北師大版八年級數(shù)學上冊《第一章勾股定理》單元檢測卷含答案

學校:班級：姓名：考號：

一、選擇題供8題；共24分）

1.（3分）將下列長度的三根木棒首尾順次連接，能組成直角三角形的是（）

A.2、3、4B,4、5、6C.5、II、12D.8、15、17

2.（3分）已知AABC中，a、b、c分別是NA、ZB.乙C的定邊，下列條件不能判斷▲ABC是直角三

角形的是（）

A.ZA-ZB=ZCB.NA：NB：NC=3：4：5

C.(b+c)(b-c)=a2D.a=7,b=24,c=25

3.（3分）如圖所示，將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm,高8cm的圓柱形水林中，設(shè)筷子

露在杯子外面的長度〃cm,則h的取值范圍是（）

B.h>8cm

C.15cm<//<16cmD.7cm</z<16cm

4.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，A（-1,0）,8（0,3）,連接A8,以點A為圓心＜8為半徑作

弧，交x軸于點C,則點。的橫坐標為（）

A.3B.x/To-ic.VioD.Vio+i

5.（3分）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,分別以點A和點8為圓心，相同的長（大于;A8）為半

徑作弧，兩弧相交于點M和點M作直線MN交A8于點。，交BC于點E.若AC=3,,48=5,則

CE等于（）

A

6.（3分）臨汾是帝堯之都，有著堯都之稱.堯都華表柱身祥云騰龍，頂蹲沖天吼，底座浮雕長城和

黃河壺口瀑布，是中華民族歷史悠久、文化燦爛的標志.如圖，在底面周長約為6米且?guī)в袑訉油h(huán)

不斷的云朵石柱上，有一條雕龍從柱底沿立柱表面均勻地盤澆2圈到達柱頂正上方（從點A到點C,

B為AC的中點），每根華表刻有雕龍的部分的柱身高約16米，則雕刻在石柱上的巨龍至少為（）

C.30米D.15米

7.（3分）如圖，在LABC中，AB=AC=5,BC=S,點。在AB邊上，連結(jié)CD,點E是CD的中

點、,連結(jié)AE.若則AE的長是（）

A

8.（3分）在邊長為1的正方形網(wǎng)格中標有A、B、C、D、E、F六個格點，根據(jù)圖中標示的各點位置,

與乙ABC全等的是（）

A.△ACFB.△ACEC.△ABDD.△CEF

二、填空題供5題；共15分）

9.（3分）在RQABC中，ZC=90°,AB=4,BC=3,貝ljAC的長為.

10.（3分）如圖，一架5m的梯子,斜靠在一豎直的墻上，這時梯足距墻角3m,若梯子的頂端下滑2m,

11.（3分）2002年在北京石開的國際數(shù)學家大會，會標是以我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計

的.如圖，弦圖是由四個能夠重合的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.若A8=10,

力尸=8,則小正方形EFG”的面積為.

12.（3分）如圖，在等腰三角形A8C中，AB=AC=\3,BC=\0,AB的垂直平分線上廠交4c于

點F,若點D為8C邊上的中點，M為所上的動點，則BM+O”的最小值為.

13.(3分)如圖，OP=1,過P作PPJ_OP,得OPi=6；再過P作PIP2_LOPI且PiP2=l,得。P2

=J5；又過P2作P2P3_LOP2且P2P3=1,得OP3=2;…依此法繼續(xù)作下去，得。。2012=

三、解答題（共7題；共61分）

14.（8分）如圖，在下列帶有坐標系的網(wǎng)格中，4ABe的頂點都在邊長為I的小正方形的頂點上,

川■3.3),-4,-3),C(0.?1).

（1）（5分）現(xiàn)需要在A,B,C三座城市所圖成的三角形區(qū)域內(nèi)建造一個加油站『.使得這個加

油站尸到三座城市A,B,C的距離相等，則加油站P點一定是三條的交點；（請在

以下選項中選出正確答案并將對應選項序號填寫在橫線上：①中線②高線③角平分線④垂直平分

線）

（2）（5分）判斷_ABC形狀，并說明理由.

18.（10分）（1）（5分）在中，ZC=90°,AC=2,BC=3,求A8的長.

（2）（5分）在△ABC中，AC=幣,BC=4i，A8=3,判斷△A8C的形狀，并說明理由.

19.（11分）在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水點A,B,其中AB=AC,由

于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、

H、B在一條直線上），并新修一條路CH,測得C8=3千米，CH=2.4千米，〃5=1.8千米.

（1）（6分）問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？（即問：C”與45是否垂直？）請通過計

算加以說明；

（2）（5分）求原來的路線4C的長.

20.（12分）綜合與實踐

【問題】在圓柱表面，螞蟻怎么爬行路徑最短？（計算過程中的九取3）

素材1如圖1,圓柱形紙盒的高AC為12厘米，底面直徑8C為6厘米，在圓柱下底圓周上的

A點有一只螞蟻，它想吃到上底面圓周上與A點對應的B點處的食物.

（1）若螞蟻沿圖1中的折線A-C-B爬行的最短路徑記為“路線-”，此時最短路程是12+6=18

厘米.將圓柱沿著AC將側(cè)面展開得到圖2,請在圖2中畫出螞蟻爬行的最短路徑（此路徑記為“路線

二”），此時最短路程是______厘米；比較可知：螞蟻爬行的最短路徑是路線（用“一”或“二”

填空）

圖1圖2圖3

素材2如圖3所示的實踐活動器材包括：底面直徑為6厘米，高為10厘米的木質(zhì)圓柱、橡皮筋、

細線(借助細線來反映爬行的路線)、直尺，通過調(diào)節(jié)橡皮筋的位置達到改變圓柱的高度的目的，(1)

中兩種路線路程的長度如卜.表所示(單位：厘米):

圓柱高度沿路線一路程X沿路線二路程y比較x與y的大小

51110.3x>y

41()9.85x>y

3a9.49b

(2)填空：表格中a的值是；表格中b表示的天小關(guān)系是；

(3)經(jīng)歷上述探究后，請你思考：若圓柱的半徑為r,圓柱的高為h.在「不變的情況下，當圓柱半

徑為r與圓柱的高度h存在怎樣的數(shù)量關(guān)系時，螞蟻在圓柱表面的兩種爬行路線的路程相等？

參考答案

1.【答案】D

【解析】【解答】解:A、???22+32=13井2=25,.,?以2、3、5為邊長的三個木棍不能圍成直角三角形,

故此選項不符合題意；

B、???42+51忤62=36,???以4、5、6為邊長的三個木棍不能圍成直角三角形,故此選項不符合題意；

C、??,52+11』146rl22=144,???以5、11、12為邊長的三個木棍不能圍成直角三角形，故此選項不符合

題意；

D、???82+152=289=172,???以8、15、17為邊長的三個木棍能圍成直角三角形，故此選項符合題意.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，如果一個三角形的三邊滿足較小兩邊的平方和等于最大邊長的平方,

那么這個三角形就是直角三角形，據(jù)此一一判斷得出答案.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：A、VZA-ZB=ZC,且NA+NB+NC=18()。，.\ZA=90°,故△ABC為直

角三角形；

B、VZA：ZB：ZC=3：4：3,AZC=一:——x180°=75°,故△ABC是銳角二角形，不是直

3+4+5

角三角形；

C、??,(b+c)(b-c)=a2,Ab2-c2=a2,即b2=c?+a2,故△ABC為直角三角形;

D、?..72+242=252,???△ABC為直角三角形；

故答案為：B.

【分析】A、根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180呵得NA+NB+NC=180。，結(jié)合已知條件NA-NB=NC可

求得NA=90。，于是可得△ABC是直角三角形；

B、根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。可得NA+NB+NO180。，結(jié)合已知可得最大角NO75。，于是可得

△ABC是銳角三角形；

C、將已知的等式去括號可得b三a2+c2,根據(jù)勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形；

D、根據(jù)已知的線段長度計算可得c2=a?+b2,根據(jù)勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：如圖1所示，當筷子的底端在。點時，筷子露在杯子外面的長度最長，

圖1

h及大=24-8=16cm,

如圖2所示，當筷子的底端在4點時，筷子露在杯子外面的長度最短,

圖2

在Rle/W。中，A￡>=15CIII,BD=8cni,

AB=\IAD2+BD2=17cm，

,此時砥小=24-17=7cm,

h的取值范圍是7cm<h<16cm.

故選：D.

【分析】當筷干的底端在4點時，筷子露在杯子外面的長度最短：當筷子的底端在。點時，筷子露在

杯子外面的長度最長.然后分另J利用已知條件根據(jù)勾股定理即可求出/?的取值范圍.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：???A(—1,0),5(0,3),

/.OA=\f08=3,

?*-AB=ylo#+OB?=V10，

，AC=AB=4id.

???oc=AC-(?A=Vio-n

???點。的橫坐標為

故答案為：B.

【分析】先由A、B的坐標得到04=1,OB=3,進而利用勾股定理求出A4的長，則可得到AC的

長，再求出OC的長即可得到答案.

5.【答案】A

【解析】【解答】解:如圖,

連接AE,則由尺規(guī)作圖得：AE=EB，

在心AAC8中，AC=3,AB=5,

由勾股定理得：BC=yjAB2-AC2=\/52-32=4-

設(shè)CE=x,則￡B=AE=4—x,

在RZA4CE中，由勾股定理得：AC2-^-CE2=AE2

7

即：3?+/=。-4)2解得：x=-

8

：.CE=-

故答案為：A.

【分析】連接AE,根據(jù)尺規(guī)作圖得MN為AB的垂直平分線，則再根據(jù)勾股定理求出

BC,再進一步用勾股定理列方程即可求得CE的長.

6.【答案】A

【辭析】【解答】解：根據(jù)題意知柱體的展開性質(zhì)，可得如下圖：

其中點E、F分別是AD和BC的中點，展開圖四邊形ABCD是矩形，AB=6米;

丁點E是AB的中點，

.\AE=-AD=-xl6=8米，

22

???四邊形ABCD是矩形，

ZA=90°,

???在中，BE二癡7記=病行=10米，

???點E、F是AD、BC的中點，

???DF;BE=10米，

...雕刻在石柱上的巨龍的最短距離=DF+BE=10+10=20米.

故選：A.

【分析】根據(jù)柱體的性質(zhì)將其側(cè)面展開，可得矩形ABCD；根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得AE的長度;

根據(jù)勾股定理，可得BE的長度：根據(jù)兩點之間線段最短即可直接計算.

7.【答案】B

【蚱析】【解答】解：如圖，過點A作AF_LBC于點F,

BC

則BF=FC=4,

??AF=JAB~—BF~=3，

/.S.=—BCxAF=—x8x3=12,

MAtOcC22

S?A/KDlJFr.=—2ADxAEx2=--5--S，

???AE=-xl2=—,

55

故答案為：B.

【分析】過點A作AF_LBC于點F,則可以求出AF=3,即可得到△ABC的面積，然后根據(jù)

1Ar)

求出長即可.

S■WF=-ADXAEX2=—54riilvAE

8.【答案】C

【解?析】【解答】解：在△ABC中，AB=732+12=Vi0,BC=J5,AC=2a.

A、在^ACF中，AF=722+12=75^710,小手6，后H2及，則△ACF與△ABC不全等，故本

選項錯誤；

B、在4ACE中，AE=3Hj記，3豐6,3#2及，則△ACE與△ABC不全等，故本選項甯誤；

C、在AABD中，AB=AB,AD=&=BC,BD二AC=2及，則由SSS推知△ACF與△ABC全等，故

本選項正確；

D、在ACEF中，CF=3,Ji6,3,日3,2則△CEF與△ABC不全等，故本選項錯誤；

【分析】根據(jù)全等三角形的對應邊相等得到相關(guān)線段間的等量關(guān)系.然后利用勾股定理進行驗證.

9.【答案】"

【解析】【解答】在RLA8C中，ZC=90°,AB=4,BC=3,

：.AC=y/AB2-BC2=V7.

故答案為J7.

【分析】利用勾股定理求出AC的長即可。

10.【答案】(夜1一3)

【解析】【解答】解:如圖，

根據(jù)題意得AB=49=5,BC=3,ZAC^=ZA'CB,=90%

???AC=4AB1-BC2=V52-32=4>

???梯子的頂端下滑2米，

???CAf=4-2=2,

?'-CB1=^A'Ba-CA'2=A/52-22=751，

，梯子滑動的距離為：CBJCB=5-3,

故答案為：(⑸-3).

【分析】根據(jù)題意得到4B=4?=5,BC=3,ZACB=ZA,CB'=90°,然后利用勾股定理得

AC=4,從而得C4'=2,進而再利用勾股定理得。B'=收，最后求出C9—C5的值即可.

11.【答案】4

【解析】【解答】解：在Rt&AB凡ZAFB=90°,AB=1O,AF=8,

由勾股定理得：BF=A/1O2-82=6?

，小正方形面積=S正方形八sc。一4S&^=1()2-2X8X6=4.

故答案為:4.

【分析】利用勾股定理求得3尸=6,再利用小正方形面積=S正方形八8coMSR-%，計算求解即可.

12.【答案】12

【解析】【解答】解：???LABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，

ADJ.BC,BD=CD=LBC=5,

2

根據(jù)勾股定理定理得：AD=《AB2-BD2=\2,

???EF是線段AB的垂直平分線，

ABM=AM

B、M、D三點共線時8W+MD取得最小值，

???BW+MD的最小值=12.

故答案為：12.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理得AQ=12,由線段垂直平分線的性質(zhì)得BM=AM,B、

M、D三點共線時8W+MD取得最小值，可得到結(jié)論.

13.【答案】V2013

【解析】【解答】解：根據(jù)題意得：

0P\=6,

Og=〃=2,

O^=石，

OPtl=5/〃+1，

。修“2=V2012+1=V2013.

故答案為：V2013.

【分析】根據(jù)題意分別求出?！?，0P?,……0P?,根據(jù)規(guī)律得O匕=JQ,進一步得。乙012的值.

14.【答案】(1)解：,ABC=4K5——xlx5——xlx4——x3x4=,

19

一ABC的面積為二；

2

(2)解：如圖，AOEC即為所求：

.:sABC=；CEXDF=；X舊xDF=S，

.八斤19后

??Dr=---------?

17

【辭析】【分析】(1)把三角形的面積看成矩形面積減去周圍三個三角形面積即可；

(2)利用軸對稱的性質(zhì)分別作出A,B的對應點D,E,再順次連接CD,DE,EA即可;

(3)利用三角形的面積公式即可求解.

(1)解：S.sc=4x5——X1x5——X1x4——x3x4=,

19

eABC的面積為彳；

2

(2)解：如圖，_￡>EC即為所求，

（3）解：CE=Vl2+42

S"=3m=3X后X。/號

DF=^

17

15.【答案】解：,??由勾股定理得：AC2+BC2=AB\

...1TTAC2+-7rBC2=-TIAB\

888

S.=^-x;r(-Ac}=-7TAC\

i2(2J8

1,1，

同理S2=-TTBC2,S=-7TAB-,/.S.+S=S

8382r

【解析】【分析】由勾股定理求出三邊之間的關(guān)系，根據(jù)圓的面積公式求出三個半圓的面積，即可得

出答案.

16.【答案】解：vZB=90°,ZBC4=60°,AC=2叵，

RC=亞,

AB=y]AC2-BC2=J(2后-(揚2=瓜，

又DA=\,CO=3,AC=2V2?

DA2+AC2=l2+(2V2)2=1+8=9=CD2,

.?.A4C。是直角三角形，

四邊形AACO的面積為：

SMCD+5MHC=-AD^C+-A^-BC=-xlx2>/24--xV6xV2=>/2+^.

【解析】【分析】根據(jù)含30。角的直角三角形性質(zhì)可得8C=亞，根據(jù)勾股定理可得AB,再根據(jù)勾股

定理逆定理可得AACO是直角三角形，再根據(jù)四邊形面積=5必°+50必，結(jié)合三角形面積即可求出

答案.

17.【答案】(1)@

（2）解：是直角三角形.

理由：*.*AC2+BC2=602+802=10000,AB2=1002=1CK）OO?

???AC2+BC2=AB2

:.ZACB=900

，二ABC是直角三角形.

【釋析】【解答］解：（1）???線段垂直平分線上的點到兩邊的距離相等,

???加油站尸點一定是aABC三條垂直平分線的交點，

故答案為：④.

【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求解即可；

（2）根據(jù)勾股定理逆定理求解即可。

18.【答案】（1）解：==如

（2）解：△ABC是直角三角形.理由：

VAC=V7,BC：6,AB=3

222

???AC+BC=（歷2+（揚2=%=3=9

..AC2+BC2=A82

/.△ABC是直角三角形

【解析】【分析】（1）直接根據(jù)勾股定理計算即可；

（2）根據(jù)勾股定理逆定理即可判斷_A6C是否為直角三角形.

19.【答案】⑴解:是，

理由是：在“7/5中，

,/CH2+BH2=2.42+1.82=9=BC2

，CH2+BH2-BC2

：.CH1AB,

???C