2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“臨門一腳”保溫試題（二）一、選擇題（本大題共10小題，每小題6分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）集合與邏輯用語(yǔ)某外賣平臺(tái)統(tǒng)計(jì)了某市一周內(nèi)各區(qū)域的訂單量，設(shè)集合(A={\text{訂單量超過(guò)500單的區(qū)域}})，集合(B={\text{配送時(shí)長(zhǎng)超過(guò)30分鐘的區(qū)域}})，則“某區(qū)域訂單量未超過(guò)500單或配送時(shí)長(zhǎng)未超過(guò)30分鐘”可表示為（）A.(A\cupB)B.(\complement_U(A\capB))C.(\complement_UA\cap\complement_UB)D.(\complement_UA\cup\complement_UB)函數(shù)與反函數(shù)已知函數(shù)(f(x)=e^x-2x)（(e)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），其反函數(shù)為(f^{-1}(x))，則下列說(shuō)法正確的是（）A.(f(x))在((-\infty,\ln2))上單調(diào)遞增B.(f^{-1}(1)=0)C.函數(shù)(f(x))與(f^{-1}(x))的圖像關(guān)于直線(y=-x)對(duì)稱D.方程(f(x)=f^{-1}(x))只有一個(gè)實(shí)數(shù)解三角函數(shù)與數(shù)學(xué)文化《九章算術(shù)》中記載“圓材埋壁”問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小。以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺。問(wèn)徑幾何？”其意為：現(xiàn)有圓柱形木材埋在墻壁中，不知其直徑。用鋸子鋸它，鋸口深1寸（即(CD=1)寸），鋸道長(zhǎng)1尺（即(AB=10)寸，1尺=10寸），則木材的直徑為（）A.13寸B.26寸C.30寸D.50寸立體幾何與空間向量如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，點(diǎn)(E)為棱(CC_1)的中點(diǎn)，點(diǎn)(F)在棱(A_1D_1)上，且(A_1F=\frac{1}{3}A_1D_1)。若以(D)為原點(diǎn)，(DA,DC,DD_1)所在直線分別為(x,y,z)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則異面直線(BE)與(DF)所成角的余弦值為（）A.(\frac{\sqrt{30}}{10})B.(\frac{\sqrt{15}}{5})C.(\frac{\sqrt{10}}{5})D.(\frac{\sqrt{5}}{5})概率統(tǒng)計(jì)與貝葉斯定理某醫(yī)院使用新冠病毒抗原檢測(cè)試劑盒，已知該試劑盒的靈敏度為95%（即感染新冠的人檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的概率為95%），特異度為90%（即未感染新冠的人檢測(cè)結(jié)果為陰性的概率為90%）。若該地區(qū)新冠感染率為0.1%，某人檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則其實(shí)際感染新冠的概率約為（）A.0.95%B.1.5%C.9.5%D.95%圓錐曲線與實(shí)際應(yīng)用某拋物線形拱橋跨度為40米，拱頂距離水面10米。若以拱頂為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為(y)軸建立平面直角坐標(biāo)系，則當(dāng)水面上升2米后，水面寬度為（）A.(8\sqrt{10})米B.(16\sqrt{5})米C.(8\sqrt{5})米D.(16\sqrt{10})米數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2})，則數(shù)列({a_na_{n+1}})的前(n)項(xiàng)和(S_n=)（）A.(\frac{n}{n+1})B.(\frac{2n}{n+1})C.(\frac{n}{2n+1})D.(\frac{2n}{2n+1})復(fù)數(shù)與幾何意義在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(z_1=1+i)，(z_2=2-3i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為(A,B)，若向量(\overrightarrow{AB})對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(z)，則(|z|=)（）A.(\sqrt{5})B.(\sqrt{13})C.(5)D.(13)數(shù)學(xué)建模與優(yōu)化問(wèn)題某物流公司計(jì)劃從倉(cāng)庫(kù)(O)向(A,B)兩個(gè)配送點(diǎn)運(yùn)輸貨物，其中(OA=10)公里，(OB=15)公里，(\angleAOB=60^\circ)。若每公里運(yùn)輸成本為2元，為節(jié)約成本，可在(AB)之間選一點(diǎn)(C)建立中轉(zhuǎn)站，則運(yùn)輸總成本的最小值為（）A.50元B.60元C.70元D.80元開(kāi)放探究題已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x+m)，若關(guān)于(x)的方程(f(x)=0)有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)(m)的取值范圍可以是（）A.((-2,2))B.((-1,1))C.((-\infty,-2)\cup(2,+\infty))D.以上選項(xiàng)均不正確二、填空題（本大題共6小題，共36分。第11-14題為單空題，每小題5分；第15-16題為多空題，每小題8分，其中第一空3分，第二空5分）平面向量已知向量(\boldsymbol{a}=(1,2))，(\boldsymbol=(k,1))，若(\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol))，則(k=)________。概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)處理某班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分150分）頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)?cè)?[120,150])的學(xué)生人數(shù)為_(kāi)_______。導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值函數(shù)(f(x)=x\lnx-x)在區(qū)間([1,e])上的最大值為_(kāi)_______。數(shù)學(xué)文化與數(shù)列《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”問(wèn)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？”若該數(shù)在100至200之間，則這個(gè)數(shù)為_(kāi)_______。立體幾何多空題在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，則：（1）三棱柱的外接球表面積為_(kāi)_______；（2）點(diǎn)(A_1)到平面(B_1C_1A)的距離為_(kāi)_______。函數(shù)與不等式多空題已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0,\\lnx,&x>0,\end{cases})則：（1）不等式(f(x)>0)的解集為_(kāi)_______；（2）若方程(f(x)=m)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則(m)的取值范圍為_(kāi)_______。三、解答題（本大題共6小題，共84分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）三角函數(shù)與解三角形（14分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，已知(\cosA=\frac{3}{5})，(\cosB=\frac{5}{13})。（1）求(\sinC)的值；（2）若(c=14)，求(\triangleABC)的面積。立體幾何與空間向量（14分）如圖，在四棱錐(P-ABCD)中，底面(ABCD)為矩形，(PA\perp)底面(ABCD)，(PA=AB=2)，(AD=4)，點(diǎn)(M)為棱(PD)的中點(diǎn)。（1）求證：(PB\parallel)平面(ACM)；（2）求二面角(A-CM-D)的余弦值。概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)建模（14分）某電商平臺(tái)為提升用戶滿意度，隨機(jī)抽取100名用戶進(jìn)行調(diào)查，得到用戶對(duì)物流速度和售后服務(wù)的評(píng)分如下表（單位：分，評(píng)分均為整數(shù)）：物流速度售后服務(wù)滿意度不滿意（0-60）滿意（61-90）非常滿意（91-100）合計(jì)慢（0-60）105217中（61-90）8301553快（91-100）2101830合計(jì)204535100（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有95%的把握認(rèn)為用戶對(duì)物流速度的評(píng)價(jià)與售后服務(wù)滿意度有關(guān)；（2）若從“對(duì)物流速度評(píng)價(jià)為快”的用戶中隨機(jī)抽取3人，記其中“對(duì)售后服務(wù)非常滿意”的人數(shù)為(X)，求(X)的分布列和數(shù)學(xué)期望。（參考公式：(\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)})，其中(n=a+b+c+d)；臨界值：(\chi^2_{0.05}=3.841)）圓錐曲線與綜合應(yīng)用（16分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過(guò)點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)(P(0,2))的直線(l)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，若以(AB)為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)(O)，求直線(l)的方程。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題（16分）已知函數(shù)(f(x)=\lnx-ax+1(a\in\mathbb{R}))。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若(f(x)\leq0)恒成立，求(a)的取值范圍；（3）證明：當(dāng)(x>1)時(shí)，(\lnx<\frac{x^2-1}{2})。數(shù)學(xué)建模與開(kāi)放探究題（18分）某工廠生產(chǎn)一種零件，每個(gè)零件的成本為20元，售價(jià)為50元。若當(dāng)天生產(chǎn)的零件未售出，則每個(gè)零件虧損10元。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，該零件的日需求量(X)（單位：個(gè)）服從正態(tài)分布(N(100,25^2))。（1）為使日利潤(rùn)的期望最大，工廠應(yīng)每日生產(chǎn)多少個(gè)零件？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：若(X\simN(\mu,\sigma^2))，則(P(\mu-\sigma<X\leq\mu+\sigma)\approx0.6827)）（2）若工廠采用“試生產(chǎn)-調(diào)整”策略：第一天生產(chǎn)100個(gè)零件，根據(jù)當(dāng)天需求量調(diào)整次日產(chǎn)量。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種具體的調(diào)整方案，并說(shuō)明理由。（3）結(jié)合本題，分析數(shù)學(xué)模型在解決實(shí)際問(wèn)題中的局限性。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（簡(jiǎn)要提示）選擇題：1.D2.B3.B4.C5.A6.A7.D8.B9.C10.A填空題：11.512.1513.014.12815.（1）(12\pi)；（2）(\frac{2\sqrt{3}}{3})16.（1）((0,1)\cup(2,+\infty))；（2）((-1,0))解答題：17.（1）(\frac{63}{65})；（2）8418.（2）(\frac{\sqrt{10}}{5})19.（1）有95%的把握；（2）(E(X)=1.8)20.（1）