高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)數(shù)列

一.選擇題（共4小題）

I.（2025?天津）%=-/+8!,則數(shù)列也“|｝的前12項(xiàng)和為（）

A.112B.48C.80D.64

2.（2025?北京）已知｛〃〃｝是公差不為0的等差數(shù)列，m=-2,若內(nèi)，內(nèi)，“6成等比數(shù)列，則〃io=

（）

A.-20B.-18C.16D.18

3.（2025?新高考H）記S〃為等差數(shù)列伍〃｝的前〃項(xiàng)和，若S3=6,55=-5,則S6=（）

A.-20B.-15C.-10D.-5

n

4.（2025?上海）設(shè)AG[0,1],數(shù)列an=10n-9,數(shù)列bn=2.設(shè)Cn=M“+（1-A）bn.若對(duì)任意AG[0,

lb長(zhǎng)為小、加、Cn的線段均能構(gòu)成三角形，則滿足條件的〃有（）

A.1個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.無(wú)窮

二.多選題（共1小題）

（多選）5.（2025?新高考II）記S”為等比數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和，g為｛“〃｝的公比，g>0.若S3=7,

a3,貝

11

AI=-=-

2B./59C.S5=8D.a〃+Sn=8

三.填空題（共3小題）

6.（2025?上海）已知等差數(shù)列伍〃｝的首項(xiàng)小=-3,公差d=2,則該數(shù)列的前6項(xiàng)和為.

7.（2025?新高考I）若一個(gè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為4,前8項(xiàng)和為68,則該等比數(shù)列的公比

為.

8.（2025?上海）已知｛"〃｝是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，｛如｝是首項(xiàng)為1、公比為q（q>0）的

等比數(shù)列.若數(shù)列｛”〃5“｝的前三項(xiàng)和為2,則夕=.

四.解答題（共3小題）

1

9.(2025?新高考I)設(shè)數(shù)列I。”｝滿足m=3,=—4-z.

nn+1n(n+l)

(1)證明：｛〃m｝為等差數(shù)列；

(2)設(shè)/(x)=a\x+aix2+-+amx!n,求/(-2).

10.(2025?北京)4=[1,2,3,4,5,6,7,8｝,M=｛(西，")\xiEAfyiEA]t從"中選出〃構(gòu)

成一列：（xi,y\），…，（人力，yn）.相鄰兩項(xiàng)（*，yi）>（x/+i,yi+\）滿足：［卜”X,!^或

U%+i一乂汁=4

1期+1一項(xiàng)I=4

，稱為左列.

1%+1-％1=3

（1）若左列的第一項(xiàng)為（3,3）,求第二項(xiàng).

（2）若T為公列，且滿足i為奇數(shù)時(shí)，*由1,2,7,8｝；i為偶數(shù)時(shí)，內(nèi)曰3,4,5,6］；判斷:

（3,2）與（4,4）能否同時(shí)在T中，并說(shuō)明理由：

（3）證明：M中所有元素都不構(gòu)成左列.

11.(2025?天津)｛〃〃｝是等差數(shù)列，｛加｝是等比數(shù)列，41=4=2,42=歷+1,。3=加.

(Z)求｛〃〃｝,｛加｝的通項(xiàng)公式；

(II)VnGN*,Z=｛0>1｝,Tn=｛piaib\+p2a2b2+-+pn-iOn-lbn-\+pnanbn\p\fp2,pn-\f〃“￡/｝.

(z)求證：YtWTn,均有，<4〃+協(xié)〃+1；

（萬(wàn)）求「所有元素之和.

參考答案與試題解析

一.選擇題（共4小題）

2

1.（2025?天津）Sn=-M+8/I,則數(shù)列｛|a〃|）的前12項(xiàng)和為（）

A.112B.48C.80D.64

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.

【專題】分類討論；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】由a〃與S”的關(guān)系求得-2〃+9,再去絕對(duì)值后求和即可.

【解答】解：因?yàn)?=-/+8〃，

所以當(dāng)〃=1時(shí)，ai=5i=-1+8=7,

當(dāng)時(shí)，an=Sn-S,,-\=（-〃?+8〃）-[-（/?-1）2+8（H-1）]=-2〃+9,

當(dāng)〃=1時(shí)，也滿足上式，所以an=-2/?+9,

所以當(dāng)〃W4時(shí),On>0,當(dāng)〃25時(shí)，an<0,

所以｛M｝的前12項(xiàng)和為|小|+|。2|+…+|?4|+|a5什…+1的2|=ai+ai+a3+a4-（。5+。6+…+。12）=2

（。1+。2+。3+。4）-（。|+。2+...+小2）=2S4-S12=2（76+32）-（-144+96）=80.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查由數(shù)列的前〃項(xiàng)和求通項(xiàng)，數(shù)列前〃項(xiàng)和的求解，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2025?北京）已知｛如｝是公差不為0的等差數(shù)列，a\=-2,若G,。4,。6成等比數(shù)列,則山0=

（）

A.-20B.-18C.16D.18

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比中項(xiàng)及其性質(zhì).

【專題】方程思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)求解.

【專題】計(jì)算題；函數(shù)思恁；歸納法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯思維：運(yùn)算求解.

【答案】B

Cn〈即+%

%〈冊(cè)+。，進(jìn)一步分別討論三個(gè)不等式即可確定〃的取值范圍，最后

篦<b

（Qn+cn

即可確定滿足條件的〃的個(gè)數(shù).

【解答】解：:長(zhǎng)為?！ǎ瑥?，Cn的線段均能構(gòu)成三角形，

d<an+bn

%<an+cnf

<b+。

{n

當(dāng)Cn〈a”+加時(shí),有An〃+（I-入）bn〈Chi+bn,即入（a“-<）Van,又入€[0,1],

??Un-bn〈Cln,即加=2">0恒成;

當(dāng)bn<an+Cn時(shí)，有bn<（I+A）（1-入）加，即Xbn<（1+入）4〃，

a10n-9A,1?口

?Tn=">--G（0,解得/怎{2,3,4,5,6},

n

bn21+Z2

當(dāng)（ln<bn+Cn時(shí)，有an<X（ln+（2■入）加，即（入-2）bn<（X-1）W

=———<-=1+T^-T€[2,+8）,即a〃V2加解得〃W{1,4,5,6,7,...}

n

Dn2A—1L—A

綜上，〃曰4,5,6},

???滿足條件的〃有3個(gè).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列與不等式的綜合問題，考查學(xué)生歸納推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于難

題.

二.多選題（共1小題）

（多選）5.（2025?新高考H）記S為等比數(shù)列{〃〃}的前〃項(xiàng)和，g為{“〃}的公比，q>0.若53=7,

43=1，則（）

11

A.夕一2B.us—gC.55=8D.〃”+5〃=8

【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法：等差數(shù)列與等比數(shù)列：運(yùn)算求解.

【答案】AD

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義和已知條件可求出心可判斷各選項(xiàng)正誤.

【解答】解：由己知，53=41+42+43=4+：+1=7,

即6『?心1=0,解得g=2（負(fù)根舍去），故A正確，

45=7=/，故B錯(cuò)誤，

S5=S3+q+/=7+之+J=半，故C錯(cuò)誤，

乙**

4〃=03/3

所以an+Sn==8,故。正確.

故選：AD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

三.填空題（共3小題）

6.（2025?上海）已知等差數(shù)列｛〃”｝的首項(xiàng)41=-3,公差d=2,則該數(shù)列的前6項(xiàng)和為，.

【考點(diǎn)】求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解.

【答案】12.

【分析】套用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式計(jì)算即可.

【解答】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列｛〃”｝的首項(xiàng)m=-3,公差d=2,

所以貸=6。1+空=12.

故答案為：12.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2025?新高考I）若一個(gè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為4,前8項(xiàng)和為68,則該等比數(shù)列的公比為

2

【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法：等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解.

【答案】2.

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，建立方程，即可求解.

【解答】解：根據(jù)題意可得41+。2+。3+。4=4,。5+。6+。7+〃8=68-4=64,

所以45+06+47+48=（41+。2+。3+。4）X^4=4Xt/4=64,

解得4=2（q=-2舍）.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

8.（2025?上海）已知｛如｝是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，｛加｝是首項(xiàng)為1、公比為q（q>0）的

等比數(shù)列.若數(shù)列｛所列〃｝的前三項(xiàng)和為2,則行.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；數(shù)列的求和.

【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解.

【答案】

【分析】由己知結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.

n

【解答】解：由題意可得，an=n,bn=q1?q>0,

若數(shù)列?加｝的前三項(xiàng)和為2,則1+2/3才=2,

解得令=2或4=?1（舍）.

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

四.解答題（共3小題）

9.（2025?新高考I）設(shè)數(shù)列【?！ǎ凉M足m=3,「，、.

nn+1n（n+l）

（1）證明：｛〃卬1｝為等差數(shù)列；

(2)設(shè)/(x)=aIx+a2,x2+-+antx,n,求/(-2).

【考點(diǎn)】錯(cuò)位相減法；等差數(shù)列的概念與判定.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法：等差數(shù)列與等比數(shù)列；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】⑴證明見解答；⑵/*'(-2)=5一得”-(-2)m,〃氏N*.

【分析】(1)將條件式兩邊同時(shí)乘以〃(〃+1)后移項(xiàng)即可證得；

(2)由(1)得"如=〃+2,對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后賦值可得/(-2)的形式，由錯(cuò)位相減法求和即可.

【解答】解：(1)證明：因?yàn)槊?弋+1^，

nn+1n(n+l)

所以(n+1)an+\=nan+\,即(n+1)an+\-nan=1,

因?yàn)椤╥=3,所以數(shù)列{〃〃“}是首項(xiàng)為3,公差為1的等差數(shù)列；

(2)由(1)知，〃4"=3+〃-I=〃+2,

因?yàn)?(X)=a\x+a2x2+-+aHix,n,

所以/'(%)=%+2a2%+…=3+4X+5X2+...+(m+\)x!u'2+(m+2).嚴(yán)1

2,,r2wrl

所以/”(-2)=3+4X(-2)+5X(-2)+...+(w+l)(-2)+(〃?+2)(-2),①

-(-2)=3X(-2)+4X(-2)2+5X(-2)3+...+(w+l)(-2)/,r，+(w+2)(-2)

,②

①-②得：3f(-2)=3+(-2)*+(-2)2+(-2)3+...+(-2)nrl-(加+2)(-2)

7

-2[l-(-2)m-]23m+7

=3+—(陽(yáng)+2)-?(-2嚴(yán),

1-(-2)33

所以((-2)二召一誓

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的概念，錯(cuò)位相減法求和，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題.

10.(2025?北京)A={1,2,3,4,5,6,7,8|,M={(K,")\xiEAfyiEA},從M中選出〃構(gòu)

儼+1-勺1=3

成一列：(xi,y\),…，(AW,yn).相鄰兩項(xiàng)(必yi),(x/+i,yi+\)滿足:

皿+1-％1=4

機(jī)士國(guó)稱為例

(I)若攵列的第一項(xiàng)為(3,3),求第二項(xiàng).

(2)若工為A列，且滿足i為奇數(shù)時(shí)，&W{1,2,7,8}；i為偶數(shù)時(shí)，.vfe{3,4,5,6)；判斷:

(3,2)與(4,4)能否同時(shí)在T中，并說(shuō)明理由:

（3）證明：M中所有元素都不構(gòu)成々列.

【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用.

【專題】整體思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；創(chuàng)新能力；新定義類.

【答案】（1）（6,7）或（7,6）；

（2）二者不能同時(shí)出現(xiàn)在i中，理由見解答.

（3）證明見解答.

【分析】（1）根據(jù)新定義即可得解；

（2）假設(shè)（3,2）與（4,4）能同時(shí)在T中，導(dǎo)出矛盾，從而得出（3,2）與（4,4）不能同時(shí)

在T中的結(jié)論；

（3）假設(shè)全體元素構(gòu)成一個(gè)人列，通過構(gòu)造導(dǎo)出矛盾，從而得到要證明的結(jié)論.

【解答】解：⑴根據(jù)題目定義可知，照土或［尸］7?鬻

（M+1=%±4（/+1=%±3

若第一項(xiàng)為（3,3）,顯然r=0或-1不符合題意（不在集合A中），

所以第二項(xiàng)是（6,7）或（7,6）；

（2）假設(shè)二者同時(shí)出現(xiàn)在［中，由于A列取反序后仍是左列，故可以不妨設(shè)（3,2）在（4,4）

之前.

顯然，在k列中，相鄰兩項(xiàng)的橫縱坐標(biāo)之和的奇偶性總是相反的，所以從（3,2）到（4,4）必

定要向下一項(xiàng)走奇數(shù)次.

但又根據(jù)題目條件，這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)均在丁中，所以從（3,2）到（4,4）必定要向下一項(xiàng)走

偶數(shù)次.

這導(dǎo)致矛盾，所以二者不能同時(shí)出現(xiàn)在T中.

（3）全體無(wú)索構(gòu)成一個(gè)％列，則〃=64,

設(shè)。={（x,y）|xe{l,2,7,8},ye{l,2,3,4,5,6,7,8}},

Tz={（4y）|.ve{3,4,5,6},ye［1,2,3,4,5,6,7,8}）.

則Ti和72都包含32個(gè)元素，且T\中元素的相鄰項(xiàng)必定在乃中.

如果存在至少兩對(duì)相鄰的項(xiàng)屬于小，那么屬于乃的項(xiàng)的數(shù)目一定多于屬于T\的項(xiàng)的數(shù)目,

所以至多存在一對(duì)相鄰的項(xiàng)屬于乃，

如果存在，則這對(duì)相鄰的項(xiàng)的序號(hào)必定形如2m和2機(jī)+1,

否則將導(dǎo)致屬于乃的項(xiàng)的個(gè)數(shù)比屬于。的項(xiàng)的個(gè)數(shù)多2,此時(shí)〃?=1,2,3,…，31,

從而這個(gè)序列的前2加項(xiàng)中，第奇數(shù)項(xiàng)屬于八，第偶數(shù)項(xiàng)屬于及，

這個(gè)序列的后64?2加項(xiàng)中，第奇數(shù)項(xiàng)屬于乃，第偶數(shù)項(xiàng)屬于

如果不存在相鄰的屬于72的項(xiàng)，那么也可以看作上述表示在陽(yáng)=0或fn=32的特殊情況.

這意味著必定存在〃匯{0,1,2,…，32},使得

（X2k-l，力%-1）671，Cx2kfyz/c）G7,2*l<k<m

（x2k-l，丫2〃-1）W72，（x2k，y2k）771+1工上工32

由于相鄰兩項(xiàng)的橫縱坐標(biāo)之和的奇偶性必定相反，故T\中橫縱坐標(biāo)之和為奇數(shù)的點(diǎn)和橫縱坐標(biāo)之

和為偶數(shù)的點(diǎn)的數(shù)量一定分別是〃，和32-機(jī)（不一定對(duì)應(yīng)）.

但容易驗(yàn)證，Ti和乃都包含16個(gè)橫縱坐標(biāo)之和為奇數(shù)的點(diǎn)和16個(gè)橫縱坐標(biāo)之和為偶數(shù)的點(diǎn)，

所以機(jī)=32-〃?=16,得〃?=16.

從而有'A'，y2k）'72'1"k*16

y2/c-l）e丫2火）EJ17<k<32

這就得到》={（以，/）|&=1,3,5……,29,31,34,36……，62,64）.

再設(shè)乃={（x,y）|xE（l,2,3,4,5,6,7,8},yE{1,2,7,8}},

74={（x,y）|.re|1,2,3,4,5,6,7,8},）W{3,4,5,6}}.

則同理有I"?"-1‘力比-】）€△，（X2k,y2k）€1</c<16

力比-1）€北，（x2k,y2k）E73，17<k<32

這意味著乃={（麻,yk）\k=\f3,5,…，29,31,34,36,…，62,64）.

從而得到乃=。，但顯然它們是不同的集合，矛盾.

所以全體元素不能構(gòu)成一個(gè)k列.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)新定義的理解，屬于難題.

11.(2025?天津)｛?〃｝是等差數(shù)列，｛加｝是等比數(shù)列，m=bi=2,及=歷+1,。3=笈.

(/)求｛4〃｝,｛兒｝的通項(xiàng)公式；

(II)VnGN*,/=｛0?1｝,Tn-｛p\a\b\+p2a2b2+"+pn-\an-\bn-\+pnanbn\p\,P2?…，〃〃-1,/??€/｝.

(/)求證:弋定Tn,均有7<4〃+1加+1；

(//)求。所有元素之和.

【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用；數(shù)列的求和.

【專題】分類討論；方程思想：等差數(shù)列與等比數(shù)列；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯思維；

運(yùn)算求解.

【答案】(I)的=3〃-1,b“=2A(ID(儲(chǔ)證明見解答；(“?)2”“8+(3〃?4)2〃+1].

【分析】(I)設(shè)數(shù)列僅〃)的公差為4,數(shù)列｛加｝公比為[(gHO),由題中條件列出關(guān)于d和q

(qWO)的方程求解，再結(jié)合等差和等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可得解；

(II)(/)由題意結(jié)合(I)求出a”+i加+1和piai加+0G。+…+p”-入仍i+p必力”的最大值,

再作差比較兩者大小即可證明；

(a)根據(jù)“，〃2,…，〃〃-1,〃〃中全為?：一個(gè)為o其余為?：2個(gè)為o其余為1：全為o等

情況將。中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后將所有系列所得的和加起來(lái)即可

得解.

【解答】解:(I)設(shè)等差數(shù)列｛如｝的公差為〃，等比數(shù)列｛加｝公比為q(q#0),

因?yàn)椤?=加=2,42=歷+1,〃3=〃3,

所以｛竄言節(jié)解得膛，

n-1n

所以=2+3(n-1)=3n-1,bn=2x2=2；

(ID(/)證明：由(1)知an+i%+i=(3n+2)2"i,

Pnanbn=(3九-1)2%=0或斯％也=(3九-1)2〃>0，

當(dāng)，10nbi-(3屋—1)2”>0討,

設(shè)Sn=pia\bl+p2O2b2+...+pn-\an\bn-l+pnanbn

=2X2+5X22+...+(3n-4)2nl+(3〃-1)2〃，①

23nn+1

則2Sn=2x2+5x2+...+(3n-4)2+(3n-l)2；②

①?②得：一Sn=4+3(22+23+...+2n)-(3n-l)2n+1

=4+3x-(3n-l)2n+1=-8-(3〃?4)2,,+l,

所以Sn=84-(3n-4)2"、所以Sn=8+(3n-4)2"】為不，中的最大元素,