隱形圓之對(duì)角互補(bǔ)作圓

1.（2024秋?新樂市期中）如圖，在矩形A8CO中，AB=3f8c=5,點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，連接8瓦

作EFJLBE,垂足為￡,直線E尸交線段。。于點(diǎn)F,則變=（）

BE

2.（2024春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，矩形ABCO的對(duì)角線相交于。，過點(diǎn)。作OEJLB。，交A。

點(diǎn)、E,連接若NA8E=2O。，則NAOE的大小是（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

3.（2024秋?宜興市期中）如圖四邊形ABCD中，ZABC=ZACD=ZADC=45°f△DBC的面積

為8,則BC長(zhǎng)為

4.（2025秋?碑林區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形ABCQ中，ZBAD=ZBCD=90°fZACD=30°fAD

=2,E是AC的中點(diǎn)，連接。瓦則線段QE長(zhǎng)度的最小值為

5.（2025秋?雙流區(qū)校級(jí)期中）如圖，正方形ABCO中，40=1,點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接。耳

過點(diǎn)E作EFIED,交AB于點(diǎn)F,連接DF,交AC于點(diǎn)G,<△EFG沿EF翻折，得到△EFM,連

接DM,交EF于點(diǎn)N,若點(diǎn)廠是48的中點(diǎn)，則

（1）FM=,

（2）tanZMDE=.

D

6.（2025?南京二模）定點(diǎn)O、尸的距離是5,以點(diǎn)O為圓心，一定的長(zhǎng)為半徑畫圓。O,過點(diǎn)P作。O

的兩條切線，切點(diǎn)分別是3、C,則線段的最大值是.

7.（2024秋?松北區(qū)期末）已知：在△ABC中，AB=AC=6fZB=30°,E為BC上一點(diǎn)、,BE=2EC,

n

DE=DC,ZADC=60t則AO的長(zhǎng)

8.（2024春?句容市校級(jí)月考）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)石是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)“是

CQJ?一點(diǎn)，ACE=DFrAF.OE相交于點(diǎn)O,則OC的值為

9.（2024?南平模擬）如圖，A8是。。的直徑，點(diǎn)。在。。上，CD_LA8于。，且/。。。=60。，E

為弧8C上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8、C重合）,過￡分別作于E凡LA8于b，EG_LOC于G.

現(xiàn)給出以下四個(gè)命題：

@ZGEF=60°;@CD=GF;③4GE尸一定為等腰三角形；④E在弧8C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在某個(gè)時(shí)刻使

得AGEF為等邊三角形.

其中正確的命題是.（寫出所有正確命題的序號(hào)）

10.（2025秋?簡(jiǎn)陽市期中）如圖，在正方形A8CO中，AO=8,點(diǎn)七是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接。瓦

過點(diǎn)E作E/LLEO,交/W于點(diǎn)匕連接。F,交AC于點(diǎn)G,將△￡/七沿石尸翻折，得到△連

NE

接QM,交ER于點(diǎn)N,若點(diǎn)尸是A8的中點(diǎn)，則尸M=,—=

DE

DC

11.（2025?紅谷灘區(qū)校級(jí)模擬）（1）學(xué)習(xí)心得：小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到有一

些幾何問題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在AABC中，AB=ACtZBAC=8O°,。是AABC外一點(diǎn)，且AO=AC,求N8OC的

度數(shù).若以點(diǎn)A為圓心，A3為半徑作輔助圓。A,則點(diǎn)C、。必在。A上，NB4C是。A的圓心角，

而NBDC是圓周角，從而可容易得到NBOC=.

（2）問題解決：

如圖，在四邊形ABC。中，ZBAD=ZBCD=90°fNBDC=25。,求NBAC的度數(shù).

（3）問題拓展：

拋物線），=—；（x—iy+3與），軸交于點(diǎn)A,頂點(diǎn)為8,對(duì)稱軸8c與x軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P在拋物線上，

直線PQ〃灰？交x軸于點(diǎn)Q,連撰BQ.

①若含45。角的直線三角板如圖所示放置，其中，一個(gè)頂點(diǎn)與C重合，直角頂點(diǎn)。在BQ上，另一頂

點(diǎn)E在尸。上，求Q的坐標(biāo)；

②若含3（）。角的直角三角板一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)。在3Q上，另一個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上，點(diǎn)

。與點(diǎn)3,點(diǎn)Q不重合，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

14.(2024?許昌二模)如圖1,在RSA8C中，NABC=90。，BA=BC,直線MN是過點(diǎn)A的直線

CD1MN于點(diǎn)D,連接BD.

(1)觀察猜想

張老師在課堂上提出問題：線段力C,A。，BD之間有什么數(shù)量關(guān)系.經(jīng)過觀察思考，小明出一種思

路：如圖1,過點(diǎn)、B作BELBD,交MN于點(diǎn)區(qū)進(jìn)而得出：。。+4。=BD.

(2)探究證明

將直線MN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫出此時(shí)線段。C,AD,8。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明

(3)拓展延伸

在直線MN繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)△A。。面積取得最大值時(shí)，若CO長(zhǎng)為1,請(qǐng)直接寫3。的長(zhǎng).

15.(2025秋?灌南縣校級(jí)月考)(1)【學(xué)習(xí)心得】

小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問懣，如果添加輔助圓，運(yùn)用園的知識(shí)解決，

可以使問題變得非常容易.

例如：如圖I,在△ABC中，AB=ACfNB4C=90。，。是△ABC外一點(diǎn)，且AO=AC,求NBOC的

度數(shù)，若以點(diǎn)A為圓心，為半徑作輔助圓。A,則點(diǎn)C、。必在。A上，NB4C是。A的圓心角，

而NBDC是圓周角，從而可容易得到/8QC=°.

(2)【問題解決】

如圖2,在四邊形ABC。中，/BAD=NBCD=90。,ZBDC=25°,求NZMC的度數(shù).

小剛同學(xué)認(rèn)為用添加輔助圓的方去，可以使問題快速解決，他是這樣思考的：4AH。的外接圓就是

以的中點(diǎn)為圓心，,BQ長(zhǎng)為半徑的圓；△BCD的外接圓也是以BO的中點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半

22

徑的圓.這樣A、B、C、。四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，進(jìn)而可以利用圓周角的性質(zhì)求出NBAC的度數(shù)，請(qǐng)

運(yùn)用小剛的思路解決這個(gè)問題.

(3)【問題拓展】

如圖3,在△ABC中，NBAC=45。,AD是BC邊上的高,且BQ=4,CD=2t求4力的長(zhǎng).

16.(2024?碑林區(qū)校級(jí)四模)問題發(fā)現(xiàn)：

(1)如圖①，點(diǎn)A和點(diǎn)8均在。。上，且NAO8=90。，點(diǎn)產(chǎn)和點(diǎn)Q均在射線AM上，若NAP8=45。，

則點(diǎn)尸與。O的位置關(guān)系是;若NAQBV45。，則點(diǎn)Q與。O的位置關(guān)系是.

問題解決：

如圖②、圖③所示，四邊形A8CD中，AB1BC,AD1DC,NDA8=135°,且A8=l,AD=2近,

點(diǎn)P是8。邊上任意一點(diǎn).

(2)當(dāng)NAPO=45。時(shí)，求8尸的長(zhǎng)度.

(3)是否存在點(diǎn)P,使得NAPQ最大？若存在，請(qǐng)說明理由，并求出5尸的長(zhǎng)度；若不存在，也請(qǐng)

說明理由.

17.(2024秋?香坊區(qū)校級(jí)月考)如圖，。為△A3。外一點(diǎn)，連接BC、CD、AC,過點(diǎn)A作AE_L8C,

BE=CE.

(1)求1正：AB=AC.

(2)若NAO8+，NBOC=90。，求證：ZABD=ZACD.

2

(3)在(2)的條件下，BD=3CD,ZAC￡>=60°,A8=8,求長(zhǎng)度.

B

18.(2025秋?越秀區(qū)校級(jí)期中)如圖1,在aABC中，ZACB=90°,CZ)平分NAC3,且于

點(diǎn)D.

(1)判斷AAB。的形狀；

(2)如圖2,在(1)的結(jié)論下，若BQ=26,DQ=3,N5QO=75。，求AQ的長(zhǎng);

(3)如圖3,在(1)的結(jié)論下，若將03繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°)得到0P,連接BP,

作DELBP文AP于點(diǎn)F.試探究Ab與OE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

19.(2025秋?西城區(qū)校級(jí)期中)如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與A,

C重合)，連接8P,過點(diǎn)A作直線BP的垂線段，垂足為點(diǎn)。，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得

到線段AE,連接OE,CE.

(1)求證：BD=CE;

(2)延長(zhǎng)交8C于點(diǎn)尸，求證：￡為8C的中點(diǎn);

(3)若△ABC的邊長(zhǎng)為1,直接寫出現(xiàn)7的最大值.

D

s

20.(2025?碑林區(qū)校級(jí)模擬)問題提出：

(1)如圖①，半圓O的直徑AB=10，點(diǎn)P是半圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△F3的面積最大值是

問題探究：

(2)如圖②，在邊長(zhǎng)為10的正方形ABC7)中，點(diǎn)G是邊的中點(diǎn)，E、b分別是A。和CO邊上

的點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄坎⑶蟪鏊倪呅蜝EFG的周長(zhǎng)的最小值.

問題解決：

(3)妲圖③，四邊形A8CQ中，A8=AO=6,ZBAD=60°fZBC￡>=120°,四邊形48CD的周長(zhǎng)是

否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖①圖②圖③

1.（2024秋?新樂市期中）如圖，在矩形A3CO中，八3=3,3c=5,點(diǎn)七在對(duì)角線AC上，連接3七,

作E凡LBE,垂足為E,直線E/交線段。C于點(diǎn)F,則"||=（）

【解答】解：如圖，連接8R取8尸的中點(diǎn)。，連接。E,OC.

???四邊形A8CQ是矩形，EF1BE,

???四邊形對(duì)角互補(bǔ)，

:?B,C,F,E四點(diǎn)共圓,

:.NBEF=NBCF=90°,AB=CD=3,BC=AD=5.

?：OB=OF,

：.OE=OB=OF=OC,

C,F,E四點(diǎn)在以。為圓心的圓上，

???ZEBF=/ECF,

tanZEBF=tanNACD,

?EF=AD=5

??EBCD3'

故選:B.

2.（2024春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，矩形ABCQ的對(duì)角線相交于O,過點(diǎn)。作OE_LB。，交4。

點(diǎn)、E,連接8E,若N4BE=2（T,則NAOE的大小是（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

【解答】解：如圖取6石的中點(diǎn)K.連接AK、OK.

???/8AE=9（r,

9：EO±BD,

：.ZBOE=90°,

???四邊形ABOE對(duì)角互補(bǔ)，

???A、B、。、E四點(diǎn)共圓，

?：BK=KE,

:?KA=KB=KO=KE,

：.ZABE=ZAOE=20°,

故選：C.

二.填空題（共8小題）

3.（2024秋?宜興市期中）如圖，四邊形ABCQ中，NABC=NACO=NAOC=45°,△DBC的面積

為8,則8c長(zhǎng)為4.

D

【解答】解：如圖，作DHLBC交BC的延長(zhǎng)線于”，取CD的中點(diǎn)。，連接04,

：.ZDHC=90°,

二四邊形OACH對(duì)角互補(bǔ)，

??.A,C,H,。四點(diǎn)共圓，

?：ZDAC=90°，CO=ODf

：.OA=OD=OC=OH,

???A,C,H,。四點(diǎn)在以。為圓心的圓上，

*：AC=AD,

：.ZCHA=ZAHD=45°,（沒有學(xué)習(xí)四點(diǎn)共圓，可以這樣證明：過點(diǎn)A作十M,過點(diǎn)A

作AN_LBH于N,證明推出AM=AN,推出AH平分NMHN即可）

VZABC=45°,

：.ZBAH=90°,

:,BA=AH,

?；/BAH=NCAD=90°,

:./BAC=/HAD,

*：AC=AD,AB=AH,

：./\BAC^/\HAD（SAS）,

:.BC=DH,

，S.BCD=^XBCXDH=1XBC2=S,

22

???8C=4或-4（舍棄），

故答案為4.

4.（2025秋?碑林區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形A8CZ）中，N8AO=NBCO=90°,NACQ=30°,

AD=2,E是AC的中點(diǎn)，連接?！?則線段OE長(zhǎng)度的最小值為—畬-1_.

【解答】解：VZB4D=ZBCD=90°,

???A、B、C、Q四點(diǎn)共圓，且B7）為直徑，取BQ中點(diǎn)O,則圓心為點(diǎn)O,

連接A。、CO,取AO中點(diǎn)F,連接EEDF,

VZACD=30°,

AZAOD=GO°,

???0A=0。,

.?.△QAO為等邊三角形,

：.OA=OD=OC=AD=2f

：.ZAFD=90°,則=畬，

???石”是△AOC的中位線，

：.EF=^OC=\,

2

在AOE/中，DF-EFWDE,

???當(dāng)。、E、尸三點(diǎn)共線時(shí)，QE取到最小，最小值為

????！甑淖钚≈禐檎?1.

5.(2025秋?雙流區(qū)校級(jí)期中)如圖，正方形45CD中，AO=1,點(diǎn)七是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接。石，

過點(diǎn)E作交AB于點(diǎn)F,連接。凡交AC于點(diǎn)G,將△￡：林；沿E/翻折，得到△EF'M,

連接。M,交EE于點(diǎn)N,若點(diǎn)尸是AB的中點(diǎn)，則

(1)FM=返，

一6一

(2)tanZMDE=2.

一2一

D

【解答】解：(1)???四邊形ABCO是正方形,

0

：.CD//AB,AB=AD=]fZBAD=9O,

???點(diǎn)廠是AB的中點(diǎn)，

：.AF=^AB=^f

22

在RlZ\A。/中，根據(jù)勾股定理得，OF="在定=當(dāng)

<AB//CD,

：.△AFGs/\CDG,

?FG^AF_1

**EG"CD~2

?

?.FG-19

DF3

：.FG=-DF=^-f

36

由折疊知，F(xiàn)M=FG,

:.FM=?,

6

故答案為：與

6

(2)如圖,

VAC是正方形ABCD的對(duì)角線，

???/C4O=45°,

V￡F±DE,

AZDEF=90°=/BAD,

???/BW+NOEF=180°,

???點(diǎn)A,D,E,尸四點(diǎn)共圓,

：.ZDFE=ZDAC=45°,

：.ZEDF=45°,

???DE=EF=近DF=^2.,

24

連接GM,交EF于P,

由折疊知，PG=PM,GM±EF,

*.?DEIEF,

:.GM〃DE,

??.△FPGsAFED,

?FG=FG=PF=_1

>，rE=DFEF~3f

?,.PF=LEF=^^-,

312

:?PE=EF-PF=^^-,

6

YGM//DE,

:.AMPNsADEN,

?FN=PM=PG=_1

??麗布一瓦―丁

?..-F-E_-4，

EN3

:.EN=WPE=?-,

48

V10

在RtZ\O￡N中，tanNMOE=3i=洛-=』

DE2

4

故答案為：—.

2

6.（2025?南京二模）定點(diǎn)0、P的距離是5,以點(diǎn)。為圓心，一定的長(zhǎng)為半徑畫圓O。，過點(diǎn)尸作

。。的兩條切線，切點(diǎn)分別是8、C,則線段8c的最大值是J.

【解答】解：〈PC、P8是。。的切線，

：.ZPCO=ZPBO=90°,

???四邊形CPBO對(duì)角互補(bǔ)，

點(diǎn)C、B在以O(shè)P為直徑的圓上，

???BC是這個(gè)圓的弦，

，當(dāng)8C=OP=5時(shí)，8c的值最大（直徑是圓中最長(zhǎng)的弦）.

7.（2024秋?松北區(qū)期末）已知：在△45C中，AB=AC=6,ZB=30°,E為BC上一月,BE=2EC,

DE=DC,ZADC=60°，則AO的長(zhǎng)_2^_.

D

【解答】解：連接AE,過點(diǎn)4作A""L8C于"點(diǎn)，在RtZVIB”中,

VZB=30°,：.AH=^AB=3.

2

利用勾股定理可得BH=3M，

根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可知C”=8”=3a，BC=6M.

：.CE=^BC=2y/3.

：.HE=CH-CE=43.

在RtZiA”七中，由勾股定理可求AE=2炳.

所以A￡=CE,ZCAE=ZACB=30°,

所以NA￡9=60°=AADC,

???四邊形AECO對(duì)角互補(bǔ)，

?,?點(diǎn)4、。、C、E四點(diǎn)共圓，

AZADE=ZACE=30°,

所以NCOE=NAQC?NAOE=30°.

?：DE=DC,：.ZDEC=15°.

AZAED=120°-75°=45°.

過點(diǎn)4作AM_LOE>于”點(diǎn)，

則AM=叵AE=心

2

在RtZXAMO中，ZADM=30c,

.\AD=2AM=2>/6.

故答案為276.

8.（2024春?句容市校級(jí)月考）如圖，正方形A3CO的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是

CD上一點(diǎn)、,且CE=QRAF.OE相交于點(diǎn)0,BO=BA,則0C的值為_2必3_.

5

AD

B

【解答】解：如圖,

???四邊形ABC。是正方形，

：.AD=DC,NADF=NECD=NABC=90°,

?:DF=CE,

：.△ADFQXDCE、

：?/DAF=NEDC,

*：ZEDC+ZAD0=9Q°,

：.ZDAF+ZADO=90°,

：.ZAOD=90°,

???四邊形A8E0對(duì)角互補(bǔ)，

."、B、E、。四點(diǎn)共圓，

取AE的中點(diǎn)K,連接。K、OK,作OM_LCO于M.

貝ijKB=AK=KE=OK,

?；BA=BO,

：./BAO=NBOA=NAEB=4DEC,

*：AB=DC,/ABE=/DCE,NAEB=NDEC,

：.

:?BE=EC=1,

???DF=EC=FC=1,

DE—I2+22=V5，

■:ADFOs^DEC,

?CD=OF=DF

**ECECDE?

.CD0F1

91一五，

監(jiān)0F&

：.OD=

55

?：1?DO?OF=Z?DF*OM，

22

?,.OM=2,

5

???M尸=近2-042=1'

????！?1+2一旦

55

在RlZ\OMC中，6>C=7oM2<M2=i^

0

故答案為■pT3.

9.（2024?南平模擬）如圖，A8是。。的直徑，點(diǎn)C在（DO上，于。，且NCOO=60°,E

為弧8C上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8、。重合），過E分別作于E/QLA8于F,EG_LOC于G.

現(xiàn)給出以下四個(gè)命題：

①NGEF=60°；②CD=GF；③△GEF一定為等腰三角形；④E在弧3C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在某個(gè)時(shí)

刻使得aGEb為等邊三角形.

其中正確的命題是①②④.（寫出所有正確命題的序號(hào)）

【解答】解：?VEF1AB,EG1OC,

:?/EGO=/EFO=90°.

：.ZGEF+ZGOF=\SO0.

???/G。尸=180°-ZCOD=\SO°-60°=120°,

.,.ZGFF=180°-120°=60°.

故①正確.

②連接OE,取OE的中點(diǎn)O',連接O'F,GO',如圖所示.

*：ZEGO=ZEFO=90°，點(diǎn)。,是。石的中點(diǎn)，

，0'G=O'F=^OE.

2

???點(diǎn)、E、G、。、產(chǎn)在以點(diǎn)。'為圓心，0'。為半徑的圓上.

延長(zhǎng)GO'交。?！赗,連接RF.

則有NGRf^NGE尸=60°.

YGR是。0’的直徑，：.ZGFR=90°.

，GF=GR?sinZGRF=OE?sin60°=?OE=?OC=CD.

22

故②正確.

③假設(shè)△￡＜；尸一定是等腰三角形，

VZGEF=60°,???△EGE一定是等邊三角形.

???EG與E尸一定相等.

但E為弧BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8、。重合），顯然EG與EF不一定相等.

???假設(shè)不成立.

故③錯(cuò)誤.

④當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到標(biāo)的中點(diǎn)時(shí)，

則有NC0E=N80E.

：.EG=EF.

???NGEF=60°,

???△EGF是等邊三角形.

故④正確.

故答案為：①②④.

10.（2025秋?簡(jiǎn)陽市期中）如圖，在正方形4BCQ中，4D=8,點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接。E,

過點(diǎn)E作《nLEO,交AB于點(diǎn)F,連接。F,交AC于點(diǎn)G,將△￡：//；沿E/7翻折，得到△"也

連接。M,交EF于點(diǎn)N,若點(diǎn)尸是AB的中點(diǎn)，則五M=史區(qū)，膽=2.

-3-DE~2~

【解答】解：???將沿EF翻折，得到△QM,

；?FG=FM,

???四邊形ABCO是正方形，

:.AB〃CD,

：.AAGFs4CGD,

?EFAF

?.=---,

EGCD

???點(diǎn)1是AB的中點(diǎn),

：.AF=^CD,

2

??.FG二—1,

EG2

???AO=8,

AAF=4,

AD/7=VAD2+AF2=4V5,

:,FM=FG=^~\

3

VAC是正方形ABCD的對(duì)角線,

：.ZCAD=45°,

TEFtDE,

：.ZDEF=90°=/BAD,

：.ZBAD+ZDEF=\SO0,

???點(diǎn)A,D,E,尸四點(diǎn)共圓，

：.ZDFE=ZDAC=45°,

：.ZEDF=45°,

???DE=EF=叵DF=2V15，

2

連接GM,交EF于P,

由折疊知，PG=PM,GM_LEF,

VDE1EF,

:?GM〃DE,

:?AFPGS4FED,

?FGFGPF1

DE-DF-EF-3

.??尸產(chǎn)=押=17私

?：GM〃DE,

:.AMPNs^DEN,

?FNPMPG1

*'EN'DE=DE

?

??PE=—4,

EN3

.?.￡/V=-1PE=VIO，

在RtZXOEN中，典=1，

DE2^/102

故答案為：生區(qū)；1.

32

三.解答題（共16小題）

11.（2025?紅谷灘區(qū)校級(jí)模擬）（1）學(xué)習(xí)心得：小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到有一

些幾何問題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在△43C中，AB=AC,NB4C=80°,。是△ABC外一點(diǎn)，且AD=AC,求NBDC

的度數(shù).若以點(diǎn)A為圓心，為半徑作輔助圓OA,則點(diǎn)C、。必在OA上，NB4C是OA的圓心

角，而NBQC是圓周角，從而可容易得到NBDC=4而.

（2）問題解決：

如圖，在四邊形A8CO中，/BAD=/BCD=90°,ZBDC=25°,求N84C的度數(shù).

（3）問題拈展：

拋物線y=_L（x_i）2+3與）,軸交于點(diǎn)4,頂點(diǎn)為B,對(duì)稱軸8。與x軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸在拋物線上，

直線。。〃6。交工軸于點(diǎn)Q,連接80.

①若含45°角的直線三角板如圖所示放置，其中，一個(gè)頂點(diǎn)與C重合，直角頂點(diǎn)。在3Q上，另

一頂點(diǎn)E在PQ上，求。的坐標(biāo)；

②若含30°角的直角三角板一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合,直角頂點(diǎn)。在BQ上，另一個(gè)頂點(diǎn)E在尸。上，

點(diǎn)。與點(diǎn)B,點(diǎn)。不重合，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

9

【解答】解：（1）：AB=ACfAD=AC,

工以點(diǎn)A為圓心，點(diǎn)8、C、。必在GM上，

???/6AC是0A的圓心角，而/6DC是圓周角,

AZBDC=^ZBAC=40°，

2

(2)如圖2,

?：/BAD=/BCD=90。,

???點(diǎn)A、B、C、。共圓，

；?/BDC=/BAC,

'：ZBDC=25°,

：.ZBAC=25°,

???點(diǎn)B為拋物線y=-^（x-1）2+3的頂點(diǎn)，

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,3）,

745°角的直角三角板如圖所示放置，其中，一個(gè)頂點(diǎn)與。重合，直角頂點(diǎn)。在8Q上，另一頂

點(diǎn)E在尸。上，

，點(diǎn)。、C、Q、E共圓，

:?/CQR=/CFD=4S0,

???CQ=BC=3,

A00=4,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（4,0）,

②如圖4,

I、當(dāng)30°的角的頂點(diǎn)與點(diǎn)。重合時(shí),

??,直角三角板30°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)。在3Q上,另一個(gè)頂點(diǎn)￡在PQ上

，點(diǎn)￡）、C.Q、石共圓,

:.NCQB=/CED=60°,

.?.CQ=^-BC=43f

***0。=1>

?,?把1+?代入片—（乂-1）2+3得>=~1，

，點(diǎn)p的坐標(biāo)是（1+?,9）

4

直角頂點(diǎn)。在8。上,另一個(gè)頂點(diǎn)E在P。上

二點(diǎn)。、C、Q、E共圓,

:./CQB=/CED=30。,

:?CQ=MBC=3M，

，。。=1+3?,

?,?把l+3d^代入y=—）?+3得y=

???點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1+3禽，-—）

4

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1+f，?）或（I+3V3，-匹）.

44

12.（2024秋?九龍坡區(qū)期末）（1）如圖1,四邊形￡尸G”中，F(xiàn)E=EH,ZEFG+ZEHG=[S00,點(diǎn)

A,B分別在邊EG,GH上,且N4EB=2NFE/7,求證：AB=AF+BH.

2

（2）如圖2,四邊形EFG”中，F(xiàn)E=EH,點(diǎn)M在邊EH上,連接產(chǎn)M,EN平分NFEH交FM于

點(diǎn)M/ENM=a,ZFGH=180°-2a,連接GMHN.

①找出圖中與N”相等的線段，并加以證明；

②求NNG"的度數(shù)（用含a的式子表示）.

【解答】（1）證明：如圖1中，延長(zhǎng)8月到M,使得”用=雨，連接EM.

VZF+ZE/7G=180°,NEHG+NEHM=180°,

:?/F=/EHM,

;AE=HE,FA=HM,

：./\EFA^/\EHM(SAS),

：.EA=EM,NFEA=/HEM,

,:/EAB=X/FEH,

2

???ZFEA+ZBEH=ZHEM+ZBEH=/BEM=*/FEH,

2

：?4AEB=/BEM,

?:BE=BE,￡4=EM,

MAEB^AMEB(SAS),

,?BM=BH+HM=BH+AF,

：.AB=AF+BH.

(2)解：①如圖2中，結(jié)論：NH=FN.

圖2

理由：?:NE平/分/FEH,

???NFEN=/HEN,

?；EF=EH,EN=EN,

：.AENF^/\ENH(SAS),

:?NH=FN.

②;△EN/7義

???NENF=4ENH,

VNENM=a,

:?NENF=NENH=1800-a,

；?NMNH=1800-a-a=180°-2a,

/GH=180°-2a,

???ZMNH=/FGH,

?：NMNH+/FNH=188,

：.ZFGH+ZFNH=\SO°,

???四邊形R7"N對(duì)角互補(bǔ)，

??.F,G,H,N四點(diǎn)共圓，

?:NH=NF,

???而=而，

???/NGH=/NGF=L/FGH=90°-a.

2

13.（2025?潢川縣校級(jí)一模）如圖1,點(diǎn)8在直線/上，過點(diǎn)8構(gòu)建等腰直角三角形A6C,使NBAC

=90",且A6=AC,過點(diǎn)C作CO_L直線/于點(diǎn)。，連接AD.

（1）小亮在研究這個(gè)圖形時(shí)發(fā)現(xiàn)，N8AC=N8OC=9（）°,點(diǎn)人。應(yīng)該在以為直徑的圓上，

則ZADB的度數(shù)為45°,將射線AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交直線I于點(diǎn)E,可求出線段AD,BD,

CO的數(shù)量關(guān)系為CD+BD=MAD；

（2）小亮將等腰直角三角形八8C繞點(diǎn)8在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，線段AZ）,BD,

CO的數(shù)量關(guān)系是否變化，請(qǐng)說明理由；

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，若CD長(zhǎng)為1,當(dāng)△48。面積1R得最大值時(shí)，請(qǐng)直接與AO的長(zhǎng).

VZBAC=90°,且4B=AC,

???/ACB=NABC=45°,

?.?NBAC=NBDC=90°,

?"、B、C、。四點(diǎn)共圓，

AZADB=ZACB=45°；

②由題意可知，ZEAD=ZBAC=90°,

/./EAR=7DAC,

XAE=ADfAB=AC,

也△OAC(SAS),

:.BE=CD,

9：AE=AD,ZEAD=90°,

???△AOE是等腰直角三角形，

:,DE=?AD,

;CD+DB=EB+BD=DE,

:?CD+DB=&AD；

故答案為45c,CD+DB=^/2AD；

（2）線段4。，BD,C。的數(shù)量關(guān)系會(huì)變化，數(shù)量關(guān)系為CO=&AO.

理由如下：

如圖2,將A。繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交直線/于點(diǎn)￡

：.ZDAC=ZEAB,

XAD=AE,AC=AB,

??.△EAB也△DAC(SAS),

:?BE=CD,

\*AE=AD,ZEAD=90°,

???△AOE是等腰直角三角形，

:?DE=?AD,

?:BD-CD=BD-BE=DE,

：.BD-CD=?AD；

(3)由(2)知，△CD4空△BEA,

:?/CDA=/AEB,

VZDEA=45°,

???/AEB=18()°-45°=135°,

：.ZCDA=ZAEB=\35°,

：.ZCDA+ZABC=]350+45°=180°,

???A、B、。、。四點(diǎn)共圓，

當(dāng)點(diǎn)。在線段A3的垂直平分線.上且在43的左側(cè)時(shí)，OG經(jīng)過圓心，此時(shí)。G最長(zhǎng)，因此△A8O

的面積最大.

作OG_LA6,貝ijDG平分乙4。6,DB=DA,在DA上截取一點(diǎn)H,使得CD=DH=1,

VZADB=ZACB=45°,

AZGM=22.5°,N力3G=67.5°,

:.NDBC=675°-45°=22.5°,

NHCB=NDHC?NHBC=45°-22.5°=22.5°,

ZHCB=/HBC,

:?HB=CH=尬,

：.AD=BD=DH+BH=\+42.

14.(2024?許昌二模)如圖1,在RtZXABC中，ZABC=90°,BA=BC,直線MN是過點(diǎn)A的直線

CDIMN于點(diǎn)、D,連接

(1)觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段DC,AD,BD之間有什么數(shù)量關(guān)系.經(jīng)過觀察思

考，小明出一種思路：如圖I,過點(diǎn)B作BELBD,交MN于點(diǎn)E,進(jìn)而得出：DC+AD=_42_BD.

(2)探究證明

將直線MN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫出此時(shí)線段OC,AD,3。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明

(3)拓展延伸

在直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)△A3。面積取得最大值時(shí)，若CQ長(zhǎng)為I,請(qǐng)直接寫B(tài)D的長(zhǎng).

由題意：△BAEQABCD,

：.AE=CD,BE=BD,

??CD~^AD=AD^~AE=DEt

〈△BOE是等腰直角三角形，

：.DE=42BD,

：?DC+AD=4^BD,

故答案為加.

(2)AD-DC=42BD.

證明：如圖，過點(diǎn)B作BELBD,交MV于點(diǎn)E.AO交8c于0.

VZABC=ZDBE=^°,

???NABE+/EBC=NCBD+NEBC,

：.ZABE=ZCBD.

???/BAE+/AOB=90°,ZBCD+ZCOD=90°,/AOB=/COD,

:?NBAE=/BCD,

：.ZABE-ZDBC,又???A6=C8,

:.ACDB學(xué)4AEB,

：.CD=AE,EB=BD,

JABD為等腰直角三角形，DE=42BD.

*：D=AD-A=AD-CD,

：.AD-DC=42BD.

(3)如圖3中，易知A、B、C、。四點(diǎn)共圓，當(dāng)點(diǎn)。在線段A5的垂直平分線上且在AB的右側(cè)

時(shí)，△48。的面積最大.

圖3

此時(shí)QGJ_A8,DB=DA,在D4上截取一點(diǎn)”，使得CD=DH=1,則易證C〃=47=&,

：.BD=AD=-/2+\.

15.（2025秋?灌南縣校級(jí)月考）（1）【學(xué)習(xí)心得】

小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些兒何問題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)

解決，可以使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90Q,。是△ABC外一點(diǎn)，且AO=AC,求NBDC

的度數(shù)，若以點(diǎn)A為圓心，為半徑作輔助圓OA,則點(diǎn)C、。必在G）A上，NBAC是0A的圓心

角,而N8OC是圓周角，從而可容易得到N8DC=45°.

（2）【問題解決】

如圖2,在四邊形ABC。中，NBAD=NBCD=90°,ZBDC=25°,求NB4C的度數(shù).

小剛同學(xué)認(rèn)為用添加輔助圓的方法，可以使問題快速解決，他是這樣思考的：的外接圓就

是以80的中點(diǎn)為圓心，工8。長(zhǎng)為半徑的圓；△3CO的外接圓也是以8。的中點(diǎn)為圓心，。長(zhǎng)

22

為半徑的圓.這樣A、B、C、。四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，進(jìn)而可以利用圓周角的性質(zhì)求出NB4c的度

數(shù)，請(qǐng)運(yùn)用小剛的思路解決這個(gè)問題.

（3）【問題拓展】

如圖3,在△A8C中，ZBAC=45°,AO是8C邊上的高，且80=4,CD=2,求AQ的長(zhǎng).

【解答】解:（1）如圖1,9：AB=AC,AD=AC,

???以點(diǎn)A為圓心，點(diǎn)8、。、。必在上，

???/84。是OA的圓心角，而N8O。是圓周角，

AZBDC=^ZBAC=45°,

2

故答案為:45；

(2)如圖2,取8。的中點(diǎn)0,連接AO、CO.

VZBAD=ZBCD=90n,

???點(diǎn)4、B、C、O共圓，

：.ZBDC=ZBAC,

'：ZBDC=25°,

：.ZBAC=25°,

(3)如圖3,作△ABC的外接圓，過圓心O作0E_L8C十點(diǎn)￡,作。尸，AO十點(diǎn)F,連接OA、

OB、OC.

'：ZBAC=45a,

AZBOC=90°.

在RlZXBOC中，BC=4+2=6,

工BO=CO=3版.

VOE1BC,。為圓心，

：.BE=—BC=3

2f

：.DE=OF=BD-BE=\.

在RtZ^5OE中，BO=3?BE=3,

:.OE=DF=3.

在RlZ\AOF中，AO=3?,OF=T,

.'MF=V17，

：.AD=AF+DF=J~17+3.

A

、?圖r

16.(2024?碑林區(qū)校級(jí)四模)問題發(fā)現(xiàn)：

(1)如圖①，點(diǎn)A和點(diǎn)B均在。。上，且乙4OB=90°,點(diǎn)尸和點(diǎn)。均在射線AM上，若NAPB

=45°,則點(diǎn)尸與。。的位置關(guān)系是點(diǎn)尸在Q。上；若NAQB<45°,則點(diǎn)Q與。。的位置

關(guān)系是點(diǎn)。在0。外.

問題解決：

如圖②、圖③所示，四邊形ABC。中，AB±BC,AD±DC,ZDAB=\35°,且A5=l,AO=2近，

點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn).

(2)當(dāng)NAPO=45°時(shí)，求BP的長(zhǎng)度.

(3)是否存在點(diǎn)P，使得N4P。最大？若存在，請(qǐng)說明理由，并求出8P的長(zhǎng)度；若不存在，也

???點(diǎn)P在。。上,

VZAQB<45°,

，點(diǎn)Q在。。外.

故答案為點(diǎn)P在OO上，點(diǎn)Q在。。外.

(2)如圖2中，如圖構(gòu)造等腰直角三角形△40。，與。為圓心作。。交3c于P、P',易知N

APD=ZAPf。=45°.

延長(zhǎng)DO交BC于H,

VZDAB=135°,ZDAO=45°,

???/OAB=N3=90°,

：.OA〃BC,

???NOOA=NO”B=90°,

???四邊形A3”。是矩形，

：.AB=OH=\tOA=BH,

?:AD=25

：.OA=OD=OP=OP'=2,

在為△OP"和RtZ\OP'77中，

易知HP=HP'=62_]2=?,

:.BH=0A=2,

：.BP'=2-V3?PB=2+43-

(3)如圖③中，存在.

作線段4。的垂直平分線，交AO于E,交BC于F,點(diǎn)。在E尸上，以0A為半徑作。0,當(dāng)。0

與8c相切于點(diǎn)P時(shí)，NAP。最大，理由：在上任意取一點(diǎn)M,連接MA、MD,MD交。0

于M連接AN.

???ZAND>NAM。，ZAPD=/AND,

：.ZAPD>ZANDf

連接OP,延長(zhǎng)DA交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

???A8_LBC,ZDAB=}35°,

???NG=NEFG=45°,

:?△ABG,ZXEFG都是等腰直角三角形，

*：AB=BG=\f

???AG=遮,?泡。=2爽，OELAD.

:,AE=ED=/

:?EG=EF=2GF=&EG=4,

設(shè)OP=PF=r,則OF=42r,OE=EF-OF=242-瓜,

在RlZ\AOE中，AE?+。/=OA,

(V2)2+(2^2~V2r)2=/，

解得r=4?46或4+46(舍棄)，

：.BP=GF-GB-尸尸=4-1-r=V6-1.

解法二：可以證明△AGPSAPGQ,推出空=空.即GP2=G4?G。，

GDGP

(1-BP)2=V2X啦,

ABP=V6-1.

17.(2024秋?香坊區(qū)校級(jí)月考)如圖，C為△ABQ外一點(diǎn)，連接8C、CD、AC,過點(diǎn)八作4EJ_BC,

BE=CE.

(1)求證：AB=AC.

(2)若NAQ3+2N5OC=9()°,求證：ZABD=ZACD.

2

(3)在(2)的條件下，BD=3CD,NACO=60°,AB=8,求8。長(zhǎng)度.

【解答】（1）證明:???A￡_LCB,BE=EC,

??AB=AC.

(2)證明：作N60C的角平分線交A石的延長(zhǎng)線于作MG_L6。于G,M/LDC交。C的延長(zhǎng)

線于立

平分NBOC,MGtDB,MFLDF,

:.MG=MF,

?：DM=DM,

：.RtADMG^RtAMDF,

TAM垂直平分線段BC,

ARtAMBG^RtAMCF,

:?BG=CF,/FCM=NMBG：

???8、D、C、M四點(diǎn)共圓，

???NMBE=/MDC,

???/AO8+/8OM=90°,/MBE+/BME=9U°,

???/BME=/ADB,

???A、B、M、。四點(diǎn)共圓，

???A、B、M、C、。五點(diǎn)共圓，

：.ABD=ZACD.

(3)解：在GD上截取GH=GB,則MB=MH=MC,

?:BG=GH=CF,DG=DF,

:?DH=CD,

?：BD=3CD,

:.BG=GH=DH,

???/AMQ=NACD=60°,NAOM=90°,

???/M8G=NM4O=30°,

：.BM=2GM,

?：/BAM=/MDG,ZDGM=ZABM=90°

：.3Ms△OGM,

?AB=MB=2

**EGMG一

???QG=4,

:.BG=GH=DH=2,

:?BD=6.

18.(2025秋?越秀區(qū)校級(jí)期中)如圖1,在△A3C中，ZACB=90°,CO平分N4CB,且

于點(diǎn)D.

(1)判斷△A8。的形狀；

(2)如圖2,在(1)的結(jié)論下，若BQ=2近,。。=3,/BQD=75：求AQ的長(zhǎng)；

(3)如圖3,在(1)的結(jié)論下，若將。8繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°)得到。P,連

接6P,作。從L8P交AP于點(diǎn)E試探究與OE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

AZACD