專題01與二次根式有關(guān)運算的六種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、根據(jù)參數(shù)范圍及二次根式的性質(zhì)化簡二次根式 3類型二、含隱含條件的參數(shù)范圍化簡二次根式 4類型三、復(fù)雜的復(fù)合二次根式化簡 5類型四、分母有理化 10類型五、比較二次根式的大小 13類型六、二次根式中的規(guī)律探究問題 18壓軸能力測評（10小題） 23解題知識必備知識點一：二次根式1.二次根式的概念:一般地，我們把形如的式子的式子叫做二次根式，稱為稱為二次根號．如都是二次根式。2.二次根式滿足條件：（1）必須含有二次根號；（2）被開方數(shù)必須是非負數(shù).知識點二：二次根式有無意義的條件1.二次根式有意義：被開方數(shù)為非負數(shù)，即；2.二次根式無意義：被開方數(shù)為負數(shù)，即；知識點三：二次根式的性質(zhì)1.二次根式（）的非負性（）表示的算術(shù)平方根，也就是說，（）是一個非負數(shù)，即（）．2.二次根式的性質(zhì)：（）3.二次根式的性質(zhì)：知識點四：二次根式的乘法法則1.二次根式的乘法法則：（二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根的指數(shù)不變）2.二次根式的乘法法則的推廣:，即當二次根式前面有系數(shù)時，可類比單項式乘單項式的法則進行計算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開方數(shù)之積作為被開方數(shù).3.二次根式的乘法法則的逆用：（二次根式的乘法法則的逆用實為積的算數(shù)平方根的性質(zhì)）4.二次根式的乘法法則的逆用的推廣：知識點五：二次根式的除法法則1.二次根式的除法法則：（二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變）2.二次根式的除法法則的推廣：.知識點六：最簡二次根式1.最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母，（2）被開方數(shù)中不含能開方開得盡得因數(shù)或因式2.分母有理化分母有理化：當分母含有根式時，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號。方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號.知識點七：同類二次根式同類二次根式概念：化簡后被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。合并同類二次根式的方法：把根號外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘法分配律，如知識點八：二次根式的加減二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并。二次根式加減運算的步驟：①化：將各個二次根式化成最簡二次根式；②找：找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開方數(shù)相同的二次根式——將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變。知識點九：二次根式的混合運算二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）壓軸題型講練類型一、根據(jù)參數(shù)范圍及二次根式的性質(zhì)化簡二次根式例1.（23-24八年級下·遼寧撫順·期中）化簡：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可求解，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵被開方數(shù)恒為非負數(shù)，即中，，∴中，，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級下·黑龍江綏化·階段練習(xí)）已知，化簡的結(jié)果是．【答案】5【分析】本題考查的是二次根式以及絕對值的化簡，根絕未知數(shù)的值化簡是解決本題的關(guān)鍵.根據(jù)，判斷，的正負，進行化簡，合并同類項，得出結(jié)果.【詳解】解：∵∴.故答案為：5【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級下·安徽亳州·期中）若，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了化簡二次根式，根據(jù)題意先得到，再由進行化解求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練3】（23-24七年級下·河南許昌·階段練習(xí)）如果實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡代數(shù)式．【答案】/【分析】本題考查了數(shù)軸，二次根式的性質(zhì)，立方根的定義，掌握二次根式的性質(zhì)，立方根的定義，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)軸的特點確定的符號和大小，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)，立方根的定義化簡，即可求解．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸上點的位置可得，，，，∴，故答案為：．類型二、含隱含條件的參數(shù)范圍化簡二次根式例2.（23-24八年級下·浙江嘉興·期末）二次根式化簡結(jié)果正確的為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的性質(zhì)與化簡，先根據(jù)，得出，二次根式的性質(zhì)化簡，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)與化簡．【詳解】∵，，∴原式，，故選：．【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級下·河南安陽·期中）當時，化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握二次根式的化簡公式是解本題的關(guān)鍵．由的積小于0得到與異號，再根據(jù)負數(shù)沒有平方根得到大于0，進而確定出小于0，所求式子利用二次根式的化簡公式即可得到結(jié)果．【詳解】解：，與異號，，，，則．故選：C．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級下·天津·期中）已知，，化簡二次根式的正確結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是二次根式的化簡，根據(jù)二次根式的被開方數(shù)必須為非負數(shù)，及二次根式性質(zhì)原式化簡得到答案．【詳解】解：∵，∴，故，∵，∴，∴．故選：D．【變式訓(xùn)練3】（23-24八年級下·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期中）化簡：．【答案】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的化簡等知識，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】根據(jù)題意有：，，∴，即，∴，故答案為：．類型三、復(fù)雜的復(fù)合二次根式化簡例3.（23-24九年級上·四川眉山·階段練習(xí)）有這樣一類題目，例如：．請仿照上例化簡下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）分別根據(jù)二次根式的乘法運算，以及二次根式的性質(zhì)計算即可求解；（2）分別根據(jù)二次根式的乘法運算，以及二次根式的性質(zhì)計算即可求解；【詳解】（1）解：，；（2）解：，．【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算，二次根式的性質(zhì)，完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的混合運算法則，二次根式的性質(zhì)，完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（22-23九年級上·湖南衡陽·階段練習(xí)）像，…這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進行化簡，如：，再如：．請用上述方法探索并解決下列問題：(1)化簡：(2)化簡：(3)若，且a，m，n為正整數(shù)，求a的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】此題考查化簡二次根式，活用完全平方公式，把數(shù)分解成完全平方式，進一步利用公式因式分解化簡，注意在整數(shù)分解時參考后面的二次根號里面的數(shù)值．（1）利用題中復(fù)合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解；（2）利用題中復(fù)合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解；（3）利用完全平方公式，結(jié)合整除的意義求解．【詳解】（1）解：；（2）；（3）∵，∴，，∴又∵、n為正整數(shù)，∴，或者，∴當時，；當時，．∴a的值為：或．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級上·甘肅蘭州·期中）先閱讀材料，然后回答問題．(1)小張同學(xué)在研究二次根式的化簡時，遇到了一個問題：化簡．經(jīng)過思考①，②，③，④，在上述化簡過程中，第步出現(xiàn)了錯誤，化簡的正確結(jié)果為；(2)請根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡：①②【答案】(1)④，(2)①；②【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)和化簡，掌握被開方數(shù)化成完全平方的形式，利用二次根式的性質(zhì)進行化簡是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)（1）中的材料化簡即可．【詳解】（1）解：①，②，③，④，在上述化簡過程中，第④步出現(xiàn)了錯誤，故答案為：④，；（2）解：①原式；②原式．【變式訓(xùn)練3】（23-24七年級下·上海浦東新·期中）先閱讀下列的解答過程，然后再解答：形如的化簡，只要我們找到兩個正數(shù)，使，使得，那么便有：例如：化簡解：首先把化為，這里，由于，即，(1)填空：______，______；(2)化簡求值．【答案】(1)，(2)【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，涉及了配方法的運用和完全平方式的運用以及二次根式性質(zhì)的運用．（1）由條件對進行變形利用完全平方公式化簡，確定a，b值為3和2后，即可得出結(jié)論；由條件對進行變形利用完全平方公式化簡，確定a，b值為8和9后，即可得出結(jié)論（2）由條件對進行變形利用完全平方公式的形式化簡，求解．即可．【詳解】（1），，故答案為：，；（2）．類型四、分母有理化例4.（23-24八年級下·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期中）閱讀材料并解決問題：，像上述解題過程中，與相乘的積不含二次根式，我們可以將這兩個式子稱為互為有理化因式，上述解題過程也稱為分母有理化．請仿照上面的方法，解決下列問題：(1)計算：，；若n為正整數(shù)，請你猜想．(2)計算：；【答案】(1)；；(2)2023【分析】本題考查了分母有理化的計算，平方差公式的應(yīng)用，熟練掌握有理化的依據(jù)和計算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平方差公式，類比例子解答即可；（2）根據(jù)平方差公式，類比例子解答即可．【詳解】（1）解：；；；（2）解：原式．【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級下·山東臨沂·期中）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，小明遇到一道題：已知，求的值．小明是這樣解答的：∵，．請你根據(jù)小明的解題過程，解決下列問題：(1)填空：_______，_______；(2)化簡：．【答案】(1)；(2)【分析】本題主要考查了分母有理化，二次根式的加減計算：（1）先分子和分母都乘進行分母有理化即可；分子和分母都乘進行分母有理化即可；（2）先分母有理化，再根據(jù)二次根式的加減法法則進行計算即可．【詳解】（1）解：，，故答案為：；；（2）解：．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級下·遼寧鐵嶺·期中）在進行二次根式的化簡時，我們有時會遇到形如，的式子，對于這類式子我們可以進一步將其化簡，使其分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，這一過程叫做分母有理化．例如：．(1)用上述方法化簡；(2)．【答案】(1)(2)2024【分析】本題考查了分母有理化，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)例題的方法，分母有理化即可求解；（2）將每一項都分母有理化，繼而即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：．【變式訓(xùn)練3】（23-24八年級下·福建莆田·期中）在解決問題“已知求的值”，小明是這樣分析與解答的:請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題(1)化簡：(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運算順序和運算法則、分母有理化，乘法公式等知識點．（1）分子分母都乘，利用平方差公式計算化簡即可；（2）將a的值的分子、分母都乘以得，將其配方代入計算可得答案．【詳解】（1）解：；（2）解：，∴，∴．類型五、比較二次根式的大小例5.（23-24八年級下·山東濟寧·期中）[材料一]兩個含有二次根式且非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如：，，我們稱和互為有理化因式，和互為有理化因式．（1）的有理化因式是______（寫出一個即可），的有理化因式是_______（寫出一個即可）；[材料二]如果一個代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿?、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根號，這種變形叫做分母有理化．（2）利用分母有理化化簡：．[材料三]與分母有理化類似，將代數(shù)式分子、分母同乘分子的有理化因式，從而消去分子中的根式，這種變形叫做分子有理化．比如：（3）試利用分子有理化比較和的大小．【答案】（1），；（2）；（3）【分析】本題考查分母有理化，估算無理數(shù)的大小及規(guī)律探索問題，熟練掌握分母有理化的步驟及方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理化因式的定義即可求得答案；（2）根據(jù)所得規(guī)律計算即可；（3）利用分母有理化得到，，然后比較大小即可．【詳解】（1）解：∵，∴的有理化因式是；∵，∴的有理化因式是；故答案為：，；（2）解：；（3）．理由如下：∵，，∵，∴，∴．【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級下·山西呂梁·期中）閱讀下列解題過程，回答問題：(1)化簡：______，______；(2)利用上面的規(guī)律，比較______（填“”或“”或“”）．【答案】(1)，(2)【分析】本題主要考查了分母有理化，二次根式比較大?。海?）仿照題意求解即可；（2）根據(jù)分母有理化的方法得到，，根據(jù)，得到，．【詳解】（1）解：；，故答案為：，；（2）解：，，∵，∴，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級下·安徽淮南·階段練習(xí)）我們知道形如，的數(shù)可以化簡，其化簡的目的主要是把分母中的無理數(shù)化為有理數(shù)，如，，這樣的化簡過程叫做分母有理化，我們把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各題．(1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________；(2)化簡：；(3)比較，的大小，說明理由．【答案】(1)，(2)(3)，理由見解析【分析】本題考查了分母有理化，熟練掌握二次根式的性質(zhì)以及平方差公式是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題目所給有理化因式的定義進行解答即可；（2）分子分母同乘以即可得出答案；（3）將原式按類比分母有理化的步驟進行化簡，再根據(jù)分子相同，分母越大，式子越小即可比較大小．【詳解】（1）的有理化因式是，的有理化因式是；故答案為：，；（2）；（3）；；，．【變式訓(xùn)練3】（23-24八年級下·浙江金華·階段練習(xí)）材料閱讀：二次根式的運算中，經(jīng)常會出現(xiàn)諸如的計算，將分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，這就是“分母有理化”；．類似地，將分子轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，就稱為“分子有理化”；．根據(jù)上述知識，請你解答下列問題：(1)化簡；(2)比較與的大小，并說明理由．【答案】(1)2(2)，理由見解析【分析】本題考查的是分母有理化：（1）根據(jù)分母有理化是要求把分子分母同時乘以，再計算即可得到答案；（2）根據(jù)分子有理化的要求把原式變形為同分子的分數(shù)，再比較大小即可．【詳解】（1）解：；（2）解：∵，，且，∴．類型六、二次根式中的規(guī)律探究問題例6.觀察下列各式及驗證過程：，驗證；，驗證，驗證(1)按照上述三個等式及其驗證過程中的基本思想，猜想的變形結(jié)果并進行驗證．(2)針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用為任意的自然數(shù)，且表示的等式，并給出證明．【答案】(1)，驗證見解析(2)，驗證見解析【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)．此題是一個找規(guī)律的題目，觀察時，既要注意觀察等式的左右兩邊的聯(lián)系，還要注意右邊必須是一種特殊形式．（1）通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)：等式的變形過程利用了二次根式的性質(zhì)，把根號內(nèi)的移到根號外；（2）根據(jù)上述變形過程的規(guī)律，即可推廣到一般．表示左邊的式子時，觀察根號外的和根號內(nèi)的分子、分母之間的關(guān)系可得：．【詳解】（1）驗證：；（2）．驗證：．【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級下·江蘇泰州·期末）嘉嘉根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的活動經(jīng)驗，想通過“特殊到一般”的方法探究二次根式的運算規(guī)律．下面是嘉嘉的探究過程：等式①：；等式②：；等式③：；等式④：______________；……(1)【特例探究】將題目中的橫線處補充完整；(2)【歸納猜想】若為正整數(shù)，用含的代數(shù)式表示上述運算規(guī)律，并證明此規(guī)律成立；(3)【應(yīng)用規(guī)律】嘉嘉寫出一個等式（均為正整數(shù)），若該等式符合上述規(guī)律，則的值為______．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)【分析】本題考查了二次根式的混合運算，數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的式子總結(jié)出存在的規(guī)律．（1）根據(jù)前個的規(guī)律即可得出答案；（2）根據(jù)特例中數(shù)字的變化規(guī)律分析求解即可，對等式的坐標進行整理，即可求證；（3）利用（2）中的規(guī)律進行求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：等式④：；（2）解：若為正整數(shù)，用含的代數(shù)式表示上述運算規(guī)律為，證明如下：等式左邊右邊；（3）解：∵（均為正整數(shù)），∴，，∴．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級下·甘肅金昌·期中）【規(guī)律探究題】觀察下列運算：①由，得；②由，得；……問題：(1)______；______；(2)利用（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：．【答案】(1)；（n為正整數(shù)）(2)2024【分析】本題考查了二次根式的混合運算，分母有理化和平方差公式等知識點，能根據(jù)已知算式得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知算式得出規(guī)律即可；（2）根據(jù)（1）中得出的規(guī)律進行變形，再根據(jù)二次根式的加法法則進行計算，最后根據(jù)平方差公式求出答案即可．【詳解】（1），（n為正整數(shù)）（2）原式【變式訓(xùn)練3】（23-24八年級下·山東濟寧·期中）【閱讀材料】（材料一）細心觀察圖形，認真分析各式，總結(jié)其中蘊含的規(guī)律．，（是的面積）；，（是的面積）；，（是的面積）；（材料二）化簡：．解：．【問題解決】利用你總結(jié)的規(guī)律，解答下面的問題：(1)填空：_________，_________；(2)求的值．【答案】(1)5，(2)【分析】本題考查了數(shù)學(xué)中的閱讀能力，規(guī)律問題，還有二次根式的化簡，分母有理化，關(guān)鍵是理解新定義和有關(guān)二次根式的化簡運算．（1）根據(jù)題意找到規(guī)律，，即可得到答案；（2）根據(jù)題意將原式進行分母有理化進行求解即可．【詳解】（1）解：，（是的面積）；，（是的面積）；，（是的面積）；……，以此類推，可知，，；，（負值舍去）；故答案為：，；（2）解：，．壓軸能力測評（10小題）一、單選題1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示，則的化簡結(jié)果是（

）A．2 B． C． D．-2【答案】A【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，二次根式的性質(zhì)和絕對值的化簡法則，根據(jù)數(shù)軸可得，，，再利用二次根式的性質(zhì)和絕對值的化簡法則，化簡計算即可．【詳解】解∶由數(shù)軸知∶，，∴，∴，故選：A．2．（22-23八年級上·上海寶山·期中）下列各式中，與化簡所得結(jié)果相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可求解．【詳解】解：∵有意義，∴∴，故選：D．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（22-23八年級上·福建泉州·期末）若，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別將a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性質(zhì)化簡后對平方進行比較得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，，∵，即，∵a、b、c都是大于0的實數(shù)，∴，故選：A．【點睛】本題考查了完全平方公式、二次根式大小的比較等知識點，利用完全平方公式計算出值，是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題4．（23-24八年級下·北京門頭溝·期末）化簡：；當時，．【答案】3/【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，掌握成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)即可解答．【詳解】解：，∵，∴，∴．故答案為：3，．5．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）觀察下列各式：①，②，③，…，請寫出第6個式子：，用含n（n≥1）的式子寫出你猜想的規(guī)律：．【答案】【分析】觀察等式左右兩邊的式子結(jié)構(gòu)，即可得出答案．【詳解】解：觀察可知：第6個式子為：；一般規(guī)律為：故答案為：；【點睛】本題考查二次根式有關(guān)的規(guī)律題．旨在考查學(xué)生的推理能力．6．（22-23八年級下·湖北恩施·期末）閱讀材料：如果我們能找到兩個正整數(shù)，使且，這樣，那么我們就稱為“和諧二次根式”，則上述過程就稱之為化簡“和諧二次根式”．例如：，根據(jù)閱讀材料解決下列問題：化簡“和諧二次根式”．【答案】/【分析】仿照題意進行求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了化簡復(fù)合二次根式，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．三、解答題7．（23-24八年級下·安徽池州·期末）觀察下列各式①；②；③……請你根據(jù)上述等式提供的信息，解答下列問題：(1)_________；(2)根據(jù)你的觀察，猜想，寫出第n（n為正整數(shù)）個等式：_________；(3)用上述規(guī)律計算：．【答案】(1)或或(2)(3)【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，二次根式的運算，理解題意，找到題干中所給式子的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（