中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)圖形的相似

一.解答題（共20小題）

1.【感知特例】

（1）如圖1,點(diǎn)A,B在直線/上，ACYLDBU,垂足分別為A,B,點(diǎn)P在線段48上，且尸C

A.PD,垂足為P.

結(jié)論：AOBD=AP*BP

（請將下列證明過程補(bǔ)充完整）

證明：VAC±/,BDJJ,PCLPD

：-ZCAP=ZDBP=ZCPD=90°,

???NC+NAPC=90°,

.+ZAPC=90°,

???=，（同角的余角相等）

???△APCs,（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似）

:.=，（相似三角形的對應(yīng)邊成比例）

即AC?BD=AP?BP.

【建構(gòu)模型】

（2）如圖2,點(diǎn)A,B在直線/上，點(diǎn)尸在線段A8上，且NCAP=NDBP=NCPD.結(jié)論AC?8O

=4P?8戶仍成立嗎？請說明理由.

【解決問題】

（3）如圖3,在△4BC中，AC=BC=5,A5=8,點(diǎn)。和點(diǎn)。分別是線段43,4c上的動(dòng)點(diǎn)，始

終滿足NCPO=N4.設(shè)AP長為K（0<x<8）,當(dāng)x=時(shí)，BD有最大值

圖1圖2圖3

2.在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，同學(xué)們以折疊正方形紙片展開數(shù)學(xué)探究活動(dòng).

【操作判斷】

操作一：如圖①，對折正方形紙片A8CQ,得到折痕AC,把紙片展平；

操作二：如圖②，在邊A。上選一點(diǎn)￡,沿折疊，使點(diǎn)月落在正方形內(nèi)部，得到折痕8E；

操作三：如圖③，在邊上選一點(diǎn)F,沿〃尸折會(huì)，使邊3C與邊8A重合，得到折痕3尸.

把正方形紙片展平，得圖④，折痕8E、8尸與4c的交點(diǎn)分別為G、H.

根據(jù)以上操作，得N￡BF=

圖①圖②圖③圖④

【探究證明】

（1）如圖⑤，連接GF,試判斷尸G的形狀并證明;

（2）如圖⑥，連接EA過點(diǎn)G作C。的垂線，分別交AB、CD、EF于點(diǎn)P、Q、M.求證：EM

=MF.

【深入研究】

若空=i請求出黑的值（用含女的代數(shù)式表示）.

ACkHC

Q

F

B

圖⑤圖⑥

3.問題背景如圖（1）,在矩形4BCD中，點(diǎn)E,尸分別是AB,BC的中點(diǎn)，連接80,EF,求證:

△BCDs△尸BE.問題探究如圖（2）,在四邊形A8CO中，AD//BC,N8CO=90°,點(diǎn)E是AB

的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊BC上，AD=2CF,EF與BD交于點(diǎn)G,求證：BG=FG.

EG

問題拓展如圖（3）,在“問題探究”的條件下，連接AG,AO=CO,AG=FG,直接寫出布的值.

4.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們將兩個(gè)全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個(gè)頂點(diǎn)，然后將其中一個(gè)

紙片繞這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，來探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).已知三角形紙片A8C和AOE中，A3=AO=3,

BC=DE=4,ZABC=ZADE=90°.

【初步感知】

Dn

（1）如圖1，連接80,CE,在紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，試探究二7的值.

CE

【深入探究】

（2）如圖2,在紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)。恰好落在△A3C的中線BM的延長線上時(shí)，

延長EO交AC于點(diǎn)凡求CF的長.

【拓展延伸】

（3）在紙片AOE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，試探究C,D,E三點(diǎn)能否構(gòu)成直角三角形.若能，直接寫

出所有直角三角形CDE的面積；若不能，請說明理由.

5.綜合與探究：如圖，N4O6=90，,點(diǎn)夕在NA04的平分線上，以_LOA于點(diǎn)A.

（I）【操作判斷】

如圖①，過點(diǎn)尸作~。_1_。^于點(diǎn)C,根據(jù)題意在圖①中畫出PC,圖中N4PC的度數(shù)為度;

（2）【問題探究】

如圖②，點(diǎn)M在線段4。上，連接尸M,過點(diǎn)尸作PNJ_PM交射線。8于點(diǎn)N,求證：0M+0N=

2PA；

（3）【拓展延伸】

點(diǎn)M在射線AO上，連接PM,過點(diǎn)P作PN1PM交射線OB于點(diǎn)N,射線NM與射線PO相交于

0P

點(diǎn)F,若ON=3OM,求H的值.

圖①圖②備用圖

6.綜合與實(shí)踐

如圖，在Rt^ABC中，點(diǎn)D是斜邊A8上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。與點(diǎn)A不重合），連接CQ,以CO為直

CECB

角邊在。的右側(cè)構(gòu)造RtACDENQ39。。，連接%-=-

特例感知

（1）如圖1,當(dāng)加=1時(shí)與A。之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是

類比遷移

（2）如圖2,當(dāng)〃時(shí)，猜想8七與AO之間的位置關(guān)系和數(shù)最關(guān)系，并證明猜想.

拓展應(yīng)用

（3）在（1）的條件下，點(diǎn)尸與點(diǎn)C關(guān)于。E對稱，連接。凡EF,BF,如圖3.已知AC=6,

設(shè)A￡>=x,四邊形COFE的面積為），.

①求y與％的函數(shù)表達(dá)式，并求出），的最小值;

②當(dāng)8廣=2時(shí)，請直接寫出的長度.

圖2

7.（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖1,在AABC中,點(diǎn)D在邊BC上.

請證明;

（2）【靈活運(yùn)用】如圖2,在△ABC中,N84C=60°,點(diǎn)。為邊BC的中點(diǎn)，C4=CD=2,點(diǎn)

E在A8上，連接AD,DE.若NAED=/CAD,求8E的長;

（3）【拓展延伸】如圖3,在菱形A6c。中，AB=5,點(diǎn)、E,尸分別在邊40,C。上，乙48c=2

8.綜合與實(shí)踐：九年級某學(xué)習(xí)小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學(xué)習(xí)活動(dòng).

【特例探究】

（1）如圖①，②，③是三個(gè)等腰三角形（相關(guān)條件見圖中標(biāo)注），列表分析兩腰之和與諛腰之積.

AA

A/.

BDCBD

圖①圖②圖③圖④

等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表

圖序角平分線AD的長/84。的度數(shù)腰長兩腰之和兩腰之積

圖①160°244

圖②145°企2722

圖③130。

請補(bǔ)全表格中數(shù)據(jù)，并完成以下猜想.

已知△AbC的角平分線AO=1,AB=AC,zLBM)=a,用含a的等式寫出兩腰之和A6+AC與兩

腰之積4B?AC之間的數(shù)量關(guān)系：______________

【變式思考】

(2)已知△ABC的角平分線AO=1,ZBAC=60°，用等式寫出兩邊之和A8+AC與兩邊之積A8

?AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【拓展運(yùn)用】

(3)如圖④，△八以；中，A8=AC=],點(diǎn)。在邊AC上，HD=8C=AD.以點(diǎn)C.為圓心，C。長

為半徑作弧與線段BD相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作任意直線與邊AB,8C分別交于M,N兩點(diǎn).請補(bǔ)全

圖形，并分析言+高的值是否變化？

9.主題學(xué)習(xí)：僅用一把無刻度的直尺作圖

【閱讀理解】

任務(wù)：如圖1,點(diǎn)。、E分別在△A8C的邊AB、AC上，DE//BC,僅用一把無刻度的直尺作DE、

6c的中點(diǎn).

AA

圖1圖2

操作：如圖2,連接BE、CD交于點(diǎn)P,連接人。交OE于點(diǎn)M,延長AP交3c于點(diǎn)N,則M、N

分別為。山的中點(diǎn).

DMAMEMAMDM

理由：由DE//BC可得AADMsAABN及AAEMsAACN,所以—=---,---=----,所以t---

BNANCNANEM

BN_?MPEMMP~DMCN

—,同理，由叢DMPs^CNP及AEMPs^BNP,可得一=—,—=—,所以一=—,

CNCNNPBNNPEMBN

BNCN

所以一=—,則BN=CMDM=EM,即M、N分別為DE、的中點(diǎn).

CNBN

【實(shí)踐操作】

請僅用一把無刻度的直尺完成下列作圖，要求：不寫作法，保留作圖痕跡.

（1）如圖3,“〃/2,點(diǎn)、E、尸在直線/2上.

①作線段E尸的中點(diǎn)；

②在①中作圖的基礎(chǔ)上，在直線/2上位于點(diǎn)尸的右側(cè)作一點(diǎn)尸，使得

-----?---------?--------------I

EF-----------2

圖3

（2）小明發(fā)現(xiàn)，如果重復(fù)上面的過程，就可以作出長度是已知線段長度的3倍、4倍、…、女倍

（A為正整數(shù)）的線段.如圖4,/1#/2,已知點(diǎn)燈、P2在/I上，他利用上述方法作出了P?P3=P3P4

=PlP2.點(diǎn)E、尸在直線/2上，請?jiān)趫D4中作出線段石廠的三等分點(diǎn)；

Plp2p,巳

—*-----------------L

EF2

圖4

【探索發(fā)現(xiàn)】

請僅用一把無刻度的直尺完成作圖，要求：不寫作法，保留作圖痕跡.

（3）如圖5,是△A8C的中位線.請?jiān)诰€段￡C上作出一點(diǎn)。使得Q￡=（要求用兩種

方法）.

B

圖5

10.某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)了圖形的相似后，對三角形的相似進(jìn)行了深入研究.

(-)拓展探究

如圖1,在△ABC中，NACB=90°,CDLAB,垂足為江

(1)興趣小組的同學(xué)得出AC2=AO?4B.理由如下：

VZACB=90°???N4=NA

JNA+N8=90°:.XABCsXACD

AB

'JCDA.AB,就二②——

???NAOC=9()°

:.AC2=AD*AB

ZA+ZACD=90°

Z.N8=①

請完成填空：①;②_______________________:

（2）如圖2,尸為線段CO上一點(diǎn)，連接AF并延長至點(diǎn)E,連接CE,當(dāng)NAC￡=NAFC時(shí)，請

判斷△AE8的形狀，并說明理由.

（二）學(xué)以致用

（3）如圖3,△A8C是直角三角形，NAC8=90°,AC=2,BC=276,平面內(nèi)一點(diǎn)。，滿足人。

=AC,連接C。并延長至點(diǎn)E,月.NCEB=NC8。，當(dāng)線段8E的長度取得最小值時(shí).求線段CE

的長.

II.綜合與實(shí)踐

如圖I,這個(gè)圖案是3世紀(jì)我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，

受這幅圖的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組建立了“一線三直角模型”.如圖2,在△ABC中，ZA=90°,

將線段8C繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段8D,作交A8的延長線于點(diǎn)E.

c

（1）【觀察感知】如圖2,通過觀察，線段與。石的數(shù)量關(guān)系是

（2）【問題解決】如圖3,連接C。并延長交A8的延長線于點(diǎn)F,若A8=2,AC=6,求△3。/

的面積;

BN

（3）【類比遷移】在（2）的條件下，連接CE交BD于點(diǎn)、N,則前二

（4）【拓展延伸】在（2）的條件下，在直線AB上找點(diǎn)P,使ian/BCP=￡,請直接寫出線段

4P的長度.

12.綜合與實(shí)踐

某校數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組用一張矩形紙片（如圖1,矩形A8CO中，且A8足夠長）進(jìn)行探

究活動(dòng).

【動(dòng)手操作】

如圖2,第一步，沿點(diǎn)4所在直線折疊，使點(diǎn)。落在上的點(diǎn)石處，折痕為4F,連接石凡把

紙片展平.

第二步，把四邊形AEFQ折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，點(diǎn)。與點(diǎn)尸重合，折痕為G”，再把紙片展

平.

第三步，連接GF.

【探究發(fā)現(xiàn)】

根據(jù)以上操作，甲、乙兩同學(xué)分別寫出了一個(gè)結(jié)論.

甲同學(xué)的結(jié)論：四邊形AEFZ）是正方形.

乙同學(xué)的結(jié)論加72乙4FG=3

（1）請分別判斷甲、乙兩同學(xué)的結(jié)論是否正確.若正確，寫出證明過程；若不正確，請說明理由.

【繼續(xù)探究】

在上面操作的基礎(chǔ)上，丙同學(xué)繼續(xù)操作.

如圖3,第四步，沿點(diǎn)G所在直線折疊，使點(diǎn)尸落在48上的點(diǎn)M處，折痕為GP,連接PM,把

紙片展平.

第五步，連接FM交G尸于點(diǎn)N.

根據(jù)以上操作，丁同學(xué)寫出了一個(gè)正確結(jié)論:

FN?AM=GN?AD.

（2）請證明這個(gè)結(jié)論.

D

A圖1B

圖3

13.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，還能經(jīng)歷知識(shí)“再創(chuàng)造”的過程，更是培養(yǎng)動(dòng)手能力，創(chuàng)新

能力的一種手段.小強(qiáng)在學(xué)習(xí)《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形（如圖1）

產(chǎn)生了如下問題，請同學(xué)們幫他解決.

C

圖2

圖3

在△48C中，點(diǎn)D為邊48上一點(diǎn)，連接CD

（1）初步探究

如圖2,若乙4。。=/8,求證：AC2=AQ?AB；

（2）嘗試應(yīng)用

如圖3,在（1）的條件下，若點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，BC=4,求CZ）的長;

（3）創(chuàng)新提升

如圖4,點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，連接8E,若NCD8=NC8O=30°,/ACD=NEBD,AC=2y/7,求

BE的長.

14.數(shù)學(xué)課上，老師給出以下條件，請同學(xué)們經(jīng)過小組討論，提出探究問題.如圖L在AA8C中,

AB=AC,點(diǎn)。是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作。石_L8C于點(diǎn)E,延長￡7）交8A延長線于點(diǎn)E

請你解決下面各組提出的問題:

(1)求證：AD=AF\

DFAD

⑵探究法與而的關(guān)系;

DF2,AD4,DF8

某小組探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)黃4寸,—.[[■,—Rvi*,■—

DE~3'OC-5'OE-5

請你繼續(xù)探究:

An7DF

①當(dāng)二=:時(shí)，直接寫出言的值；

DC6DE

②當(dāng)空=巴時(shí)，猜想啜的值（用含/〃，〃的式子表示），并證明；

DCnDE

（3）拓展應(yīng)用：在圖1中，過點(diǎn)尸作/7\LAC,垂足為點(diǎn)P,連接CR得到圖2,當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到

AD771AP

使NAC/uNACB時(shí)，若=一,直接寫出大的值（用含加，〃的式子表示）.

DCnAD

（1）如圖1,在△ABC中，DE是△ABC的中位線.連接C。，將△4OC繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋

轉(zhuǎn)，得到△4'DC.當(dāng)點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)E'與點(diǎn)A重合時(shí)，求證：AB=BC.

【數(shù)學(xué)理解】

（2）如圖2,在△A3C中〔ABVBC）,是△A8C的中位線.連接CO,將△AOC繞點(diǎn)。按逆

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到AA'DC1,連接A'B,C'C,作aA'4。的中線QP.求證：2DF*CD=

BD?CC'.

【拓展探索】

（3）如圖3,在△A6C中，tanA-［，點(diǎn)在A6上，AD-過點(diǎn)。作￡>E_L6C,垂足為石,

BE=3,CE=學(xué).在四邊形內(nèi)是否存在點(diǎn)G,使得NAGQ+NCGE=180"?若存在，請給

出證明；若不存在，請說明理由.

16.問題提出如圖（1）,E是菱形48CO邊8。上一點(diǎn)，A4律是等腰三角形，AE=EF,ZAEF

=ZABC=a（a290°）,AF交CD于點(diǎn)G,探究NGC尸與a的數(shù)量關(guān)系.

問題探究（1）先將問題特殊化，如圖（2）,當(dāng)a=90°時(shí)，直接寫出/GC廠的大?。?/p>

（2）再探窕一般情形，如圖（1）,求NGC/與a的數(shù)量關(guān)系.

DG1BE

問題拓展將圖（1）特殊化，如圖（3〉，當(dāng)a-120°時(shí)，若二二，求二7的值.

17.【問題背景】

人教版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第63頁“實(shí)驗(yàn)與探究”問題I如下：如圖，正方形ABCO的對角線相

交于點(diǎn)。，點(diǎn)O乂是正方形AiB.CiO的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長相等，無論正方形

A山繞點(diǎn)。怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面枳，總等于一個(gè)正方形面積的匚想一想，這

是為什么？（此問題不需要作答）

九年級數(shù)學(xué)興趣小組對上面的問題又進(jìn)行了拓展探究、內(nèi)容如下：正方形A3C。的對角線相交于

pA

點(diǎn)O,點(diǎn)戶落在線段0C上，正二女。為常數(shù)）.

【特例證明】

（1）如圖1,將RtZXPE*的直角頂點(diǎn)。與點(diǎn)0重合，兩直角邊分別與邊A3,8c相交于點(diǎn)M,N.

①填空：k=;

②求證：PM=PN.（提示：借鑒解決【問題背景】的思路和方法，可直接證明△物MgZXPBN；

也可過點(diǎn)P分別作A&BC的垂線構(gòu)造全等三角形證明.請選擇其中一種方法解答問題②.）

【類比探究】

(2)如圖2,將圖1中的△尸EF沿OC方向平移，判斷PM與PN的數(shù)量關(guān)系(用含A的式子表

示)，并說明理由.

【拓展運(yùn)用】

(3)如圖3,點(diǎn)N在邊灰?上，/BPN=45：延長NP交邊C。于點(diǎn)E,若EN=kPN,求A的值.

18.【特例感知】

(1)如圖1,在正方形48co中，點(diǎn)〃在邊A8的延長線上，連結(jié)PQ,過點(diǎn)。作。M_LP。，交

6c的延長線于點(diǎn)M.求證：4DAPmXDCM.

【變式求異】

(2)如圖2,在Rl△48C中，NA8C=9()°,點(diǎn)D在邊AB上，過點(diǎn)。作QQJ_A8,交AC于點(diǎn)

。，點(diǎn)P在邊4B的延長線上，連結(jié)PQ,過點(diǎn)。作交射線于點(diǎn)M.已知AC=8,

人C=10,AD=2DB,求丁的值.

QM

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖3,在RlZXABC中，N84C=90°,點(diǎn)P在邊AB的延長線上，點(diǎn)。在邊AC上(不與

點(diǎn)A,C重合)，連結(jié)PQ,以Q為頂點(diǎn)作NPQM=NPBC,NPQM的邊QM交射線8c于點(diǎn)M.若

圖1圖2圖3

19.課本再現(xiàn)

思考

我們知道，菱形的對角線互相垂直.反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？

可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個(gè)判定定理；

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

定理證明

(1)為了證明該定理，小明同學(xué)畫出了圖形(如圖1),并寫出了“已知”和“求證”，請你完

成證明過程.

已知：在國ABCQ中，對角線垂足為。.

求證：團(tuán)ABC。是菱形.

圖I圖2

知識(shí)應(yīng)用

(2)如圖2,在團(tuán)ABC。中，對角線AC和8。相交于點(diǎn)。，4。=5,4c=8,BD=6.

①求證：團(tuán)ABCZ)是菱形；

1OF

②延長8。至點(diǎn)E,連接OE交。。于點(diǎn)產(chǎn)，若/七=忘4億7),求77的值.

ZEF

20.閱讀下列材料，回答問題.

任務(wù)：測量一個(gè)扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度八區(qū)遠(yuǎn)大于南北走向

的最大寬度，如圖I.

工具：一把皮尺(測量長度略小于和一臺(tái)測角儀，如圖2.皮尺的功能是直接測量任意

可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離(這兩點(diǎn)間的距離不大于皮尺的測量長度)：測角儀的功能是測量角

的大小，即在任一點(diǎn)。處，對其視線可及的P,Q兩點(diǎn)，可測得NPOQ的大小，如圖3.

小明利用皮尺測量，求出了小水池的最大寬度A8.其測量及求解過程如下：

測量過程：

(i)在小水池外選點(diǎn)C,如圖4,測得AC=a〃?，BC=bm；

(ii)分別在人C,8C上測得CN=，；測得MN=c〃z.

求解過程：

由測量知，AC=a,BC=b,CM=CN=

CMCN1_

—=—=一，又＜①

CACB3

MN1

:.—=-

AB3

又,：MN=c,??.A8=②.(〃?).

故小水池的最大寬度為**

圖3圖4

（1）補(bǔ)全小明求解過程中①②所缺的內(nèi)容;

（2）小明求得A8用到的兀何知識(shí)是

（3）小明僅利用皮尺，通過5次測顯，求得A8.請你同時(shí)利用皮尺和測角儀，通過測量長度、

角度等幾何量，并利用解宜角三角形的知識(shí)求小水池的最人寬度AH,寫出你的測量及求解過程.

要求：測量得到的長度用字母。，b,c…表示,角度用a,P，丫…表示；測量次數(shù)不超過4次（測

量的幾何量能求出A&且測量的次數(shù)最少，才能得滿分）.

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)圖形的相似

參考答案與試題解析

一.解答題（共20小題）

1.【感知特例】

（1）如圖1,點(diǎn)4,8在直線/上，AC.LI,DBLI,垂足分別為A,3,點(diǎn)P在線段A3上，且PC

LPD,垂足為P.

結(jié)論：A^BD=AP*BP

（請將下列證明過程補(bǔ)充完整）

證明：VAC1/,BDL,PCLPD

/.^CAP=ZDBP=ZCPD=90°,

???NC+NAPC=90°,

ZDPB.+ZAPC=90°,

ZC/DPB,（同角的余角相等）

：2PCs/XBDP,（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相以）

ACAP

,（相似三角形的對應(yīng)邊成比例）

一BP一一BD一

即AC?BD=AP?BP.

【建構(gòu)模型】

（2）如圖2,點(diǎn)A,8在直線，上，點(diǎn)尸在線段上，一HNC4尸=/O8P=NCPD.結(jié)論入。?8。

=AP?8P仍成立嗎？請說明理由.

【解決問題】

（3）如圖3,在△48C中，AC=BC=5,A8=8,點(diǎn)P和點(diǎn)。分別是線段A8,BC上的動(dòng)點(diǎn)，始

圖

圖12圖3

【考點(diǎn)】相似形綜合題.

【專題】幾何綜合題；推理能力.

ACAP

【答案】（1）NDPB,NC=NDPB,△BDP,

BP-BD'

（2）成立，理山見解答；

16

（3）4,

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)填空即可；

（2）證明△APCs/^QR即可解決問題；

4cAP1-I

（3）證明△BPQS/XACP,得一=一，所以AC”Q=AP?6P,得40=（.”4）4苓，然

BPBD55

后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】（1）證明：VAC±/,BDLl,PCLPD,

???ZCAP=NDBP=NCPD=9。。,

AZC+Z^PC=90°,

NDPB+NAPC=90°,

：?NC=/DPB（同角的余用相等），

：.MAPCS/\ROP（兩角分別相等的兩個(gè)二角形相似）.

ACAP

=—（相似三角形的對應(yīng)邊成比例），

BPBD

即4c-8O=AP?B尸.

i4cAP

故答案為：/DPB,ZC=ZDPB,4BDP,一=—：

BPBD

（2）解：成立，理由如下：

YNC+NC用=180'?/CAP,ZCPA+ZBPD=\SOa-ZCPD,

■:/CAP=/CPD,

:?/C=NBPD,

?：NCAP=NDBP,

:?△APCsRBDP（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似），

21PAC

=—（相似三角形的對應(yīng)邊成比例），

BDBP

：.AC-BD-AP-BPx

（3）解：?；AB=8,AP=x,

：.BP=AB-AP=S-x,

,:AC=BC=5,

；?NA=N8,

NCPD+NBPD=ZA+ZACP,

:.4BPD=4ACP,

:?△BPDSRACP,

?AC_A_P

?■—,

BPBD

：.AC*BD=AP*BP,

.\5BD=x(8-x)=Sx-x2,

：.BD=(x-4)2+焙

nJ

16

當(dāng)x=4時(shí),B。的最大值為三.

故答案為：4,當(dāng).

【點(diǎn)評】本題考查了相似形綜合題，考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)最值的

求法等知識(shí)點(diǎn)，理解并掌握圖1中提供的等式是解題的關(guān)鍵.

2.在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，同學(xué)們以折疊正方形紙片展開數(shù)學(xué)探究活動(dòng).

【操作判斷】

操作一：如圖①，對折正方形紙片A8CQ,得到折痕AC,把紙片展平；

操作二：如圖②，在邊上選一點(diǎn)E,沿折直，使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部，得到折痕BK：

操作三：如圖③，在邊CQ上選一點(diǎn)R沿8廠折疊，使邊4c與邊84重合，得到折痕BF.

把正方形紙片展平，得圖④，折痕BE、8尸與AC的交點(diǎn)分別為G、H.

根據(jù)以上操作，得/EBF=45°.

圖①圖②圖③圖④

【探究證明】

(1)如圖⑤，連接GR試判斷△8FG的形狀并證明；

(2)如圖⑥，連接石尸，過點(diǎn)G作的垂線，分別交A3、CD.EF于點(diǎn)P、。、M.求證：EM

=MF.

【深入研究】

Ar-1rLJ

若77=:，請求出才的值(用含攵的代數(shù)式表示).

ACkHC

AED

C；

P

B

圖⑤圖⑥

【考點(diǎn)】相似形綜合題.

【專題】幾何綜合題；三隹形；圖形的全等；矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與府稱；圖形的相

似；展開與折疊；兒何直觀；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】【操作判斷】45；

【探究證明】（1）48尸G為等腰直角三角形，證明見解答;

（2）證明見解答:

?、、GHk2-2k+2

【深入研究】瑞=》與T

【分析】【操作判斷】根據(jù)折疊的性質(zhì)即可解答;

【探究證明】（1）證明凡/\BHCS4GHF,得到N8C〃=NG/77=45°,即可解

答;

（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明△P8G0QG尸（/XS）,利用平行線的性質(zhì)及折香的性質(zhì),

即可得證;

【深入研究】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理證明人S）,設(shè)AP=PG=DQ=FQ=a,

分別求出C”，GH,即可解答.

【解答】【操作判斷】解：如圖,

由題意可得N1=N2,N3=N4,

V2Z2+2Z3=90°,

???N2+/3=45°,

AZEBF=45°,

故答案為：45；

【探究證明】（1）解：方法一：ABFG為等腰直角三角形，證明如卜:

由題意可得NEB尸=45°,

???正方形ABC。,

???NBCA=NACQ=45°,

VZEBF=45°,

:.△BHGs^CHF,

BHHG

??_?___,

CHHF

?_B_H__C_H

?.=,

HGHF

?；ZGHF=/BHC,

:.△BHCS/\GHF,

:?/BCH=NGFH=45°,

為等腰直角三角形；

方法二：?:NGBC=NGCF=45°,

???/?、C、F、G四點(diǎn)共圓.

??.N8尸G=N8CG=45°,

：.ZBFG=ZGBF=45°,

即NAGr=90°,

為等腰直角三角形；

(2)證明：???AGS尸為等腰直角三角形,

???NBG尸=90°,BG=FG,

：,ZPBG=ZQGF,

yPQLAB,PQ±CD,

???N4PG=NGQ~=90°,

:.APBGWQGF(A4S),

:?/PGB=ZGFQ,

???PQ//AD,

：?/PGB=/AEB,

???翻折，

???ZAEB=ZBEF,

.:4PGB=/EGQ,

:?NBEF=NEGQ,

?；/BEF+/EFG=/EGQ+/FGQ=90”,

：?NEFG=4FGQ,

：,EM=MG=MF；

【深入研究】解：方法一：將AAGB旋轉(zhuǎn)至ABNC,連接”M如圖,

AED

N

:.叢AGBW4CNB,

:./BAC=/BCN=45°,AG=CN,BG=BN,

VZACfi=45°,

:?/HCN=90°,

222

：,CH+CN=HNt

V/5=/6,/ERF=45°,

JZGBH=4NBH,

:.△GBHgANBH(SAS),

:,GH=NH,

：,CH2+AG2=GH2,

由(2)知凡四邊形APQ。為矩形,

???/BAC=45°,

：.AP=PG=DQ=FQ,

設(shè)AP=PG=DQ=FQ=a,

.*.AG=V2t;?

AG1

???~_=—，

ACk

.'.AC=yj2ka,

/.GH+HC=AC-AG=缶(2-1),

*:CH2+AG2=GH2,

：.GH2-CH2=(CH+GH)(GH-CH)=2次,

:.GH-CH=瞿,

僧華企a(必一2A+2)、以\_2k)

解侍GH-2^2，CH~-~~，

GH+2

?'CH~k2-2k.

方法二：如圖，延長〃尸交PQ延長線于點(diǎn)M

^,GHGN

則--------,

CHBC

由于8C的長度已知，所以只需求出GN的長度即可,

由(2)知M為E廣的中點(diǎn)，且尸?！?。，

???點(diǎn)。為。尸的中點(diǎn),BPDQ=QF=AP=af

：,CF=CD-DF=ak-2a,

“BC-FC'

E、QNa

即---=--------,

ka(k-2)a

???02朗

*：QG=PQ-PG=ak-a,

；?GN=QG+QN=a(*,

*GHGNk2-2k+2

''CH~BC~k2-2k

【點(diǎn)評】本題考查相似形的綜合應(yīng)用，主要考查折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰更

角三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)

定理是解題的關(guān)鍵.

3.問題背景如圖(1),在矩形ABC。中，點(diǎn)E,產(chǎn)分別是AB,4c的中點(diǎn)，連接80,EF,求證：

ABCDsfBE.問題探究如圖(2),在四邊形/WCO中，AD//BC,NBCO=9()°,點(diǎn)七是

的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊上，AD-2CF,石尸與交于點(diǎn)G,求證：BG-FG.

EG

問題拓展如圖(3),在“問題探究”的條件下，連接4G,AO=CQ,AG=FG,直接寫出亂的值.

【考點(diǎn)】相似形綜合題.

【專題】幾何綜合題；幾何直觀.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)中點(diǎn)可得出兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等得兩個(gè)三角形相似：

(2)由中點(diǎn)和平行線可以聯(lián)想作倍長中線全等，即延長FE交。A延長線于點(diǎn)作刊＜LAO于

點(diǎn)、H,證△AMEgZXBf'E(AAS),再證(SAS)即可得證；

(3)這一問是建立在第二問的基礎(chǔ)上，所以很容易想到構(gòu)造相似通過線段關(guān)系轉(zhuǎn)化求解，過尸作

FMA.AD于點(diǎn)M,取BD中點(diǎn)H,連接AF,設(shè)CF=a,則AM=DM=CF=a,AD=CD=2a=MF,

AF=V5?,證五E垂直平分AB得到尸=代〃，再證即可求解.

【解答】⑴證明：???￡、廠分別是A8和灰7中點(diǎn)，

?B_E1_B_F1

??=9=—9

AB2BC2

???四邊形A8CQ是矩形，

：.AB=CD,

?B_EBF

??,

CDBC

?：NEBF=NC=9()°,

:?△BCDSAFBE：

(2)方法一：如圖延長/E交04延長線于點(diǎn)M,作于點(diǎn)H,則四邊形C。方尸是矩形.

〃AHn

BFC

???￡是AB中點(diǎn)，

:.AE=BE,

???ZAME=ZBFE,ZMAE=NFBE,

:.MAMEqXBFE(AAS),

：.AM=BF,

9：AD=2CF,CF=DH,

:?AH=DH=CF,

：.AM+AH=BF+CF,UPMH=BC,

*：FH=CD,/MHF=/BCD=90°,

：?4MFHm4BDC(SAS),

???ZAMF=NC8D,

又：NAMF=NBFG,

:.NCBD=/BFG,

；.BG=FG；

???/?是八A中點(diǎn),〃是8。口點(diǎn).

,EH=%D,EH//AD,

'：AD=2CF,

：?EH=CF,

'：AD//BC,

：.EH//CF,

???四邊形EHCF是平行四邊形，

:?EF〃CH,

:?/HCB=/GFB,

VZBCD=90°,H是BD中點(diǎn),

:.CH=』BD=BH,

???ZHCB=4HBC,

：.4GFB=/HBC,

:,BG=FG；

(3)如圖，過尸作FM_L4Q干點(diǎn)M,取8。中點(diǎn)從連接AF,則四邊形COM”是矩形,

，CF=DM,

'：AD=2CF,

：.AM=DM=CF,

設(shè)。尸=a,則4M=OM=C尸=〃，AD=CD=2a=MF,

：,AF=7AM?+MF?=底,

'：AG=FG,BG=FG,

：.AG=BG,

是AB中點(diǎn)，

???PE垂直平分A8,

:,BF=AF=?i,

TH是6。中點(diǎn)，

???E〃是△ABD中位線，

：.EH=^AD=a,EH//AD//BC,

???△EG”s△/GB,

BFC

【點(diǎn)評】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直

角三角形斜邊中線等于斜邊的一半以及中位線定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)和添加輔助線是

解題的關(guān)鍵.

4.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們將兩個(gè)全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個(gè)頂點(diǎn)，然后將其中一個(gè)

紙片繞這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，來探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).已知三角形紙片A8C和4QE中，AB=AD=3,

BC=DE=4,NABC=NADE=90°.

【初步感知】

BD

(1)如圖1,連接8。，CE,在紙片AOE繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)過程中，試探究二7的值.

CE

【深入探究】

(2)如圖2,在紙片AOE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)￡＞恰好落在△ABC的中線8M的延長線上時(shí)，

延長EQ交AC于點(diǎn)F,求的長.

【拓展延伸】

(3)在紙片AOE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，試探究C,D,七三點(diǎn)能否構(gòu)成直角三角形.若能，直接寫

出所有直角三角形CQE的01枳；若不能，請說明埋由.

E

B

【考點(diǎn)】相似形綜合題.

【專題】分類討論；圖形的全等;等腰三角形與直角三角形:矩形菱形正方形；圖形的相似:

運(yùn)算能力；推理能力；應(yīng)用意識(shí).

BD3

【答案】⑴指三

(2)。F=為70

48

（3）C,D,￡三點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，直角三角形COE的面枳為4或16或12或石?

【分析】（1）證明△AOE空△ABC（SAS）,求出AC=AE=5,可得NOAE=N8A