四邊形（二）

一.選擇題（共2小題）

1.（2025?瀘州）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形A8CO中，E為48的中點(diǎn)，r為CE上的點(diǎn)，且。尸=OC,

則AF的長(zhǎng)為（）

2.（2025?自貢）如圖，正方形ABC。邊長(zhǎng)為6,以對(duì)角線8。為斜邊作RtABED,NE=90°,點(diǎn)尸在

DE上,連接8F.若2BE=3DF,則8/的最小值為（）

A.6B.672-VSC.3V5D.475-2^2

二,填空題（共18小題）

3.（2025?揚(yáng)州）若多邊形的每個(gè)內(nèi)角都是140°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為.

4.（2025?長(zhǎng)沙）如圖，五邊形ABCDE中，ZB=120°,ZC=110°,ZD=105°,則NA+NE

5.（2025?北京）如圖，在正方形A3CO中，點(diǎn)后在邊CO上，CFA.BE,垂足為足若A8=l,ZEBC=

30°,則△然〃的面積為.

AD

6.（2025?黑龍江）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條

7.（2025?吉林）如圖，正五邊形A8CDE的邊A8,OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)凡則/尸的大小為度.

8.（2025?內(nèi)蒙古）如圖，在菱形4BCD中，4B=4V5,對(duì)角線BD的長(zhǎng)為16,E是4。的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD

上一點(diǎn)，連接EF若BF=3,則E尸的長(zhǎng)為.

9.（2025?黑龍江）如圖，在矩形4BCO中，AD=6,NC4D=60°,點(diǎn)E是邊CO的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是對(duì)角

線AC上一動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)C關(guān)于直線￡尸的對(duì)稱點(diǎn)P,若PE_L4C,則的長(zhǎng)為.

10.（2025?天津）如圖，在矩形ABC。中，AB=2,8C=3,點(diǎn)E在邊8C上，且EC=28E.

（I）線段AE的長(zhǎng)為；

（II）尸為CO的中點(diǎn)，M為A/的中點(diǎn)，N為EF上一點(diǎn)，若//MN=75°,則線段MN的長(zhǎng)

IL（2025?陜西）如圖，在04BCD中，48=6,AO=8,ZB=60°.動(dòng)點(diǎn)M,N分別在邊A8,AO上,

且AM=AN,以MN為邊作等邊△MNP,使點(diǎn)P始終在DABCO的內(nèi)部或邊上.當(dāng)?shù)拿娣e最大

時(shí)，ON的長(zhǎng)為

12.（2025?湖北）一個(gè)矩形相鄰兩邊的長(zhǎng)分別為2,〃?，則這個(gè)矩形的面積是.

13.（2025?河北）平行四邊形的一組鄰邊長(zhǎng)分別為3,4,一條對(duì)角線長(zhǎng)為〃.若〃為整數(shù)，則〃的值可以

為.（寫回一個(gè)即可）

14.（2025?湖南）如圖，圖1為傳統(tǒng)建筑中的一種窗格，圖2為其窗框的示意圖，多邊形ABCDEFGH為

正八邊形，連接AC,BD,AC與B。交于點(diǎn)M,NAMB=.

圖1圖2

15.（2025?新疆）如圖，在口ABCQ中.NBC。的平分線交于點(diǎn)區(qū)若40=2,則

16.（2025?福建）如圖，菱形A8CD的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，Er過點(diǎn)。且與邊/W,CO分別相交于點(diǎn)E,F.若

OA=2,0。=1,則AAOE與△。0尸的面積之和為.

四邊形（二）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共2小題）

題號(hào)12

答案BD

一,選擇題（共2小題）

1.（2025?瀘州）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，E為A8的中點(diǎn)，尸為CE上的點(diǎn)，且。尸=OC,

則AF的長(zhǎng)為（）

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形：幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】過點(diǎn)。作DQ_LCE交CE于點(diǎn)P,交8C于點(diǎn)Q,過點(diǎn)尸作MMLAB于點(diǎn)交CD于點(diǎn)N,

先求出CE=V5,證明△8CE和△COQ全等得CE=DQ=6BE=CQ=1,證明△CPQ和△CBE相似

得CP=挈，PQ=g則DP=警，F(xiàn)P=CP=竿，CF=與5,EF=M再證明四邊形4CMN是矩

形得MN=BC=2,由三角形的面積公式的初V=,則楨=看，再由勾股定理求出EM=1則AM=

最后在RlZSABW中，由勾股定理即可求出A尸的長(zhǎng).

【解答】解：過點(diǎn)。作DQ_LCE交CE于點(diǎn)P,交8c于點(diǎn)。,過點(diǎn)/作MN_LAB于點(diǎn)M,交CO于

點(diǎn)N,如圖所示：

國(guó)

AEMb

???四邊形43CQ是正方形，且邊長(zhǎng)為2,

:?AB=BC=CD=2,NB=NDCB=90°,CD//AIL

???點(diǎn)E是/W的中點(diǎn)，

：.AE=BE=^AB=\t

在RtAJSC石中，由勾股定理得：CE=7BC2+BE2二店,

AZDCP+Z^CE=90°，

yDQICE,

???NCOQ+NOCP=90°,

:?/BCE=/CDQ,

在△BCE和△CQQ中，

(/BCE=/CDQ

)BC=CD'

UF=乙DCB=90°

:,△BCE/ACDQ(ASA),

CE=DQ=V5,BE=CQ=1,

TDQICE,ZB=90°，

???NCPQ=N8=90°,

又Y4PCQ=/BCE,

：,4CPQsACBE,

.CPPQCQ

-BC~BE~CE

CPPQ1

=「后

???但溶PQ=^

：.DP=DQ-PQ==咨

?:DF=DC,DQLCE,

：?FP=CP=^,

4店

：?CF=FP+CP=肉,

：.EF=CE-CF=花一竽=恪，

：CD//AB,MN工AB,

:.MNICD,

:,NMNC=NDCB=NB=90",

，四邊形BCMN是矩形，

:.MN=BC=2,

由三角形的面積公式得：SADCL燈?FN=》＞P?CF，

114V5475

x2xFN=-x-----x------,

2255

.f8

??FN=+

on

???FM=MN-FN=2一卷=卷，

在RtAEFM中，由勾股定理得：EM=VfF2-FM2=J(~)2-(1)2=

[fl

：.AM=AE+EM=1+^=1,

在RtZ\A尸M中，由勾股定理得：AF=\!AM2+FM2=J(1)2+(1)2=

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，理解正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，相似

三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵.

2.(2025?自貢)如圖，正方形H4CO邊長(zhǎng)為6,以對(duì)角線3。為斜邊作RtaBEQ,N￡=90°,點(diǎn)尸在

。七上，連接4立若2BE=3DF,則6〃的最小值為()

A.6B.6V2-V5C.3V5D.475-272

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)：勾股定理.

【專題】三角形；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圖形的相似；幾何直觀：運(yùn)算能力;

推理能力.

【答案】。

【分析】過點(diǎn)尸作七尸的垂線，過點(diǎn)。作8。的垂線，兩垂線交于點(diǎn)M,構(gòu)造求出

MD,取MD中點(diǎn)為O,得到點(diǎn)尸在以O(shè)圓心，半徑為2魚的圓上運(yùn)動(dòng)，連接。B,當(dāng)尸在線段。8上

時(shí)，即。、F、3三點(diǎn)共線時(shí)，8尸取得最小值，即可解答.

【解答】解：*/法=3QE

BE3

???_*=一,

DF2

如圖，過點(diǎn)尸作班的垂線，過點(diǎn)。作8。的垂線，兩垂線交于點(diǎn)M,

:?NFMD=NEDB,

:?叢MDFs叢DBE,

?B_D__BE_3

??---,

MDDF2

???正方形A8CO邊長(zhǎng)為6,

：?BD=>JDC2+BC2=6V2,

:?MD=40,

取MO中點(diǎn)為。，

，0。=2vL

???點(diǎn)/在以。圓心，半徑為2近的圓上運(yùn)動(dòng)，

連接CB,OF,

在RtaBQ。中，OB=+BD?=4代,

當(dāng)尸在線段。8上時(shí)，即0、F、8三點(diǎn)共線時(shí)，8尸取得最小值，

?：OF+BF>BO,

C.BF^OB-OF=4V5-272,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形與三角形綜合.熟練掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形判定和性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

二,填空題（共18小題）

3.（2025?揚(yáng)州）若多邊形的每個(gè)內(nèi)角都是140°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為」

【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角.

【專題】多邊形與平行四邊形；運(yùn)算能力.

【答案】9.

【分析】先根據(jù)多邊形的一個(gè)內(nèi)角與它相鄰的外角的和為180。，求出多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，然后

根據(jù)多邊形的外角和為360°,求出邊數(shù)即可.

【解答】解：???多邊形的每個(gè)內(nèi)角都是140°,

...多邊形的每個(gè)外角都是180°-140°=40。，

，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為：360°+40。=9,

故答案為：9.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，解題關(guān)鍵是熟練多邊形的外角和為360°.

4J2025?長(zhǎng)沙）如圖，五邊形4BCDE中，/B=120°,NC=110°,/。=105°,則NA+N￡=205°.

【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角.

【專題】多邊形與平行四邊形：運(yùn)算能力.

【答案】205°.

【分析】先根據(jù)五邊形的內(nèi)角和定理求出五邊形的內(nèi)角和，從而得到NA+N8+/C+NO+/E,再根據(jù)

已知條件求出答案即可.

【解答】解:???五邊形的內(nèi)角和為（5-2）X18O0=540。，

，NA+N8+NC+NQ+NE=540°,

???/4=120°,ZC=110°，ZD=105°,

AZA+Z￡=540°-120°-110°-105°=205°,

故答案為:205°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，解題關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的內(nèi)角和定理.

5.（2025?北京）如圖，在正方形A8CO中，點(diǎn)E在邊CO上，CFA.BE,垂足為立若AB=1,ZEBC=

3

30°,則△口］的面積為一.

AD

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】|.

【分析】過點(diǎn)”分別作FM_L8C,FN工AB,垂足為M,M連接4M,則/尸MC=90°,先根據(jù)平行

線間的距離處處相等得出FN=BM,繼而得出S‘M/=5/'A8M，通過解直角三角形得出8M=BC-CM=

即可求解.

【解答】解：過點(diǎn)尸分別作BV_LAB,垂足為M,N,連接AM,則/五欣:=90’，

???四邊形ABC。為正方形,

/.ZABC=90°,

，ZABC=ZFMC,

:?FN=BM,

,:S^ABF=.FN,S^ABM=\AB.BM,

???SZSA8/「=SA48M，

*：CFA-BE,垂足為〃，AB=l=8C,ZEDC=30Q,

/.Z8FC=90a,CF=|z?C=1,

AZC?=90°-NBC產(chǎn)=30°,

CM==*,

3

：,BM=BC-CM=l，

.133

=^^ABM=2乂1*4=評(píng)

故答案為：I

8

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)

點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

6.（2025?黑龍江）如圖，在平行四邊形ABCZ）中，對(duì)角線AC,B。相交于點(diǎn)O,請(qǐng)?zhí)砑右蝗藯l件AC

工BD（答案不唯?）,使平行四邊形A8CQ為菱形.

【考點(diǎn)】菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】ACVBD（答案不唯一）.

【分析】由菱形的判定方法，即可判斷.

【解答】解：???對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，

???添加一個(gè)條件ACJ_8Q,使平行四邊形ABCD為菱形.

故答案為：ACLHD（答案不唯一）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法：一組鄰邊相等的平行

四邊形是菱形，四條邊都相等的四邊形是菱形，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

7.（2025?吉林）如圖，正五邊形ABCOE的邊AB,OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)R則N2的大小為36度.

【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角；對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角；三角形內(nèi)角和定理.

【專題】多邊形與平行四邊形；幾何直觀；推理能力.

【答案】36.

【分析】根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和公式求出N48C=N8CO=B^2：=108。，然后再根據(jù)鄰補(bǔ)角性

質(zhì)，可得：ZABC+ZFBC=\SO°,ZBC￡>+ZBCF=180o,即可求出/F8C,/8C廣的度數(shù)，ffiABCF

中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得出答案.

【解答】解：???五邊形A8CQE是正五邊形,

???NABC=NBCD=(5-2個(gè)180°=108°,

VZABC+ZFBC=\SO°,ZBCD+ZBCF=\SO°,

AZF?C=ISO0-ZABC=180°-108°=72°,ZBCF=1800-ZBCD=180°-1()8°=72°,

在△AC廠中，ZF+ZraC+ZBCF=180°,

，ZF=1800-NFBC-NBCF

=180°-72°-72°

=108°-72°

=36。.

故答案為：36.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，鄰補(bǔ)角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握正多邊形的內(nèi)角和公

式，三角形的內(nèi)角和定理，鄰補(bǔ)角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.(2025?內(nèi)蒙古)如圖，在菱形4BCO中，AB=4V5,對(duì)角線8。的長(zhǎng)為16,E是4。的中點(diǎn)，廠是8。

上一點(diǎn)，連接EF若BF=3,則M的長(zhǎng)為_展_.

【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形：矩形菱形正方形；圖形的相似：推理能力.

【答案】V85.

【分析】由菱形的性質(zhì)可得AC_L8。，AO=CO,BO=DO=8,A8=AO=4代，由勾股定理可求AO的

長(zhǎng)，通過證明△EGOS/XAOQ,可求EG=%0=2,DG=3DO=4,由勾股定理可求解.

【解答】解：如圖，連接AC交8。于。，過點(diǎn)E作EG_LBD于G,

???四邊形48CQ是菱形，對(duì)角線的長(zhǎng)為16,

：.AC.LBD,AO=CO.80=00=8,AB=AD=4V5,

：,AO=>JAD2-OD2=V80-64=4,

???￡是4力的中點(diǎn),

：,AD=2DE,

〈EG人BD,

：.EG//AC,

???△EGOS/XAO。，

?EGDGDE_1

''AO~DO~AD~2

：.EG=^AO=2,DG=4DO=4,

乙乙

，：BF=3,

:?FG=BD-GD-BF=9,

:?EF=VEG2+FG2=V81+4=V85,

故答案為：V85.

【點(diǎn)評(píng)】本題考行了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角

形是解題的關(guān)鍵.

9.（2025?黑龍江）如圖，在矩形A8C。中，AD=6,NCAD=60°,點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)戶是對(duì)角

線AC上一動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)。關(guān)于直線E尸的對(duì)稱點(diǎn)P,若PE_LAC,則CL的長(zhǎng)為3或9.

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；軸對(duì)稱的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形：矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；運(yùn)算能力：推理能力.

【答案】3或9.

【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，連接PC,交直線稗于點(diǎn)G,延長(zhǎng)產(chǎn)￡交4c于點(diǎn)月，當(dāng)點(diǎn)P在AC上

方時(shí)，由勾股定理求出CD=66進(jìn)而得到“=』CD=3百由點(diǎn)C關(guān)于直線所的對(duì)稱點(diǎn)P,得到PE=

CE=3V3,NEGC=/EGP=90°,求出/CE”=NCAD=6(T,進(jìn)而得到NP￡C=120°,再求出N

1

CPE=ZPCE=^(180°-ZPEC)=30°,證明尸是等腰三角形，在RtaCE”中，解直角三角

形求出進(jìn)而求解：當(dāng)點(diǎn)。在4C下方時(shí)，先求出\/C￡P(guān)=60",CH』結(jié)合對(duì)稱的性質(zhì)易

證是等邊三角形，易求EH=PH=\PE=竽解直角三角形求出HF=1,由CF=CH-HF即可求

解.

【解答】解：如圖所示，連接PC，交直線所于點(diǎn)G,延長(zhǎng)PE交AC于點(diǎn)”，當(dāng)點(diǎn)P在AC上方時(shí),

???在矩形A8C。中，AO=6,ZCAD=60°,ZACD=30°

/.AC=2AD=12,CD=y/AC2-AD2=673,丁

點(diǎn)E是邊CQ的中點(diǎn)，

:?CE=gCD=3?

:點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)P,

：.PE=CE=3V3,NEGC=NEGP=90°,

VPH1AC,

；?NEHC=NEHF=90°,Z.4CD=30°,NACO+NCE”=NACO+NC4O=90°,

；?/CEH=/CAD=6C,

AZPEC=120°,?;PE=CE,

1

/CPE=/PCE=^(180°-乙PEC)=30°,

?：/PEG=/FEH,NEGP=/EHF=90°,

???NCPE=NEFC=30°,

???△CE/是等腰三角形，CH=FH=^CF,

在中，CE=3V3,

NHCE=30°,CH=CE?cos/HCE=3V5x空=3，

:.CF=2CH=9；

如圖，當(dāng)點(diǎn)。在AC下方時(shí),

'：PELAC,

AZC//E=90°,

VZACD=30°,

AZCEP=60°，CH=CE?cos/ACQ=36x苧=￡,

由對(duì)稱的性質(zhì)得PE=CE,

???△CEP是等邊三角形，

AZP=60°,CE=PC=PE=3?

；?NHEF=30°，EH=PH=：PE=號(hào),HF=EH-tanZPEF=x=|,

:?CF=CH-HF=3；

綜上，CF的長(zhǎng)為3或9.

故答案為：3或9.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形,

解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用.

10.（2025?天津）如圖，在矩形ABCO中，AB=2,8C=3,點(diǎn)E在邊上，且EC=2BE.

（I）線段AE的長(zhǎng)為_y_；

（【【/為CO的中點(diǎn),M為AF的中點(diǎn),N為七產(chǎn)上一點(diǎn)，若/"WV=75°,則線段MV的長(zhǎng)為半.

3

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì).

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】(I)底

(II)叵

3

【分析】(I)求出8E=1,由勾股定理可求AE的長(zhǎng)；

(II)由SAS可證aABE絲△ECR可得AE=E/=遙，NBAE=/CEF,由等腰直角三角形的性質(zhì)和

銳角三角函數(shù)可求MN的長(zhǎng).

【解答】解：(I)?:EC=2BE,BC=3,

：.BE=\,EC=2,

：.AE=7AB2+BE?=VIT4=5

故答案為：V5；

(II)如圖，過點(diǎn)M作廣于H,

???四邊形A8CD是矩形，

.??N8=NC=N/J=9。"，AB=3=2,

OF為CD的中點(diǎn),

：.CF=DF=\,

；.BE=CF=1,AB=EC=2,

:.AABE二4ECF(SAS),

：.AE=EF=V5,ZBAE=ZCEF,

：.ZBAE+ZAEB=W=NCEF+NAEB,

AAAEF=W,

：,ZEAF=ZAFE=45°,AF=\I2EF=V10,

???M為A尸的中點(diǎn),

.A3同

??Mr——-,

'CMHLEF,

；?NMFH=45°=NFMH,MH=HF=

?:/FMN=15°,

：?NNMH=30°,

?uzMH整莊

??MN=c°s(NMH=k-T，

T

故答案為：—.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，靈活運(yùn)用這些

性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

II.(2025?陜西)如圖，在匚中，AB=6,AO=8,NB=60：動(dòng)點(diǎn)M,N分別在邊AB,A。上,

且AM=AM以MN為邊作等邊△/"可「，使點(diǎn)尸始終在DABCO的內(nèi)部或邊上.當(dāng)△MNP的面積最大

時(shí)，DN的長(zhǎng)為5.

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】5.

【分析】由題意可得AM=AMMP=NP,則點(diǎn)P在A”上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)P始終在SBC。的內(nèi)部或邊上.則

40的最大值為A”的長(zhǎng)，通過證明△48”是等邊三角形，可得A8=AH=6,即可求解?.

【解答】解：如圖，連接AP,交BC于H,

???四邊形A8CQ是平行四邊形，ZB=6()°,

：.ZBAD=\20Q,

?「△MNP是等邊三角形，

:.MP=PN,NPMN=/PNM=e",△MVP的面積=￥MP2,

???AM=4N,AP=AP,

:./XAMP沿叢ANP(SSS),

：.ZBAP=ZDAP=60°,ZAPM=ZAPN=30°,

/.ZAMP=90°,

:?MP=6AM,AP=2AM,

:,MP=寧AP,

:.△MNP的面積=呼斗產(chǎn)，

1O

???當(dāng)4P最大時(shí)，△MNP的面積的面積最大,

???NB=N8A”=60°,

???△A8H是等邊三角形，

：,AB=AH=6,

*：AM=AN,MP=NP,

.?.點(diǎn)。在人，上運(yùn)動(dòng)，

???點(diǎn)P始終在U7ABC。的內(nèi)部或邊上.

???AP的最大值為A”的長(zhǎng)，

即AP=6,

，AM=AN=3,

，QN=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，銳角三

角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，確定點(diǎn)2的軌跡是解題的關(guān)鍵.

12.（2025?湖北）一個(gè)矩形相鄰兩邊的長(zhǎng)分別為2,加，則這個(gè)矩形的面積是.

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì).

【專題】應(yīng)用題.

【答案】2m.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)求面積，根據(jù)矩形的面積是長(zhǎng)x寬即可解答.

【解答】解：根據(jù)題意可得矩形的面枳是2/”，

故答案為：2m.

【點(diǎn)評(píng)】該題考查了列代數(shù)式，正確列出式子是解題的關(guān)鍵.

13.（2025?河北）平行四邊形的一組鄰邊長(zhǎng)分別為3,4,一條對(duì)角線長(zhǎng)為〃.若〃為整數(shù)，則〃的值可以

為2或3或4或5或6.（寫出一個(gè)即可）

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì).

【專題】三角形：多邊形與平行四邊形；運(yùn)算能力.

【答案】2或3或4或5或6.

【分析】由平行四邊形兩個(gè)鄰邊長(zhǎng)分別為3和4,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可求得它的一條對(duì)角線長(zhǎng)

〃的取值范圍.

???平行四邊形兩個(gè)鄰邊長(zhǎng)分別為3和4,

，它的一條對(duì)角線長(zhǎng)n的取值范闈是：4-3<//<4+3,

即它的一條對(duì)角線長(zhǎng)L的取值范圍是：

，〃=2或3或4或5或6.

故答案為：2或3或4或5或6.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系.此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握三角形三邊關(guān)

系的應(yīng)用.

14.（2025?湖南）如圖，圖1為傳統(tǒng)建筑中的一種窗格，圖2為其窗框的示意圖，多邊形A8COEFG”為

正八邊形，連接AC,BD,AC與4。交于點(diǎn)M,ZAMB=45".

圖1圖2

【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角；三角形內(nèi)角和定理：等腰三角形的性質(zhì).

【專題】三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；正多邊形與圓；運(yùn)算能力：推理能力.

【答案】45°.

【分析】根據(jù)正八邊形的性質(zhì)，圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，設(shè)正八邊形的外接圓的圓心為O,

*/八邊形ABCDEFGH是正八力形，

，乙。。。=中-=

408=/O45°,

???NAMB=ZACB+ZCBD

11

=$NAOB+$NCOD

=45°.

圖2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形和圓，掌握正八邊形的性質(zhì)，圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理是正確解答

的關(guān)鍵.

15.（2025?新疆）如圖，在匚MBCO中.NBCO的平分線交于點(diǎn)E,若AO=2,則8E=2.

【專題】多邊形與平行四邊形；幾何宜觀；推理能力.

【答案】2.

【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得4C=AQ=2,AB//CD,則NDCE=N8EC,再根據(jù)CE平分N4CO得

/BCE=NDCE,進(jìn)而得N8c￡=N8EC,然后根據(jù)“等角對(duì)等邊”即可得出答案.

【解答】解：???四邊形A/JCD是平行四邊形，且AD=2,

：.BC=AD=2,AB//CD,

:?/DCE=/BEC,

TCE平分/BCD,

：?/BCE=/DCE,

/.NBCE=NBEC,

:.BE=BC=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考杳了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，理解"等角

對(duì)等邊”是解決問題的關(guān)鍵.

16.（2025?福建）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,即過點(diǎn)O且與邊A&C。分別相交于點(diǎn)E,F.若

OA=2,。。=1,則AAOE與△OO廠的面積之和為].

B

【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；三角形的面積；全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】I.

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)證明△QOFgZkBOE（人人5）,得△OOF的面積=Z\BO￡的面積，進(jìn)而可以解

決問題.

【解答】解：:四邊形A8CO是菱形，

J00=80=1,CD//AB,

/.ZODF=NOBE,ZOFD=ZOEB,

:?△DOF坦4B0E（4AS）,

:.△DOF的面積=△BOE的面積，

:.XA0E與△。。尸的面積之和=/\8。4的面積=1x2Xl=l,

故答案為：I.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，三角形的面積，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

17.（2025?江西）如圖，創(chuàng)意圖案中間空白部分為正多邊形，該正多邊形的內(nèi)角和為720度.

【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角.

【專題】多邊形與平行四邊形；運(yùn)算能力.

【答案】720.

【分析】利用多邊形的內(nèi)角和公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：觀察圖形可知：該正多邊形是正六邊形，

???該正多邊形的內(nèi)角和為:(6-2)X1800=4X180°=720°.

故答案為：720.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和外角，解題關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式.

18.(2025?眉山)如圖，正方形45C。的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)A、。重合)，ZCDP=

45°，點(diǎn)?在射線OP上，且DF=\：V2,連接3”，交CD于點(diǎn)、G,連接￡5、EF、EG.下列結(jié)

論：

①sinNBF￡=?：@AE2+CG2=EG2,③尸的面積最大值是2；④若AE=Y。，則點(diǎn)G是線段CD

的中點(diǎn).其中正確結(jié)論的序號(hào)是①③④.

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)：解直角三角形：勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】①③④.

【分析】①在A8上截取A”=AE,連接設(shè)AE=。，DF=V2a,則A”=AE=a,HE=曲,NBHE

=NEDF=135°,BH=ED,由此可依據(jù)“SAS”判定和全等，則BE=FE,ZHBE=Z

FED,再證明NFED+N人E8=90°得N5E/=90°,由此得ABE尸是等腰直角三角形，則

FBE=45°,進(jìn)而得sinNME=sin45°=號(hào),據(jù)此可對(duì)結(jié)論①進(jìn)行判斷；

②過點(diǎn)8作交。人的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,證明△用VW和△ACG全等得AM=CG,BM=BG,則

AE+CG=ME,證明NMBE=FBE=45°,進(jìn)而可依據(jù)“SA5”判定和△G8E全等，則ME=EG,

由此得AE+CG=EG,據(jù)此可對(duì)結(jié)論②進(jìn)行判斷；

③過點(diǎn)尸作式N_LA。，交A。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,由(1)知設(shè)DF=V2a,則即=4-小證明△

NDF是等腰直角三角形得DN=FN=a,進(jìn)而得△。石產(chǎn)的面積5=1(4-a)-a=-1(a-2)2+2,由此

得當(dāng)。=2時(shí)，S為最大，最大值為2,據(jù)此可對(duì)結(jié)論③進(jìn)行判斷;

④設(shè)CG=x,則QG=4-x,根據(jù)AE=Ig得*由②知AE+CG=EG=x+皋在RlAQEG

中，由勾股定理得（x+§2=今2+的一幻2,由此解出戶2得CG=OG=2,據(jù)此可對(duì)結(jié)論④進(jìn)行判

斷，綜上所述即可得出答案.

【解答】解：①在AB上截取A”=AE,連接E”，如圖1所示：

VAE：DF=1：V2,

?二設(shè)DF=節(jié)勿,

???四邊形/18C。是正方形，且邊長(zhǎng)為4,

：.AB=AD=CB=CD=4,NB4O=NAOC=NC=NABC=90°,

?\AH=AE=a,

是等腰直角三角形，

AZAEH=ZAHE=45°,

???N8〃E=1800-ZAHE=}35°,

由勾股定理得：HE=y/AE2+AH2=y[2a,

:?HE=DF,

VZCDP=45°,

AZEDF=ZADC+ZCDP=135°,

：.ZBHE=ZEDF=\35a,

'：AB=AD,AH=AE,

：.AB-AH=AD-AE,

即BH=ED,

在ABHE和AEDF中,

HE=DF

乙BHE=乙EDF,

BH=ED

△BHEW4EDF(SAS),

:?BE=FE,NHBE=NFED,

?；NHBE+NBEH=1800-NBHE=45°,

；?NFED+NBEH=45°,

：.ZFED+ZBEH+ZAHE=90°,

即N/EO+NAE8=90°,

AZBEF=180°-(NFED+NAEB)=90°,

???△8EF是等腰直角三角形，

:,NBFE=NFBE=45°,

，sinN8FE=sin45°=*,

故結(jié)論①正確：

②過點(diǎn)B作BM工8卜,交DA的延長(zhǎng)線于?點(diǎn)如圖2所示:

圖2

/.ZMBF=ZABC=90a,

???ZMBA+ZABF=ZABF+ZGBC,

:?NMBA=NGBC,

?.?/8AO=NC=90°,

AZBAM=ZC=90°,

在△8AM和aBCG中，

(ZMBA=NGBC

\AB=CB,

V^BAM=zC=90°

(SAS),

：.AM=CG,BM=BG,

：.AE+CG=AE+AM=ME,

VZABC=90°,NFBE=45°,

AZABE+ZGBC=45°,

???NA4E+NM4A=45°,

即NMBE=45°,

:?NMBE=FBE=45°,

在△M8E和△GBE中，

(BM=BG

NMBE=FBE，

\BE=BE

:.△MBEW4GBE(SAS),

:,ME=EG,

：.AE+CG=EG,

故結(jié)論②不正確；

③過點(diǎn)/作/W_LAD,交4。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,如圖3所示:

由(1)可知：設(shè)AE=mDF=V2a,

：,ED=AD-AE=4-a,

*：ZCDN=ZADC=W,NCDP=45°,

AZFDN=ZCDN-ZCDP=45°,

：,/\NDF是等腰直角三角形，

:,DN=FN,

由勾股定理得：DF=y/DN2+FN2=V2DN,

:.DN=FN=導(dǎo)DF=孝x&Q=a,

,叢DEF的面枳S=3DE?FN=1(4-a)-a,

整理得：S=-1(a-2)2+2.

，當(dāng)〃=2時(shí)，S為最大，最大值為2,

故結(jié)論③正確；

④設(shè)CG=x,則DG=CD-CG=4-x,

9：AE=1AD=I，

48

ADE=AD-AE=4-掾=(

由②可知：AE+CG=EG,

4

:.EG=%+可，

在Rt^OEG中，由勾股定理得：EG2=DE1+DG2,

?,.(%+務(wù)2=(|)2+(4-X)2,

解得：x=2,

???CG=2,

???￡)(7=4-3=2,

?\CG=/JG=2,

???點(diǎn)G是線段CO的中點(diǎn)，

故結(jié)論④正確，

綜上所述：正確結(jié)論的序號(hào)是①③④.

故答案為：①③④.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，理解正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等

三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理是解決問題的關(guān)

鍵.

19.(2025?山東)如圖，在中，/ABC=90°,AB=6,BC=8.點(diǎn)P為邊AC上異于A的一點(diǎn)，

以%,PB為鄰邊作口必QB,則線段PQ的最小值是4.8.

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形：圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】4.8.

【分析】過M作MN_LAP于N,判定推出MN：BC=AM：AC,由勾股定理求出AC

=10,由平行四邊形的性質(zhì)推出AM=^AB=3,PQ=2PM,得到MN：8=3：10,求出MN=2.4,由

PM2MN,得到PQ22MN=4.8,即可求出PQ的最小值.

【解答】解：如圖，過M作MMLAO于N,

???NANM=NA8C=90°,

?:乙MAN=々CAB,

:.XAMNs&ACB、

:?MN：BC=AM：AC,

VZABC=90°,AB=6,8C=8,

，AC='AB?+BC2=10,

???四邊形以QB是平行四邊形，

???AM=；A8=3,PQ=2PM,

:?MN：8=3：10,

，MN=2.4,

■:PM2MN,

：?PQ22MN=4.8,

???PQ的最小值是4.8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，關(guān)鍵是由平行四邊形的

性質(zhì)推出PQ=2PM,判定△/MNS/XACB,推出MMBC=AM：AC,由垂線段最短得到PM2MM

20.（2025?云南）如圖，四邊形A8CO是菱形，對(duì)角線4C,B。相交于點(diǎn)O.若AC=6,BD=5,則菱形

ABCD的面積是15.

D

【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；運(yùn)算能力.

【答案】15.

【分析】菱形面積必（。、》是兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度），由此即可計(jì)算.

【解答】解：???四邊形/WCO是菱形，AC=6,BD=5,

，菱形ABCD的面積=^AC*BD=1x6X5=15.

故答案為：13.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形的面積公式.

考點(diǎn)卡片

1.對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角

(1)對(duì)頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種位置

關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角.

(2)鄰補(bǔ)角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角.

<3)對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等.

(4)鄰補(bǔ)角的性質(zhì):鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即和為180°.

(5)鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角成對(duì)出現(xiàn)，在相交直線中，一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè).鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角都是相對(duì)與兩

個(gè)角而言，是指的兩個(gè)角的一種位置關(guān)系.它們都是在兩直線相交的前提下形成的.

2.三角形的面積

(I)三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，即Sa=2x底X高.

<2)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

3.三角形內(nèi)角和定理

(1)三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大

于0°且小于180°.

(2)三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

(3)三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一-起，組合成一個(gè)平角.在轉(zhuǎn)化中借助平

行線.

(4)三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法

求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

4.全等三角形的判定與性質(zhì)

(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，

關(guān)健是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角

形.

5.等腰三角形的性質(zhì)

(1)等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個(gè)底角相等.【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

(3)在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)

元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論.

6.等邊三角形的性質(zhì)

(I)等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形.

①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況.在等邊三角形中，腰和底、頂

角和底角是相對(duì)而言的.

(2)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°.

等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸：它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線

是對(duì)稱軸.

7.等邊三角形的判定與性質(zhì)

(1)等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性

質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件.同是等邊三角形又是掙殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性

質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用.

(2)等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的

直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等.

(3)等邊三角形判定最好雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從?/p>

般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個(gè)角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60°

的角判定.

8.勾股定理

(I)勾股定理.：在任何一個(gè)直隹三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之