm,底為2cm,先判斷是否構(gòu)成三角形，再計(jì)算周長(zhǎng)即可.

【詳解】解：當(dāng)腰長(zhǎng)為2cm,底為4cm,2+2=4,不能構(gòu)成三角形；

當(dāng)腰長(zhǎng)為4cm,底為2cm,周長(zhǎng)4+4+2=]0cm.

故答案為：10.

22.已知實(shí)數(shù)x,5滿(mǎn)足卜-3|+3萬(wàn)=。，則以x,3'的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是.

【答案】17

【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義、構(gòu)成三角形的條件、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)

知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到工-3=0,>，-7=0則工=3,），=7,再分腰長(zhǎng)為3和7兩種情況，根據(jù)構(gòu)成三角形的

條件驗(yàn)證是否能構(gòu)成三角形，最后根據(jù)三角形周長(zhǎng)計(jì)算公式求解即可.

【詳解】解：小-3|+^^=。，

3|-Jy-7-0,

x=3>j=7,

當(dāng)腰長(zhǎng)為3時(shí)，則該等腰三角形的三邊長(zhǎng)為3,3,7,

v3+3<7,

此時(shí)不能構(gòu)成三角形，不符合題意；

當(dāng)腰長(zhǎng)為7時(shí)，則該等腰三角形的三邊長(zhǎng)為3,7,7,

?.?3+7>7,

此時(shí)能構(gòu)成三角形，符合題意，

該等腰三角形的周長(zhǎng)為：17.

故答案為17.

23.如果等腰三角形的一邊長(zhǎng)是5cm,另一邊長(zhǎng)是10cm,那么這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為.

【答案】25cm/25厘米

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，分腰長(zhǎng)為5cm和腰長(zhǎng)為10cm兩種恃況進(jìn)行討論

求解即可.

【詳解】解：當(dāng)腰長(zhǎng)為5cm時(shí)：5+5=10,不能構(gòu)成三角形，不符合題意；

當(dāng)腰長(zhǎng)為10cm時(shí),5+10>10,能構(gòu)成三角形，

此時(shí)三角形的周長(zhǎng)為：10+10+5=25cm；

故答案為：25cm.

24.（1）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6cm、13cm,其周長(zhǎng)為cm；

（2）若等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為4cm和5cm,則它的周長(zhǎng)為cm.

【答案】3213或14

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種

情況，分類(lèi)進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分兩種情況：①當(dāng)腰長(zhǎng)為6cm時(shí)，②當(dāng)腰長(zhǎng)為13cm時(shí)，解答出即可.

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分為當(dāng)腰長(zhǎng)為4cm時(shí)，腰長(zhǎng)為5cm時(shí)，解答出即可.

【詳解】解：（1）由題意知，應(yīng)分兩種情況：

當(dāng)腰長(zhǎng)為6cm時(shí),三角形三邊長(zhǎng)為6,6,13,6+6<13,不能構(gòu)成三角形;

當(dāng)腰長(zhǎng)為13cm時(shí)，三角形三邊長(zhǎng)為6,13,13,能構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)=2xl3+6=32（cm）.

故答案為：32.

（2）???三角形是等腰三角形，兩條邊長(zhǎng)分別為4cm和5cm,

三角形三邊可以是4cm、5cm.4cm或4cm、5cm,5cm,

二三角形的周長(zhǎng)為1女m或14cm,

故答案為：13或14.

25.已知VABC的高A。與AB4C的夾角分別是50。和20。，則“84。的度數(shù)是.

【答案】70。或30。

【分析】本題主要考查三角形的高的特征.分兩種情況討論求解即可：①當(dāng)。在線(xiàn)段8C上時(shí)，②當(dāng)。在

線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí).

【詳解】解：①當(dāng)。在線(xiàn)段8c上時(shí)，如圖1,ABAC=ZBAD+ZCAD=50°+20°=70°；

②當(dāng)。在線(xiàn)段4c的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2,ABAC=-ZCAI）=50°-20°=30°.

AA

故答案為：70?；?0。.

26.4/J為VARC的中線(xiàn).人石為VAAC的高.的面積為12.AE=4.CE=2,則DE的長(zhǎng)為.

【答案】4或8/8或4

【分析】本題考查三角形的高、中線(xiàn)和面積，注意高可在三角形的內(nèi)部和外部是解題的關(guān)鍵.利用面積法

求出4。，即可求得CO,再分AE在V八AC內(nèi)部和外部，求出。石即可.

【詳解】解：AE為V48C的高，△A3。的面積為12,A石=4，

:.-BDAE=[2,

2

.-.?D=—=—=6

AE4

???AZ）為VA8C的中線(xiàn),

：,CD=BD=6?

當(dāng)AE在VA4c內(nèi)部時(shí)，如圖所示:

：.DE=CD-CE=6—2=4；

當(dāng)AE在VA4C外部時(shí)，如圖所示:

??.DE=CD+CE=6+2=8；

綜上分析知：OE的長(zhǎng)為4或8.

故答案為：4或8.

題型四、三角形的面積問(wèn)題

如圖，在中，尸分別是的中點(diǎn)，2則陰影部分△血戶(hù)的面

27.VA4CD,E,3C,AD,C￡SA4SC=8cm,

積等于（）

A.1cm2B.2cm2C.4cm2D.8cm2

【答案】B

【分析】本題主要考查了三角形的面積，三角形中線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)三角形的中線(xiàn)把三角形分成兩

個(gè)面積相等的三角形，即可得出結(jié)果，熟練掌握三角形中線(xiàn)把三角形分成面枳相等的兩個(gè)三角形是解決此

題的關(guān)鍵.

2

【詳解】解：?正是AO的中點(diǎn)，^,fiC=8cm

???SDABE=QSDABD，ACE=—S^ACD,

S,ABE+\ACE=/+/SjCD=］（S?BD+S^cD）=2S^c=2x8=4（cm2）＞

AS,C8￡=5=4（C"）,

?./是CE的中點(diǎn)，

???S/8E=gs即C=gx4=2（cm。）,

故選：B.

28.如圖，V4BC中，點(diǎn)七是BC上的一點(diǎn)，，EC=3用T,點(diǎn)。是AC中點(diǎn)，若S△布=36,則%皿-S△陽(yáng)的

值為（）

A

A

BEC

A.9B.12C.18D.24

【答案】A

【分析】本題主要考查了三角形的面積計(jì)算.本題需先分別求出5cSj8E再根據(jù)

【詳解】解：：s△八8c=36,EC=3BE,

=?網(wǎng)=18.

?"'心后=~^SAA8C=