微專題13導(dǎo)數(shù)解答題之雙變量問題總結(jié)1.破解雙參數(shù)不等式的方法：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.例1．（廣東省潮汕地區(qū)精英名校2022屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．(1)若只有一個零點，求a的取值范圍；(2)當(dāng)時，存在，滿足，證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）求出，再二次求導(dǎo)，對分五種情況討論得到a的取值范圍；（2）先證明，再分和兩種情況討論證明不等式.(1)解：的定義域為，，令，則．∴當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．①若，則，無零點，不成立；②若，則有且只有一個零點，符合題意；③若，則，，，∴，，使，∴不只有一個零點，不成立．④若，則，又f'?1=?4e∴，使，∴不只有一個零點，不成立．⑤若，則當(dāng)時，，，，∴，使．∴有且只有一個零點，符合題意．綜上，a的取值范圍是．(2)解：當(dāng)時，，由（1）知，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．又，，則，，∴．①若，則．②若，則，要證明，即證．又，，則只要證，即證．令．先證明一個不等式：，．令，則，∴在上單調(diào)遞增．∴當(dāng)時，，∴，．∴∴，∴綜上，有．【點睛】方法點睛：函數(shù)的零點問題處理常用的方法有三種：（1）方程法：直接解方程得解；（2）圖象法：畫出函數(shù)的圖象分析圖象得解；（3）方程+圖象法：令得到，再分析的圖象即得解.例2．（浙江省臺州市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知，設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(2)若對任意實數(shù)，函數(shù)均有零點，求實數(shù)的最大值；(3)若函數(shù)有兩個零點，證明：．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【解析】【分析】（1）當(dāng)時，對函數(shù)求導(dǎo)，再根據(jù)和兩種情況進行分類討論函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)果.（2）對函數(shù)求導(dǎo)，再根據(jù)和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的最值；（3）由題意得，要證原命題成立，只要證成立；設(shè)，則，是函數(shù)的兩根．再根據(jù)和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，再記函數(shù)有圖象關(guān)于直線對稱后是函數(shù)的圖象，再求的正負(fù)情況，最后根據(jù)不等式關(guān)系，即可證明結(jié)果.(1)解：當(dāng)時，．．當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，若，，在上不可能單調(diào)遞增．．所以在上單調(diào)遞增，則．(2)解：（ⅰ）當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增．有零點．（ⅱ）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又當(dāng)x趨近于時，f(x)趨近于；x趨近于時，f(x)趨近于；所以只要恒成立，則恒有零點．即恒成立．因為求的最大值，不妨設(shè)，．設(shè)，則．所以只要．即，得．所以的最大值為．(3)解：由題意得：只要證．設(shè)，．則，是函數(shù)的兩根．．當(dāng)時，，與函數(shù)有兩個零點矛盾．所以．所以當(dāng)時，．所以函數(shù)在上遞增，在上遞減．記函數(shù)有圖象關(guān)于直線對稱后是函數(shù)的圖象．有．則．．所以時，．所以，即．所以．．所以．例3．（第13講雙變量問題-2022年新高考數(shù)學(xué)二輪專題突破精練）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個極值點，，證明：【答案】(1)答案不唯一，具體見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）函數(shù)求導(dǎo)后，分子為含參的二次三項式，結(jié)合，我們可以從和結(jié)合開口方向和兩根的大小來討論；（2），為函數(shù)的兩個極值點，我們可以通過結(jié)合韋達(dá)定理，找到，的關(guān)系，帶入到要證明的不等式中，然后通過整理，化簡成一個關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，再通過換元，構(gòu)造函數(shù)，通過求解函數(shù)的值域完成證明.(1)，設(shè)．，，①當(dāng)時，，，則，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時，，的零點為，，且，令，得，或，令，得，在，上單調(diào)遞減，在，，單調(diào)遞增，③當(dāng)時，，的零點為，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞減，在，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．(2)證明：由（1）知，當(dāng)時，存在兩個極值點，不妨設(shè)，則，要證：，只要證，只需要證，即證，設(shè)，，設(shè)函數(shù)，，，，，在上單調(diào)遞減，則，又，則，則，從而．【點睛】(1)含參的二次三項式再進行分類討論的時候，如果二次項含參數(shù)，在討論有根無根的情況下要兼顧到開口方向以及兩根大小的比較；(2)如果函數(shù)在求導(dǎo)完以后，是一個分子上含有二次三項式，不含指數(shù)、對數(shù)的式子，那么函數(shù)的極值點關(guān)系，可以使用韋達(dá)定理來表示.過關(guān)測試1．（四川省成都市樹德中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)考試文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，.（1）若存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍；（2）若，與為的兩個不同極值點，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題意知有解，分離可得有解，令，可得，利用導(dǎo)數(shù)求的最大值即可求解；（2）由題意知，是的兩根，將，代入整理可得，所證明不等式為，令，問題轉(zhuǎn)化為證明成立，利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性求最值即可求證.【詳解】（1）函數(shù)定義域為，根據(jù)題意知有解，即有解，令，，且當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以；（2）由，是的不同極值點，知，是的兩根，即，所以①，聯(lián)立可得：②，要證，由①代入即證，即，由②代入可得③，因為，則③等價于，令，問題轉(zhuǎn)化為證明④成立，而，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，④成立，即得證.2．（浙江省寧波市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期11月高考模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個不同零點，，①求實數(shù)a的取值范圍；②求證：．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是(2)①；②證明見解析【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）①函數(shù)有兩個不同零點，等價于方程有兩個不同的實根．設(shè)，即方程有兩個不同的實根．設(shè)，由導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性、極值、函數(shù)值的變化趨勢后可得；②由①，，要證，只需證．由①知，，故有，即．下面證明：即可．引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)證明，利用單調(diào)性即可得結(jié)論．(1)對函數(shù)求導(dǎo)，得．當(dāng)時，，因為函數(shù)的定義域，由，得，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．(2)由，得，①函數(shù)有兩個不同零點，等價于方程有兩個不同的實根．設(shè)，即方程有兩個不同的實根．設(shè)，，再設(shè)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，注意到，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，．所以在（0，1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，只需，即所求．②注意到，，要證，只需證．由①知，，故有，即．下面證明：．設(shè)，有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，故有．又，，且在上單調(diào)遞減，所以，即得．因此，結(jié)論得證．3．（安徽省合肥市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期11月月考理科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，若，且的極值在處取得，證明：.【答案】(1)在上是增函數(shù)．(2)證明見解析．【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，再求導(dǎo)，由恒成立得單調(diào)遞增，得，從而得的單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)得出的極小值點，注意，題設(shè)中，滿足，考慮到，引入新函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)確定是單調(diào)增函數(shù)，得，即得，再利用的關(guān)系，及函數(shù)的單調(diào)性可證得結(jié)論成立．(1)，時，，，設(shè)，則，時，恒成立，所以，即在上單調(diào)遞增，又，所以時，恒成立，所以在上是增函數(shù)．(2)，，，由（1）知在上是增函數(shù)，，，所以在，即在上存在唯一零點，，時，，遞減，時，，遞增．是函數(shù)的唯一極小值點．若，則，設(shè)，，，由得，所以，由，得，，又，所以，所以是增函數(shù)，當(dāng)時，，所以，，又，，所以，又，在上單調(diào)遞增，所以，所以．【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明與極值點，方程根有關(guān)的不等式，關(guān)于不等式的證明，題中涉及到兩個未知數(shù)，因此解題中需要進行變形，一是利用函數(shù)的單調(diào)性，一是利用變量的關(guān)系，可以對待證不等式進行等價轉(zhuǎn)化，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得出證明方法．如本題要證，不妨設(shè)后，由在上遞增，等價于證明，從而等價于，這里只有一個未知數(shù)了，然后引入新函數(shù)，，再求得單調(diào)性達(dá)到證明目的．4．（第12講雙變量不等式：剪刀模型-突破2022年新高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)壓軸解答題精選精練）已知函數(shù)．(1)求在點，處的切線方程；(2)若，證明：在，上恒成立；(3)若方程有兩個實數(shù)根，，且，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；(2)根據(jù)題意只需證，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)單調(diào)性分析可得只能在處取得最小值，進而求解即可；(3)根據(jù)題意，構(gòu)造和，利用二次求導(dǎo)討論和的單調(diào)性和最小值，可得、，設(shè)方程的根和的根，再根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可.(1)函數(shù)，由，由，，所以切線方程為，(2)當(dāng)，時，，所以．故只需證，構(gòu)造，，又在，上單調(diào)遞增，且（1），知在，上單調(diào)遞增，故（1）．因此，得證．(3)由（1）知在點，處的切線方程為．構(gòu)造，，．當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以．設(shè)方程的根．又，由在上單調(diào)遞減，所以．另一方面，在點處的切線方程為．構(gòu)造．，．當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，，（1），所在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以（1）．設(shè)方程的根．又，由在上單調(diào)遞增，所以．，，，所以，得證．【點睛】破解含雙參不等式證明題的3個關(guān)鍵點（1）轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式.（2）巧構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值.（3）回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.5．（第26講拐點偏移問題-突破2022年新高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)壓軸解答題精選精練）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，正實數(shù)，滿足，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，然后分和討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)值即可；（2）代入可得，變形可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最值，然后解不等式，比較大小即可.(1)，，，當(dāng)時，，．在上是遞增函數(shù)，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間．當(dāng)時，，令，得．當(dāng)時，；當(dāng)，時，．的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，．綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，．(2)當(dāng)時，，正實數(shù)，滿足，，，令，則函數(shù)，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，（1），．則，或舍去．，，【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于雙變量問題，我們要通過變形和換元轉(zhuǎn)化為單變量問題，然后構(gòu)造函數(shù)解決.6．（第12講雙變量不等式：剪刀模型-突破2022年新高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)壓軸解答題精選精練）已知函數(shù)，是的極值點．(1)求的值；(2)設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線為直線．求證：曲線上的點都不在直線的上方；(3)若關(guān)于的方程有兩個不等實根，，求證：．【答案】(1)3(2)證明見解析(3)證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）由（1）可得曲線在點處的切線：.令，，則，由的單調(diào)性可得，從而可得結(jié)論成立；（3）設(shè)方程的解為，構(gòu)造新函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而可得，結(jié)合與交點的橫坐標(biāo)，求出即可.(1)；由題意知，，；(2)證明：設(shè)曲線在，處切線為直線；令；；；在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；；，即，即上的點都不在直線的上方；(3)由（2）設(shè)方程的解為；則有，解得；由題意知，；令，；；在上單調(diào)遞增；；的圖象不在的下方；與交點的橫坐標(biāo)為；則有，即；；關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增；．【點睛】利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)綜合問題的過程中，難度較大，解決問題的基礎(chǔ)是函數(shù)的單調(diào)性，通過函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的極值、最值，然后再結(jié)合所求問題逐步求解．證明兩函數(shù)圖象間的位置關(guān)系時，可通過構(gòu)造函數(shù)，通過判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的問題處理．7．（第13講雙變量問題-2022年新高考數(shù)學(xué)二輪專題突破精練）已知函數(shù),．(1)若曲線在處的切線在軸上的截距為，求的值；(2)證明：對于任意兩個正數(shù)、，．【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）求出曲線在處的切線方程，由已知條件可得出關(guān)于的等式，即可求得實數(shù)的值；（2）利用分析法可知所證不等式等價于，利用作差法可證得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可證