2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(天津卷)

數(shù)學(xué)

本試卷分第1卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試用時(shí)

120分鐘.第1卷1至3頁(yè)第II卷4至6頁(yè).

答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上，

并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答

在試卷上的無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷(選擇題)

注意事項(xiàng)：

1.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).

2.本卷共9小題，每小題5分，共45分.

參考公式：

?如果事件互斥，那么P(AuB)=P(A)+P(8)

?如果事件A8相互獨(dú)立，那么RA8)=P(A)P(8)

?棱柱的體積公式v=其中S表示棱柱的底面面積，h表示棱柱的高.

?圓錐的體積公式力，其中S表示圓錐的底面面積，h表示圓錐的高.

一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的

1.已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},5={2,3,5},則。(Au8)=()

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{2,4}D.{4}

2.設(shè)xeR,則“x=O”是()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知函數(shù)y=/(x)的圖象如下，則/(X)的解析式可能為()

4.若“為直線，①僅為兩個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是()

A.若〃?〃a,〃ua,則〃B.若〃?_La,〃?_L〃，則a_L/

C.若〃”/a,"?_!_/?,則a_L/?D.若mua,aL。,則〃?_1./

5.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()

A.若X~N(〃,，)，則P(XK〃-b)=P(X*+b)

B.若X7V(1,22),Y7V(2,22),則P(Xv1)vP(Vv2)

c.M越接近i,相關(guān)性越強(qiáng)

D.M越接近0,相關(guān)性越弱

6.S.=-〃2+8〃，則數(shù)列｛⑷｝的前12項(xiàng)和為()

A.112B.48C.80D.64

7.函數(shù)/(x)=03—&的零點(diǎn)所在區(qū)間是()

A.(0,0.3)B.(03,0.5)C.(0.5,1)D.(1⑵

8.fix)=sin(cyx+(p\(o>0-n<(p<n)f在書哈上單調(diào)遞增，且x4為它的一條對(duì)

稱軸，件。)是它的一個(gè)對(duì)稱中心，當(dāng)X?0,|時(shí)，/(x)的最小值為()

八1

A.上B.--C.1D.0

22

9.雙曲線2-匚=1(。>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳,巴，以右焦點(diǎn)鳥(niǎo)為焦點(diǎn)的拋物線

crb-

y2=2px(p>0)與雙曲線交于另一象限點(diǎn)為尸,若|尸耳|+|尸用=3年居則雙曲線的離心率

e=()

A.2B.5C.D.

22

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

第n卷（非選擇題）

注意事項(xiàng)：

1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.

2.本卷共11小題，共105分.

二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分.

10.已知i是虛數(shù)單位，則?二.

1

H.在（工-if的展開(kāi)式中，V項(xiàng)的系數(shù)為.

12.4：*-。+6=0,與X軸交于點(diǎn)4與y軸交于點(diǎn)8,與*+1）2+（了-3）2=/交于c、D

兩點(diǎn)，|人B|=3|CO|,則==.

13.小桐操場(chǎng)跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均為0.5,若

第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0.4,6圈的概率為0.6；若第一次跑6圈，則

第二次跑5圈的概率為0.6,6圈的概率為0.4.小桐一周跑11圈的概率為；若一

周至少跑11圈為動(dòng)量達(dá)標(biāo)，則連續(xù)跑4周，記合格周數(shù)為X,則期望E（x）=

14.A4c中，。為48邊中點(diǎn)，CE=；CD、AB=a,AC=b,則從七=（用。，8表示），

若|AE|=5,AELCB,則

15.若a,bwR,對(duì)Wxe[-2⑵,均有（2°+母？+以-。-1v0恒成立,則2a+b的最小值為一

三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演

算步驟.

16.在八8c中，角A,B,C的對(duì)邊分別為d。,c.已知.sir5=6》cosA,c-2b=\,a=出.

⑴求力的值；

⑵求c的值；

（3）求sin（A+25）的值.

17.正方體A8CO—ABC。的棱長(zhǎng)為4,E、尸分別為AA，。蜴中點(diǎn)，CG=3GCi,

1.D

【分析】由集合的并集、補(bǔ)集的運(yùn)算即可求解.

【詳解】由A={L3},3={2,3,5},則4D4={123,5},

集合U={1,2,3,4,5},

故C（AU8）={4}

故選：D.

2.A

【分析】通過(guò)判斷是否能相互推出，由充分條件與必要條件的定義可得.

【詳解】由x=O=sin2x=sinO=O,則“x=0”是“sin2\=0"的充分條件；

又當(dāng)x=冗時(shí)，sin2x=sin2兀=0,可知sin2x=0*x=0,

故“x=0”不是“sin2x=0”的必要條件,

綜上可知，“x=0”是“sin2x=0”的充分不必要條件.

故選：A.

3.D

【分析】先由函數(shù)奇偶性排除AB,再由xe（。』）時(shí)函數(shù)值正負(fù)情況可得解.

【詳解】由圖可知函數(shù)為偶函數(shù)，而函數(shù)/（”=巾和函數(shù)/（》）=時(shí)為奇函數(shù)，放排

除選項(xiàng)AB：

又當(dāng)K￡（O,1）時(shí)1一/>0,x2-l<0,此時(shí)==

由圖可知當(dāng)x?0」）時(shí)，"/）<（）,故C不符合，D符合.

故選：D

4.C

【分析】根據(jù)線面平行的定義可判斷A的正誤，根據(jù)空間中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可判斷BCD的

正誤.

【詳解】對(duì)于A,若mHamua,則機(jī)，〃可平行或異面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若m工a,m工￡,則a〃Q,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,兩條平行線有一條垂直于一個(gè)平面，則另一個(gè)必定垂直這個(gè)平面，

現(xiàn)故。_1_夕，故C正確：

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

對(duì)于D,wua.a_L/，則機(jī)與夕可平行或相交或〃zu〃，故D錯(cuò)誤；

故選：C.

5.B

【分析】根據(jù)正態(tài)分布以及相關(guān)系數(shù)的概念直接判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性可知，P(X<A-a)=P(X>A+<T),A說(shuō)法正確;

對(duì)于B,根據(jù)正態(tài)分布時(shí)稱性可知，P(X<l)=P(r<2)=0.5,B說(shuō)法錯(cuò)誤；

對(duì)于C和D,相關(guān)系數(shù)卜|越接近0,相關(guān)性越弱，越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)，故C和D說(shuō)法

正確.

故選：B

6.C

【分析】先由題設(shè)結(jié)合為=5“-5,1求出數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式，再結(jié)合數(shù)列｛%｝各項(xiàng)正負(fù)情

況即可求解.

【詳解】因?yàn)?“=-/+8",

所以當(dāng)〃=1時(shí)，《=￡=-12+8x1=7,

當(dāng)〃之2時(shí)，a-,-=(一〃2+麗)一[-(〃-l)，+8(〃-1)]=-2n+9,

經(jīng)檢驗(yàn)，4=7滿足上式，

所以a0=-2〃+9(〃eN"),令%=-2〃+9之0=〃44,an=-2n+9<0=>n>5,

設(shè)數(shù)列｛同｝的前〃項(xiàng)和為小

則數(shù)列伽」｝的前4項(xiàng)和為7；=S4=4+8x4=16

數(shù)列｛⑷｝的前12項(xiàng)和為

41=何|+|生|+.,?+|42|=4+%+。3+&_6一緣_一_42

2

=2S4-SI2=2X16-(-12+8X12)=80.

故選：C

7.B

【分析】利用指數(shù)函數(shù)與幕函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理計(jì)算即可.

答案第2頁(yè)，共15頁(yè)

【詳解】由指數(shù)函數(shù)、鼎函數(shù)的單調(diào)性可知：)，=03在R上單調(diào)遞減，y=4在［0,+叼單

調(diào)遞增，

所以/(M=03-4在定義域上單調(diào)遞減，

顯然/(0)=1>O,/(O.3)=O.303-0.3°5>0,/(0.5)=0.3°5-0.5°5<0,

所以根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知“X)的零點(diǎn)位于(030S).

故選：B

8.A

【分析】利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性得出。=4〃+2,根據(jù)單調(diào)性得出0<3<2,從而確定

結(jié)合對(duì)稱軸與對(duì)稱中心再求出8,得出函數(shù)解析式，利用整體思想及正弦函數(shù)的性質(zhì)耳.可得

解.

兀兀c,

—<y+°=—+2E

【詳解】設(shè)/(%)的最小正周期為丁，根據(jù)題意有，一一,(m,kEZ),

—(o+(p=mn

由正弦函數(shù)的對(duì)稱性可知會(huì)力?心Z),

7i2nn+兀

nBnP—=-------6y=4〃+42,

42a)

又在一號(hào)右上單調(diào)遞增，則

—>—=>0<<y<2,

1I241乙2乙1乙(o2

11c,

(p=—+2/ai

(0=2,則，

2兀'

(P=ntn----

3

^e(-7t,n),□女=0,，〃=1時(shí)，夕=］，□/6)=sin2唱,

當(dāng)xe0費(fèi)時(shí)，2x+n4JI

3G3*T

由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知「(x).=sin”=-9

“\7mm32

故選：A

9.A

|P用=3C+4

【分析】利用拋物線與雙曲線的定義與性質(zhì)得出<根據(jù)勾股定理從而確

\PF2\=3c-a=\PA\

定P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)在雙曲線上構(gòu)造齊次方程計(jì)算即可.

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

【詳解】根據(jù)題意可設(shè)人（多。卜雙曲線的半焦距為JP（毛，為），則〃=2°,

過(guò)片作x軸的垂線/,過(guò)P作/的垂線，垂足為4顯然直線4E為拋物線的準(zhǔn)線,

則|叫=仍用,

'\PF]-\PF2\=2a\PF]\=3c+a

由雙曲線的定義及已知條件可知J

IcrIIcrI.，

附|+|P段=6c\PF2\=3c-a=\PA\

由勾股定理可知MM=y：=歸卻一|必「二12",

易知>0=4c￥（）,.,.%=3。，即—^-―YT--7---1'"、-1>

abac-a-

整理得2c~-3。。一2/=0=（2c+a）（c—2a）,□c=2a,即離心率為2.

故選：

io.Vio

【分析】先由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)出，再由復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式即可計(jì)算求解.

1

【詳解】先由題得號(hào)=-i（3+i）=>3i,所以斗=J『+（_3）2=M.

故答案為：M

11.-20

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理相關(guān)知識(shí)直接計(jì)算即可.

【詳解】（X-1）6展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為a=C",

當(dāng)r=3時(shí),7；=C>3（-1）3=-20X\

即（x-l）6展開(kāi)式中V的系數(shù)為-20.

故答案為：-20

12.2

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

【分析】先根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得出|AB|=6&,再計(jì)算出圓心到直線的距離d,根據(jù)弦長(zhǎng)

公式|CO|=2尸彳列等式求解即可.

【詳解】因?yàn)橹本€點(diǎn)x-j+6=0與x軸交于4（-6,0）,與丁軸交于8（0,6）,所以

|相|=而+62=6&，所以|曾=2&,

圓（x+l）2+（y-3）2=產(chǎn)的半徑為「，圓心（T3）到直線4：,.），+6=0的距離為

".二1F-1-3-+61SB

故他=26一/=2卜一（&）2=26,解得「=2；

故答案為：2.

【分析】先根據(jù)全概率公式計(jì)算求解空一，再求出概率根據(jù)二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算求解.

【詳解】設(shè)小桐一周跑11圈為事件A,設(shè)第一次跑5圈為事件B,設(shè)第二次跑5圈為事件C,

則P（A）=P（B）P（C|B）+P（B）P（C|B）=0.5x0.6+0.5x0.6=0.6；

若至少跑II圈為運(yùn)動(dòng)量達(dá)標(biāo)為事件。，P（D）=P（A）+P（B）P（C|B）=0.6+0.5x0.4=0.8,

所以X~8（4,0.8）,E（X）=4x0,8=3.2；

故答案為：0.6；3.2

12

14.一ciH—b；—15

63

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解即可空一，應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算求解空二.

【詳解】如圖，

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

因?yàn)镃E=，C。，所以4E-AC=L(AO-AC),所以4E=,4/)+24C.

3333

I?|?

因?yàn)椤榫€段A8的中點(diǎn)，所以A￡=zA4+zAC=z〃+z〃；

6363

又因?yàn)閨AE|=5,AE_LCB,所以4才=(』％+2〃]1,2—4,

=—a2H—a?bt—b2=25,

163)3699

22

AE^CB=(^a+lb\(a-b)=^a+^ab-lb=Ot所以7+3〃./,=4/

所以a+4d-Z>=180?

所以A￡CD=—47+—/?J?=—a2+—ab--h2=—[^a2+2a-b-Sh2^

=+2ab-2a2-6〃6)=《(-/-4r7-Z?2)=-15.

1,2?

故答案為：-a+-b--15.

63

15.-4

【分析】先設(shè)/=加+。，根據(jù)不等式的形式，為了消。可以取X=-；，得到d4驗(yàn)證f=-4

時(shí)，“〃是否可以取到，進(jìn)而判斷該最小值是否可取即可得到答案.

【詳解】設(shè)原題轉(zhuǎn)化為求/的最小值,

原不等式可化為對(duì)任意的-2WxW2,tx2+(t-2a)x-a-\<0,

不妨代入x=_g，得得,2-4,

當(dāng)/=-4時(shí)，原不等式可化為-4產(chǎn)+(-4-24)%-“-140,

即—2x+($+l)+%?0,

觀察可知，當(dāng)a=0時(shí)，-(2x+l『W0對(duì)-2WxW2一定成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=-g取等號(hào),

此時(shí)，。=0,〃=-4,說(shuō)明f=T時(shí)，均可取到，滿足題意，

答案第6頁(yè)，共15頁(yè)

故/=2a+〃的最小值為-4.

故答案為：-4

16.（1）1

（2）3

⑶竽

【分析】（1）由正弦定理化邊為角再化簡(jiǎn)可求；

（2）由余弦定理，結(jié)合（1）結(jié)論與已知代入可得關(guān)于力的方程，求解可得力，進(jìn)而求得。；

（3）利用正弦定理先求6,再由二倍角公式分別求sin23,cos23,由兩角和的正弦可得.

【詳解】（1）已知〃sin8=6）8sA,由正弦定理，^二上，

sinAsinB

得asin3=bsinA=A/5/?COSA>顯然COSAHO,

得tanA—y/3，由。vA<兀，

故A=g；

(2)由(1)知cosA=g,且。=⑦+1,a=幣,

由余弦定理4=Z?2+c2-2Z?ccosAf

貝1」7=62+(2〃+])2-2*3伙2〃+1)=3/+3/?+1,

解得b=l1=-2舍去),

故c=3；

（3）由正弦定理上?:上，且。=1,。=曲,sin4=@,

sinAsinB2

得sin8=史見(jiàn)4=叵，且〃>力，則8為銳角，

a14

故cosB=—>/7,故sin2B=2sin6cosB=

14

Kcos2?=l-2sin2?=l-2x

x/3

故sin(4+28)=sin4cos2B+cosAsin28=0+&也=逑.

2142147

17.（1）證明見(jiàn)解析

（2）?

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

【分析】（1）法一、利用正方形的性質(zhì)先證明/G_L3A\再結(jié)合正方體的性質(zhì)得出E/_L平

面利用線面垂直的性質(zhì)與判定定理證明即可；法二、建立空間直角坐標(biāo)系，利用

空間向量證明線面垂直即可：

（2）利用空間向量計(jì)算面面夾角即可；

（3）利用空間向量計(jì)算點(diǎn)面距離，再利用錐體的體枳公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）法一、在正方形BCGe中，

由條件易知12口/儲(chǔ)巾=笠=1=警=0】/與8產(chǎn)，所以NGFG=NBiBF,

則NB\FB+NB】BF」=ZC.FG+NB/B,

故NBFG=7t-(/GFG+NBFB)=^,即bG_LBA\

在止方體中，易知〃C；_L平面"C'G4,aEF//DG，

所以平面3CG4，

又FGu平面8?禺,□￡F±FG,

nEFfBF=F,EF、8尸u平面BE/,口6/_1平面BE/7；

法二、如圖以。為中心建立空間直角坐標(biāo)系，

則3（4,4,0）,七（2,0,4）,尸（2,4,4）,G（0,4,3）,

所以跖=（0.4,0）,旗=（2,4,-4）,/G=（-2,0,-1）,

設(shè)m=（〃/?是平面8瓦的一個(gè)法向量，

inEF=4b=0/、

則，令。=2,貝l」〃=0,c=l,所以機(jī)=（2,0,1）,

m?EB=2a+4b-4c=0

易知/G=T〃，則打7也是平面8EF的一個(gè)法向量，□6〃_1平面86尸：

（2）同上法二建立的空間直角坐標(biāo)系，

所以EG=（-2,4,-l）,3G=（-4,0,3）,

由（1）知廠G是平面8E5的一個(gè)法向量，

n-EG=-2x+4y-z=0

設(shè)平面8EG的一個(gè)法向量為〃=（x,y,z）,所以〈

〃BG=-4x+3z=0

令x=6,則z-8,1y-5,即“=(6,5,8),

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

設(shè)平面BEF與平面BEG的夾角為。，

FGn20_4

則cosa：

FG\-n\"V5xV125-5

(3)由(1)知￡F_L平面&?Cg,平面4CG4,□EF工FB,

易知5.尸=!石".8尸=!><4'"7?=46,

22

DEFG\8

又。E=(2,0,4),則D到平面BEF的距離為d=

FG飛

由寺方46年

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)題意，利用橢圓的離心率得到a=2c,再由直線/小的斜率得到/〃=c,從

而利用三角形的面積公式得到關(guān)于。的方程，解之即可得解;

(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，利用其位置關(guān)系求得k,進(jìn)而得到直線P8的方程與點(diǎn)片的坐標(biāo),

法一：利用向量的夾角公式即可得證；法二：利用兩直線的夾角公式即可得證；法三利用正

切的倍角公式即可得證；法四：利用角平分線的性質(zhì)與點(diǎn)線距離公式即可得證.

【詳解】(1)依題意，設(shè)橢圓二+[=八0)的半焦距為c.

a'b~

則左焦點(diǎn)y。)，右頂點(diǎn)山嘰離心率，干斗皿?,

因?yàn)槭瑸閄=〃上一點(diǎn)，設(shè)P(4,6),

又直線/小的斜率為:，則"L0Im1

E二丁即

a+c3

一:，解得"?=c,則尸(a,c),即P(2c,c),

所以

2c+c3

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

3

因?yàn)槎EA的面積為萬(wàn)，|A〃I=4-(—C)=O+C=3C,高為|〃1|二C,

所以S尸以二g|4廣?M=gx3cxc=T，解得c=l,

貝ija=2c=2,lr=a2-c2=3>

(2)由(1)可知P(2,l),F(-1,O),A(2,0),

易知直線相的斜率存在，設(shè)其方程為)，=履+小，貝打=2&+〃?，即6=1-22,

y=履+m

聯(lián)立,消去)‘得,(3+422)%2+Shrix+4/?12-*412=0,

因?yàn)橹本€與橢圓有唯一交點(diǎn)，所以△=(8hm)2-4(3+4&2).(4療-12)=0,

即4k2—/〃2+3=0,則4犬一。一+3=0,解得2=—;，則〃?=2,

所以直線PB的方程為y=-；x+2,

1f

V=——x+2

??則嗚,

聯(lián)立、、，解得"I,

三+上=1

尸2

432

以下分別用四種方法證明結(jié)論:

法一：則尸8=(2(],0=(3,1),用=(3,0),

乙)

FAFP3x34-1x03V10

cosZPFA=

|FA|.|FP|-3序不10

則cosNBFP=cosZ.PFA，又NBFP,NPFAe(0,-),

2

所以/4萬(wàn)=/2玄，即P尸平分4/7L

答案第1()頁(yè)，共15頁(yè)

3

法二：所以％,2-°_3,kpF=；W

1

由兩直線夾角公式,tanZ.PFA=-——

1+03

則tan/"P=tanN"又/"P"%（吟,

所以/8fP=/PE4,即尸產(chǎn)平分乙4FB.

13

法三：則tan/P￡4=&"=§,tan^BFP=kFR=^t

2x

2tanZPMj3

故tan2Z.PFA==—=tanZ.BFP

l-tan?/?E4,cj4

又NBFP.N尸PAe(0」)，

所以/5。=/列%,即P戶平分4FB.

法四：則k,2~0,3,

“1-(-1)4

所以直線尸3的方程為y=?(x+l),即3x—4y+3=。,

|3x2-4xl+3|

則點(diǎn)〃到直線FB的距離為"-收+㈠,T，

又點(diǎn)P到直線FA的距離也為1,

所以P"平分ZAF8.

19.(1)〃“=3〃-1七=2"；

⑵⑴證明見(jiàn)解析；(ii)2小.[8+(3〃-4)2"+[

【分析】(1)設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,數(shù)列低｝公比為以#0),由題設(shè)列出關(guān)于d和儀。/0)

的方程求解，再結(jié)合等差和等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可得解；

(2)(i)由題意結(jié)合(1)求出?！?也川和PMA+P洶仇+”?+P”“T%+PMA的最大值，

再作差比較兩者大小即可證明：

(ii)法一：根據(jù)Pi,P2,…，Pi，區(qū)中全為1、一個(gè)為0其余為1、2個(gè)為0其余為、…、全為

0幾個(gè)情況將7中的所有元素分系列，并求出各系列中元素?的和，最后將所有系列所得的和

答案第11頁(yè)，共15頁(yè)

加起來(lái)即可得解;

法二：根據(jù)7；元素的特征得到乙中的所有元素的和中各項(xiàng)4〃（，￡｛1，2，…,〃｝）出現(xiàn)的次數(shù)均為

2"7次即可求解.

【詳解】⑴設(shè)數(shù)列｛叫的公差為d,數(shù)列也｝公比為。（4工0）,

2+d=2q+l

則由題得《

2+2d=2^

所以a“=2+3(〃_l)=3〃-l，a=2x2"T=2"；

(2)⑴證明:由(1)九=(3〃-1)2"2=0或",伍=(3〃-1)2">0,凡“％蟲(chóng)3〃+2)2””,

當(dāng)〃，口也=（3"-1）2">0時(shí),

設(shè)s〃=Pi%bi+p202b2+...+Pi%如+Pnanbn=2x2+5x2?+...+（3〃一4）2”“十（3〃一1）2”,

所以2S”=2x22+5x23+…+（3〃一4）2"+（3〃-1）2"”,

所以-S.=4+3x（22+23+...+2”）-（3〃-1）2向

=4+3x2（廠'I）_（3〃_i）2向=一8+（4-3〃）2向,

1—2

所以S.=8+（3〃-4）2Z,為。中的最大元素，

此時(shí)％+，向一S”=（3〃+2）2”“一[8+（3〃一4）2”“]=6-22一8）0恒成立，

所以對(duì)VfeT；,均有，<勺+%].

（ii）法一:由⑴得S0=8+（3〃-4）2口為7；中的最大元素,

由題意可得T,中的所有元素由以下系列中所有元素組成：

當(dāng)外〃2—〃5幾均為1時(shí)：此時(shí)該系列元素只有S“=8+（3〃-4）2"”即C；個(gè)；

當(dāng)p「p”...,p,i，〃“中只有一個(gè)為0,其余均為1時(shí)：

此時(shí)該系列的元素有S”-。也,5“-七4，5”一。?也，…，仇共有CJ個(gè)，

則這〃個(gè)元素的和為C；S“-（3+a2b2+...+〃也）=（C-C：）S”；

當(dāng)Pi，P2,…，Pl，口中只有2個(gè)為O其余均為1時(shí)：

此時(shí)該系列的元素為S〃內(nèi)2,共有C：個(gè),

答案第12頁(yè)，共15頁(yè)

則這〃個(gè)元素的和為C況-c；T(叫+，3+???+，/“)=?-C3)s.；

當(dāng)P「〃2,…，P”T，P“中有2個(gè)為()，其余均為1時(shí)：此時(shí)該系列的元素為

S“-她一。自一％”(z,7,^e{l,2,工"4)共有C：個(gè)，

則這〃個(gè)元素的和為C祝-C3(3+她+...+〃也)=?-C3)S.；

當(dāng)小，P1，…,P”T，P“中有〃-1個(gè)為0，1個(gè)為1時(shí):此時(shí)該系列的元素為岫抄2,。也共有

個(gè)，

則這〃個(gè)元素的和為crs(地+.亂+...+〃也)=?T-d)s.；

當(dāng)Pl，/%???，P…凡均為0時(shí)：此時(shí)該系列的元素為。=?-(2：]；區(qū)即《=1個(gè)，

綜上所述,T?中的所有元素;和為

2+(C-1)s“+?_4)s"+(cYJs.+...+W)s.+o

=[(-...+ch+c：卜(C3+C3+...+C：：+c：：；)]s”

=(r-2"T)S"=2"Ts"=2"T?[8+(3〃-4)2"+[；

法二：由⑴得S.=8+(3〃-4)2”為二中的最大元素,

由題意可得

4={S",S4-a也,S”-。也-a也,5"一-勺方「a也，…,咕+(血,“也,0},(iJZe{1,2,…,ih/工k)

所以7；的所有的元素的和中各項(xiàng)q〃(iw{l，2,...,〃})出現(xiàn)的次數(shù)均為

備+(+...+小〈；=戶次,

所以7；中的所有元素之和為非(*+生4+...+。也)=2"5=2-[8+(3〃-4)2"1.

20.(1?=%

⑵(i)(0城}(ii)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求導(dǎo)數(shù)值得斜率，由點(diǎn)斜式方程可得；

(2)(i)令/*)=。，分離參數(shù)得。=出直?，作出函數(shù)g*)=。!竺上圖象，數(shù)形結(jié)合可得

XX

答案第13頁(yè)，共15頁(yè)

a范圍;(ii)由(2)結(jié)合圖象,可得士,巧,與范圍,整體換元加%=4Jnw=q,lnw=G，轉(zhuǎn)

ae'1=彳①

,………Ina+3=2Inf,

化為。3=片②，結(jié)合由②?可得?,，兩式作差，利用對(duì)數(shù)平均不等式可得

,lnd+/,=2lnz,

ae"=W③33

/￡<4,再由彳=ae?〈。得-L〈G,結(jié)合〃=冬減元處理，再構(gòu)造函數(shù)求最值，放縮法可

e)

證明不等式.