八年級(jí)數(shù)學(xué)二次根式專項(xiàng)練習(xí)集二次根式是初中數(shù)學(xué)代數(shù)部分的重要內(nèi)容，它既是對(duì)前面所學(xué)平方根、算術(shù)平方根等概念的深化，也是后續(xù)學(xué)習(xí)勾股定理、一元二次方程等知識(shí)的基礎(chǔ)。掌握二次根式的概念、性質(zhì)及運(yùn)算，對(duì)于提升代數(shù)運(yùn)算能力和解決綜合問題的能力至關(guān)重要。本練習(xí)集旨在幫助同學(xué)們系統(tǒng)梳理二次根式的核心知識(shí)點(diǎn)，并通過多樣化的練習(xí)鞏固所學(xué)，提升應(yīng)用能力。一、知識(shí)梳理與要點(diǎn)回顧在開始練習(xí)之前，我們先來回顧一下二次根式的核心知識(shí)，確保我們在堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行練習(xí)。1.二次根式的定義：形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。這里要特別注意被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)，這是二次根式有意義的前提。2.二次根式的性質(zhì)：*(√a)2=a(a≥0)：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身。*√(a2)=|a|={a(a≥0),-a(a<0)}：一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。這是一個(gè)非常重要且容易出錯(cuò)的性質(zhì)，需要結(jié)合絕對(duì)值的意義來理解和運(yùn)用。*√(ab)=√a·√b(a≥0,b≥0)：積的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的積。*√(a/b)=√a/√b(a≥0,b>0)：商的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的商。3.最簡二次根式：滿足以下兩個(gè)條件的二次根式是最簡二次根式：*被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；*被開方數(shù)中不含分母。4.同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式。同類二次根式是進(jìn)行加減運(yùn)算的基礎(chǔ)。5.二次根式的運(yùn)算：*加減法：先將二次根式化為最簡二次根式，再合并同類二次根式（類似于合并同類項(xiàng)）。*乘法：√a·√b=√(ab)(a≥0,b≥0)，運(yùn)算結(jié)果要化為最簡二次根式。*除法：√a/√b=√(a/b)(a≥0,b>0)，同樣，結(jié)果需化為最簡。也可先寫成分式形式，再進(jìn)行分母有理化。*混合運(yùn)算：遵循實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序和運(yùn)算律（如乘法分配律、平方差公式、完全平方公式等）。二、專項(xiàng)練習(xí)（一）二次根式的概念與有意義的條件1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？為什么？*√5*√(-3)*√(x2+1)*√(a-1)(a<1)*3√82.求下列二次根式中字母x的取值范圍：*√(x-2)*√(3-2x)*√(x2)*√(1/(x+1))（二）二次根式的性質(zhì)3.計(jì)算：*(√7)2*(-√5)2*√(32)*√((-4)2)*√(a2)(其中a=-3)4.化簡：*√(12)*√(4a3)(a≥0)*√(3/2)*√(x?+x2y2)(x≥0)（三）最簡二次根式與同類二次根式5.將下列二次根式化為最簡二次根式：*√(27)*√(18x2y)(x≥0,y≥0)*√(45/2)*√(a3b?)(a≥0,b≥0)6.下列各組二次根式中，哪些是同類二次根式？*√2與√8*√12與√27*√(1/3)與√(27)*√(ab)與√(ab3)(b>0)（四）二次根式的加減運(yùn)算7.計(jì)算：*√2+√8*√12-√3+√27*3√20-√45-√(1/5)*(√48+√20)+(√12-√5)（五）二次根式的乘除運(yùn)算8.計(jì)算：*√3×√6*√24÷√6*(2√5)×(3√10)*√(3/2)÷√(1/8)9.計(jì)算：*(√3+√2)(√3-√2)*(2√5-√3)2*(√6+√2)(√6-3√2)（六）二次根式的化簡求值10.先化簡，再求值：*(√a+√b)2-(√a-√b)2，其中a=3,b=2。*(x-√(xy))/√x，其中x=5,y=4。（七）綜合與應(yīng)用11.已知√(x-2)+√(2-x)=y+3，求x+y的值。12.若a,b為實(shí)數(shù)，且b=√(a2-1)+√(1-a2)/(a+1)+4，求a+b的值。13.已知三角形的兩邊長分別為√27和√12，第三邊長為√48，求這個(gè)三角形的周長。三、參考答案與提示（一）二次根式的概念與有意義的條件1.是二次根式的有：√5(5>0)，√(x2+1)(x2+1≥1>0)。不是二次根式的有：√(-3)(被開方數(shù)為負(fù))，√(a-1)(a<1時(shí)被開方數(shù)為負(fù))，3√8(根指數(shù)是3)。2.*x≥2*x≤3/2*x為全體實(shí)數(shù)*x>-1(提示：分母不為零且被開方數(shù)為正)（二）二次根式的性質(zhì)3.*7*5(提示：(-√5)2=(√5)2=5)*3*4*3(提示：√((-3)2)=|-3|=3)4.*2√3(提示：√12=√(4×3)=√4×√3=2√3)*2a√a(提示：√(4a3)=√(4a2·a)=√(4a2)·√a=2a√a)*(√6)/2(提示：√(3/2)=√(6/4)=√6/√4=√6/2)*x√(x2+y2)(提示：√(x?+x2y2)=√[x2(x2+y2)]=x√(x2+y2)，x≥0)（三）最簡二次根式與同類二次根式5.*3√3*3x√(2y)*(3√10)/2*ab2√(ab)6.*是(√8=2√2)*是(√12=2√3,√27=3√3)*是(√(1/3)=√3/3,√27=3√3)*是(√(ab3)=b√(ab))（四）二次根式的加減運(yùn)算7.*3√2(提示：√8=2√2，√2+2√2=3√2)*4√3(提示：√12=2√3,√27=3√3，2√3-√3+3√3=4√3)*(14√5)/5(提示：√20=2√5,√45=3√5,√(1/5)=√5/5，3×2√5-3√5-√5/5=6√5-3√5-0.2√5=2.8√5=14√5/5)*6√3+√5(提示：√48=4√3,√20=2√5,√12=2√3，4√3+2√5+2√3-√5=6√3+√5)（五）二次根式的乘除運(yùn)算8.*3√2(提示：√3×√6=√(3×6)=√18=3√2)*2(提示：√24÷√6=√(24÷6)=√4=2)*30√2(提示：2×3×√(5×10)=6√50=6×5√2=30√2)*2√3(提示：√(3/2)÷√(1/8)=√(3/2÷1/8)=√(3/2×8)=√12=2√3)9.*1(提示：利用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，(√3)2-(√2)2=3-2=1)*23-4√15(提示：利用完全平方公式(a-b)2=a2-2ab+b2，(2√5)2-2×2√5×√3+(√3)2=20-4√15+3=23-4√15)*-6-2√3(提示：利用多項(xiàng)式乘法法則展開，√6×√6-√6×3√2+√2×√6-√2×3√2=6-3√12+√12-3×2=6-3×2√3+2√3-6=(6-6)+(-6√3+2√3)=-4√3？哦，這里我算錯(cuò)了，√12是2√3，所以-3√12+√12=-2√12=-4√3。原式=6-4√3-6=-4√3。之前的答案不對(duì)，正確應(yīng)為-4√3。請(qǐng)注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性。）（六）二次根式的化簡求值10.*4√6(提示：先展開再化簡，(a+2√(ab)+b)-(a-2√(ab)+b)=4√(ab)，代入a=3,b=2得4√6)*√x-√y(提示：分子提取√x，√x(√x-√y)/√x=√x-√y，代入x=5,y=4得√5-2)（七）綜合與應(yīng)用11.-1(提示：要使√(x-2)和√(2-x)都有意義，必須x-2≥0且2-x≥0，所以x=2。代入得0+0=y+3，y=-3。x+y=2+(-3)=-1)12.5(提示：被開方數(shù)a2-1和1-a2都非負(fù)，所以a2-1=0，a=±1。又分母a+1≠0，所以a=1。代入得b=0+0/(2)+4=4。a+b=5)13.9√3(提示：√27=3√3,√12=2√3,√48=4√3。周長=3√3+2√3+4√3=9√3)四、總結(jié)與反思二次根式的學(xué)習(xí)，核心在于理解其定義的限制條件、掌握其基本性質(zhì)并能熟練運(yùn)用于化簡和計(jì)算。在練習(xí)過程中，要特別注意以下幾點(diǎn)：*被開方數(shù)的非負(fù)性：這是二次根式存在的前提，也是解決許多字母取值范圍問題的關(guān)鍵。*√(a2)=|a|：這個(gè)性質(zhì)容易出錯(cuò)，一定要先判斷a的符