高三數(shù)學(xué)極限及函數(shù)專題訓(xùn)練在高三數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)備考中，極限與函數(shù)無(wú)疑是貫穿始終的核心內(nèi)容，也是高考考查的重中之重。函數(shù)的思想方法滲透在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，而極限則是連接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁，同時(shí)也是解決函數(shù)問(wèn)題，特別是函數(shù)連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)。本專題將帶你系統(tǒng)梳理極限與函數(shù)的核心知識(shí)，剖析典型題型，總結(jié)解題方法與技巧，助力你在高考中輕松應(yīng)對(duì)這部分內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)從知識(shí)到能力的跨越。一、核心知識(shí)梳理與回顧要攻克極限與函數(shù)專題，首先必須對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)有扎實(shí)的掌握和深刻的理解。這不僅包括定義、公式，更重要的是理解其內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)。（一）函數(shù)的基本概念與性質(zhì)函數(shù)是描述變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是研究變化規(guī)律的有力工具。1.函數(shù)的定義與三要素：*定義域：函數(shù)的“靈魂”，研究函數(shù)必先考慮定義域。求解定義域時(shí)，要特別注意分式分母不為零、偶次根式被開(kāi)方數(shù)非負(fù)、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零、零次冪的底數(shù)不為零等基本要求，同時(shí)也要關(guān)注實(shí)際問(wèn)題中的隱含條件。*值域：函數(shù)值的集合，是由定義域和對(duì)應(yīng)法則共同決定的。求值域的方法靈活多樣，如觀察法、配方法、換元法、判別式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法、基本不等式法等，需根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)靈活選用。*對(duì)應(yīng)法則：函數(shù)的“核心”，體現(xiàn)了輸入與輸出之間的映射關(guān)系。理解對(duì)應(yīng)法則的本質(zhì)，有助于我們處理函數(shù)的復(fù)合、分段函數(shù)等問(wèn)題。2.函數(shù)的基本性質(zhì)：*單調(diào)性：函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的增減趨勢(shì)，是研究函數(shù)最值、比較大小、解不等式的重要依據(jù)。判斷方法主要有定義法（作差或作商）、導(dǎo)數(shù)法。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則。*奇偶性：函數(shù)圖像的對(duì)稱性特征。判斷函數(shù)奇偶性，首先要檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是前提。若滿足f(-x)=f(x)則為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；若滿足f(-x)=-f(x)則為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義時(shí)，必有f(0)=0。*周期性：函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的性質(zhì)。若存在非零常數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)對(duì)定義域內(nèi)任意x恒成立，則T為函數(shù)的一個(gè)周期。三角函數(shù)是典型的周期函數(shù)，此外，一些由抽象函數(shù)關(guān)系給出的函數(shù)也可能具有周期性，需要通過(guò)遞推關(guān)系進(jìn)行判斷。*最值：函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值和最小值。求函數(shù)最值的方法與求值域類似，關(guān)鍵在于分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性和極值情況。3.常見(jiàn)函數(shù)模型：*一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)（基本初等函數(shù)）。*指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)（高考考查的重點(diǎn)）。要熟記它們的定義域、值域、圖像和性質(zhì)，特別是單調(diào)性與底數(shù)（或指數(shù)）的關(guān)系。*三角函數(shù)（正弦、余弦、正切函數(shù)）：周期性、奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性是考查的重點(diǎn)。*分段函數(shù)：在不同定義域區(qū)間上對(duì)應(yīng)法則不同，處理時(shí)需分段討論，注意各段間的銜接點(diǎn)。（二）極限的概念與運(yùn)算極限是描述變量在某個(gè)變化過(guò)程中的變化趨勢(shì)的概念。1.數(shù)列的極限：*定義：對(duì)于數(shù)列{a?}，如果當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，a?無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)A，則稱數(shù)列{a?}的極限為A。*常見(jiàn)數(shù)列極限：*若|q|<1，則lim?→∞q?=0；若q=1，則lim?→∞q?=1；若q=-1或|q|>1，則極限不存在（或?yàn)闊o(wú)窮大）。*lim?→∞(1+1/n)?=e。*對(duì)于有理分式型數(shù)列極限，分子分母同除以最高次項(xiàng)，再根據(jù)系數(shù)判斷。2.函數(shù)的極限：*當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)的極限：包括x→+∞和x→-∞兩種情況。若兩者都存在且相等，則函數(shù)在x→∞時(shí)的極限存在。*當(dāng)x→x?時(shí)函數(shù)的極限：包括左極限（x→x??）和右極限（x→x??）。函數(shù)在x?處極限存在的充要條件是左極限和右極限都存在且相等。*常見(jiàn)函數(shù)極限：*lim?→∞1/x=0；lim?→0sinx/x=1；lim?→∞(1+1/x)?=e。*對(duì)于有理分式函數(shù)，當(dāng)x→x?時(shí)，若分母不為零，直接代入；若分母為零，需先因式分解約去零因子。3.極限的四則運(yùn)算法則：若limf(x)=A，limg(x)=B，則：*lim[f(x)±g(x)]=A±B*lim[f(x)·g(x)]=A·B*lim[f(x)/g(x)]=A/B(B≠0)運(yùn)算法則成立的前提是各極限都存在（對(duì)于除法，還需分母極限不為零）。4.函數(shù)的連續(xù)性：*定義：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)lim?→x?f(x)=f(x?)。這意味著函數(shù)在該點(diǎn)的極限存在，且等于該點(diǎn)的函數(shù)值。*初等函數(shù)的連續(xù)性：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。*閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理，這些性質(zhì)在分析函數(shù)零點(diǎn)、證明不等式等方面有重要應(yīng)用。二、典型題型剖析與方法指導(dǎo)掌握了基礎(chǔ)知識(shí)，接下來(lái)需要通過(guò)典型題型的訓(xùn)練來(lái)深化理解，提升解題能力。（一）函數(shù)部分常見(jiàn)題型1.函數(shù)定義域與值域的求解：*定義域：熟練掌握各類基本函數(shù)的定義域限制，對(duì)于復(fù)合函數(shù)定義域，要明確內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域。*值域：根據(jù)函數(shù)類型選擇合適的方法。例如，二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域，常用配方法結(jié)合圖像；分式函數(shù)的值域可考慮分離常數(shù)法或判別式法；含有根號(hào)的函數(shù)可考慮換元法；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性進(jìn)而求值域是通用且powerful的方法。*例題：求函數(shù)f(x)=√(x2-3x+2)+1/(x-3)的定義域。*分析：需滿足根號(hào)內(nèi)非負(fù)且分母不為零。即x2-3x+2≥0且x-3≠0。解不等式組即可。2.函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用：*單調(diào)性與奇偶性結(jié)合：判斷函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性，利用奇偶性轉(zhuǎn)化不等式。*周期性與奇偶性結(jié)合：利用周期性將自變量的值轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間，再結(jié)合奇偶性求值。*利用性質(zhì)比較大小、解不等式：核心是利用函數(shù)的單調(diào)性，將函數(shù)值的大小比較轉(zhuǎn)化為自變量的大小比較（注意定義域）。*例題：已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在(0,+∞)上單調(diào)遞增，f(1)=0，解不等式f(x-1)<0。*分析：利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到f(-1)=0及在(-∞,0)上的單調(diào)性，然后分情況討論x-1的正負(fù)，結(jié)合單調(diào)性求解。3.函數(shù)圖像的識(shí)別與應(yīng)用：*識(shí)圖：從圖像的形狀、位置、特殊點(diǎn)、單調(diào)性、奇偶性等方面獲取信息。*用圖：利用函數(shù)圖像解決方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題、不等式解集問(wèn)題、參數(shù)取值范圍問(wèn)題等，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。*例題：函數(shù)f(x)=x|x|-2x的大致圖像是（）（選項(xiàng)略）*分析：可去掉絕對(duì)值符號(hào)化為分段函數(shù)，或分析函數(shù)的奇偶性（奇函數(shù)）、在x>0時(shí)的解析式（x2-2x）及其單調(diào)性、零點(diǎn)，從而判斷圖像。4.函數(shù)與方程（零點(diǎn)問(wèn)題）：*函數(shù)零點(diǎn)的判定：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)。*零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷：結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及圖像的變化趨勢(shì)進(jìn)行分析。*已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍：常轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，或利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)和極值大小。（二）極限部分常見(jiàn)題型1.數(shù)列極限的計(jì)算：*直接利用運(yùn)算法則：對(duì)于通項(xiàng)是等差、等比數(shù)列或其組合的數(shù)列，可先求和再求極限，或直接利用極限四則運(yùn)算法則。*∞/∞型或0/0型：對(duì)于分式型數(shù)列極限，若分子分母都是關(guān)于n的多項(xiàng)式，同除以最高次項(xiàng)。*例題：求lim?→∞(3n2+2n-1)/(n2+1)。*分析：分子分母同除以n2，得到lim?→∞(3+2/n-1/n2)/(1+1/n2)=3/1=3。2.函數(shù)極限的計(jì)算：*代入法：若函數(shù)在x?處連續(xù)，則lim?→x?f(x)=f(x?)。*消去零因子法：對(duì)于x→x?時(shí)的0/0型未定式，可通過(guò)因式分解、有理化等方法消去使分子分母為零的公因子。*重要極限公式的應(yīng)用：重點(diǎn)掌握l(shuí)im?→0sinx/x=1和lim?→∞(1+1/x)?=e及其變形。*無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的性質(zhì)：有限個(gè)無(wú)窮小量的和、差、積仍是無(wú)窮小量；無(wú)窮小量與有界量的乘積是無(wú)窮小量。*例題：求lim?→1(x3-1)/(x2-1)。*分析：x→1時(shí)，分子分母均為0，屬于0/0型。因式分解：分子=(x-1)(x2+x+1)，分母=(x-1)(x+1)，約去(x-1)，得lim?→1(x2+x+1)/(x+1)=(1+1+1)/(1+1)=3/2。3.已知極限求參數(shù)：*這類問(wèn)題通常給出某個(gè)極限值，反求表達(dá)式中的未知參數(shù)。解題時(shí)需根據(jù)極限的運(yùn)算法則和類型（如∞/∞型、0/0型、常數(shù)型）建立關(guān)于參數(shù)的方程或方程組求解。*例題：若lim?→∞(an2+bn+3)/(2n-1)=2，求a,b的值。*分析：當(dāng)n→∞時(shí)，若分子分母最高次項(xiàng)次數(shù)不同，極限為0或∞。已知極限為常數(shù)2，故分子分母最高次項(xiàng)次數(shù)相同（均為1次），因此a=0。此時(shí)極限為b/2=2，故b=4。三、思想方法與解題策略數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，在極限與函數(shù)專題中，以下思想方法尤為重要：1.函數(shù)與方程思想：用函數(shù)的觀點(diǎn)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。例如，求方程的解可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點(diǎn)；求參數(shù)的取值范圍可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的性質(zhì)來(lái)實(shí)現(xiàn)。2.數(shù)形結(jié)合思想：“以形助數(shù)，以數(shù)解形”。函數(shù)的圖像是函數(shù)性質(zhì)的直觀體現(xiàn)，利用圖像可以快速解決很多問(wèn)題，如判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、零點(diǎn)個(gè)數(shù)等。3.分類討論思想：當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類分別研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答。如含參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題、絕對(duì)值函數(shù)問(wèn)題等。4.轉(zhuǎn)化與化歸思想：將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題。例如，求復(fù)合函數(shù)的定義域轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的定義域；求極限時(shí)的0/0型未定式通過(guò)因式分解轉(zhuǎn)化為可直接代入的形式。5.有限與無(wú)限思想：極限本身就是研究無(wú)限過(guò)程的工具。在處理數(shù)列求和、函數(shù)極限時(shí)，要體會(huì)從有限到無(wú)限的過(guò)渡。解題策略：*審題要慢，答題要快：仔細(xì)審題，明確已知條件和所求結(jié)論，特別是隱含條件。*回歸定義，夯實(shí)基礎(chǔ)：很多問(wèn)題的解決都依賴于對(duì)定義的深刻理解。*多思少算，注重巧解：在掌握通性通法的基礎(chǔ)上，注意技巧的運(yùn)用，提高解題效率。*及時(shí)總結(jié)，錯(cuò)題反思：建立錯(cuò)題本，定期回顧，分析錯(cuò)誤原因，避免重復(fù)犯錯(cuò)。四、專題訓(xùn)練與能力提升建議要真正掌握極限與函數(shù)，離不開(kāi)大量的、有針對(duì)性的練習(xí)。1.基礎(chǔ)鞏固：首先完成教材上的習(xí)題和配套練習(xí)冊(cè)，確保對(duì)基本概念、公式、方法的掌握沒(méi)有死角。2.專題突破：針對(duì)上述典型題型，進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練?？梢赃x擇一些高考復(fù)習(xí)資料，集中攻克某一類問(wèn)題，總結(jié)解題規(guī)律。3.綜合應(yīng)用：嘗試做一些綜合性較強(qiáng)的題目，將函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)（后續(xù)學(xué)習(xí)）等知識(shí)結(jié)合起來(lái)，提升綜合分析和解決問(wèn)題的能力