三角形證明經(jīng)典題目與解析三角形證明是平面幾何的基石，它不僅要求我們對三角形的基本性質(zhì)、定理有深刻的理解，更考驗我們的邏輯推理能力和空間想象能力。許多看似復雜的幾何問題，往往通過巧妙的三角形證明就能迎刃而解。本文將選取幾道具有代表性的三角形證明經(jīng)典題目，并進行深入解析，希望能為讀者提供一些解題思路與技巧。一、利用中點構(gòu)造全等，證明線段關系題目1：在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上。求證：EB=EC。思路點撥：本題的核心條件是“AB=AC”（等腰三角形）和“點D是BC的中點”。等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是連接已知與未知的關鍵。AD作為底邊BC的中線，同時也是頂角的平分線和底邊上的高。要證明EB=EC，觀察到EB和EC分別在△EBD和△ECD中，若能證明這兩個三角形全等，則問題得證。證明過程：∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD是△ABC的中線。根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，AD也是BC邊上的垂直平分線。∵點E在AD上，∴EB=EC（線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等）。小結(jié)：本題直接利用了等腰三角形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)，避免了繁瑣的全等證明步驟，體現(xiàn)了對基本定理的靈活運用。在有中點和等腰條件并存時，“三線合一”是首選的思考方向。二、角平分線性質(zhì)與判定的綜合運用題目2：已知：如圖，在△ABC中，∠B的平分線與∠C的外角平分線相交于點D。求證：AD是∠BAC的外角平分線。思路點撥：題目涉及角平分線，自然聯(lián)想到角平分線的性質(zhì)定理（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）和判定定理（到角兩邊距離相等的點在角的平分線上）。要證明AD是外角平分線，可嘗試證明點D到該外角兩邊的距離相等。因此，過點D作幾條關鍵的垂線段是常用的輔助線作法。證明過程：過點D分別作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DG⊥AC的延長線于G?！連D平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）?！逤D平分∠ACG（∠C的外角），DF⊥BC，DG⊥AG，∴DF=DG（同理）。∴DE=DG?！逥E⊥AB，DG⊥AG，∴點D在∠BAC的外角∠BAG的平分線上（到角兩邊距離相等的點在角的平分線上）。即AD是∠BAC的外角平分線。小結(jié)：當題目中出現(xiàn)角平分線，尤其是需要證明某條線是角平分線時，通過構(gòu)造角平分線上的點到角兩邊的垂線段，利用其相等關系進行轉(zhuǎn)化，是一種非常有效的解題策略。這種方法將角的關系轉(zhuǎn)化為線段的關系，更易于把握。三、構(gòu)造全等三角形解決線段和差問題題目3：已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，交AC于點E，過點C作CD⊥BE，交BE的延長線于點D。求證：CD=?BE。思路點撥：本題要證明的是“CD=?BE”，即BE=2CD。這種線段的倍數(shù)關系，常通過“截長補短”或“加倍延長”等方式構(gòu)造全等三角形來解決。觀察圖形，BE是角平分線且CD⊥BD，延長CD與BA的延長線相交，可能會構(gòu)造出全等三角形，從而將CD與BE的一半聯(lián)系起來。證明過程：延長BA、CD交于點F?！逤D⊥BE，∴∠BDC=∠BDF=90°。∵BE平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD。在△BDF和△BDC中：∠ABD=∠CBD（已證）BD=BD（公共邊）∠BDF=∠BDC（已證）∴△BDF≌△BDC（ASA）?！郈D=FD，即CF=2CD?！摺螧AC=90°，CD⊥BE，∴∠BAC=∠BDC=90°?！螦EB=∠DEC（對頂角相等），∴∠ABE=∠DCE（等角的余角相等）。在△ABE和△ACF中：∠ABE=∠ACF（已證）AB=AC（已知）∠BAC=∠CAF=90°（已知及所作）∴△ABE≌△ACF（ASA）?！郆E=CF。∵CF=2CD，∴BE=2CD，即CD=?BE。小結(jié)：對于涉及角平分線且有垂直條件的題目，延長垂線與角的兩邊相交，構(gòu)造出“三線合一”的等腰三角形或全等三角形，是一種經(jīng)典的輔助線添加方法。本題通過延長CD，不僅構(gòu)造了全等的直角三角形，還將BE轉(zhuǎn)移到了CF的位置，從而成功證明了結(jié)論。這種“補形”的思想在幾何證明中應用廣泛。結(jié)語三角形證明題千變?nèi)f化，但萬變不離其宗。核心在于熟練掌握并靈活運用三角形的基本性質(zhì)、全等判定、等腰三角形、直角三角形以及角平分線、垂直平分線等相關定理。在解題過程中，要善于觀察圖形特點，分析已知條件與求證結(jié)論之間的聯(lián)系，通過合理添加輔助線（如遇中點連中線、遇角平分線作垂線、截長補短等），將復雜問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的基本模型。多做練習固然重要，但更關鍵的是在練習中