大單元復習五壓軸題——動點問題與新定義問題

題型歸類

題型一直線或數(shù)軸上的動點問題

例1[2024長沙模擬]如圖，點4B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為a,b,其中(0+

2)x3+4xb~2-%+1是關于X的二次三項式.

Ao鏟

(1)求線段48的長度；

(2)已知點P在數(shù)軸上點4左側，且24+PB=10,求點P在數(shù)軸上表示的數(shù)；

(3)在(2)的條件下，若P,4B三點在數(shù)軸上同時向右運動，點P,48的速

度分別是4個單位長度/s、3個單位長度/s、2個單位長度/s,設點P運動的時間為ts,

當點PB=2P4時，求珀勺值.

變式跟進

1.如圖，P是線段上不同于點4B的一點，AB=18cm,C,。兩動點分別從點P,

B同時出發(fā)在線段48上向左運動(無論誰先到達點4均停止運動)，點C的運動速

度為lcm/s，點。的運動速度為2cm/s.

ACPI)BAP備用圖B

(1)若AP=PB,

①當動點C,D運動了2s時，AC+PD=cm；

②當C,。兩點間的距離為5cm時，運動的時間為—s.

(2)當點C,。在運動時，總有PO=2AC.

①求4P的長；

②若在直線48上存在一點Q,使/Q-BQ=PQ,求PQ的長.

2.[2024岳陽模擬]【背景知識】

數(shù)軸是我們學習數(shù)學的一個重要工具，利用數(shù)軸可以很好地將數(shù)與形結合.

如圖①，若數(shù)軸上45兩點表示的數(shù)分別為mb,則4B兩點之間的距離48=

\b-a\,例如，a=-2,b=l,則=|1—(-2)|=3.

【問題情境】

如圖②，若4B兩點在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為m,n,且滿足+8|+（九-

12）2=0,甲、乙分別從4B處同時出發(fā)，甲的速度為每秒1個單位長度，乙的速

度為每秒3個單位長度，設運動的時間為ts.

【綜合運用】

（1）48兩點間的距離.

（2）如果甲、乙相向運動（甲向右運動，乙向左運動），記相遇點為P,則點P表

示的數(shù)為，此時t=—.

（3）如果甲、乙都向左運動，

①當t為何值時，乙恰好追上甲？

②當￡為何值時，甲、乙之間恰好相距5個單位長度？

題型二角的旋轉運動問題

例2[2024長沙模擬]如圖①，。為直線48上一點，過點0作射線OC,乙40c=30°,

將一個三角尺（乙0=30。）的直角頂點放在點。處，一邊。E在射線04上，另一邊。。與

OC都在直線4B的上方.

（1）將圖①中的三角尺繞點。以每秒5。的速度沿順時針方向旋轉一周，如圖②，經(jīng)

過ts后，。。恰好平分4BOC.

①此時珀勺值為—.

②止匕時OE是否平分N/OC?請說明理由.

（2）在（1）的條件上，若三角尺在轉動的同時，射線OC也繞點。以每秒8。的速度

沿順時針方向旋轉一周，如圖③，那么經(jīng)過多長時間OC平分心DOE?

（3）在（2）的條件上，經(jīng)過多長時間0C平分乙。。5?請畫圖并說明理由.

變式跟進

3.[2023深圳模擬]【問題背景】

已知。是直線4B上的一點，射線0C在直線的上方，ABOC=50°,將直角三角

板。OE的直角頂點放在。處，且直角三角板在直線AB的上方.

【問題解決】

(1)如圖①，若/。?！?70°,貝lJ/BOD=.

(2)若OE恰好平分〃OC,求4COE和/BOD的度數(shù).

【拓展延伸】

(3)將圖②中的三角板ODE繞點。以每秒6。的速度順時針旋轉180。，設運動時間為

ts,是否存在t的值，使NCOD=?乙40E?若不存在，請說明理由；若存在，請求出t

的值，并求出此時乙B。。的度數(shù).

題型三幾何新定義問題

例3【新知理解】

如圖①，點。在線段上，圖中共有三條線段｛B,AC^BC,若其中有一條線段

的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點C是線段AB的“巧點”.

(1)線段的中點—這條線段的“巧點”(填“是”或“不是”).

(2)若=12cm,C是線段48的“巧點”，則4C=

【解決問題】

(3)如圖②，已知48=12cm.動點P從點/出發(fā)，以2cm/s的速度沿線段4B向點8

勻速移動;點Q從點8出發(fā)，以lcm/s的速度沿線段BA向點4勻速移動，點P,Q同時

出發(fā)，當其中一點到達終點時，運動停止，設移動的時間為咐當t為何值時，A,P,

Q三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的“巧點；”？

變式跟進

②如圖②，^AOD=160°,。8為44。。的平分線，在NC。。的內部作射線OP,使

(POD=2(COP,當OC為/BOP的“分余線”時，求NCOO的度數(shù).

過關訓練

A組?基礎達標

1.[2023婁底模擬]如圖，數(shù)軸上點4對應的數(shù)為0點8對應的數(shù)是b,且|a+5|+

|b-15|=0.

~A0B~

(1)填空：a=；b=.

(2)4B兩點間的距離為一.

(3)M,N是數(shù)軸上的兩個動點，點M以每秒3個單位長度的速度從點4出發(fā)，點N以

每秒2個單位長度的速度從原點。出發(fā).若M,N兩點同時出發(fā)，都向數(shù)軸正方向運動.

①經(jīng)過幾秒，點M,N到原點。的距離相等？

②當M,N兩點運動到4M=3BN時，請直接寫出點M在數(shù)軸上對應的數(shù).

2.如圖，點。為原點，48為數(shù)軸上兩點，點4在點8的左側，48=15,且

OA:OB=2.

A0B

(1)48對應的數(shù)分別為,.

(2)若點43分別以每秒2個單位長度和每秒5個單位長度的速度相向而行，則

幾秒后點48相距1個單位長度？

(3)若點4B以(2)中的速度同時向右運動，點P從原點。以每秒4個單位長度的

速度向右運動，是否存在常數(shù)根，使得3/。+2。8-巾。。為定值？若存在，請求出

小的值以及這個定值；若不存在，請說明理由.

3.[2024長沙模擬]已知/40B=90°,射線OC在44。8內部，作乙4。。的平分線。。

和NBOC的平分線?！?/p>

AI)A

E

0---------------B()----------8

①@\c

(1)如圖①，當4BOC=700時,求4Q0E的度數(shù).

(2)在圖①中，當射線。。在乙408內繞點。旋轉，乙。0E的大小是否發(fā)生變化？若

變化，請說明理由；若不變化，求4D0E的度數(shù).

(3)當射線0C繞點。旋轉到乙40B外部，且射線08,0c都在直線04的右側時，請

在圖②中畫出乙40C的平分線。D和乙80C的平分線0E,乙00E的大小是否發(fā)生變化？

請說明理由.

B組?能力提升

4.[2023長沙模擬]定義：從乙40B的頂點出發(fā)，在角的內部引一條射線。C,把

乙408分成1:2的兩部分，射線。C叫作乙AOB的三等分線.若在4M0N中，射線。P是

4M0N的三等分線，射線0Q是4MOP的三等分線，設立MOQ=a,則4MON用含a的

代數(shù)式表示為()

A.:a或3a或2aB?3或3a或9a

C.；戊或20或9aD.3a或ga或9a

5.如圖①，已知4408=120°,/.COD=60°,0M在440C內，ON在4B。。內，

2LA0M=\/-AOC,ABON=-^BOD(本題中所有角均大于0°且小于等于180°).

(1)如圖②，當4C。。繞點。逆時針旋轉到0C與08重合時，則々M0N=

(2)如圖③，當心COD從圖②中的位置繞點。逆時針旋轉80。(即80。)時,

求4M0N的度數(shù);

（3）當乙C。。從圖②中的位置繞點。逆時針旋轉幾。（即NBOC=n°,0<n<180

且九。60a,其中a為正整數(shù)）時，求/MON的度數(shù).

6.[2024長沙模擬]如圖①，已知數(shù)軸上的點4,8對應的數(shù)分別是一5和1,點。為

原點.

/\/

AB

Ik?匕W0tW

①②

（1）若點P到點4B的距離相等，則點P對應的數(shù)為.

（2）動點P從點4出發(fā)，以2個單位長度/s的速度向右運動，設運動時間為ts,問：

是否存在某個時刻t,恰好使得點P到點4的距離是點P到點8的距離的2倍？若存在，

請求出t的值；若不存在，請說明理由.

（3）如圖②，在數(shù)軸上的點M和點N處各豎立一個擋板（點M在原點左側，點N在

原點右側，且OM>ON）,數(shù)軸上甲、乙兩個彈珠同時從原點出發(fā)，甲彈珠以2個

單位長度/s的速度沿數(shù)軸向右運動，乙彈珠以5個單位長度/s的速度沿數(shù)軸向左運

動.當彈珠遇到擋板后立即以原速度向反方向運動，若甲、乙兩個彈珠相遇的位置恰

好到點M和點N的距離相等，試探究點M對應的數(shù)m與點N對應的數(shù)幾是否滿足某種數(shù)

量關系，請寫出它們的關系式，并說明理由.

7.已知（口+2）爐+20%2+（匕-9）%+5是關于％的二次二項式，A,B是數(shù)軸上兩點,

且點4B對應的數(shù)分別為匿b.

（1）a=,b=,AB=.

（2）若小蟲甲到點B后就沿著數(shù)軸以每秒5個單位長度的速度向右爬行，同時另兩

只小蟲乙、丙分別從點4和原點。出發(fā)向右爬行，乙的速度是每秒2個單位長度，丙

的速度是每秒1個單位長度，假設三只小蟲同時運動ts后，甲、乙、丙三只小蟲對

應的點分別是點O,E,F,則4OE-30尸是定值嗎？如果是，請求出這個定值；如

果不是，請說明理由.

(3)如圖，在數(shù)軸上方從點C出發(fā)引出射線CD,CE,CF,CG,且CF平分

CG平分4BCE,已知4DCE=20°,^ACE=30°,當乙DCE繞著點C以27s的速度逆

時針旋轉ts(0<t<155)時，乙4CF和乙8CG中的一個角的度數(shù)恰好是另一個角度數(shù)

的2倍，求t的值.

大單元復習五壓軸題動點問題與新定義問題

題型歸類

題型一直線或數(shù)軸上的動點問題

例1(1)解：???(。+2)/+4%卜2一%+1是關于％的二次三項式，

Aa4-2=0,b—2=2,

???a=-2,b=4,

???AB=|a—b|=|-2-4|=6.

(2)設點P在數(shù)軸上表示的數(shù)為％.

由題意，得—2-x+4—x=10,

解得x=-4.

???點P在數(shù)軸上表示的數(shù)為-4.

(3)由題意，得點戶表示的數(shù)為一4+41,點4表示的數(shù)為一2+31,點B表示的數(shù)4+

2t,

vPB=2PA,

***|—4+4t—(4+2t)|=21—4+4t—(—2+3￡)|,

???8-2t=2(t-2)或(8-2t)+2(t-2)=0,

解得t=3.

:.t的值為3.

變式跟進

1.(1)①12

②4

(2)①解：???/(：=/P—CP,PD=PB-BD,PD=2AC,

???PB-BD=2(4P-CP).

由動點C,。的運動速度知，BD=2CP,

:.PB-BD=PB-2CP=204P-CP),

???PB=2AP.

vPB+AP—AB—18cm,

???AP=6cm；

②當點Q在點B的右側時，AQ-BQ=AB.

vAQ—BQ=PQ,

??.PQ=AB=18cm；

當點Q在線段48上時，

vAQ-BQ=PQ,

???AQ=PQ+BQ.

vAQ=AP+PQ,

???AP=BQ.

vAP—6cm,

???BQ=6cm,

???PQ=18—6—6=6(cm).

綜上所述，PQ的長度為18cm或6cm.

2.(1)20

(2)-3：5

(3)①解：由題意，得(3—l)t=12—(-8),

解得t=10.

???當C的值為10時，乙恰好追上甲.

②分兩種情況：

I.乙追上甲之前相距5個單位長度，

由題意，得(3—1)亡=12-(-8)—5,

解得t=7.5;

H.乙追上甲之后相距5個單位長度，

由題意，得(3—l)t=12-(-8)+5,

解得t=12.5.

綜上所述，當t=7.5或12.5時，甲、乙之間恰好相距5個單位長度.

題型二角的旋轉運動問題

例2⑴①3

②解：OE平分乙40c.理由如下：

當轉動3s時，AAOE=15C,

???乙COE=AAOC-AAOE=30°-15°=15°,

??

?乙COE=Z-AOEf

即。E平分N/OC.

(2)三角尺旋轉一周所需的時間為摯=72(s),

射線。C繞點。旋轉一周所需的時間為孚=45(s).

設經(jīng)過％s時，0C平分400E.

分三種情況：

①8五一5%=45-30,解得x=5;

②8無一5%=360-30+45,

解得久=125(舍去，不合題意)：

③??,射線。C轉動45s后停止運動，

???當。。旋本專至UOC的位置后再方定轉45°時，0C平分乙DOE,

此時。。旋轉了360°-(60°-45°)=345°,

此時％=答=69,

綜上所述，經(jīng)5s或69s后，0C平分

(3)由題意可知，。。旋轉到與。8重合時，需要90+5=18(s),

OC旋轉到與08重合時,需要(180-30)+8=181(s),

???。。匕匕。。早與。8重合.

??.當0C平分時，畫圖如答圖.

例2答圖

1殳經(jīng)過ms時，0C平分乙DOB,

由題意，得8771-(180—30)=：(56—90),

解得租=答，

???經(jīng)營s后，0C平分NDOB.

變式跟進

3.(1)30°

(2)解:,??乙4。。+乙8。。=180°,Z50C=50°,

???/.AOC=180°-Z.BOC=180°-50°=130°.

???OE平分

???乙COE=-^AOC=-x130°=65°.

22

???乙COD=(EOD-乙COE=90°-65°=25°,

???(BOD=乙BOC-乙COD=50°-25°=25°.

(3)存在，分兩種情況討論：

①若OC在△EOD的外部，如答圖①所示.

v乙BOC=50°,

???ZXOC=180°-乙BOC=180°-50°=130°.

???Z.EOD=90°,

???AAOE+乙COD=AAOC-乙EOD=130°-90°=40°.

???ZCOD=-z40E,

3

^AOE+-^AOE=40°,

3

??.AAOE=30°,(COD=10°,

???t=30°+6°=5,

???Z-BOD=乙COD+乙BOC=10°+50°=60°;

變式跟進3答圖①

②若OC在△EOD的內部，如答圖②所示.

???(BOC=50°,

??.AAOC=180°-乙BOC=180°-50°=130°.

v^COD=^AOE,

:、Z-AOE=3乙COD,

???乙COE=^AOC-^AOE=130°-3乙COD.

???乙COE+乙COD=乙EOD=90°,乙COD+乙BOD=乙BOC=50°,

???乙COE一乙BOD=40°,

???(BOD=(COE-40°.

???Z.BOC=乙BOD+乙COD=50°,

???乙COE-40°+乙COD=50°,

即130。一34。。0-40°+乙COD=50°,

???乙COD=20°,

???乙4OE=3匕COD=3x20°=60°,

At—60°4-6=10,

:.乙BOD=乙BOC-乙COD=50°-20°=30°.

綜上所述，當t的值為5或10時，Z.COD=^AOE,對應的乙BOD的度數(shù)分別為60°,

30°.

變式跟進3答圖②

題型三幾何新定義問題

例3(1)是

(2)4cm或6cm或8cm

(3)解：由題意，得4P=2tcm/Q=(12-t)cm(0Wt46),

①易知4不可能為P,Q兩點的“巧點”；

②當P為4,Q兩點的“巧點”時，

L若AP=?1AQ1,則2t=-12T),

解得t=y；

11

n.^AP=^AQ,則2t="12—t),

解得t=￡；

HI.若4P==/Q,則2t=|(12-t),

解得亡=3;

③當Q為A,P兩點的“巧點”時，

11

I.若政屋也則12T=2txg

解得(舍去)；

II.若4Q=￡/P,則12—t=2tx*

解得t=6;

22

AP如■122

--=X-

3?3

解得t=y.

綜上所述，當”片，苔3,6或多時，4,P,Q三點其中一點恰好是另外兩點為端點

的線段的“巧點

變式跟進

4.(1)8;-4

(2)(E,G)

(3)解：由題意，得點P表示的數(shù)為8—亡，點Q表示的數(shù)為一4+3￡.

???當點P到達點B時，點P,Q同時停止運動，???0<tW12.

???(P,Q)為(48)的“調和點對”，

???PA+QB=PQ或QA+PB=PQ.

當點Q在點4的左側時，

13

若PA+QB=PQ,如答圖①,2-2-

。

變式跟進4答圖①

^QA+PB=PQ,如答圖②，則31+t=[8—(-4)]+6,解得t={

RQ^A~"

變式跟進4答圖②

Q

V3x|>12,

此時點Q在點/的右側，與假設矛盾，不符合題意，舍去.

當點Q在點4的右側時，如答圖③，只能Q4+PB=PQ,則(-4+3￡)—8+(8—

t)—(—4)=(-44-3t)—(8—t),

解得t=6.

PAQ

變式跟進4答圖③

綜上所述，t的值為|或6.

例4(1)解：???乙8。。=三4/OC,/-AOC=80°,

4

???乙BOC=qx80。=60°,

/.乙AOB=2LAOC-乙BOC=80°-60°=20°.

vZ.AOB=乙COD,

???乙COD=20°,

???/,AOD=/.AOC+乙COD=80°+20°=100°.

(2)???。。是乙4。。的平分線，^AOD=120°,

???LAOC=乙COD=力。。=；X120°=60°.

22

VOB是440C的平分線，

11

--

：?Z.BOC22

???乙BOD=乙BOC+乙COD=30°+60°=90°.

(3)如答圖.

例4答圖

???Z.AOB:Z.BOC,.乙COD=2:3:4,

???設乙40B=2%°,乙BOC=3%°,乙COD=4%°.

???0M,ON分另U是心力OB彳口/COO的平分線，

???乙MOB=-^AOB=x°,乙CON=-^COD=2x°.

???乙MON=90°,

???乙MOB+乙BOC+乙CON=90°,

即%+3%+2%=90,

解得％=15,

???^AOD=^AOB+乙BOC+乙COD=9x°=135°.

(4)①60°

②???08為N/OC的平分線，

:.Z.AOB=Z-BOC.

???OC為48OP的“分余線”，

???Z.BOC+乙BOP=90°或4COP+乙BOP=90°.

當乙BOC+乙BOP=90°時，

設乙BOC=%°,

貝“乙AOB=%°,乙BOP=90°-%°,

???Z.COP=90°-2%°,

???乙POD=2乙COP,

???4POD=2(90。-2x。)，

v^AOD=160°,

???^AOB+乙BOP+乙POD=160°,

???x+90-％+2(90-2%)=160,

解得％=27.5,

???(COD=Z.AOD-2^AOB=160°-2x27.5°=105°;

當乙COP+乙BOP=90°B寸，

設乙COP=y°,則4BOP=90°-y°,

???乙4OB=90°-2y°,乙POD=2y°,

???AAOB+乙BOP+乙POD=160°,

A(90-2y)+(90-y)+2y=160,

解得y=20,

???(COD=乙COP+乙POD=20°+40°=60°.

綜上所述，4COD的度數(shù)為105°或60°.

過關訓練

A組?基礎達標

1.(1)-5;15

(2)20

(3)①解：設點M,N運動時間為ts,則點M表示的數(shù)為一5+33點N表示的數(shù)為

2t.

(3)①??,點M,N到原點0的距離相等，

???|-5+3tl=2t,

即-5+3t=2t或5—3t=2t,

解得t=5或t=l,

???經(jīng)過5s或Is,點M,N到原點。的距離相等.

②???4"=3BN,

???3t=3|15-2t|,

解得t=5或t=15.

當￡=5時，-5+3t=—5+15=10;

當t=15時，-5+3t=-5+45=40.

??.當4M=3BN時，點M在數(shù)軸上對應的數(shù)為10或40.

2.(1)-10;5

(2)解：設經(jīng)過加后，點4,8相距1個單位長度.

由題意，得|15—(2+5"|=1,

解得t=2或t=y.

???經(jīng)過2s或募s后，點Z,B相距1個單位長度.

(3)設經(jīng)過Js,則點4表示的數(shù)為一10+2￡i,點B表示的數(shù)為5+5ti，點尸表示的

數(shù)為明,

AP—4tl—(—10+2t])=2tl+10,PB=5+5tl—4tl=5+,OP—4tj,

**?3AP+2.BP—TTLOP—6ti+30+10+2ti-THX4tl=8tl—4?72tl+40,

???當m=2時，3/P+28P—mOP為定值，定值為4().

3.(1)舟單：???。0,0E分別平分4力。。，乙BOC,

1

oo7ooN1o

-X)-

???乙COE=-Z.COB=-x70°=35°,乙COD=-LAOC

22'22(9

???乙DOE=乙COE+乙COD=35°+10°=45°.

(2)4DOE的大小不變，等于45。,

???。0,0￡1分另|平分44。。,48。。，

???/,DOE=Z.DOC+乙COE=1乙COB+g4Aoe=；(乙COB+△/℃)=；乙AOB=1x

90°=45°.

(3)4DOE的大小不變，等于45°.

理由4口下/口答圖，vOD,OE分另U平分44。。，(BOC,

第3題答圖

11111

:.乙DOE=(DOC-乙COE=^AOC-^COB=j(z/10C-乙COB)=^AOB=^x

90°=45°.

故4DOE的大小不變，等于45°.

B組?能力提升

4.C

5.(1)100

(2)解：???々BOC=80°,2408=120°,^COD=60°,

:.^AOC=^AOB-乙BOC=120°-80°=40°,乙BOD=乙BOC-乙COD=80°-

60°=20°.

v440M=^AOC=(產)°,乙BON=^BOD=(§)°,

???LMON=^AOB-LAOM一(BON=120°-(：)°-(^)°=100°.

(3)①當0<ri<60時，如答圖①，

A0

第5題答圖①

vZBOC=n°,

???^AOC=Z-AOB一乙BOC=120°-n°,

乙BOD=乙COD一乙BOC=60°-n°,

212

???乙MON=ZMOC+乙BOC+乙BON=^AOC+LBOC+^BOD=1(120°-n°)+

121

n°+i(60°-n°)=80o-1n°+n°+20°-^n°=100°;

。DO

②當60<n<120時，如答圖②.

???(BOC=n°,

???^AOC=^AOB-乙BOC=120°-n°,

乙BOD=乙BOC-乙DOC=n°-60°,

???乙MON=ZMOC+乙BOC-乙BON

=\LAOC+乙BOC一之乙BOD

33

21

=((120°-n°)+no-kn°-60°)

21

=80°-幼°+71°-+20。

33

=100°;

第5題答圖②

③當120＜九V180時，如答圖③.

N

B

I)

第5題答圖③

vZ.BOC=n°,

???^AOC=乙BOC-^AOB=n0-120°,

乙BOD=(BOC-乙DOC=n°-60°,

???乙MON=Z.BOC-乙MOC-乙BON

21

=n°-1(n°-120°)-kn°-60°)

21

=幾。_；幾。+。_：幾。+。

380320

=100°.

綜上所述/MON的度數(shù)為100°.

6.(1)-2

(2)解：存在某個時刻￡,使得點P到點4的距離是點P到點B的距離的2倍.

由已知，得點P對應的數(shù)為一5+2C,

???PA=2t、PB=|-5+2t-1|=|2t-6].

???PA=2PB,

???2t=2\2t—6|,

當2t=2(2￡-6)時,t=6;

當2t=-2(21-6)時,t=2;

??.t的值為6或2.

(3)數(shù)瓶與數(shù)幾滿足的數(shù)量關系是6+13幾=0.理由如下.

點M對應的數(shù)為m,點N對應的數(shù)為幾則MN的中點對應的數(shù)為

???點M在原點左側，點N