等差數(shù)列定義與解題技巧練習集等差數(shù)列作為中學(xué)數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)且重要的概念，不僅是數(shù)列知識體系的入門基石，也在后續(xù)更復(fù)雜的數(shù)學(xué)學(xué)習及實際問題解決中扮演著關(guān)鍵角色。掌握其定義內(nèi)涵、通項公式、求和公式及相關(guān)性質(zhì)，并能靈活運用解題技巧，是學(xué)好這部分內(nèi)容的核心。本文將系統(tǒng)梳理等差數(shù)列的定義與性質(zhì)，歸納常用解題技巧，并輔以針對性練習，幫助讀者深化理解，提升解題能力。一、等差數(shù)列的核心定義與基本公式（一）定義剖析如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母`d`表示。理解要點：1.“從第二項起”：強調(diào)了比較的起始點，首項`a?`沒有前一項。2.“每一項與它的前一項的差”：明確了運算關(guān)系是后項減前項，順序不可顛倒。3.“同一個常數(shù)”：這是等差數(shù)列的本質(zhì)特征，即公差`d`恒定不變。`d`可以是正數(shù)、負數(shù)或零。當`d>0`時，數(shù)列為遞增數(shù)列；當`d<0`時，數(shù)列為遞減數(shù)列；當`d=0`時，數(shù)列為常數(shù)列。數(shù)學(xué)表達式：對于數(shù)列`{a?}`，若滿足`a?-a???=d`（其中`n≥2`，`n`為正整數(shù)，`d`為常數(shù)），則`{a?}`為等差數(shù)列。（二）通項公式等差數(shù)列的通項公式揭示了數(shù)列中任意一項與首項、公差以及項數(shù)之間的關(guān)系。推導(dǎo)思路：根據(jù)定義，有：`a?=a?+d``a?=a?+d=a?+2d``a?=a?+d=a?+3d`...以此類推，可得第`n`項`a?=a?+(n-1)d`。通項公式：`a?=a?+(n-1)d`其中，`a?`為首項，`d`為公差，`n`為項數(shù)，`a?`為第`n`項。這個公式是等差數(shù)列的靈魂，已知其中三個量，可求第四個量，是方程思想在數(shù)列中的直接應(yīng)用。（三）等差中項若三個數(shù)`a`，`A`，`b`成等差數(shù)列，則`A`叫做`a`與`b`的等差中項。根據(jù)等差數(shù)列定義，有`A-a=b-A`，即`2A=a+b`，所以`A=(a+b)/2`。推廣：在等差數(shù)列中，從第二項起，每一項（有窮數(shù)列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項。更一般地，若`m+n=p+q`（`m,n,p,q`均為正整數(shù)），則在等差數(shù)列中有`a?+a?=a?+a_q`。特別地，當`m+n=2k`時，`a?+a?=2a?`。這一性質(zhì)在簡化計算、解決對稱項問題時非常有用。（四）前`n`項和公式等差數(shù)列的前`n`項和`S?`是指`a?+a?+...+a?`。其求和公式的推導(dǎo)是“倒序相加法”的經(jīng)典應(yīng)用。公式推導(dǎo)：`S?=a?+a?+a?+...+a???+a?``S?=a?+a???+a???+...+a?+a?`將兩式相加，得：`2S?=(a?+a?)+(a?+a???)+...+(a?+a?)`由于`a?+a???=a?+d+a?-d=a?+a?`，同理每一對括號內(nèi)的和均為`a?+a?`，共有`n`對。因此，`2S?=n(a?+a?)`，故`S?=n(a?+a?)/2`。將通項公式`a?=a?+(n-1)d`代入上式，可得另一個常用求和公式：`S?=n[a?+a?+(n-1)d]/2=na?+n(n-1)d/2`。前`n`項和公式：1.`S?=n(a?+a?)/2`（已知首項、末項和項數(shù)時常用）2.`S?=na?+n(n-1)d/2`（已知首項、公差和項數(shù)時常用）二、解題技巧與方法歸納掌握等差數(shù)列的基本概念和公式是基礎(chǔ)，而靈活運用解題技巧則是提升解題效率和準確性的關(guān)鍵。以下總結(jié)一些常用的解題技巧：（一）活用基本公式，方程思想是利器等差數(shù)列的通項公式和前`n`項和公式中共涉及五個量：`a?`，`d`，`n`，`a?`，`S?`?！爸蠖笔亲罨镜念}型，核心就是根據(jù)已知條件，選擇合適的公式，列出方程或方程組求解。關(guān)鍵：明確已知量和未知量，選擇包含這些量的公式。例如，已知`a?`，`d`，`n`，求`a?`和`S?`，直接套用公式即可；若已知`a?`，`a?`（`m≠n`），求`a?`和`d`，則可利用通項公式列出關(guān)于`a?`和`d`的二元一次方程組求解。（二）巧用等差中項性質(zhì)，簡化計算等差中項的性質(zhì)（特別是`m+n=p+q`時`a?+a?=a?+a_q`）在處理與“和”有關(guān)的問題時，往往能起到化繁為簡的作用。例如，在等差數(shù)列中，`a?+a?=a?+a?=2a?`，若已知其中幾項的和，可以快速轉(zhuǎn)化。例題引導(dǎo)：若等差數(shù)列`{a?}`中，`a?+a?+a?+a?+a?=450`，求`a?+a?`。分析：因為`3+7=4+6=2×5`，所以`a?+a?=2a?`，`a?+a?=2a?`，原式可化為`5a?=450`，得`a?=90`，則`a?+a?=2a?=180`。（三）關(guān)注公差`d`的符號與絕對值，把握數(shù)列單調(diào)性公差`d`決定了等差數(shù)列的增減性。當`d>0`時，數(shù)列遞增；當`d<0`時，數(shù)列遞減；當`d=0`時，數(shù)列為常數(shù)列。在解決與數(shù)列最大項、最小項、前`n`項和的最值等問題時，分析`d`的符號至關(guān)重要。例如：求等差數(shù)列前`n`項和`S?`的最值。若`d>0`，數(shù)列遞增，`S?`有最小值（通常為首項或前幾項的和）；若`d<0`，數(shù)列遞減，`S?`有最大值（通常為末項或后幾項的和）；若`d=0`，`S?=na?`，為常數(shù)列或單調(diào)遞增/遞減（取決于`a?`是否為零）。具體求解時，可令`a?≥0`且`a???≤0`（遞減數(shù)列求最大和），或`a?≤0`且`a???≥0`（遞增數(shù)列求最小和），解出`n`的范圍，再確定`n`的值。（四）數(shù)列問題，“項”與“和”的轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵在等差數(shù)列中，`a?`與`S?`之間存在密切聯(lián)系：`a?=S?`，當`n≥2`時，`a?=S?-S???`。這一關(guān)系是解決已知`S?`求`a?`類型問題的通法。注意：利用此公式求出`a?`（`n≥2`）后，務(wù)必驗證`n=1`時的情況是否滿足所求出的表達式。若滿足，則統(tǒng)一寫出通項公式；若不滿足，則需分段表示。（五）含參問題與分類討論意識當題目中含有參數(shù)，或公差`d`的取值可能影響數(shù)列性質(zhì)（如`d=0`的特殊情況）時，需要具備分類討論的意識。例如，判斷一個含參數(shù)的數(shù)列是否為等差數(shù)列，需對參數(shù)的不同取值進行討論。三、實戰(zhàn)練習與解析練習一已知等差數(shù)列`{a?}`中，`a?=7`，`a?=13`，求數(shù)列的首項`a?`、公差`d`及通項公式`a?`，并求其前`10`項和`S??`。思路解析：本題是“知二求三”的基礎(chǔ)題型。已知`a?`和`a?`，可利用通項公式列出關(guān)于`a?`和`d`的方程組。解答：由通項公式`a?=a?+(n-1)d`，得：`a?=a?+2d=7`...(1)`a?=a?+4d=13`...(2)(2)-(1)得：`2d=6`，解得`d=3`。將`d=3`代入(1)：`a?+2×3=7`，解得`a?=1`。故通項公式`a?=1+(n-1)×3=3n-2`。前`10`項和`S??`，可利用公式`S?=na?+n(n-1)d/2`：`S??=10×1+10×9×3/2=10+135=145`?；蛳惹骮a??=3×10-2=28`，再用`S??=10×(1+28)/2=145`。練習二等差數(shù)列`{a?}`的前`n`項和為`S?`，若`S?=30`，`S??=100`，求`S??`。思路解析：本題可利用等差數(shù)列的性質(zhì)：若數(shù)列`{a?}`是等差數(shù)列，則`S?`，`S??-S?`，`S??-S??`也成等差數(shù)列。此性質(zhì)可簡化計算。解答：因為`{a?}`是等差數(shù)列，所以`S?`，`S??-S?`，`S??-S??`成等差數(shù)列。已知`S?=30`，`S??=100`，則`S??-S?=70`。設(shè)`S??=x`，則`30`，`70`，`x-100`成等差數(shù)列。根據(jù)等差中項性質(zhì)：`2×70=30+(x-100)`解得`x=210`。故`S??=210`。練習三已知數(shù)列`{a?}`的前`n`項和`S?=n2+2n`，求證：數(shù)列`{a?}`是等差數(shù)列，并求其首項和公差。思路解析：要證明`{a?}`是等差數(shù)列，可先利用`a?`與`S?`的關(guān)系求出`a?`的表達式，再驗證其是否滿足等差數(shù)列的定義（即`a?-a???`為常數(shù)）。解答：當`n=1`時，`a?=S?=12+2×1=3`。當`n≥2`時，`a?=S?-S???=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]``=n2+2n-(n2-2n+1+2n-2)``=n2+2n-n2+1``=2n+1`。當`n=1`時，`a?=3`，代入`2n+1`得`2×1+1=3`，滿足上式。故`a?=2n+1`（`n∈N*`）。又`a???-a?=[2(n+1)+1]-(2n+1)=2`，為常數(shù)。所以數(shù)列`{a?}`是首項為`3`，公差為`2`的等差數(shù)列。練習四已知等差數(shù)列`{a?}`中，`a?=12`，`d=-2`，問`n`為何值時，前`n`項和`S?`取得最大值？并求出這個最大值。思路解析：此數(shù)列為遞減數(shù)列（`d=-2<0`），所以所有正項（或非負項）的和為最大。令`a?≥0`，求出`n`的最大整數(shù)解即可。解答：由`a?=12`，`d=-2`，通項公式`a?=12+(n-1)×(-2)=14-2n`。令`a?≥0`，即`14-2n≥0`，解得`n≤7`。所以當`n=7`時，`a?=0`；當`n>7`時，`a?<0`。因此，前`7`項和（或前`6`項和，因為第`7`項為`0`）最大。`S?=7×12+7×6×(-2)/2=84-42=42`。故當`n=6`或`n=7`時，`S?`取得最大值，最大值為`42`。練習五已知三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為`15`，首末兩項的積為`9`，求這三個數(shù)。思路解析：三個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)這三個數(shù)為`a-d`，`a`，`a+d`（`d`為公差）