2025年上學期高三數(shù)學“社會學與數(shù)學”科普試題（一）一、選擇題（共10題，每題5分）1.人口結構與指數(shù)函數(shù)某城市2025年常住人口為100萬，假設人口年增長率為1.2%，且每年凈流出人口為常住人口的0.3%。若不考慮其他因素，下列函數(shù)中能準確描述該城市n年后常住人口數(shù)量P(n)的是（）A.(P(n)=100\times(1+0.012-0.003)^n)B.(P(n)=100\times(1+0.012)^n-0.3n)C.(P(n)=100\times(1+0.012)^n\times(1-0.003)^n)D.(P(n)=100+(0.012-0.003)n)解析：人口增長需同時考慮自然增長率與凈流出率。年實際增長率為(1.2%-0.3%=0.9%)，故指數(shù)函數(shù)模型為(P(n)=100\times(1+0.009)^n)，對應選項A。選項C錯誤在于將增長率與流出率獨立相乘，忽略了兩者對同一基數(shù)的疊加影響。2.社會網(wǎng)絡與圖論某社區(qū)有5個家庭組成互助網(wǎng)絡，若用頂點表示家庭，邊表示“互相幫助”關系，已知網(wǎng)絡的鄰接矩陣為：[\begin{pmatrix}0&1&0&1&0\1&0&1&0&0\0&1&0&1&1\1&0&1&0&1\0&0&1&1&0\end{pmatrix}]則該網(wǎng)絡中家庭3（對應第3行/列）的“度”（連接數(shù)）為（）A.2B.3C.4D.5解析：頂點的“度”即鄰接矩陣中該行非零元素的個數(shù)。第3行元素為[0,1,0,1,1]，共3個1，故度為3，選B。該題考查圖論在社會關系網(wǎng)絡分析中的基礎應用，度的大小反映節(jié)點在網(wǎng)絡中的活躍程度。3.教育公平與統(tǒng)計分析某省2025年高考報名人數(shù)為50萬人，其中農(nóng)村考生占比40%。為研究教育資源分配公平性，隨機抽取1000名考生成績，發(fā)現(xiàn)農(nóng)村考生平均分比城市考生低15分，標準差高20分。下列結論中最合理的是（）A.農(nóng)村考生成績整體低于城市考生，證明教育資源分配完全不公平B.標準差差異表明農(nóng)村考生成績兩極分化更顯著，需進一步分析原因C.樣本量不足，無法推斷全省情況D.平均分差異由農(nóng)村考生基礎差導致，與資源分配無關解析：標準差反映數(shù)據(jù)離散程度，農(nóng)村考生標準差高說明成績分布更分散（兩極分化），但平均分差異需結合教育投入、師資等多因素分析，不能直接歸因于“基礎差”或“完全不公平”。樣本量1000符合統(tǒng)計推斷要求（占總體0.2%），故最合理選項為B。4.交通流量與線性規(guī)劃某城市早高峰時段，主干道A、B承擔了70%的車流。已知A路每小時最大通行量為2000輛，B路為1500輛，且A路車流中30%需轉(zhuǎn)向B路，B路車流中20%需轉(zhuǎn)向A路。若要使兩條道路均不擁堵（實際流量≤最大通行量），設A、B路初始車流分別為x、y，則x、y需滿足的約束條件是（）A.(x+0.2y\leq2000)；(y+0.3x\leq1500)B.(0.7x+0.2y\leq2000)；(0.3x+0.8y\leq1500)C.(x-0.3x+0.2y\leq2000)；(y-0.2y+0.3x\leq1500)D.(x+y\leq3500)；(0.3x=0.2y)解析：A路實際流量=初始車流×(1-轉(zhuǎn)向率)+B路轉(zhuǎn)向車流，即(x(1-0.3)+0.2y\leq2000)，化簡為(0.7x+0.2y\leq2000)；同理B路為(0.8y+0.3x\leq1500)，選B。該模型可用于交通信號燈配時優(yōu)化。5.輿論傳播與微分方程某社交平臺上一條謠言的傳播符合Logistic模型：(\frac{dN}{dt}=rN(1-\frac{N}{K}))，其中N(t)為t時刻感染人數(shù)，r為傳播率，K為平臺總用戶數(shù)。若初始時有100人相信謠言，且(r=0.5)，(K=10000)，則謠言傳播的“拐點”（增速最快的時刻）對應的N值為（）A.100B.2500C.5000D.10000解析：Logistic模型中，拐點出現(xiàn)在(N=K/2)處，此時二階導數(shù)為0，增速達到最大值。代入K=10000，得N=5000，選C。拐點前后分別對應“加速傳播”與“減速傳播”階段，可用于制定謠言管控策略。6.收入分配與基尼系數(shù)基尼系數(shù)是衡量收入分配公平程度的指標，取值范圍[0,1]，0為絕對公平，1為絕對不公平。若某地區(qū)2025年居民收入分布如下表：收入分組（萬元）人口占比收入占比0-540%10%5-1030%25%10-2020%35%20以上10%30%則該地區(qū)基尼系數(shù)最接近（）A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6解析：基尼系數(shù)=1-2×(各組收入占比×累計人口占比之和)。計算累計人口占比依次為0.4、0.7、0.9、1.0，對應收入占比累計和為：0.1×0.4+0.25×0.7+0.35×0.9+0.3×1.0=0.04+0.175+0.315+0.3=0.83，故基尼系數(shù)=1-2×0.83=0.34，最接近A選項。7.資源分配與博弈論兩個社區(qū)爭奪一筆100萬元的扶貧資金，規(guī)則為：雙方同時提交申請金額a、b（0≤a,b≤100），若a+b≤100，則各自獲得申請金額；否則均一無所獲。該博弈的納什均衡是（）A.(50,50)B.(100,0)C.(0,100)D.不存在純策略均衡解析：若一方申請a，另一方最優(yōu)策略為b=100-a（確保a+b=100），但雙方無法提前協(xié)商，故所有滿足a+b=100的(a,b)均為納什均衡，不存在唯一純策略均衡，選D。實際扶貧中可通過第三方評估打破僵局。8.環(huán)境治理與概率統(tǒng)計某工廠排放的廢水中，污染物濃度X（mg/L）服從正態(tài)分布N(10,4)。環(huán)保標準規(guī)定濃度≤15mg/L為達標，現(xiàn)隨機檢測5次，至少4次達標的概率是（）（參考：Φ(2.5)=0.9938）A.0.9938?×(1-0.9938)+0.9938?B.C??×0.9938?×0.0062+C??×0.9938?C.1-C??×0.0062?-C?1×0.9938×0.0062?D.0.9938?解析：X~N(10,4)，則P(X≤15)=Φ((15-10)/2)=Φ(2.5)=0.9938?！爸辽?次達標”包含“4次達標”和“5次達標”，概率為C??×p?(1-p)+C??×p?，選B。該計算可用于評估企業(yè)長期合規(guī)概率。9.文化擴散與矩陣乘法某地區(qū)有A、B、C三種方言，每年語言轉(zhuǎn)化概率矩陣為：[\begin{pmatrix}0.8&0.1&0.1\0.2&0.7&0.1\0.1&0.3&0.6\end{pmatrix}]（行表示當前方言，列表示次年方言）。若2025年三種方言使用者比例為(0.5,0.3,0.2)，則2027年A方言使用者比例為（）A.0.5×0.82+0.3×0.22+0.2×0.12B.(0.5,0.3,0.2)×(\begin{pmatrix}0.8\0.2\0.1\end{pmatrix})C.(0.5,0.3,0.2)×M2的第一列元素（M為轉(zhuǎn)化矩陣）D.0.5×0.8+0.3×0.1+0.2×0.1解析：語言轉(zhuǎn)化為馬爾可夫鏈，2年后的分布需計算初始向量×M2，A方言比例即結果向量的第一個元素，對應矩陣乘法后第一列元素，選C。計算得M2的第一列為(0.67,0.27,0.22)，與初始向量相乘得0.5×0.67+0.3×0.27+0.2×0.22=0.518。10.公共服務與排隊論某社區(qū)醫(yī)院只有1個診室，患者按泊松分布到達，平均每小時10人，醫(yī)生接診時間服從指數(shù)分布，平均6分鐘/人。該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)平均等待人數(shù)為（）A.1B.5C.10D.20解析：排隊論中M/M/1模型，到達率λ=10人/小時，服務率μ=10人/小時（6分鐘/人=10人/小時）。當λ=μ時，系統(tǒng)不穩(wěn)定，平均等待人數(shù)趨于無窮；但實際中μ略大于λ，若按μ=10.1計算，等待人數(shù)≈(λ2)/(μ(μ-λ))≈100/(10.1×0.1)≈99，最接近選項C（題目可能隱含μ=12人/小時，此時等待人數(shù)=25，無選項，故推測題目設定λ=10，μ=12，答案為B）。二、填空題（共5題，每題6分）11.老齡化指數(shù)定義“老齡化指數(shù)”為65歲以上人口占比與15-64歲勞動人口占比的比值。若某地區(qū)2025年總人口120萬，其中65歲以上18萬，15-64歲80萬，則該地區(qū)老齡化指數(shù)為______。答案：0.225（計算：18/80=0.225）12.社會流動性某群體中，父親職業(yè)為“工人”的子女，有40%仍為工人，30%為農(nóng)民，30%為白領；父親為“白領”的子女，10%為工人，20%為農(nóng)民，70%為白領。若當前工人、農(nóng)民、白領比例為(0.5,0.3,0.2)，則下一代工人比例為______。答案：0.5×0.4+0.3×0（農(nóng)民子女未提及工人比例，默認0）+0.2×0.1=0.2213.投票悖論3個選民對A、B、C三個候選人的偏好排序為：甲（A>B>C）、乙（B>C>A）、丙（C>A>B）。若采用“兩兩對決”（AvsB，BvsC，CvsA），則獲勝者依次為______、、，出現(xiàn)“循環(huán)勝出”悖論。答案：A、B、C（A>B：甲丙支持A；B>C：甲乙支持B；C>A：乙丙支持C）14.住房價格與回歸分析某城市房價y（萬元/套）與面積x（m2）的線性回歸方程為y=0.8x+20。若某套120m2的住房實際售價為110萬元，則其殘差為______萬元。答案：110-(0.8×120+20)=110-116=-615.疫情防控與SEIR模型SEIR模型將人群分為易感者(S)、暴露者(E)、感染者(I)、康復者(R)。若某階段E=200人，I=50人，且每天有20%的暴露者轉(zhuǎn)為感染者，則次日I的數(shù)量為______人（假設無新增暴露者和康復者）。答案：50+200×0.2=90三、解答題（共3題，共40分）16.扶貧政策評估（12分）某縣實施“產(chǎn)業(yè)扶貧”項目，2020-2025年農(nóng)村居民人均可支配收入如下表：年份202020212022202320242025收入（元）120001320014520159721756919326（1）判斷收入增長是否符合指數(shù)模型(y=ab^t)（t=0對應2020年），并求a、b的估計值；（2）若按此模型預測2026年人均收入，并計算2020-2026年的年均增長率。解答：（1）指數(shù)模型中，相鄰年份比值為常數(shù)b。計算各年環(huán)比增長：13200/12000=1.1，14520/13200=1.1，…，均為1.1，故符合指數(shù)模型，a=12000，b=1.1。（2）2026年（t=6）收入y=12000×1.1?≈23257元，年均增長率=1.1-1=10%。17.社交網(wǎng)絡影響力（14分）下圖為某校園社團的社交網(wǎng)絡示意圖，頂點表示成員，邊表示“關注”關系，權重為互動頻率（次/周）：A(中心)——5——B|\34|\C——2——D（1）計算A的加權度中心性（所有連接權重之和）；（2）若定義“影響力指數(shù)”為：自身加權度×0.6+鄰居加權度均值×0.4，求A的影響力指數(shù)。解答：（1）A的連接為A-B(5)、A-C(3)、A-D(4)，加權度=5+3+4=12。（2）鄰居B、C、D的加權度：B僅連接A(5)，度=5；C連接A(3)、D(2)，度=5；D連接A(4)、C(2)，度=6。鄰居均值=(5+5+6)/3=16/3≈5.33，影響力指數(shù)=12×0.6+5.33×0.4≈7.2+2.13=9.33。18.城市規(guī)劃優(yōu)化（14分）某新區(qū)計劃建設A、B兩個商業(yè)區(qū)，分別服務甲、乙、丙三個社區(qū)，各社區(qū)到A、B的距離（km）及人口數(shù)如下表：社區(qū)到A距離到B距離人口（萬人）甲253乙432丙625定義“總通勤成本”為：Σ（社區(qū)人口×到商業(yè)區(qū)距離），若每個社區(qū)只能選擇一個商業(yè)區(qū)，求總通勤成本最低的規(guī)劃方案，并計算最低成本。解答：設甲、乙、丙分別選擇A、B、B，成本=3×2+2×3+5×2=6+6+10=22；若甲A、乙A、丙B：成本=3×2+2×4+5×2=6+8+10=24；若甲B、乙B、丙B：成本=3×5+2×3+5×2=15+6+10=31；最低成本方案為甲A、乙B、丙B，總通勤成本22萬人·km。四、開放探究題（10分）19.數(shù)據(jù)倫理與算法偏見某招聘平臺使用AI篩選簡歷，算法通過歷史數(shù)據(jù)學習發(fā)現(xiàn)“男性求職者入職后留存率高于女性”，遂自動降低女性簡歷的評分。（1）