專題16轉(zhuǎn)化思想在兩種題型中的應用

壓軸題密押

通用的解題思路：

轉(zhuǎn)化思想方法包含三個基本要素：

1、把什么東西轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化的對象；

2、轉(zhuǎn)化到何處去，即轉(zhuǎn)化的目標；

3、如何進行轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化的方法。

轉(zhuǎn)化思想方法應遵循以下五條原則：

1、熟悉化原則:將陌生的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題，以利于我們運用熟悉的知識、經(jīng)驗和問題來解決；

2、簡單化原則:將復雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復雜問題的H的，或獲得某

種解題的啟示和依據(jù):3、和諧化原則:轉(zhuǎn)化問題的條件或結論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示和諧

統(tǒng)的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運用某種數(shù)學方法或符合人們的思維規(guī)律:4、直觀化原則:將比

較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決;5、正難則反原則:當問題正面討論遇到困難時，應想到考慮問

題的反面，設法從問題的反面去探求，使問題獲得解決或證明的可能性。

壓軸題預測

題型一：圓中的轉(zhuǎn)化思想

I.（2023?齊齊哈爾）綜合與實踐：

數(shù)學模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學應用的基本途徑.通過探究圖形的變化規(guī)律，再結合其他數(shù)學知

識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學天地.

（1）發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在A48C和中，AB=AC,AE=AF,NBAC=NE4F=3/，連接8E,CF,

延長8E交b于點。.則8E與C77的數(shù)量關系：,NBDC=°；

（2）類比探究：如圖2,在A48C和&4E產(chǎn)中，AB=AC,AE=AFtZBAC=ZEAF=\20°,連接,

CF,延長〃E,"C交于點。.請猜想8E與。尸的數(shù)量關系及N6OC的度數(shù)，并說明理由；

（3）拓展延伸：如圖3,和A4E/均為等腰直角三角形，/BAC=/EAF=%P,連接8E,CF,且

點8,E,尸在一條直線上，過點力作8"，垂足為點".則8尸，CF,力〃之間的數(shù)量關系：；

（4）實踐應用：正方形/6CO中，44=2,若平面內(nèi)存在點尸滿足N8PO=90。，PD=1,則鼠次=-

2.(2024?介休市模擬)閱讀與思考

如圖是小強同學的數(shù)學課堂筆記本，請仔細閱讀，并完成相應的任務.

平面直角坐標系與直角三角形

x年x月x日星期三

原理：根據(jù)直角三角形的定義，性質(zhì)，判定，以直角三角形頂點分三種情況進行分類討論.口

訣：“兩線一圓”

作圖：舉例如下：已知力(3,0)、5(0,4),在直線x=l上求點C,使得為直角三角形.以

下分三種情況討論：

情況一：當力為直角頂點時，過點4作的垂線/交直線x=1于點C,則交點即為所求點

c.如圖①，有G一個點；

情況二：當8為直角頂點時，過點8作力〃的垂線/交直線x=l于點C,則交點即為所求點

C.如圖②，有C?一個點；

情況三：當。為直角頂點時，以18為直徑作圓，則該圓與直線x=l的交點即為所求點C.如

圖③，有G，G兩個點；

ffll圖3

方法：一、兒何法：構造“K型”或“一線三垂直”相似;

二、代數(shù)法：兩點間的距離公式，列方程，解方程，檢驗根:

三、解析法：求垂線解析式，聯(lián)立方程組求交點.

任務：（1）上面課堂筆記中的分析過程，.主要運用的數(shù)學思想是（從下面選項中選出兩個即可）;

A.數(shù)形結合

B.統(tǒng)計思想

C.分類討論

D.轉(zhuǎn)化思想

（2）選擇一種課堂筆記本中記載的方法，求出“情況一”中G的坐標.

（3）直接寫出“情況二”中的坐標一：

（4）請你寫出在“情況三”中，確定G、的坐標位置及求坐標過程中，所依據(jù)的數(shù)學定理或原理（寫

出一個即可）.

5.（2023?花都區(qū)一模）如圖，。。是AJ8C的外接圓，直徑力8=10,8C=8,AE平分NCAB交BC于點、

E.

（1）尺規(guī)作圖：在的延長線上取一點尸，使得8尸=8E,連接8戶；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）所作的圖中：

①證明：8"是。。的切線;

②求任的值.

EF

6.（2023?阿城區(qū)模擬）已知:AB.。廠是的直徑，弦CD：B,垂足為E,過點尸的切線與。。的

延長線交于點G,連接6C.

(1)如圖1,求證：4FGD=2/BCD；

(2)如圖2,過點A作AH人DF交QO于點M,垂足為〃，求證AM=CD；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接MC并延長與。4的延長線交于點K,連接8C,若NHDC=2/MHC,

MK=6,求FG的長.

7.（2023?松江區(qū)二模）如圖1,48是半圓。的直徑，。是半圓。上一點，點。，與點。關于直線4c對稱,

射線4O交半圓。于點。，弦ZC交00于點￡、交。。于點尸.

（1）如圖2,。恰好落在半圓。上，求證：萬，=病；

（2）如果ND48=30。，求^的值：

O'D

8.（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖①，已知線段48與直線/,過4、5兩點，作。。使其與直線/相切，切

點為P,易證N4PB=NAHB>NAQB,可知點P對線段48的視角最大.

問題提出

（1）如圖②，已知ZU8尸的外接圓為。。，P。與。。相切于點尸，交4月的延長線于點。.

①請判斷N8PQ與44的大小關系，并說明理由.

②若04=2,AB=6,求PQ的長.

問題解決

（2）如圖③，一大型游樂場入口設在道路。N邊上，在“雪亮工程”中，為了加強安全管理，結合現(xiàn)

實情況，相關部門準備在與地面道路。N夾角為60。的射線OM方向上（位于垂直于地面的平面內(nèi)）確定一

個位置C,并架設斜桿力。，在斜桿力C的中點尸處安裝一攝像頭，對入口/也實施監(jiān)控（其中點力、B、

D、P、C、M、N在同一平面內(nèi)），已知。力=40米，44=25米，調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當N/1P4最大時監(jiān)控效果

最好，請問在射線DW上是否存在一點C,使得N/1P4達到最大？若存在，請確定點。在QM上的位置及

斜桿4。的長度；若不存在，請說明理由.

A

A

MPQ10PQ

圖①圖②

二「

DABNDABN

圖③備用圖

9.（2021?濱城區(qū)一模）如圖，在RtAABC中，/8=90。，ED=DF，點E在4c上，以4E為直徑的00經(jīng)

過點。.

（1）求證：①4c是。。的切線；

②CD'=CEC4；

（2）若點尸是劣弧力。的中點，且"=3,試求陰影部分的面積.

B

A

EO

10.（2022?雁塔區(qū)校級四模）（1）如圖①，在A/18C中，AB=AC,N歷1C=12O。，4C=12,求AJ4c外

接圓的半徑r；

（2）如圖②，。。是一個半徑為200米的圓形廣場，弦是廣場上一個長為20（）百米的納涼演繹舞臺,

現(xiàn)計劃在廣場上建一個長為200米的手工藝集市CO,并在舞臺和集市CD之間修建兩個休閑長廊4。和

BC,規(guī)劃長廊、舞臺、集市圍成四邊形/18C。為活動區(qū)域，那么能否在優(yōu)弧月8上確定兩點C、。，使得

長廊最長？若能，請求匕力。+%（；的最大值，并計算此時/從鈕）的度數(shù)及四邊形力伙力的面積;

若不能，請說明理由.

圖②

11.（2022?青秀區(qū)校級一模）如圖，4A是OO的直徑，4。是弦，點E在圓外，。于點A,RE交

。0于點尸，連接4。、BC、CF,/BFC=/AED.

（1）求證：4￡是0。的切線；

（2）求證：OB'=ODOE；

（3）設的面積為工，A4OE的面積為S,,若tan/OO4=-,求，的值.

3S,

B

題型二：函數(shù)中的轉(zhuǎn)化思想

1.（2021?南岸區(qū)校級模擬）初中價段的函數(shù)學習中，我們經(jīng)理了列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，并結合圖

象研究函數(shù)性質(zhì)的過程，以下我們研究函數(shù)曠=|工|-2性質(zhì)及應用的部分過程，請按要求完成下列各小題.

x-2

（1）下表是x與y的幾組值，請在表格中的空白處填上恰當?shù)臄?shù)字;

y???-4-3-10]_I345???

~22

???_244_8_44???

y—04—

3535~33

（2）在平面直角坐標系中，補全描出表格中數(shù)據(jù)對應的各點，補全函數(shù)圖象;

（3）觀察函數(shù)y=|工|-2的圖象，請寫出函數(shù)的一條性質(zhì)：—.

x-2

2.（2021?望奎縣模擬）自主學習，請閱讀下列解題過程.

解一元二次不等式：X2-5X>0.

解：設犬-5.丫=0,解得：x,=0,X2=5,則拋物線9=/—5%與x軸的交點坐標為（0,0）和（5,0）.畫出二

次函數(shù)y=』—5x的大致圖象（如圖所示），由圖象可知：當x<0,或x>5時函數(shù)圖象位于工軸上方，此

0'jv>0,即X?-5x>0,所以，一元二次不等式』-5x>0的解集為：x<0,或x>5.

通過對上述解題過程的學習，按其解題的思路和方法解答下列問題：

（1）上述解題過程中，滲透了下列數(shù)學思想中的—和一.（只填序號）

①轉(zhuǎn)化思想②分類討論思想③數(shù)形結合思想

（2）一元二次不等式f-5工<0的解集為—.

（3）用類似的方法解一元二次不等式：X2-2X-3>0.

3.(2024?全椒縣一模)如圖1,拋物線夕=/一4工與x軸相交于原點。和點力，直線y=x與拋物線在第一

象限的交點為4點，