圓（一）

一.選擇題（共18小題）

1.（2025?長沙）如圖，AC,8C為。。的弦，連接。4,OB,OC.若乙408=40°,ZOCA=30a,則

A.40°B.45°C.50°D.55°

2.（2025?綏化）在中，如果75°的圓心角所對的弧長是2.5nc〃?，那么的半徑是（）

A.6cmB.ScmC.10cmD.12cm

3.（2025?山西）如圖，在△A8C‘中，NZMC=90°,AB=AC\分別以點從C為圓心、4c的長為半徑畫

弧，與刖，G4的延長線分別交于點。，E.若BC=4,則圖中陰影部分的面積為（）

BC

A.2K-4B.4TT-4C.8n-8D.4TT-8

4.：2025?山西）如圖,AB為OO的直徑，點C,D是。。上位于AB異側(cè)的兩點，連接AD,CD.若元=BC,

A.30°B.45°C.60°D.75°

5.（2025?新疆）如圖，是。。的直徑，A8是弦，ABLCD,ZADC=30°,則N8OC=（)

D

B.45°C.60°D.75°

6.（2025?湖南）如圖，北京市某處A位于北緯40°（即NAOC=40°）,東經(jīng)116°,三沙市海域某處3

位于北緯15°（即N8OC=15°）,東經(jīng)116°.設(shè)地球的半徑約為R千米，則在東經(jīng)116°所在經(jīng)線

圈上的點人和點B之間的劣弧長約為（）

1

A.—TTR（千米）B.—nR（千米）

7212

2

C.—nR（千米）D.-nR（千米）

369

7.（2025?宜賓）如圖，A8是。0的弦，半徑。C_LA8于點。.若A8=8,OC=5,則0。的長是（）

5

C.6D.

2

8.（2025?福建）如圖，與OO相切于點A,，。的延長線交OO于點C.AH//PC,且交。。于點〃.若

ZP=30°,則/BC尸的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

9.（2025?德陽）六方鋼也稱六角棒，是鋼材的一種，其截面為正六邊形.六方鋼可以通過切割、鉆孔、

車削等方式進行加工，廣泛應(yīng)用于各種建筑結(jié)構(gòu)和工程結(jié)構(gòu)，如房梁、橋梁柱、輸電塔等.在學(xué)校開展

的綜合實踐活動中，興趣小組對六方鋼截面圖（如圖所示）的性質(zhì)進行研究，測得邊長48=1,那么圖

中四邊形GC”尸的面積是（）

C.2x/3D.3V3

10.（2025?甘肅）如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于AB=BC,連接BO,若NA8C=70°,則N8OC的

度數(shù)為（）

C.55°D.70°

11.（2025?山東）在中國古代文化中，玉璧寓意宇宙的廣闊與秩序，也經(jīng)常被視為君子修身齊家的象征.如

圖是某玉璧的平面示意圖，由一個正方形的內(nèi)切圓和外接圓組成.已知內(nèi)切圓的半徑是2,則圖中陰影

部分的面積是（）

C.3-TTD.4n

12.（2025?廣安）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為90。的扇形，若圓錐的母線長為5,則該圓錐

的底面圓的半徑為（)

c

4

A.40°B.50°C.80°D.100°

二,填空題（共2小題）

19.（2025?長沙）如圖，A8為O。的弦，OC_LAB于點C,連接04,OB,若A8=0A,AC=3,則OA

的長為.

20.（2025?北京）如圖，OO是地球的示意圖，其中4B表示赤道，CD,E尸分別表示北回歸線和南回歸

線，NOOB=/尸08=23.5°.夏至日正午時，太陽光線GZ）所在直線經(jīng)過地心。，此時點尸處的太陽

高度角N/FH（即平行于G。的光線〃”與。。的切線77所成的銳角）的大小為°.

圓（一）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共18小題）

題號1234567891011

答案CADBCCACACD

題號12131415161718

答案ABBCBCB

一.選擇題（共18小題）

1.（2025?長沙）如圖，AC,為的弦，連接04,OB,OC.若NAOB=40°,ZOCA=30°,則

A.40°B.45°C.50°D.55°

【考點】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；幾何直觀；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系得NACB=QAOB=20°,再根據(jù)NOC4=300即可■得出NBCO

的度數(shù).

【解答】解：???NAO5=40°,

/.ZACB=|ZAO^-20°,

?.?NOCA=30°,

，N8CO=NOC4+NAC8=50°.

故選：C.

【點評】此題主要考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握圓周角定理，圓心角、弧、弦

的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

2.（2025?綏化）在。。中，如果75°的圓心角所對的弧長是2.5mv叫那么的半徑是（）

A.6cniB.ScniC.10cmD.12cm

【考點】弧長的計算.

【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力.

【答案】A

7571T

【分析】設(shè)0O的半徑是J?am由弧長公式得到—一=2.571,求出r=6,即可得到0O的半徑長.

180

【解答】解：設(shè)OO的半徑是，?“〃，

1=6,

工。。的半徑是6?！?

故選：A.

【點評】本題考查弧長的計算，關(guān)鍵是掌握弧長公式：/=舐（弧長為/,圓心角度數(shù)為小圓的半徑

為為

a

3.（2025?山西）如圖,在△A8C中，ZBAC=90,AB=ACf分別以點B,3為圓心、8c的長為半徑畫

弧，與BA,CA的延長線分別交于點。，E.若BC=4,則圖中陰影部5亍的面積為（）

ED

BC

A.2n-4B.4n-4C.8TT-8D.，M-8

【考點】扇形面積的計算；等腰直角三角形.

【專題】三角形：圓的有關(guān)概念及性質(zhì).

【答案】D

專BC=2近,進而由S陰影BC=

【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)得N4BC=NACB=45°,AB=AC=

2（5期形次:。-5."8。）解答即可求解，

【解答】解：VZBAC=90°,AB=AC,

，N"C=NACB=45°,

VBC=4,

：.AB=AC=^BC=2y/2,

457rx42

:?S陰影BC=2(S扇形BCD-SMBQ=2(^-x272x2^)=471-8,

故選：D.

【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵.

4.：2025?山西）如圖,A8為。。的直徑，點C,D是。。上位于AB異側(cè)的兩點，連接AD,CD.若公=BC,

A.30°B.45°C.60°D.75°

【考點】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)：運算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)己知易得：N4OC=NBOC=90°,然后利用圓周角定理進行計算即可解答.

VXC=BC,A8為的直徑,

/.ZAOC=ZBOC=^ZAOB=W,

/.ZD=jzAOC=45°,

故選:B.

【點評】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)?/p>

輔助線是解題的關(guān)鍵.

5.（2025?新疆）如圖，CD是。。的直徑，A8是弦，ABLCD,ZADC=30°,則N8OC=（）

D

B.45°C.60°D.75°

【考點】圓周角定理；垂徑定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì).

【答案】C

【分析】先根據(jù)垂徑定理得到乙4。。=/8。。=30°,再根據(jù)圓周角定理即可得到NBOC=60°.

【解答】解:連接B。,

是OO的直徑，A3是弦，AB1CD,

AZADC=ZBDC=30°,

:?NBOC=2NBDC=60°,

故選：C.

【點評】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.(2025?湖南)如圖，北京市某處A位于北緯40°(即NAOC=40°),東經(jīng)116°,三沙市海域某處8

位于北緯15°(即N8OC=15°),東經(jīng)116°.設(shè)地球的半徑約為R千米，則在東經(jīng)116°所在經(jīng)線

圈上的點A和點4之間的劣弧長約為()

51

A.一nR（千米）B.一TIR（千米）

7212

52

C.一nR（千米）D.-nR（千米）

369

【考點】弧長的計算.

【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)弧長公式分別計算劣弧扉和反?的長度并求差即可.

【解答】解：A&=X2TTR=^^TTR（千米），比=X2TTR=（千米），

AB=AC-BC=黑戒-篇聲R（千米），

???點A和點B之間的劣弧長約為葛TTR千米.

故選：C.

【點評】本題考查弧長的計算，掌握弧長計算公式是解題的關(guān)鍵.

7.（2025?宜賓）如圖，A8是。。的弦，半徑0C_LA4于點O.若48=8,OC=5,則0。的長是（）

5

A.3B.2C.6D.-

2

【考點】垂徑定理；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運算能力；推理能力.

【答案】4

【分析】由垂徑定理求出40=18=4,由勾股定理即可求出。。的長.

【解答】解：???半徑OCL44于點。，

???AO=38另x8=4,

'：OA=OC=5,

：,OD=>/0A2-AD2=3.

故選：A.

【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是由垂徑定理得到4。二/%由勾股定理求出OO的長.

8.（2025?福建）如圖，以與。0相切于點A,PO的延長線交0。于點C.AB//PC,且交。。于點用若

ZP=30°,則N8CP的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【考點】切線的性質(zhì)；圓周角定理.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】C

【分析】連接。4、OB,根據(jù)切線的性質(zhì)得到。4_LB4,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出NAOP,再根據(jù)等

邊三角形的判定和性質(zhì)解答即可.

【解答】解：如圖，連接04、OB,

???布與OO相切于點A,

???NAOP=90°-ZP=90°-30°=60°,

,:AB〃PC,

，NOAB=NA。尸=60°,

*：OA=OB.

???△A08為等邊三角形，

???408=60°,

，/8。。=180°-ZAOP-ZAOB=60°,

?：OB=OC,

???△8OC為等邊三角形，

/.ZBCP=60°,

故選：C.

【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵.

9.（2025?德陽）六方鋼也稱六角棒，是鋼材的一種，其截面為正六邊形.六方鋼可以通過切割、鉆孔、

軍削等方式進行加工，廣泛應(yīng)用了各種建筑結(jié)構(gòu)和工程結(jié)構(gòu)：如房梁、橋梁柱、輸電塔等.在學(xué)校開展

的綜合實踐活動中，興趣小組對六方鋼截面圖（如圖所示）的性質(zhì)進行研究，測得邊長AB=1,那么圖

中四邊形GC”尸的面積是（）

C.2V3D.3V3

【考點】正多邊形和圓；三角形的面積.

【專題】等腰三角形與直角三角形；正多邊形與圓；解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系進行計算即可.

【解答】解：如圖，過點A作垂足為

,:六邊形ABCDEF是正六邊形，

l8012Oa

：.AB=BC=CD=DE=EF=AF=1,ZABF=ZAFB=°-°=3o,

：.AM=^AB=I，BM=FM=*B=^,

在Rt^BCG中，3c=1,ZBCG=30°,

：.BG=與BC=冬

FG=BF-BG=V5一堂=畢，

/.四邊形GCHF的面積為FG'BC=孥.

故選：A.

【點評】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵.

10.（2025?甘肅）如圖，四邊形A8CQ內(nèi)接于o。，AB=BC,連接B。，若/ABC=70°,則/8QC的

度數(shù)為（）

A.20°B.35°C.55°D.70°

【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到NAOC=110°,根據(jù)布=或得到N4O8=N8OC,即可得到

Z.BDC的度數(shù).

【解答】解：由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知：NA￡）C=18O0-448（7=180°-70°=110°,

'：AB=BC,

：.ZADB=ZBDC=|ZADC=55<>.

故選：c

【點評】此題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓心角、弧、弦的關(guān)系等知識，關(guān)鍵是根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性

質(zhì)得到乙4。。=110°解答.

11.（2025?山東）在中國占代文化中，玉璧寓意宇宙的廣闊與秩序，也經(jīng)常被視為君子修身齊家的象征.如

圖是某玉璧的平面示意圖，由一個正方形的內(nèi)切圓和外接圓組成.已知內(nèi)切圓的半徑是2,則圖中陰影

部分的面積是（）

A.ITB.2nC.3nD.4TT

【考點】正多邊形和圓；扇形面積的計算；正方形的性質(zhì)；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.

【專題】正多邊形與I員I；推理能力.

【答案】D

【分析】如圖：連接AB、0c相交于。，由正方形的內(nèi)切圓的半徑是2,AC=8C=4,0A=0B,再運

用勾股定理可得力B=2V2,則04=0B=\AB=或，最后根據(jù)圓的面積公式求解即可.

【解答】解：如圖：連接A3、OC相交于0,

D/~~

A\_____

???正方形的內(nèi)切圓的半徑是2,

：,AC=BC=4,OA=OB,

：.AB=y/AC2+BC2=V42+42=4&,0A=0B=鼻B=2vL

，圖中陰影部分的面積是7T-（2V2）2-7T-22=4n,

故選：。.

【點評】本題主要考查了正方形的內(nèi)切圓、外切圓、勾股定理等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的

關(guān)鍵.

12.（2025?廣安）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為90°的扇形，若圓錐的母線長為5,則該圓錐

的底面圓的半徑為（）

5

2

【考點】圓錐的計算.

【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等計算即可.

【解答】解：設(shè)圓錐底面圓的半徑為八

由題意得：211=嚶怒，

loU

解得B*，

???該圓錐的底面圓的半徑為I

4

故選:4.

【點評】本題考杳的是圓錐的計算，熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵.

13.（2025?云南）若一個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為90°,母線長為40。〃，則該圓鏈的底面圓的

半徑為（）

A.9cmB.10cmC.11cmD.12cm

【考點】圓錐的計算.

【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)圓錐的底面圓周長是扇形的弧長列式計算即可.

【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為廠。相

m?907rx40

解得「二10，

即圓錐的底面圓的半徑為lOc/t/.

故選：B.

【點評】本題考查的是圓錐的計算，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長

是解題的關(guān)鍵.

14.（2025?上海）在銳角三角形八8c中，AB=AC,BC=8,它的外接圓。的半徑長為5,若點。是邊BC

的中點，以點。為圓心的圓和OO相交，那么的半徑長可以是（）

A.2B.5C.8D.10

【考點】三角形的外接圓與外心：等腰三角形的性質(zhì).

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系.

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，等腰△4BC的外接圓半徑為5,由等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理求得00=3；當

。。與OO相交時，圓心距需滿足條件15-4<。。<5+〃代入數(shù)值求解/?的范圍，進而確定選項.

【解答】解：如圖，連接4。并延長交。。于點E,

?：AB=ACtD為BC中點,

：.BD=DC=4,0DLBC,

銳角三角形A灰?中，AB=AC,

???外接圓心。在人。上，

連接OB,由勾股定理得：OD=7OB2-BD2=3,

設(shè)以。為圓心的圓的半徑為r，OD,。0相交應(yīng)滿足：|5-/1<OD<5+r,

即|5-r|V3V5+r,

解得:2V/V8,在此范圍的半徑只有選項8,

故選:B.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，兩圓相交的條件等知識，掌握兩圓相交的條件是關(guān)

鍵.

15.(2025?涼山州)下列說法正確的是()

A.若|a|=|Z?|,則a=b

B.若am<bm,則aV

C.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形

D.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧

【考點】垂徑定理；線段垂直平分線的性質(zhì)；正方形的判定.

【專題】線段、角、相交線與平行線.

【答案】C

【分析】互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值也相等，據(jù)此可判斷A;

根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，只有當/〃>0時，原式才正確，據(jù)此可判斷比

根據(jù)正方形的判定定理可判斷C；

根據(jù)垂徑定理可判斷D.

【解答】解；A、若|。|=|可，則。=±〃，原說法錯誤，不符合題意；

B、若〃〈加？（/n>0）,則。（力，原說法錯誤，不符合題意；

C、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，原說法正確，符合題意；

。、平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，原說法錯誤，不符合題意：

故選：C.

【點評】本題主要考查了絕對值的意義，不等式的性質(zhì)，正方形的判定定理，垂徑定理，掌握以上知識

點是解題的關(guān)鍵.

16.（2025?南充）如圖是正六邊形與矩形疊拼成的一個組合圖形，若正六邊形的邊長為2,那么矩形的面

積是（）

C.16D.1273

【考點】正多邊形和圓.

【專題】正多邊形與圓；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)矩形和正六邊形的性質(zhì)可得乙4磁=60°,然后解直角三角形可得AB,AC,BF,DE,

從而得到力F=2遮，AE=4,即可求解.

【解答】解；如圖,

???是正六邊形與矩形疊拼成的一個組合圖形，且正六邊形的邊長為2,

AZBCD=120°，ZA=90°，BC=CD=2,

，NAC8=60°,

=BCxsin/ACB=2x苧=V3,AC=BCxcos/ACB=2xi=1,

同理=DE=l,

：.AF=2佰AE=4,

???矩形的面積是力EX/IF=4X2V3=8V3,

故選：B.

【點評】本題主要考查了矩形和正六邊形的性質(zhì)，解宜角三角形，掌握解宜角三角形是解題的關(guān)鍵.

17.(2025?南充)如圖，AB是。0的直徑，AD_LAB于點A,0。交00于點C,AELOD于點E,交。0

于點凡F為弧4c的中點，尸為線段44上一動點，若。。=4,則PE+P尸的最小值是()

A.4B.2^7C.6D.473

【考點】圓周角定理；軸對稱-最短路線問題：勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)：推理能力.

【答案】C

【分析】如圖，延長。。交于點M,連接PM,PF,OF,由垂徑定理得配=汴=/，進而得N

AOC=NCO/=N8O/=60°,NBOM=NAOC=60°=NBO凡點尸關(guān)于48的對稱點為點M,根據(jù)

兩點之間線段最短得當E，P，M三點共線時，PE+P/最小，最小值為EM的長，在利用直角三角形的

性質(zhì)即可求解.

【解答】解：如圖，延長。0交。。于點M,連接PM,PF,OF,

te

M

???AE_LOQ于點E,交。。于點尸，〃為弧8c的中點，

=CF=BF,

：.ZAOC=NCOF=NBOF,

???NA0C+NC0P+N8。/=180°,

AZAOC=ZCOF=ZBOF=60°,

???N8OM=NAOC=60°=4BOF,

???點F關(guān)于AB的對稱點為點M,

：?PM=PF,

???PE+PF=PE+PM2EM,

當E,P，M三點共線時，PE+P尸最小，最小值為KM的長，

VZAOC=60°,AD1AB,

AZD=30°,

：.OD=2OA,

VCD=4,

/.OD=OC+4=2OA=2OC,即OC=4,

，OC=OA=OB=OM=OF=4,

V>4F1OC,NAOC=60°,

：.ZOAE=30°,

：,0E=^0A=2,

：,PE+PF的最小值EM=OE+OM=2+4=6.

故選：C.

【點評】本題主要考查了弧、圓心角的關(guān)系，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，兩點之間線段最短，熟練

掌握弧、圓心角的關(guān)系，垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

18.（2025?重慶）如圖，點A,B,C在。0上，/A08=100“，NC的度數(shù)是（）

A.40°B.50°C.80°D.100°

【考點】圓周角定理；I員I心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】B

【分析】直接利用圓周角定理求解.

【解答】解：:NAOB和NC都對彳&,

/.ZC=^ZAOB=ixlOO0=50°.

故選：B.

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對

的圓心角的一半.

二,填空題（共2小題）

19.（2025?長沙）如圖，為。O的弦，0C_LA4于點C,連接04OB,若A4=0A,AC=3,則OA

【考點】垂徑定理；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】6.

【分析】由垂徑定理得到48=2AC=6,即可得到04的長.

【解答】解：TOULAB于點C,

，A8=2AC=2X3=6,

.\OA=AB=6,

故答案為：6.

【點評】本題考查垂徑定理，關(guān)鍵是由垂徑定理推出A4=2AC.

20.（2025?北京）如圖，。0是地球的示意圖，其中AA表示赤道，CD,石尸分別表示北回歸線和南回歸

線，ZDOB=ZFOB=23.5°.夏至日正午時，太陽光線GO所在直線經(jīng)過地心O,此時點尸處的太陽

高度角N/F”（即平行于G。的光線”尸與。。的切線產(chǎn)/所成的銳角）的大小為43°.

A（赤道0c

【考點】切線的性質(zhì)；圓周角定理.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】43.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出NOFH，根據(jù)切線的性質(zhì)得到/。丹=90°,進而求出N/F”.

【解答】解：?；ND0B=NFOB=23.5°,

，ND0F=NDOB+NFOB=47°,

，：GD〃HF,

AZ0FH=180°-ZDOF=I80°-47°=133°,

丁廣/是。。的切線，

：.OFLFI,

/.ZOF/=90°,

：.ZIFH=\33°-90°=43°,

故答案為：43.

【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵.

考點卡片

1.三角形的面積

（I）三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即Sa=；X底X高.

（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

2.線段垂直平分線的性質(zhì)

（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）

垂直平分線，簡稱“中垂線”.

（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的

距離相等.—③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的

距離相等.

3.等腰三角形的性質(zhì)

<1）等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等.【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的而相互重合.【三線合一】

（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個元素中，從中任意取出兩個

元素當成條件?，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論.

4.等邊三角形的判定與性質(zhì)

（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性

質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件.同是等邊三角形乂是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性

質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用.

（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的

直角三角形、連接三邊中點可?以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等.

（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時要抓住己知條件的特點，選取恰當?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從?/p>

般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個60°

的角判定.

5.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個直隹三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是b,斜邊長為C,那么廬=02.

(2)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

2222

(3)勾股定理公式次+序=心的變形有：4=Vc-d,b=7c2一Q2及c=Va+d.

(4)由于。2+廬=°2>。2,所以同理C>〃，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角

邊.

6.等腰直角三角形

(1)兩條直角邊相等的直角三先形叫做等腰直角三角形.

(2)等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的

所有性質(zhì).即：兩個銳角都是45',斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜

邊上的高為外接圓的半徑R,而高又為內(nèi)切圓的直徑(因為等腰直角三角形的兩個小角均為45°,高又垂

直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等)；

(3)若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=l,則外接圓的半徑R=&+1,所以r：R=\：/+1.

7.正方形的性質(zhì)

<1)正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

(2)正方形的性質(zhì)

①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；

②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并旦每條對角線平分一組對角：

③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).

④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱

軸，

8.正方形的判定

正方形的判定方法：

①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；

②先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形有一個角為直角.

③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定.

9.垂徑定理

(1)垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

<2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

10.圓心角、弧、弦的關(guān)系

（I）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.

（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其

余各組量都分別相等.

說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧

或劣弧.

（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推

二”，一項相等，其余二項皆相筆.這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與

原型形完全重合.

（4）在具體應(yīng)用上述定理解決同題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分.

11.圓周角定理

（I）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上.②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可.

（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧?定要掌

握,

（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形.利用等腰三角形的頂點和底角

的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化.②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”圓心角轉(zhuǎn)化.③定理成立的條件是“同

一條弧所