三角形（二）

一.選擇題（共3小題）

1.（2025?臺灣）如圖是某種螺絲釘上螺紋的示意圖，圖中的虛線皆為水平線或鉛垂線，圖上標示出角度，

也標示出水平線間或鉛垂線間的距離.根據(jù)圖中的標示，判斷此種螺絲釘?shù)穆菁y深度是螺紋間距的多少

倍？（）

6?！鉢猊/gH

2.（2025?臺灣）如圖，△AOG的頂點G為△A/SC的重心，/JG與A4相交于七點.若。此EG=3：2,

AEx￡8=3：4,則△人。G面積為△/1BC面積的多少倍？（）

A

3.（2025?臺灣）如圖1為一張五邊形紙片A8CQE,尸點在CO上，且以BE、BF、"E為折線將紙片向內

折至同一平面后，4、C、。恰重疊在同一點P，如圖2所示.若BE>FE>BF,則根據(jù)圖2中標示的角，

判斷下列敘述何者正確？（）

EG技

CF

A.Z3+Z4=90°,Z1+Z2>Z5+Z6

B.Z3+Z4=90°,Z1+Z2<Z5+Z6

C.N3+N4/90",Z1+Z2>Z5+Z6

D.N3+N4W90。，Z1+Z2<Z5+Z6

二.填空題（共15小題）

4.（2025?齊齊哈爾）利用幾何圖形的變化可以制作出形態(tài)各異的圖案.如圖，在平面直角坐標系中，點4

的坐標為（2,0）,以OA為邊作RtAOAA],使NO44=93°,NAO4=30°,再以OA\為邊作Rt

△0442,使/O4A2=90°，/A]OA2=30°,過點4,4,4作弧而汗記作第1條??；以。4為邊

作RtZ\O4M3，使NO42A3=90°,ZA2OA3=30°,再以0a為邊作業(yè)△（必裁4，使NOA3A4=90°，

乙43。44=30°,過點小，43：4作弧用K，記作第2條弧??…按此規(guī)律，第2025條弧上與原點O的

距離最小的點的坐標為.

5.（2025?綏化）在邊長為7的等邊三角形A5C中，點。在A6上，8。=2.點M是直線4c上的一個動

點，連接MQ,以MQ為邊在MQ的左側作等邊三角形MND,連接3N.當△BN。為直角三角形時，

則CM的長是.

6.（2025?河南）定義：有兩個內角的差為90°的三角形叫做“反直角三角形”.如圖，在△ABC中，AB

=AC=5,BC=8,點P為邊BC上一點，若△APC為“反直角三角形”，則BP的長

為.

7.（2025?湖南）已知，a,b,。是△ABC的三條邊長，記士=（）比+（3￡其中k為整數(shù).

（1）若三角形為等邊三角形，則/=；

（2）下列結論正確的是.（寫出所有正確的結論）

①若攵=2,，=1,則△A8C為直角三角形;

_1

②若k=l,a=5b+2,c=1,則5<Y11；

③若上二1,￡4焉。，兒。為三個連續(xù)整數(shù)，且aVb<c,則滿足條件的AABC的個數(shù)為7.

8.（2025?福建）某房梁如圖所示，立柱AO_L8C,E,產(chǎn)分別是斜梁AB,AC的中點.若AB=AC=8m,

則DE的長為m.

A

BDC

9.（2025?德陽）ZVIBC在平面直角坐標系中，已知A（1,0）,B（3,0）,如果aABC的面積為1,那么

點C的坐標可以是.（只需寫出一個即可）

10.（2025?揚州）如圖，在△43C中，點。，E分別是邊44,3c的中點，點F在線段。石的延長線上,

且/4"C=90".若AC=4,?C=8,則。尸的長是.

IL（2025?揚州）清代揚州數(shù)學家羅士琳癡迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股數(shù)的“羅士琳法則”.法

則的提出，不僅簡化了勾股數(shù)的生成過程，也體現(xiàn)了中國傳統(tǒng)數(shù)學在數(shù)論領域的貢獻.由此法則寫出了

下列幾組勾股數(shù)：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41；……根據(jù)上述規(guī)律，寫出第

⑤組勾股數(shù)為.

12.（2025?德陽）等寬曲線是指在任何方向上的直徑都相等的一種幾何圖形，它在我們的日常生活中應用

比較廣泛，例如可以利用等寬曲線設計自行車的車輪等.如圖，分別以等邊三角形A8c的三個頂點為

圓心，以邊長為半徑畫弧，得到的封閉圖形就是等寬曲線（圖中陰影部分），如果人"=1,那么這個等

寬曲線的周長是.

,在射線0B上取一點C,以點。為圓心，0C長為半徑畫弧；再

以點。為圓心，0c長為半徑畫弧，兩弧在NA04的內部相交于點。，連接并延長。交射線于點

￡設0C=l,則0E的長是

18.（2025?成都）如圖，在RtZiABC中，NA8C=90°,AB=\,BC=2.以點A為圓心，以A8長為半

徑作弧；再以點C為圓心，以BC長為半徑作弧，兩弧在AC上方交于點D,連接BD,則BD的長

為.

三,解答題（共2小題）

19.（2025?廣東）《九章算術》是世界上較早給出勾股數(shù)公式的著作，掌握確定勾股數(shù)組的方法對研究直

角三角形具有重要意義.若直角三角形的三邊長小b,c都是正整數(shù)，則小力，c為一組“勾股數(shù)”.如

表中的每一組數(shù)都是勾股數(shù).

3,4,57,24,2511,60,6115,112,11319,180,181

4,3,58,15,1712,35,3716,63,6520,21,29

5,12,139,12,1513,84,8517,144,14521,28,35

6,8,1010,_________,14,48,5018,80,8222,120,122

26

（1）請補全如表中的勾股數(shù).

（2）根據(jù)如表中數(shù)據(jù)規(guī)律，用含字母（均為正整數(shù)）的代數(shù)式分別表示。，b,c,使該組代數(shù)式能表

示上表中所有的勾股數(shù)，并證明.

（3）某校計劃在一塊綠地上種花，使之構成如圖所示的圖案，該圖案是由四個全等的直角三角形組成.種

花要求:僅在三角形邊上種花，每個三角形頂點處都種一株花,各邊上相鄰兩株花之間的距離均為1/〃.如

果每個三角形最短邊都種21株花，那么這塊綠地最少需要種植多少株花？

20.（2025?廣西）如圖，已知人B是的直徑，點C,。在C。上，ZABC=65Q,BC=CD.

（1）求證：△BOgXDOa

（2）求NABD的度數(shù).

三角形（二）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共3小題）

一,選擇題（共3小題）

1.（2025?臺灣）如圖是某種螺絲釘上螺紋的示意圖，圖中的虛線皆為水平線或鉛垂線，圖上標示出角度，

也標示出水平線間或鉛垂線間的距離.根據(jù)圖中的標示，判斷此種螺絲釘?shù)穆菁y深度是螺紋間距的多少

倍？（）

事紋間號

【考點】等邊三角形的性質.

【專題】三角形；推理能力.

【答案】。

【分析】如圖標記字母，求出8C,進而即可得解.

【解答】解：如圖，標記字母，過A作8c于點Q,

螺紋間距

■:AD=H,

???螺紋間距為8C=竽從

???螺紋深度="一黯一％二/

o4*o

.螺紋深度__55/3

??螺紋間距=而［="iT,

3

???螺紋深度是螺紋間距的鳥倍，

16

故選：D.

【點評】本題主要考杳了等邊三角形的性質、解直角三角形等內容，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.

2.（2025?臺灣）如圖，Z\AQG的頂點G為△A4C的重心，0G與相交于七點.若DE：EG=3：2,

AE：EB=3：4,則△4OG面積為面積的多少倍？（）

5

D.一

21

【考點】三角形的重心；三角形的面積.

【專題】三角形；幾何直觀；運算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】延長人G交8。于點。在GO的延長線上取一點H,使OH=OG,連接CG,RH.CH,RG,

設BG的延長線交4c于點K,證明△GBHC是平行四邊形，WJCH//BK,進而得GK是△A/7C的中位

線，則4G=GH=2OG,設△GOB的面積為小則△GOC的面積為a,SAGBC=2。，繼而得笄蛆=2,

S&GOC

:=2,則S?GAC=2a，S&GAB=2。，S“8C=6a,再根據(jù)容必^=77=:得S^GA￡=M然后根

S&GOBSdGBE4/

s△DE33

丸r

rw-----9_a則SMk&G楸Swh亨，由此可得出黑二五,

sAEG227

據(jù)此即可得出答案.

【解答】解：延長AG交8C于點0,在GO的延長線上取一點從使OH=OG,連接CG,BH,CH,

BG,設8G的延長線交4c于點K,如圖所示：

A

D

上

三c

B4、-、-、-----P-----/---

yi

H

???點G為△AbC的重心，

???AO是BC邊上的中線，BK是AC邊上的中線,

：.OB=OC,AK=CK,

又?：OH=OG,

:AGBHC是平行四邊形，

:.CH//BK,

'：AK=CK,

???GK是△A”C的中位線,

：,AG=GH=OG+OH=2OG,

設aGOB的面積為a,

?：OB=OC,

???△GOC的面積為小

，SAG8C=2a,

根據(jù)等高的兩個三角形的面積之比等于對應底邊的比得:S^G/C_竺_2S^GAC_4G

S^GOC°GS^GOB°G

S△GAC=2〃，SaGAB=2a，

:?S&ABC=S4GAC^S&GAB+SdGBC=6a，

又..S/^G/IEAE3

SaGBEEB4

*,?設S>GA匕=3k?S^utit=4k，

**SAGAE^S4GBE7&2a，

2a

:*S^GAE=3k=竽

V?S^DAE_￡￡_2

S^GAEEG2

SADAE=|?SziGAE=|X竽=竽

?'?5A4DG=SAGAE+SAD4E=學+學=->

15a

:.SAADGIRAADG=-Z-=三,

S^ABC6a14

S/,ADG=

即△AQG面積為△ABC面積的2倍.

14

故選：B.

【點評】此題主要考查了三角形的重心，三角形的面積，熟練掌握三角形的重心，理解等高的兩個三角

形的面積之比等于對應底邊的比是解決問題的關鍵.

3.（2025?臺灣）如圖1為一張五邊形紙片/WCQE,F點在CD上,且以5E、BF、PE為折線將紙片向內

折至同一平面后，A、C、。怡重登在同一點匕如圖2所示.若BE>卜E>H卜,則根據(jù)圖2中標示的角，

判斷下列敘述何者正確？（）

圖1圖2

A.Z3+Z4=90°,Z1+Z2>Z5+Z6

B.Z3+Z4=90°,Z1+Z2<Z5+Z6

C.N3+N4#90°,Z1+Z2>Z5+Z6

D.N3+N4W90°,N1+N2CN5+N6

【考點】三角形內角和定理；三角形的外角性質.

【專題】三角形：推理能力.

【答案】A

【分析】由折疊易知N3=N5PP,N4=NEFP,再根據(jù)平弟定義易求N3+N4=90。；根據(jù)大邊對大

角可知NFBE>NBEF,據(jù)此即可得解.

【解答】解：由折疊可知，N3=NBFP,Z4=ZEFP,

VZ3+ZBFP+Z4+ZEFP=180°,

A2(Z3+Z4)=180°,

，N3+N4=90°；

*：FE>BF,

???在48尸E中，NFBE>NBEF,

根據(jù)折疊可知，ZFBE=Z1+Z2,NBEF=/5+N6,

.,.Z1+Z2>Z5+Z6；

故選:A.

【點評】本題主要考查了三角形內角和定理、折疊的性質，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.

二.填空題（共15小題）

4.（2025?齊齊哈爾）利用幾何圖形的變化可以制作出形態(tài)各異的圖案.如圖，在平面直角坐標系中，點A

的坐標為（2,0）,以0A為邊作RtAOAAi，使NOA4|=93°,ZAOA\=30a,再以為邊作Rt

△0442,使NO4A2=90°,/4。42=30°,過點4,4,Az作弧而2,記作第1條?。阂浴Ｐ臑檫?/p>

作RtZ\Q4M3，使NQ4M3=90°，ZA2OA3=30°,再以0a為邊作RlaOA裁4，使NO43A4=90°，

NA3044=3O°,過點42,43,4作弧型;，記作第2條孤?…按此規(guī)律，第2025條弧上與原點。的

【考點】直角三角形的性質；規(guī)律型：點的坐標.

【專題】規(guī)律型：推理能力.

9404874048汽

【答案】（-2024'鼻202；（

【分析】分別求出。力】=焉臚=,=2x奈。&=點余=2乂盍x專=2x（哥’。&=

2

=2x（專）2X口=2x（鼻3,…，得出04n=2X（專）%根據(jù)題意得出第2025條弧上與原點

2）4048?4049

O的距離最小的點為A4O48,求出。4048=2X（專）4°48=2x我%=方兩，根據(jù)NAQ4|=3O°,Z

4042=30°,乙42。43=30°,/43。4=30°,得出NA04o48=120°,然后求出結果即可.

【解答】解：根據(jù)題意可知：OA=2,

八,0A2-2

°4=^Wj=2x后,

2

。…黑=2x全全2X（哥，

。4=編=2X（9）2X意=2X（專戶

???

OAn=2x（哥，

,?,點4,4,A2作弧砧為第1條弧,

點A2,43,A4作弧型;為第2條弧，

,力40.050組成第2025條弧，

???第2025條弧上與原點0的距離最小的點為4048，

??4048?4049

???。，4048=2X(^3)4048=2X^024=^2024,

???NAOAi=30°,ZA]OA2=30°,NA20A3=30°,ZA3OA4=30°,…,

二12次操作循環(huán)一周，

???4048+12=337…4,

???/A04O48=I2()°,

AZMOA4Q48=180°-120°=60°,

448

]240492404882404920x/3

??0M—%4048XCOS60°=2*§2024=32024,44048“=°44048X517160°=區(qū)X§2()24=~22024~

2404824048X；3

??力4048L2024'.20247

?4048?4048反

，第2025條弧上與原點O的距離最小的點的坐標為（-4兩，，20祟）?

33

?4048?4048

故答案為：（-萍V?2024）'

【點評】本題主要考查了點的坐標規(guī)律探索，解直角三角形的相關計算，根據(jù)題意找出?般規(guī)律是解題

的關鍵.

5.（2025?綏化）在邊長為7的等邊三角形ABC中，點。在A5上，8。=2.點M是直線BC上的一個動

點，連接MQ,以M。為邊在MQ的左側作等邊三角形MND,連接BN.當△8NZ）為直角三角形時，

則CM的長是6或8或9.

【考點】三角形綜合題.

【專胭】幾何綜合題；運算能力；推理能力.

【答案】6或8或9.

【分析】過點。作。E〃|BC交8。于點E,分類討論，逐個分析，即可解答.

【解答】解：過點。作。E〃8C交BC于點￡,①當NO8N=90°時，如圖（1）,

VABAC,△OMN是等邊三角形，NQ8N=90°,

AZABC=ZDEB=ZMDN=ZBDE=60a,DM=DN,

即△QBE是等邊三角形，

:?BD=DE=BE=2,NNBE=NDBN-NDBE=30°,NEDN+NNDB=NNDB+NMDB=60",

?IZEDN=NBDM,

:?△DEN妾ADBM(SAS),

；?/DEN=NDBM=180°-60°=120°,BM=NE,

:?NBEN=/DEN?/DEB=60°,

，N8NE=90°,

1

：.NEBE=1,

即BM=1,

:?MC=BC+BM=7+1=8.

同理可得△￡>￡%絲△OBM,/NDE=/BDN-/BDE=90°-60°=30°,

；?/NED=/MBD=60°,

即NDMB=NDNE=90°,

；?BM=BDcos600=2x1=1,

:.CM=BC-BM=6.

(3)

同理可證△OBNg△。0W,DE=BD=2,NQEM=60°,

：?NDME=NDNB=90°,

*.ME=DEcos60=2x^=1.

:,CM=BC-BM=6.

④當N8ON=90°時，如圖(4)

同理可證△OANg△OME,DE=BD=BE=2,N/)EM=60°,

：?/MDE=NNDB=90°,BE=BC-BE=5,

DE=2

==4,

cos60°—1

2

:?CM=ME+BE=9.

綜上所述，CM的長是6或8或9.

故答案為：6或8或9.

【點評】本題考查等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，含30°角的直角三角形，正

確作出輔助線是解題的關鍵.

6.（2025?河南）定義：有兩個直角的差為90。的三角形叫做“反直角三角形”.如圖，在△A4C中，AB

2511

=AC=5,BC=8,點P為邊BC上一點,若△APC為“反直角三角形”，則的長為二或一.

【考點】勾股定理；等腰三角形的性質.

【專題】多解填空題；三角形.

【答案】手或斗■.

42

【分析】分情況討論：①當NAPC-NC=90°時，過點A作ADJL8C于點。，由等腰三角形的性質得

ABBD

到BD=CD=4,證明△AOBSA/MB,得到一=—,即可求出BP的長；

BPAB

②當NAPC-NC4尸=90°時，過點P作PMLBC交AC于點M,由等角對等邊得到AM=PM,再證

明△CMPs/\cA。，設CP=x,進而得出PM=廣，CM=3r,根據(jù)AC=AM+CM=PM+CM,求出x

的值，即可求出8P的長;

③當NC4P=NC+90°時，利用銳角三角函數(shù)，得出NC>30°,NZMCV120。，即此種情況不存在;

④當NC4P=N4PC+90。時，同③理可證，此種情況不存在；即可得解.

【解答】解：??F8=AC=5,

AZB=ZC,

*//APC=/B+NBAP,

JZAPOZB,

/.ZAPOZC,

若△APC為“反直角三角形”，

①當NAPC-NC=90°時，過點A作人QJ_8C于點Q,

???AB=AC=5,8。=8,

:.BD=CD=\BC=4,

：.AD=\/AB2-BD2=3,

VZB=ZC,

AZAPC-ZB=ZBAP=90°,

VZB=ZB,ZADB=ZPAB=90°,

JAADBs4PAB,

?_A_B__B_D

??_=9

BPAB

?_54

??~~=—，

BP5

???T；

②當NA尸C?NCA尸=90°時，過點尸作尸M_L8C交AC于點M,

AZAPC-ZAPM=ZC?=9O0,

：,ZCAP=ZAPM,

：,AM=PM,

，：PM工BC,AD1BC,

：.PM//AD,

???△。1儼必6。，

.CPPMCM

"CD=~AD=ACr

SCP=x,貝l」BP=8-x,

xPMCM

???__,

435

APM=1x,CM=^x.

44

35

/.AC=AM+CM=PM+CM=。=5,

44

5

2-

511

：

.BP=8-2=T:

③當NC4P=NC+90°時,

AD且三

■:sin/C=，si九30"=>2,

CC=5

/.ZC>30°,

???N84CV120°，

若NC4P=NC+90°,貝iJ/CAP>120。，即/。P>NR4C,

,此種情況不存在，

④當NC4P=NA尸C+90°時，

???當點〃與點8重合時，NAPC最小，此時NAPC=/8>30°,

同③理可證，此種情況不存在；

2511

綜上可知，的長為二或77，

42

2511

故答案為：一或胃.

42

【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質，解直角三角形的應用，相似三角形的判定和性質等知識,

理解“反直角三角形”的定義，利用分類討論的思想解決問題是關鍵.

7.（2025?湖南）已知，〃，b,c是△ABC的三條邊長，記t=*）比+（即￡其中k為整數(shù).

(1)若三角形為等邊三角形，則/=2：

(2)下列結論正確的是一①②.(寫出所有正確的結論)

①若2=2,f=1,則△A8C為直角三角形；

②若k=l,a=^b+2,c=1,貝IJ5W11；

5

<

③若k=1,-^c為三個連續(xù)整數(shù)，且aVXc,則滿足條件的△A8C的個數(shù)為7.

【考點】勾股定理的逆定理；三角形三邊關系；等邊三角形的性質.

【專題】多解填空題；推理能力.

【答案】(1)2；

(2)①②.

【分析】(1)由定義直接判斷求解即可；

(2)依據(jù)每一選項逐一代入求解判斷即可.

【解答】解：(1)由題可知f=lll"=l+l=2,

故答案為：2；

(2)①當仁2,r=l時，

則1=(92+4)2=哼比，即〃2+序=落

???三角形為直角三角形，

故①正確，符合題意：

②當2=1,a=^b+2c=\時，

則t=—■}■—=a+b=b+2+b=^b+2,

cc//

1"當時，a-b<c,即三力+2-bVl,

2

解得：h>2；

2°當“V〃時，b-a<c,即b-/b-2Vl,

解得：b<6.

綜上，2V0V6.

3

-X2+2

當8=2時，t=2

3

X6+2

當b=6時，t=2-

故②正確，符合題意;

a匕5

-+一<-

CC-3

5

a+b<-

-3

又a+b>c,

/.c<a+b<

不妨設則匕=〃+1,c=n+2,

H+2<^271+1<(n+2)?

解得：1V〃W7,

???〃可取2,3,4,5,6,7,

57311135

對應的/值分別為：7―,―,3共6個，

故③錯誤，不符合題意.

故答案為：①②.

【點評】本題主要考查了新定義題型，涉及勾股定理逆定理、三角形三邊關系、等邊三角形的性質等內

容，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.

8.(2025?福建)某房梁如圖所示，立柱AO_L8C,E,產(chǎn)分別是斜梁AB,AC的中點.若4B=AC=8〃?，

則。E的長為4m.

【考點】直角三角形斜邊上的中線.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】4.

【分析】由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可計算.

【解答】解：??FO_LBC,

AZADB=90°,

TE是AB的中點，

A/?E=|/lB=1x8=4（〃？）.

故答案為：4.

【點評】本題考查直角三角形斜邊的中線，關鍵是掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半.

9.（2025?德陽）ZXABC在平面直角坐標系中，已知4（1,0）,B（3,0）,如果△ABC的面積為1,那么

點C的坐標可以是_（2,1）（答案不唯一，縱坐標絕對值為1即可）,（只需寫出一個即可）

【考點】三角形的面積；坐標與圖形性質.

【專題】平面直角坐標系；三角形.

【答案】（2,1）.（答案不唯一，縱坐標絕對值為1即可）

【分析】由A（1,0）,B（3,0）,得A8=2,又因為/XABC的面積為1,可得1x1=1,所以）9=±1

從而求解.

【解答】解：VA（1,0）,B（3,0）,

?"8=2,

「△ABC的面積為1,

1

x\yc\=1,

???Bd=l,

?**yc=±1，

???點C的坐標可以是（2,1）,

故答案為：（2,1）.（答案不唯一，縱坐標絕對值為1即可）

【點評】本題考查了平面直角坐標系中點的位置.，三角形面積公式，掌握知識點的應用是解題的關鍵.

10.（2025?揚州）如圖，在中，點。，E分別是邊AA,8c的中點，點尸在線段OE的延長線上,

且NBR7=90°.若AC=4,BC=8,則QF的長是6.

【考點】三角形中位線定理；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】6.

【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質求出FE,進而求出

DF.

【解答】解：???點。，E分別是邊44，8c的中點，

???QE是△4BC的中位線，

AD￡：=|AC=1X4=2,

在RtZXBFC中，￡是斜邊4c的中點，8C=8,

則FE=|fiC=1x8=4,

，DF=DE+FE=2+4=6,

故答案為：6.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線的性質，熟記三角形中位線等于第

三邊的一半是解題的關鍵.

11.（2025?揚州）清代揚州數(shù)學家羅士琳癡迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股數(shù)的“羅士琳法則”.法

則的提出，不僅簡化了勾股數(shù)的生成過程，也體現(xiàn)了中國傳統(tǒng)數(shù)學在數(shù)論領域的貢獻.由此法則寫出了

下列幾組勾股數(shù)：①3,4,5：②5,12,13；③7,24,25：④9,40,41；……根據(jù)上述規(guī)律,寫出第

⑤組勾股數(shù)為11,60,61..

【考點】勾股數(shù).

【專?題】規(guī)律型：等腰三角形與直角三角形；運算能力.

【答案】11,60,61.

【分析】通過觀察，得出規(guī)律：這類勾股數(shù)分別為2〃+1,2,F+2〃，2/+2〃+1,由此可寫出第⑤組勾股

數(shù).

【解答】解：通過觀察得：

第①組勾股數(shù)分別為：2義1+1=3,2X12+2X1=4,2XP+2X1+1=5；

第②組勾股數(shù)分別為：2X2+1=5,2X22+2X2=12,2X22-2X2+1=13；

第③組勾股數(shù)分別為:2X3+1=7,2X32+2X3=24,2X32-2X3+1=25；

第④組勾股數(shù)為：2X4+1=9,2X42+2X4=40,2X42+2X4+1=41；

所以第⑤組勾股數(shù)為：2X5+1=11,2X52+2X5=60,2X52+2X5+1=61.

故答案為：11,60?61.

【點評】此題考查的知識點是勾股數(shù)，此題屬規(guī)律性題目，關鍵是通過觀察找出規(guī)律求解.

12.（2025?德陽）等寬曲線是指在任何方向上的直徑都相等的一種幾何圖形，它在我們的日常生活中應用

比較廣泛，例如可以利用等寬曲線設計自行車的車輪等.如圖，分別以等邊三角形ABC的三個頂點為

圓心，以邊長為半徑畫弧，得到的封閉圖形就是等寬曲線（圖中陰影部分），如果A4=l,那么這個等

寬曲線的周長是n

【考點】等邊三角形的性質；弧長.

【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關的計算；幾何直觀；運算能力.

【答案】n.

【分析】根據(jù)等邊三角形性質得AB=8C=AC=1,NA=N8=NC=60°,進而可根據(jù)弧長公式分別

TCTCTC

求出弧BC的長為:，弧/W的長為:，弧AC的長為；，由此即可得出這個等寬曲線的周長.

333

【解答】解：:△ABC是等邊三角形，且A8=l,

：.AB=BC=AC=\,/A=/B=NC=60°,

依題意得：弧8C的圓心為A,半徑為A8=l,

6071X1TC

?,?弧8C的長為:

180一3

同理.：弧4B的長為半弧4C的長為?

??.這個等寬曲線的周長是：W+W+

故答案為：TT.

【點評】此題主要考查了等邊三角形的性質，弧長的計算，熟練掌握等邊三角形的性質，弧長的計算公

式是解決問題的關鍵.

13.（2025,蘇州）如圖，在4c中，4c=3,BC=2,NC=60",。是線段8c上一點（不與端點8,

。重合），連接AD,以人。為邊，在八。的右側作等邊三角形線段?！昱c線段AC交于點〃，則

線段C尸長度的最大值為二_.

4

A

【考點】勾股定理；等邊三角形的性質.

【專題】三角形.

【答案】；

4

【分析】過點4作于從解RtA4”C得到AH=孥，證明△QACsZ\/.;W,可得加？=黑=駕,

根據(jù)C尸=人。-人/可知，當人尸有最小值時，。尸有最大值，當人。_LBC時，人。有最小值，即人尸有最

9Q2

小值，此時點。與點〃重合，可求出A〃的最小值為:，則C尸的最大值為4一，=會

444

【解答】解：如圖所示，過點A作人〃J_BC于，，

在RtZVl"C中，ZC=60°,ZAHC=90°,AC=3,

：.AH=AC*s\nC=苧

是等邊三角形，

，NADE=60°=NC,

又丁/DAC=NMD,

???△D4Cs△7。，

AFAD

??,

ADAC

?"尸=7T=''

*：CF=AC-AF,

???當A尸有最小值時,CF有最大值,

???當A。有最小值時，AF有最小值，

???當AQ_L8C時，A。有最小值，即4〃有最小值，此時點。與點〃重合，

3V3

??AD的最小值為

2

(―)9

...AF'的最小值為一\—=

34

???b的最大值為3—*本

故答案為：

4

【點評】本題主要考查了解直角三角形，相似三角形的性質與判定，等邊三角形的性質，垂線段最短,

掌握以上性質是解題的關鍵.

14.(2025?廣安)如圖，在等腰RlZXABC中，/8AC=90°,AB=AC=4,。是邊上的一個動點，連

接4/),則人。的最小值為2&.

【考點】等腰直角三角形.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】2V2.

【分析】過A作A”J_8c于，，判定△ABH是等腰直角三角形，求出AH=挈4B=2&,由4。力4”,

即可得到AD的最小值.

【解答】解：過/H乍于從

，NA”B=90°,

???△ABC是等腰直角三角形,

???NB=45°,

???△ABH是等腰直角三角形,

：,AH=?AB=專x4=2&

*：AD^AH,

???A。的最小值為2%.

故答案為：2V2.

【點評】本題考查等腰直角三角形，關鍵是判定△/1B”是等腰直角三角形.

15.（2025?廣安）已知△人￡（7的面積是1.

（1）如圖1,若D,E分別是邊8c和AC的中點，AO與BE相交于點F,則四邊形CDFE的面積為

1

3-.

（2）如圖2,若M,N分別是邊和4c上距離。點最近的6等分點，AM與BN相交于點G,則四

邊形CMGN的面積為三.

~21

【考點】三角形中位線定理；三角形的面積.

【專題】三角形；推理能力.

【答案】（I）p

1

（2）—.

21

【分析】（1）連接可證明DE是AABC的中位線，得到OE||4?,OE二24氏證明△CDEs4

3可得答=（?/則s△四4；進而可得力皿證明△。研

EFDE?則可得到鬻噎9,則打曲二點，據(jù)此可得答案;

得到而=而

…J.R…SACMNCM21MNCM1

（2）連接MN，證明△CMNs^CM,得到豆忘=（就）=%，G=就=JNCM2NCBA,

1S^BMNBMq

則可證明MN//AB,SMMN=36；再證明777=5,得至IJS.MN=彳；證明△MNGS/\48G,

S△CMNCM

得到”="一，則3彳，則S:△MNG=^，據(jù)此可得答案.

BGAB6S&BMNBN

【解答】解：（1）如圖所示，連接。&

A

VD,E分別是邊8是和4c的中點,

???QE是△ABC的中位線，

：.DE||AB,DE=^AB,

：.4CDESACBA,

?S&CDE_/DE2_^AB2_1

S^cBA4B力B4

VAABC的面積是1,

._1

,."CDE=不

?.?。是BC的中點,

.c_c_1

???BDE=□△CDE=4?

*：DE//AB,

：,4DEFs叢ABF,

EFDEJB1

“BF~AB~AB~2

:?BF=2EF,

:?BE=BF+EF=3EF,

?S^DEFefEF_工

S&BDEBE3EF3

,c1

??、4DEF=12>

,111

,?S四邊形CDFE=SADEF+S&CDE=4+12=3

故答案為:J;

J

(2)如圖所示，連接MN,

A

BMC

VM,N分別是邊BC和AC上距離C點最近的6等分點,

/.CM=]-BC,CN=｝：AC.

oo

CMCN1

???,

CBCA6

又：NC=NC,

:.XCMNs[\CBA,

.SL_/也、2_,|f￡、2_1_MNCM浙

,/CMN=/CBA,

SAABCBC，'BC，36ABBCBC

:?MN〃AB；

,?,△A4C的面積是1,

.1

?=缶；

是BC靠近點C的六等分點，

.BM

/.----=5,

CM

.S"MNBM

..7--------=7-=5，

SaCMNCM

._5

?c—希；

，：MN〃AB,

:.叢MNGs^ABG,

.NGMN1

BGAB6

:.BG=6NG,

:?BN=BG+NG=1NG,

.S^MNG__NG_2

??SABMN~BN~TNG~7f

:，S四邊敝MGN=S&MNG+S&CMN=252+36=21,

故答案為：士.

【點評】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，三角形中位線定理，正確作出輔助線構造相似三角

形是解題的關鍵.

16.(2025?連云港)如圖，長為3〃?的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為1.8辦貝J梯子頂端的

【考點】勾股定理的應用.

【專題】三角形.

【答案】2.4.

【分析】根據(jù)長為3〃?的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為1.8/小進行列式計算，即可作答.

【解答】解：???長為3〃?的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為1.8〃?，

/.h—V32—1.82=2.4(m),

故答案為:2.4.

【點評】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理是解題的關鍵，注意正確計算.

17.(2025?南充)如圖，ZAOB=90°,在射線OB上取一點C,以點。為圓心，OC長為半徑畫?。辉?/p>

以點。為圓心，OC長為半徑畫弧，兩弧在24。8的內部相交于點O,連接并延長CO交射線OA于點

E.設OC=1,則OE的長是—.

【考點】等邊三角形的判定與性質；勾股定理.

【專題】三角形.

【答案】V3.

【分析】先確定△OCO是等邊三角形，則NOCQ=6()°,再解直角三角形即可求解.

【解答】解：連。。，由作圖可得

???△OCO是等邊三角形,

???NOCO=60°，

0E=OCxtanC=V3x1=V3?

故答案為：V3.

【點評】本題考杳了等邊三角形的判定與性質，解直角三角形，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的

關鍵.

18.（2025?成都）如圖，在RlzMBC中，ZABC=90°,AB=\,BC=2.以點A為圓心，以AB長為半

徑作??；再以點C為圓心，以8c長為半徑作弧，兩弧在AC上方交于點。，連接8。，則8。的長為

4>/5

【考點】勾股定理；作圖一基本作圖；三角形的面積；線段垂直平分線的性質.

【專題】線段、角、相交線與平行線；三角形；等腰三角形與直角三角形；尺規(guī)作圖；運算能力；推理

能力.

.小小.、4x^5

【答案】—.

【分析】連接A。、CD,由作圖可知，AD