2026年中考數(shù)學(xué)高頻考點突破一二次函數(shù)與四邊形實際問題

1.如圖，拋物線y=-x?+bx+c與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,點O為坐標原點，點E

在拋物線上，點F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF=2,EF=3,點D為直線AE上方拋物

（1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）求aADE面積的最大值和此時點D的坐標；

（3）將△AOC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。，點A對應(yīng)點為點G,問點G是否在該拋物線上？請說明

理由.

2.小莉的爸爸一面利用墻（墻的最大可用長度為11m）,其余三面用長為40m的塑料網(wǎng)圍成矩形雞

圈（其俯視圖如圖所示矩形ABCD）,設(shè)雞圈的一邊AB長為xm,面積ynR

D

------------------------IC

（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果要圍成雞圈的面積為192m2的花圃，AB的長是多少？

3.現(xiàn)有成135。角且足夠長的墻角和可建總長為15m圍墻的建筑用料來修建儲料場.

（1）如圖1,修建成四邊形ABCD的一個儲料場，使BC//AD,4c=90。.新建圍墻為BCD.

怎樣修建圍墻才能使儲料場的面積最大？最大面積是多少？

（2）愛動腦筋的小聰建議：把新建的圍墻建成如圖2所示的以A為圓心的圓弧BD,這樣修建的

儲料場面積會更大.聰明的你認為小聰?shù)慕ㄗh合埋嗎？請說明埋由.

4.數(shù)學(xué)綜合實踐課上，老師提出問題；如圖，有一張長為4dm,寬為3dm的長方形紙板，在紙

板四個角剪去四個相同的小正方形，然后把四邊折起來(實線為剪裁線，虛線為折疊線)，做成一個

無蓋的長方體盒子，問小正方形的邊長為多少時，盒子的體積最大？為了解決這個問題，小明同學(xué)

根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，進行了如下的探究：

(I)設(shè)小正方形的邊長為xdm,長方體體積為ydm3,根據(jù)長方體的體積公式，可以得到y(tǒng)

與X的函數(shù)關(guān)系式是,其中自變量x的取值范圍是

(2)列出y與x的幾組對應(yīng)值如下表:

s

11313795

x/dm???11???

848284884

3

y/dm?..1.32.22.73.02.82.51.509??.

—

(注：補全表格，保留1位小數(shù)點)

(3)如圖，請在平面直角坐標系中描出以補全后表格中各對對應(yīng)值為坐標的點，畫出該函數(shù)圖

象；

(4)結(jié)合函數(shù)圖象回答：當小正方形的邊長約為dm時，無蓋長方體盒子的體積最

大，最大值約為.

5.如圖，拋物線y=-劣x?+bx+c與x軸交于A(-1,0)、B兩點，與y軸交于點C(0,2),拋物

線的對稱軸交x軸于點D.

（1）求拋物線的解析式；

（2）求sinNABC的值；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接

寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；

（4）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點E當點E運動到什

么位置時線段EF最長？求出此時E點的坐標.

6.如圖，有長為24米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為10米）圍成中間隔有一道籬笆的

長方形花圃.設(shè)花圃AB邊為x米，面積為y平方米.

k-----10m-----J

AD

-----------------

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

（2）如果要圍成面積為457n2的花圃，求AB的長度.

（3）如果要使圍成的花網(wǎng)面積最大，求最大面積是多少m2.

7.在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用28m長的籬笆

圍成,個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB,BC兩邊），設(shè)AB=xm.

：B

\〃

/?

/

/

/

/

?

J//，/////////，///J77，//

DA

（1）若花園的面積為192m-求x的值；

（2）若在P處有一棵樹與墻CD,AD的距離分別是15m和6m,要將這棵樹圍在花園內(nèi)（含邊

界，不考慮樹的粗細），求花園面積S的最大值.

11.為推進“世界著名花城”建設(shè)，深圳多個公園近期舉辦花屣活動.某公園想用一段長為80米的籬

笆，圍成一個一邊靠闈墻的矩形花圃48CQ,墻長36米.

（I）當A8長為多少米時所用成的花網(wǎng)面積最大？最大值是多少？

（2）當花圃的面積為350平方米時，A8長為多少米？

12.數(shù)學(xué)課外活動小組進行如下操作實驗，把--根長20m的鐵絲剪成兩段.

（1）把每段首尾相連各圍成一個正方形.要使這兩個正方形的面積之和等于137n2,應(yīng)該怎么剪

這根鐵絲？

（2）若把剪成兩段的鐵絲圍成兩個圓，兩圓面積之和的最小值是多少？

13.在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用307n長的籬笆

圍成?個矩形花園ABC。（籬笆只圍48、8c兩邊），設(shè)46=x米.

（1）求花園的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）在P處有一棵樹與墻CD、力。的距離分別是16m和6次，要將這棵樹圍在花園內(nèi)；（含邊界，

不考慮樹的粗細）

①若花園的面積為216m2,求x的值；

②求花園面積S的最大值.

14.如圖1是一塊長為60cm的正方體薄鐵片制作的一個長方體盒子，如果要做一個沒有蓋的長方體

盒子，可先在薄鐵片的四個角上截去四個相同的小正方形（如圖2）,然后把四邊折合起來.

（1）求做成的盒子底面積y（cm2）與截去小正方形邊長x（cm2）之間的函數(shù)關(guān)系式;

（2）當做成的盒子的底面積為900cm2時，試求該盒子的容積.

is.某農(nóng)場造一個矩形飼養(yǎng)場ABCD,如圖所示，為節(jié)省材料，一邊靠墻（墻足夠長）,用總長為77m

的木欄圍成一塊面積相等的矩形區(qū)域：矩形AEGH,矩形HGFD,矩形EBCF,并在①②③處各留

1m裝門（不用木欄），設(shè)BE長為x（m）,矩形ABCD的面積為y（m?）

（I）.「S掉形AEGH=S矩形HGFD=S掉彩EBCF,S肉形AEFD=2S妒彩EBCF，AE：EB=

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式和自變量x的取值范圍.

（3）當x為何值時，矩形ABCD的面積有最大值？最大值為多少？

答案解析部分

1.【答案】（1）解：

???四邊形OCEF為矩形，OF=2,EF=3,

，點C的坐標為（0,3）,點E的坐標為（2,3）,

把x=0,y=3；x=2,y=3,分別代入二次函數(shù)表達式得：

L「，解得：佇=：，

???拋物線對應(yīng)函數(shù)的表達式為：y=-x2+2x+3

???點D在直線AE上方的拋物線上，???D(x,-x2+2x+3),

令y=0,得：-x2+2x+3=0,

解得：x=-1或3,

???A(-1,0)、B(3,0),

AOA=1,OB=3,

/.SAADE=(SAADF+SADEF)-SAAEF

=1(1+2)(-x2+2x+3)+|x3x(2-x)-1x3x3,

在y=?X?+2x+3中，當x=4時，y=￥

?MADE面積的最大值是言，此時點D的坐標為(卜竽)

(3)解：△AOC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。，OC落在CE所在的直線上，

由(2)知OA=1,

，點A的對應(yīng)點G的坐標為(3,2),

當x=3時，y=-32+2x3+3=04,

???點G不在該拋物線上.

【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；坐標與圖形變化■旋轉(zhuǎn)；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次

函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題

【解析】【分析】(1)利用矩形的性質(zhì)及矩形的邊長，就可求出點C、E的坐標，再將點C、E的坐

標分別代入拋物線的解析式，求出b、c的值，就可解答此題。

(2)連接DF、DE、DA,點D在直線AE上方的拋物線上，因此設(shè)D(x,-x2+2x+3),由y=0,

解關(guān)于X的方程，求出X的值，就可得到點A、B的坐標，因此SAADE=(SAADF+SADEF)-SAAEF,

利用三角形的面積公式，就可求出S.ADE關(guān)于X的函數(shù)解析式，再將此函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點式，

利用二次函數(shù)的性質(zhì)，就可求出^ADE的最大面積及點D的坐標。

(3)△AOC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。，OC落在CE所在的宜線上，由A的坐標，就可取出對應(yīng)點G

的坐標，再求出當x=3時的函數(shù)值，將函數(shù)值與點G的縱坐標比較大小，就可作出判斷。

2.【答案】(1)解：由題意得：矩形ABCD的面積=x(40-2x),即矩形ABCD的面積y=-2x2+40x

(2)解：當矩形ABCD的面積為192時,-2x2+40x=192.

解此方程得xi=8,X2=12>11(不合題意,舍去).

???當AB的長為8m時，花圃的面積為192m2.

【知識點】?元二次方程的實際應(yīng)用-幾何問題：二次函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題

【解析】【分析】(1)用含x的代數(shù)式表示出BC的長，再利用矩形的面積公式，可得出y與x的函

數(shù)關(guān)系式。

(2)由y=192,建立關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，再根據(jù)BCS11,確定出AB的長。

3.【答案】(1)解：過點A作AH1BC于點H.

*：LBAD=135°,BC//AD,Z.C=90°,

：.LABC=45°,CD1AD.

設(shè)CO=K,則AH=BH=CD=x,

：.AD=HC=15-2x,

設(shè)儲料場的面積為S,則S=x(15-2x)4-i%2,

AS=-|(X-5)2+^.

???當％=5時，儲料場的面積最大，最大面積為37.5m2.比時40=15-2x5=5.

故當AD=DC=5米，BC=10米時，所建儲料場的面積最大，最大面積為37.5m2.

(2)解：小聰建議合理.理由如卜：

由題意得-鷲*=15,

loU

?

??A5D=—20

n

y120150

?S=刁X15x——=——

27T7T

???蜉右47.7>37.5,

???小聰?shù)慕ㄗh是合理的.

【知識點】弧長的計算；扇形面積的計算；二次函數(shù)的實際應(yīng)川-幾何問題

【解析】【分析】（1）過點A作AH_LBC于點H,設(shè)CD=x，由NBAD=135。,BC/7AD,ZC=90°,可

得NABC=45°,

CD1AD.則AH=BH=CD=x,可得AD=HC=15-2x，設(shè)儲料場的面積為S,可得S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系

式，配方，當x=5時，儲料場的面積最大，求出這個最大面積即可；

⑵由扇形弧長公式求出AD的長，求出這個扇形面積，再和37.5nB比較即可.

4.【答案】（1）y=443—14X2+124；0<x<

(2)3.0；2.0

（3）解：補全表格如下表,

1353795

x/dm???1???

8884884

3

y/dm???1.32.22.73.03.()2.82.52.01.50.9???

根據(jù)補全的表格畫出函數(shù)圖象，如下圖

（4）0.55；3.03

【知識點】二次函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題

【解析】【解答】解:（1）由己知得，y=x（4-2x）（3-2x）=4x3-14x2+12x

根據(jù)題意得4-2x>0解得：0<x<5

故答案為：y=4%3-14x2+12%,0<x<?

（2）當x=：時，戶/x（4-2x1）（3-2x；）=3.0

當x=l時，y=lx（4-2xl）（3-2xl）=2.0

（4）根據(jù)圖象，當x=0.55dm時，盒子的體積最大，最大值約為3.03dm3

【分析】（1）根據(jù)題意，列出y與X的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)盒子長、寬、高值為正數(shù)，求出自變量的

取值范圍；

（2）把x=/,x=1分別代入（1）中所求的函數(shù)式，從而求出y的值；

（3）根據(jù)（2）求得的y的值補全表格，根據(jù)上表描點畫出圖象；

（4）利用（3）畫出的圖象求出盒子最大體積.

5.【答案】（1）解：???拋物線y=-1x2+bx+c過點A（-1,0）,C（0,2）,

3

b

(-之一b+c=0--

2?

2

Ic=2C-

13

-X-

???解析式為y=-22+2

（2）解：當y=0時，?*x2+9x+2=0解得x=-1（舍），x=4,

點B的坐標為（4,0）,C（0,2）,

BC=yJoB2+OC2=2V5.

AsinZABC=sinZOBC=箓=第

（3）解:存在.

??,對稱軸是x=1,

，點D的坐標為（,，0），

'CD=y/0D2+0C2=f-

PD=CD=烹，得P（，,”或（9-1）,

PC=CD=1,即P點與D點關(guān)于底邊的高對稱，得

D點的縱坐標為4,即P（烹，4）,

綜上所述：點P的坐標為（孔”或（力-1）,（1,4）

（4）解：設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n

???B、C兩點坐標分別為（4,0）、（0,2）,

4m^=°解得m=-i

,n=22.

???直線BC的解析式為y=-1x+2.

設(shè)E點坐標為（x,-ix+2）,則F點坐標為（x,--1x2+|x+2）,

2

EF=-1x+5x+2-(-/x+2)

=-1x2+2x

=-1(x-2)2+2,

當x=2時,EF最長,

.??當點E坐標為(2,1)時，線段EF最長

【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；銳角三角函數(shù)的定義；二次函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題

【解析】【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；(2)根據(jù)勾股定理，可得BC的長，根據(jù)

正弦函數(shù)的定義，可得答案；(3)根據(jù)等腰三角形的定義，可得P點坐標；(4)根據(jù)平行于y軸的

直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得

答案.

6.【答案】(1)解：由題可知，花圃的邊4B為乃米，貝ljBC為(24-3%)米

這對面積y=x(24-3x)=-3x2+24%.

V(x>0

人l0<24-3x<10

解得：<x<8.

(2)解：把y=45代入函數(shù)解析式得：

-3x2+24%=45,即x2-8x+15=0

解得Xi=5,%2=3

???等4%<8;x=3不合題意，舍去

即花圃的寬為5米.

(3)解：y=-3x2+24x=-3(x2-8x)

=-3(x2-8%+16-16)=-3(x-4)2+48%-a=-3,圖象的開口向下，且竽WxV8,

???當x=竽時，y有最大值48-3(竽-4)2=461

此時24-3X竽=10,

所以當花圃的長為10米，寬為米，這時有最大面積461平方米.

【知識點】二次函數(shù)的實際應(yīng)用?幾何問題

【解析】【分析】(1)由題可知，花圃的邊48為％米，則BC為(24-3%)米，利用矩形的面積

即可得到y(tǒng)=x(24-3x)=-3x2+24x；

(2)將y=45代入函數(shù)解析式求解即可；

(3)利用配方法將函數(shù)化簡為y=-3x2+24%=-3(x2-8x)=-3(x2-8x4-16—16)=

-3(X-4)2+48,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可。

7.【答案】(1)VAB=xm,則BC=(28-x)m,7x(28-x)=192,

解得：xi=12,X2=16,答:x的值為12m或16m

(2)VAB=xm,.\BC=28-x,AS=x(28-x)=-x2+28x=-(x-14)2+196,

???在P處有一棵樹與墻CD,AD的距離分別是16m和6m,

V28-x>15,x>6/.6<x<13，

???當x=13時.，S取到最大值為：S=-(1374)2+196=195,

答：花園面積S的最大值為195平方米.

【知識點】一元二次方程的實際應(yīng)用-幾何問題；二次函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題

【解析】【分析】(1)AB=xm,貝IJBC=(28-x)m,根據(jù)矩形的面積等于長乘以寬列出方程，求

解即可；

(2)根據(jù)矩形的面積等于長乘以寬可得S與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)28-XN15、x次可得x的范圍，

然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行解答.

8.【答案】⑴解：y=2x^(8-x)(6-x)=x2-14x+48

(2)解：由題意,得x-14x+48=6x8-13,

解得：x=l,x：=13(舍去).

所以x二l

(3)解：y=x2-14x+48=(x-7)2-l

因為a=l>O,所以函數(shù)圖象開口同上，當x<7時，y隨x的增大而減小

所以當x=0.5時，y最大.最大值為41.25

答：改造后油菜花地所占面積的最大值為41.25m3

【知識點】二次函數(shù)y=a(x-h)，2+k的性質(zhì)；二次函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題

【解析】【分析】(1)觀察圖形結(jié)合已知，可得出y二兩個三角形的面積之和，列出函數(shù)解析式即可。

(2)由y=13,建立關(guān)于x的一元二次方程，求解可得出符合題意的x的值。

(3)將(1)中的函數(shù)解析式化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及0.5SXS1,求出改造后剩余油菜

花地所占面積的最大值。

9.【答案】(I)解：下部分矩形的長=弛#=5-7%.

由0<5-7%,得0c

二y=(5—7%4-2%)-2%=-10x2+10x(0<%<^)(2)解：y=-10%2+10x

1q

=TOO-2)2+2?

%=*在0vx<,范圍內(nèi).

???當時y取到最大值，

最大值為|zzi2.

答：x=\m時，透光面積最大，最大透光面積是fm2

【知識點】二次函數(shù)的最值；二次函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題

【解析】【分析】(1)根據(jù)邊框材料的總長度為10先用x表示出下部分矩形的長，然后根據(jù)矩形面積

列式即可求出y關(guān)于x的函數(shù)表達式，注意x的取值范圍；

(2)把二次函數(shù)式配方，結(jié)合x的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

10.【答案】⑴解：設(shè)AD為X,則AB為464尹=24一聶,

依題意得(24-1x)xx=280,

解得x=20,x=28>a,故舍去,

AAD的長為20m；

(2)解：設(shè)矩形菜園ABCD面積S=ADxAB=-1x2+24x=1(x-24)2+288

當它24時，則當x=24時,S最大值為288平方米;

當0VaV24時，則當0Vxq歸，S隨x的增大而增大，

所以，當x=a時，S最大值為-￡Q2+24Q.

【知識點】二次函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題

【解析】【分析】(1)設(shè)AD為K,則AB為竺"二=24-/%，根據(jù)面積公式列出一元二次方程即

可求解；(2)設(shè)S=ADxAB,根據(jù)二次函數(shù)及自變量的取值范圍即可求解.

11?【答案】(1)解：設(shè)長BC為x米，則寬AB為1(80-%)米，花圃的面積是y平方米，

111

y=2(80-%)?%=-+40x=-](x—40)2+800,

當工=40時，y有最大值，

,?,墻長36米,

2

Ax<36,則取x=36,ymax=-i(36-40)+800=792,

止匕時AB=1(80-36)=22m,

答：當AB長為22米時所圍成H勺花圃面積最大，最大值是792平方米

(2)解：令y=350,則一J(x-40)2+800=350,

解得=10,%2=70(舍去)，

=1(80-10)=35m，

答：花圃面積為350平方米時，AB長為35米

【知識點】二次函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題

【解析】【分析】(1)利用矩形的面積公式求出函數(shù)解析式，再將x=36代入計算求解即可;

(2)根據(jù)題意先求出一；(%—40)2+800=350,再解方程計算求解即可。

12?【答案】(1)解：設(shè)剪成的兩段鐵絲一段長為另一段為(20-x)m,由題意，得

(J+(牛與2=13解得：%1=8,%2=12，

當N=8時，20-工=12

當工=12時，20-%=8

答：應(yīng)該把鐵絲剪成8m和12E的兩段.

(2)解：設(shè)剪成的兩段鐵絲一段長為xm,另一段為(20—x)m,

則兩圓的半徑分別為：廠1=/，&=紿

兩圓的面積分別是：

_加聲)2—已_(20-X)2

S1或2和47rs2--而一

2

兩圓的面積之和：S[+s,=比7+(2°一”)

化簡整理,得：Si+S2=1[/+(20—%)2]

=^(x2-20%+200)=/[。-10)2+100]當x=10時，兩圓面積之和達到最小值，最小值是票

(單位：771)

【知識點】勾股定理：二次函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題

【解析】【分析】(1)設(shè)剪成的兩段鐵絲一段長為xm,另一段為(20-乃加，根據(jù)題意列出方程

(分2+(線3)2=13求出X的值即可；

(2)設(shè)剪成的兩段鐵絲一段長為xm,另一段為(20-x)m,則兩圓的半徑分別為：n=^,r2=

警，再利用圓的面積公式求出S]=71(給2=翥$2=&片/，再相加可得SI+S2=2【7+

(20-%)2]=^-[(%-10)2+100]?最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可。

13.【答案】(1)解：設(shè)48=%米，則8c=(30—%)米，

?'S=ABBC=%(30-%)=-x2+30x(0<x<30)；

(2)解：①???要將這棵樹圍在花園內(nèi)，且含邊界，不考慮樹的粗細，

?*.AB>6m,BC>16m,

.Jx>6

,*l30-x>16'

解得；6<x<14.

;花園的面積為216m2,

/.-x2+30%=216,

解得：x1=12,x2=18（舍），

???x的值為⑵

②?.?S=-x2+30x=-（x-15/+225,

XV-1<0,6<x<14,

???當x=14時，S最大，最大值為一（14一157+225=224平方米，

，花園面積S的最大值為224平方米.

【知識點】二次函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題

【解析】【分析】（1）設(shè)人8=乂米，則BC=（30-x）米，根據(jù)矩形