專題3?5二次函數(shù)壓軸：焦點與準線，動點面積，含參二次函數(shù)

如■/題型?解讀7

M■一^?MM?M

【題型1】焦點與準線2025?廣東廣州中考真題

例題12-12025?吉林中考真題

例題12—2廣東深圳?中考真題

湘潭市?中考真題2025?遼寧大連中考真題

廣東深圳?中考真題2025?四川綿陽中考真題

四川自貢?中考真題【題型6]解答題壓軸題純含參二次函數(shù)問題

宜賓?中考真題2025年浙江省紹興市中考真題

山東濱州?中考真題2025年浙江省嘉興（舟山）市中

2025?湖北鄂州中考真題考真題

2025?湖北鄂州中考真題2025年浙江省麗水市中考真題

【題型2】焦羋徑倒數(shù)和為定值2025年江蘇省南通市中考真題

廣西南寧?中考真題2025年江蘇省淮安市中考真題

【題型3】焦點弦為直徑的圓與準線相切2025?北京中考真題

2025?湖南懷化中考真題

2025?安順中考真題

湖南張家界?中考真題

?長沙中考真題

【題型4】動點運動時間與面積之間的函數(shù)圖像2025

判斷2025?廣州中考真題

2025?黑龍江齊齊哈爾中考真題

2025?貴陽中考真題

2025?遼寧鞍山中考真題

2025?天津中考真題

2025?黑龍江綏化中考真題

2025?江蘇南通中考真題2025?嘉興中考真題

2025?遼寧錦州中考真題

2025?杭州中考真題

2025?遼寧盤錦中考真題

2025?連云港中考真題

【題型5]求運動時間與面積之間的函數(shù)表達式

滿分.技/

二次函數(shù)的焦點與準線

我們已經(jīng)知道二次函數(shù)的圖像是拋物線，一種特別的曲線，其本身還具有這樣的性質(zhì)：拋物線

上的任意一點到平面中某個定點和某條定直線的距離始終相等.這個點稱為拋物線的焦點，這條直

線稱為拋物線的準線，本文將討論一些與拋物線的焦點和準線相關(guān)的問題.焦點和準線屬于高中內(nèi)

容，高中內(nèi)容下放也是中考中所常見的.

我們知道，二次函數(shù)的圖像是拋物線，它也可以這樣定義：若一個動點”(?)，)到定點A(0,

的距離與它到定直線)，=-日的距離相等，則動點M形成的圖形就叫拋物線f=2py(〃>0).

焦點一般用字母尸表示.而且實際題目中二次項系數(shù)很多時候是,，只是為了焦點坐標便于計算.

4

至于形如>=ax2+bx+c,的拋物線可化為頂點式)，=a(x-h)2+Z,然后通過由)，=/平移來確定

焦點和準線.

結(jié)論2：如下圖，F(xiàn)MA.FN.

證明：設(shè)4尸尸=。，4MQF=。,則a+/?=18()。,

???NPFN+NQFM=90-+90--/7=90\

&2

/.FN.

結(jié)論3：取PQ中點比作?軸交z?軸于“點，則PH_LQ".

11112

結(jié)論4：記與丁軸交于點G,而十而一而十加一而?

*W核心?施7

■■A?H■?一M??MM■?^M???^H*?

9

【題型1］焦點與準線

例題12-1

I.已知拋物線y=；/+1具有如下性質(zhì)：拋物線上任意一點到定點F(0,2)的距離與到工軸的距離相

等.如圖，點”的坐標為(6,3),尸是拋物線y=；V+1上的一個動點，求△PM/周長的最小

值.

例題12—2

2.我們知道，二次函數(shù)的圖像是拋物線，它也可以這樣定義：若一個動點”(，，［)到定點4(0,§)的

距離與它到定直線)，=-3的距離相等，則動點M形成的圖形就叫拋物線f=2〃y(p>0).

⑴已知動點1)到定點力(0,4)的距離與到定直線j=—4的距離相等，請寫出動點M形成的拋

物線的解析式.

(2)若點Q的坐標是(1,8),在⑴中求得的拋物線上是否存在點〃，使得最短?若存在，求出

點/'的坐標，若不存在，請說明理由.

A(0.4)

>7

湘潭市?中考真題

3.如圖’點尸為拋物線上一動點

⑴若拋物線尸%是由拋物線尸3+2)—通過圖像平移得到的'請寫出平移的過

程；

⑵若直線/經(jīng)過)，軸上一點M且平行于x軸，點N的坐標為(0,-1),過點P作PMJL/

于M.

①問題探究：如圖一，在對稱軸.上是否存在一定點F,使得PM=PF恒成立?若存在,

求出點”的坐標：若不存在，請說明理由.

②問題解決：如圖二，若點。的坐標為(1,5),求QP+P/的最小值.

廣東深圳?中考真題

4.如圖1,拋物線產(chǎn)加+瓜+3(g0)與x軸交于4(-3,0)和8(1,0),與)，軸交于點C,頂點

9

(2)如圖2,過拋物線卜任意一點M(〃?.〃)向直線/：)，=拼作垂線,垂足為￡試問在該拋物線

的對稱軸上是否存在一點兒使得演“北？若存在，請求F點的坐彬若不存在，請說明埋由.

四川自貢?中考真題

5.如圖，已知直線力△與拋物線。：)，=。^+2工+。相交于點力(-1,0)和點以2,3)兩點

(1)求拋物線('函數(shù)表達式：

(2)在拋物線C的對稱軸上是否存在定點F,使拋物線。上任意一點。到點尸的距離等于

17

到直線y二—的距離?若存在，求出定點少的坐標；若不存在，請說明理由.

宜賓?中考真題

6.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的頂點坐標為(2,D),且經(jīng)過點(4,1),如圖，直線y=-x

4

與拋物線交于//、*兩點，直線/為『=一1.

(1)求拋物線的解析式；

(2)知產(chǎn)(端,為)為平面內(nèi)一定點，(加，力為拋物線上一動點，且點”到直線/的距離與

點“到點F的距高總是相等，求定點”的出標.

y=-l

山東濱州?中考真題

7.如圖，拋物線的頂點為4(％-1),與J釉交于點6(0,-3),點~2,1)為其對稱軸上的一個定點.

(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；

(2)已知坐標平面內(nèi)的點94,3),請在拋物線上找一點Q,使的周長最小，并求此時△1?'Q

周長的最小值及點Q的坐標.

2025?湖北鄂州中考真題

8.某數(shù)學(xué)興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究)，=以2(。>0)型拋物線圖象.發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，

該類型圖象上任意一點「到定點尸0>—的距離尸尸，始終等于它到定直線/：)，=-白的距離

I4aJ4a

PN（該結(jié)論不需要證明）?他們稱：定點口圖象的焦點，定直線，為圖象的準線，尸￡叫

做拋物線的準線方程.準線/與了軸的交點為".其中原點0為切的中點，F(xiàn)H=2OF=.例

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

（1）請分別直接寫出拋物線y=5/的焦點坐標和準線/的方程：___________,____________:

4

【技能訓(xùn)練】

⑵如圖2,已知拋物線y=上一點儀％%）（/＞0）到焦點歹的距離是它到z軸距離的3倍，

求點/）的坐標；

【能力提升】

（3）如圖3,已知拋物線y=!/的焦點為入準線方程為/.直線加：），=9-3交）軸于點C,拋物

42

線上動點。到I軸的距離為4,到直線機的距離為請直接寫出4+4的最小值；

【拓展延伸】

該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線了二弟卜0。）平移至），="（％-力『+*（“＞。）.拋物線

），=a（I）2+N”0）內(nèi)有一定點直線/過點且與工軸平行.當動點。在

該拋物線上運動時，點〃到直線/的距離％始終等于點P到點尸的距離（該結(jié)論不需要證明）.例

如：拋物線y=2（x-l）2+3上的動點/,到點尸（常）的距離等于點尸到直線/：的距離.

請閱讀上面的材料，探究下題：

（4）如圖4,點。（-iT）是第二象限內(nèi)一定點，點尸是拋物線），=（/一］上一動點，當夕取最

小值時，請求出APOD的面積.

2025?湖北鄂州中考真題

9.某數(shù)學(xué)興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究,尸版（。＞0）型拋物線圖象.發(fā)現(xiàn)：如圖1所示,

該類型圖象上任意一點M到定點F（0,；）的距離始終等于它到定直線/：）=-1上

4a4a

的距離MN（該結(jié)論不需要證明），他們稱：定點/?'為圖象的焦點，定直線/為圖象的準線，J

=-1叫做拋物線的準線方程.其中原點。為"/的中點，F(xiàn)H=2OF=J,例如，拋物線j

4a2a

請分別直接寫出拋物線3=2/的焦點坐標和準線/的方程：,.

⑵【技能訓(xùn)練】

如圖2所示，己知拋物線了上一點〃到準線/的距離為6,求點/〉的坐標；

（3）【能力提升】

如圖3所示，已知過拋物線產(chǎn)/（。＞0）的焦點廠的直線依次交拋物線及準線/于點兒B、C.若

BC=2BF,zZF=4,求。的值；

（4）【拓展升華】

古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點。將一條線段

AC

分為兩段力。和C3使得其中較長一段4。是全線段月“與另一段C/S的比例中項，即涉足：警

AB

1二1.后人把正二1這個數(shù)稱為“黃金分割”把點c稱為線段/小的黃金分割點.

AC22

如圖4所示，拋物線的焦點F（0,1）,準線/與J軸交于點“（0,-1）,E為線段的黃

金分割點，點”為了軸左側(cè)的拋物線上一點.當粵=&時，請直接寫出后的面積值.

MF

【題型2】焦半徑倒數(shù)和為定值

廣西南寧沖考真題

10.如圖，拋物線產(chǎn)/+C（#0）經(jīng)過c（2,o）,D（0,-1）兩點，并與直線尸獨交于月、B

兩點，直線/過點后（0,-2）且平行于I軸，過力、△兩點分別作直線/的垂線，垂足分別為

點，W、N.

(3)探究：

①當仁()時，直線》=心與上軸重合，求出此時3+上的值；

AMBN

②試說明無論〃取何值，=7+上的值都等于同一個常數(shù).

AMRN

【題型3】焦點弦為直徑的圓與準線相切

2025?湖南懷化中考真題

11.如圖一所示，在平面直角坐標系中，拋物線)，=加+法-8與x軸交于A(TO)、8(2,0)兩點，與

丁軸交于點C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式及頂點坐標；

⑵設(shè)直線=6+A-邛35交拋物線于點M、N,求證：無論k為何值，平行于x軸的直線/,:尸-二37

4'4

上總存在一點E,使得NMEN為直角.

湖南張家界-中考真題

12.如圖，已知二次函數(shù)y=aP+i(aH(),.為實數(shù))的圖像過點月(―2,2),一次函數(shù))=獨+優(yōu)〃

W0，鼠6為實數(shù))的圖像1經(jīng)過點伙0,2).

(1)求。值并寫出二次函數(shù)表達式；

⑵求6值;

⑶設(shè)直線1與二次函數(shù)圖像交于M,N兩點，過V作MC垂直1軸于點C,試證明：

A/B=A/C；

(4)在(3)的條件下，請判斷以線段為直徑的圓與z軸的位置關(guān)系，并說明理由.

【題型4】動點運動時間與面積之間的函數(shù)圖像判斷

2025?黑龍江齊齊哈爾中考真題

13.如圖，在正方形A8C。中，A3=4,動點M,N分別從點A,8同時出發(fā)，沿射線A5,射線8c

的方向勻速運動，且速度的大小相等，連接DW,MN,NO.設(shè)點M運動的路程為x(0?x?4),

△ZMW的面積為S,下列圖像中能反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）

2025?遼寧鞍山中考真題

14.如圖，在矩形A4C。中，對角線4cB力交于點O,A8=4,BC=46垂直于8。的直線MN

從A3出發(fā)，沿8。方向以每秒6個單位長度的速度平移，當直線與。。重合時停止運動，

運動過程中MN分別交矩形的對角線AC,BD于點E,F,以EF為邊在MN左側(cè)作正方形EFGH,

設(shè)正方形瓦6”與aAOA重疊部分的面積為S,直線MN的運動時間為內(nèi)，則下列圖象能大致反

2025?黑龍江綏化中考真題

15.如圖，在菱形ABC。中，ZA=6O°,AB=4,動點M,N同時從A點出發(fā)，點M以每秒2個

單位長度沿折線A-B-C向終點C運動；點N以每秒1個單位長度沿線段A。向終點。運動，

當其中一點運動至終點時.，另一點隨之停止運動.設(shè)運動時間為x秒，△AMN的面積為），個平

方單位，則下列正確表示）'與x函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

2025?江蘇南通中考真題

16.如圖，448C中，NC=90°,AC=15,BC=20.點。從點A出發(fā)沿折線A-C—B運動到點3

停止，過點。作。E//W,垂足為E.設(shè)點。運動的路徑長為X,△或花的面積為）1若y與

x的對應(yīng)關(guān)系如圖所示，則。一〃的值為（）

2025?遼寧錦州中考真題

17.如圖，在RtZXABC中，ZACB=900,4c=3,BC=4,在SE產(chǎn)中，DE=DF=5,EF=8,

4C與在同一條直線上，點C與點七重合.以每秒1個單位長度的速度沿線段E廠所

在直線向右勻速運動，當點8運動到點「時，△"（?停止運動.設(shè)運動時間為/秒，》班?與ADEF

重疊部分的面積為5,則下列圖象能大致反映5與1之間函數(shù)關(guān)系的是（）

2025?遼寧盤錦中考真題

18.如圖，在平面直角坐標系中，菱形A4CO的頂點4在y軸的正半軸上，頂點4、C在文軸的正半

軸上，D（2,V3）,尸（-1,-1）.點M在菱形的邊A。和QC上運動（不與點A,。重合），過點M

作MN〃y軸，與菱形的另一邊交于點M連接尸M,PN,設(shè)點M的橫坐標為x,/MN的面

積為），，則下列圖象能正確反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）

B.

【題型5】求運動時間與面積之間的函數(shù)表達式

2025?廣東廣州中考真題

19.如圖，在中，ZACB=90°,A8=1O,AC=6,點M是邊AC上一動點，點。，￡分

別是八8,MB的中點，當AM=2.4時，OE的長是.若點N在邊8C上，且CV=AW,

點F,G分別是MN,AN的中點，當AM>2.4時，四邊形DEFG面枳S的取值范圍是.

2025?吉林中考真題

20.如圖，在“WC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=6cm.動點〃從點A出發(fā)，以2cm/s的速度

沿邊48向終點8勻速運動.以如為一邊作乙仍2=120。，另一邊PQ與折線AC-C8相交于

點Q,以。。為邊作菱形點N在線段加上.設(shè)點〃的運動時間為Ms),菱形PQM”與

△A8C重登部分圖形的面積為Men?).

(1)當點。在邊4c上時，p。的長為_cm；(用含x的代數(shù)式表示)

⑵當點M落在邊BC上時，求x的值；

(3)求V關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量工的取值范圍.

廣東深圳?中考真題

21.如圖，拋物線產(chǎn)aF+法+3(/0)與x軸交于A(-3,0)和8(1,0),與y軸交于點C,頂點

(2)連接AZ),CD,BC,將AOBC沿著x軸以每秒I個單位長度的速度向左平移，得到AO5C,

點。、B、C的對應(yīng)點分別為點O,8’，C,設(shè)平移時間為，秒，當點0'與點A重合時停止移動.記

△OB'C與四邊形4OC。的重疊部分的面積為S,請直接寫出5與時間/的函數(shù)解析式；

2025?遼寧大連中考真題

22.如圖1,在平面直角坐標系宜萬中，直線丁二工與直線4c相交于點A,尸&0)為線段0B上一動

點(不與點〃重合)，過點P作軸交直線8C于點。.AOAB與△。心的重疊面積為S.S

關(guān)于?的函數(shù)圖象如圖2所示.

(1)08的長為：△QA8的面積為

⑵求S關(guān)于f的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量/的取值范圍.

2025?四川綿陽中考真題

23.如圖，平行四邊形A8C。中，DB=20AI3=4,AO=2,動點￡,F同時從A點出發(fā)，點￡

沿著ATO-8的路線勻速運動，點尸沿著AT8—。的路線勻速運動，當點E,尸相遇時停止運

動.

2

(I)如圖1,設(shè)點E的速度為1個單位每秒，點尸的速度為4個單位每秒，當運動時間為:秒時，設(shè)

CE與DF交于點P,求線段E尸與CP長度的比值；

(2)如圖2,設(shè)點石的速度為1個單位每秒，點產(chǎn)的速度為6個單位每秒，運動時間為x秒，AAEF

的面枳為)，，求)，關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當x為何值時，y的值最大，最大值為多少？

【題型6】解答題壓軸題純含參二次函數(shù)問題

2025年浙江省紹興市中考真題

24.已知二次函數(shù)y=-/+-+c.

(1)當b=4,c=3時,

①求該函數(shù)圖象的頂點坐標.

②當-1WXW3時，求)的取值范圍.

(2)當x40時，》的最大值為2；當x>0時，>的最大值為3,求二次函數(shù)的表達式.

2025年浙江省嘉興(舟山)市中考真題

25.在二次函數(shù).y=/-2u+3(/>0)中，

⑴若它的圖象過點(2/)，則1的值為多少？

(2)當0WxW3時，)，的最小值為-2,求出f的值：

⑶如果A(〃一2,〃),8(4，勿,C”幾幻都在這個二次函數(shù)的圖象上，且。<8<3,求m的取值范圍.

2025年浙江省麗水市中考真題

26.已知點(一加,0)和(3〃?,0)在二次函數(shù))=?+bx+3(a,〃是常數(shù)，a工())的圖像上.

(1)當加=7時,求。和b的值;

(2)若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點4兒3)且點A不在坐標軸上，當-1時，求〃的取值范圍；

(3)求證：b2+4?=0.

2025年江蘇省南通市中考真題

27.定義：平面直角坐標系xOy中，點PW㈤，點Q(c,d),若。=如，d=—kb,其中&為常數(shù)，且

攵工0,則稱點Q是點P的“級變換點”.例如，點(-4,6)是點(2,3)的“一2級變換點”.

(1)函數(shù)的圖象上是否存在點(1,2)的“2級變換點”?若存在，求出攵的值；若不存在，說明理

由；

(1\

(2)點A與其“〃級變換點，，。分別在直線乙/上，在卜4上分別取點(此凹)，(病，%).若

I27

k<-2,求證：)[-%22；

⑶關(guān)于x的二次函數(shù))，=加-45〃("0)的圖象上恰有兩個點，這兩個點的“1級變換點”都在直

線y=-x+5上，求〃的取值范圍.

2025年江蘇由海安市中考真題

28.已知二次函數(shù)y=f+歷=3"為常數(shù)）.

⑴該函數(shù)圖像與x軸交于48兩點，若點A坐標為（3,0）,

①則〃的值是，點6的坐標是；

②當時，借助圖像，求自變量x的取值范圍：

⑵對于一切實數(shù)工，若函數(shù)值總成立，求/的取值范圍（用含〃的式子表示）：

⑶當〃7V）Y〃時（其中，"、〃為實數(shù)，〃?<〃），自變量x的取值范圍是1VXV2,求〃和b的值以及用

的取值范圍.

XL-2-1L

VL-4L

2025?北京中考真題

29.在平面直角坐標系工0），中，點（1,機），（3,〃）在拋物線y=or2+bx+c（〃>0）上，設(shè)拋物線

的對稱軸為直線4=/.

（1）當c=2,〃?=〃時，求拋物線與y軸交點的坐標及1的;直；

（2）點（刈，加）（刈工1）在勉物線上.若，求/的取值范圍及刈的取值范圍.

2025?安順中考真題

30.在平面直角坐標系中，如果點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點?為和諧點.例如：點（I,I）,

（=，3,（-V2,-V2）,……都是和諧點.

22

（1）判斷函數(shù)>'=2.什1的圖象上是否存在和諧點，若存在，求出其和諧點的坐標；

（2）若二次函數(shù)尸小+6葉—）的圖象上有且只有一個和諧點（|,I）.

①求4,C的值；

②若1時，函數(shù)y=af+6x+c+]（“WO）的最小值為-I,最大值為3,求實數(shù)〃?的取值范圍.

2025?長沙中考真題

31.若關(guān)于x的函數(shù)），，當/一W啟什短時，函數(shù)），的最大值為M,最小值為M令函數(shù)仁竽，

我們不妨把函數(shù)〃稱之為函數(shù)y的“共同體函數(shù)”.

（1）①若函數(shù)y=4044x,當f=l時，求函數(shù)），的“共同體函數(shù)”力的值；

②若函數(shù)），（AW0,鼠/，為常數(shù)），求函數(shù)），的“共同體函數(shù)”。的解析式；

（2）若函數(shù),（x>l）,求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”力的最大值；

（3）若函數(shù)y=-』+?+%,是否存在實數(shù)匕使得函數(shù)），的最大值等于函數(shù)y的“共同體函數(shù)“人

的最小值.若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.

2025?廣州中考真題

32.已知直線/：,，=履+力經(jīng)過點（0,7）和點（1,6）.

（1）求直線/的解析式：

（2）若點尸（〃?，〃）在直線！上，以尸為頂點的拋物線G過點（0,-3）,且開口向下.

①求，〃的取值范圍；

②設(shè)拋物線G與直線/的另一個交點為Q,當點Q向左平移I個單位長度后得到的點Q'也在G上

時，求G在華WrW誓+1的圖象的最高點的坐標.

5°

2025?貴陽中考真題

33.已知二次函數(shù)丁=0?+4辦+4

（1）求二次函數(shù)圖象的頂點坐標（用含。，力的代數(shù)式表示）；

（2）在平面直角坐標系中，若二次函數(shù)的圖象與x軸交于A,B兩點,AB=6,且圖象過（I,c）,

（3,d）,（-I,e）,（-3,/）四點，判斷c,d,e,/的大小，并說明理由；

（3）點M（〃?，〃）是二次函數(shù)圖象上的一個動點，當-2W〃W1時，〃的取值范圍是-1W/W1,

求二次函數(shù)的表達式.

2025?天津中考真題

34.已知拋物線y=a/+Z?x+c(a,b,c是常數(shù),a>0)的頂點為P,與x軸相交于點4(-1,0)

和點租

(I)若〃=-2,c=-3,

①求點P的坐標；

②直線％=小(〃?是常數(shù)，1V〃?V3)與拋物線相交于點M,與BP相交于點G,當MG取得最大值

時，求點M,G的坐標；

(H)若初=2c,直線x=2與拋物線相交于點N,E是x軸的正半軸上的動點，尸是y軸的負半軸

上的動點，當巴斗產(chǎn)E+EN的最小值為5時，求點E,尸的坐標.

2025?嘉興中考真題

2

35.已知拋物線Li：y=a(x+I)-4(a#0)經(jīng)過點A(1；0).

(1)求拋物線ZJ的函數(shù)表達式.

(2)將拋物線L\向上平移小(加>0)個單位得到拋物線L2.若拋物線上的頂點關(guān)于坐標原點O

的對稱點在拋物線山上，求加的值.

(3)把拋物線L1向右平移〃(〃>0)個單位得到拋物線小，若點8(1,)，i),C(3,”)在拋物線

乙3上，旦y\>y2,求n的取值范圍.

2025?杭州中考真題

36.設(shè)二次函數(shù)），|=2?+灰+c（〃，。是常數(shù)）的圖象與x軸交于A,3兩點.

（1）若A,8兩點的坐標分別為（1,0）,（2,0）,求函數(shù)川的表達式及其圖象的對稱軸.

（2）若函數(shù)尸的表達式可以寫成yi=2Cx-h）2-2（〃是常數(shù)）的形式，求b+c的最小值.

（3）設(shè)一次函數(shù)*=x-（那是常數(shù)），若函數(shù)y1的表達式還可以寫成yi=2（x-/??）（4-〃?-2）

的形式，當困數(shù)y=yi-*的圖象經(jīng)過點（AO,0）時，求加-加的值.

2025?連云港中考真題

37.已知二次函數(shù)y=x2+（〃？?2）x+〃i?4,其中陽＞2.

（1）當該函數(shù)的圖象經(jīng)過原點O（0,0）,求此時函數(shù)圖象的頂點A的坐標；

（2）求證：二次函數(shù)），=』+（m-2）x+〃?-4的頂點在第三象限；

（3）如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖象，使其頂點在直線），=?x?2上運動，平

移后所得函數(shù)的圖象與y軸的負半軸的交點為8,求△AOB面積的最大值.

專題3?5二次函數(shù)壓軸：焦點與準線，動點面積，含參二次函數(shù)

如■/題型?解讀7

M■一^?MM?M

【題型1】焦點與準線2025?廣東廣州中考真題

例題12-12025?吉林中考真題

例題12—2廣東深圳?中考真題

湘潭市?中考真題2025?遼寧大連中考真題

廣東深圳?中考真題2025?四川綿陽中考真題

四川自貢?中考真題【題型6]解答題壓軸題純含參二次函數(shù)問題

宜賓?中考真題2025年浙江省紹興市中考真題

山東濱州?中考真題2025年浙江省嘉興（舟山）市中

2025?湖北鄂州中考真題考真題

2025?湖北鄂州中考真題2025年浙江省麗水市中考真題

【題型2】焦半徑倒數(shù)和為定值2025年江蘇省南通市中考真題

廣西南寧?中考真題2025年江蘇省淮安市中考真題

【題型3】焦點弦為直徑的圓與準線相切2025?北京中考真題

2025?湖南懷化中考真題

2025?安順中考真題

湖南張家界?中考真題

?長沙中考真題

【題型4】動點運動時間與面積之間的函數(shù)圖像2025

判斷2025?廣州中考真題

2025?黑龍江齊齊哈爾中考真題

2025?貴陽中考真題

2025?遼寧鞍山中考真題

2025?天津中考真題

2025?黑龍江綏化中考真題

2025?江蘇南通中考真題2025?嘉興中考真題

2025?遼寧錦州中考真題

2025?杭州中考真題

2025?遼寧盤錦中考真題

2025?連云港中考真題

【題型5]求運動時間與面積之間的函數(shù)表達式

滿分?技釬

二次函數(shù)的焦點與準線

我們已經(jīng)知道二次函數(shù)的圖像是拋物線，一種特別的曲線，其本身還具有這樣的性質(zhì)：拋物線

上的任意一點到平面中某個定點和某條定直線的距離始終相等.這個點稱為拋物線的焦點，這條直

線稱為拋物線的準線，本文將討論一些與拋物線的焦點和準線相關(guān)的問題.焦點和準線屬于高中內(nèi)

容，面中內(nèi)容下放也是中考中所常見的.

我們知道，二次函數(shù)的圖像是拋物線，它也可以這樣定義：若一個動點.H（Z,），）到定點A（（）,g

的距離與它到定直線的距離相等，則動點M形成佗圖形就叫拋物線尤2=2py（p>0）.

焦點一般用字母尸表示.而且實際題目中二次項系數(shù)很多時候是一，只是為了焦點坐標便于計算.

4

至于形如y=ax2+bx+c的拋物線可化為頂點式y(tǒng)=a（x-h）2+攵，然后通過由y=ax'平移來確定

焦點和準線.

結(jié)論2：如下圖,FMLFN.

證明：設(shè)NNM=a,4MQF=0,則a+〃=180。,

???/PFN+ZQFM=90'—,a+90'—,/=90°,

22

:,FMLFN.

結(jié)論3：取"Q中點兒作軸交1軸于〃點，則〃〃J_Q〃.

11112

結(jié)論4：記MN與j軸交于點G,而+加廣而十加=而?

心?題型

【題型1］焦點與準線

例題12-1

38.已知拋物線y=；*+i具有如下性質(zhì)：拋物線上任意一點到定點F(0,2)的距離與到x釉的距離

相等.如圖，點M的坐標為(6,3),0是拋物線y=；/+l上的一個動點，求周長的最

小值.

【分析】過點M作軸于點E,交拋物線于點由點P在拋物線上可得出夕尸=尸￡,結(jié)合點

到直線之間垂線段最短以及為定值，即可求得/XPMF周長的最小值.

【詳解】解：如圖，過,2/W作軸于點、左，交拋物線亍點，，此時△AA彷的周長最小.

???點尸的坐標為(。,2),點用的坐標為(百,3),

ME=3,MF=J/-。。+("2)2_2:

由題意，得PF=PE,

所以周長的最小值=M/>+Pf'+A//=/WE+M尸=3+2=5.

例題12—2

39.我們知道，二次函數(shù)的圖像是拋物線，它也可以這樣定義：若一個動點"(I,?)到定點&(),])

的距離與它到定直線)，=-§的距離相等，則動點M形成的圖形就叫拋物線f=2p)，(p>0).

(1)已知動點，W(i,乃到定點力(0,4)的距禽與到定直線)=-4的距禽相等，請寫出動點“形成的拋

物線的解析式.

(2)若點I)的坐標是(1,8),在⑴中求得的拋物線上是否存在點R使得R/+PQ最短?若存在，求出

點P的坐標，若不存在，請說明理由.

A(0.4)

【分析】

(1)由題意得：M4-7U-O)2+(>*-4)2-y/x2+(y-4)2,

過點M作“8_L直線j=4,垂足記為用點，則"8=匕一(一4)|=僅+4|,

v~

故M點形成的拋物線的解析式為3?=—.

-16

(2)過/，點做PO_L直線y=-4,PA=PQ,故求R/+H)眉短，即求/〉QS〉D最短.

過點。作直線y=Y的垂線，與拋物線交點即為尸點，垂是為Q,此時廣分/父)最短,

PA+PQ=PD+PQ=DQ=8為最小值,此時〃點坐標為1,—.

湘潭市?中考真題

40.如圖，點P為拋物線y=上一動點

4

⑴若拋物線是由拋物線）,=:（X+2）2-1通過苗像平移得到的，請寫出平移的過

44

程；

（2）若直線/經(jīng)過），軸上一點M且平行于k軸，點N的坐標為（0,1）,過點，作

于M.

①問題探究：如圖一，在對稱軸.上是否存在一定點F,使得恒成立?若存在，

求出點尸的坐標：若不存在，請說明理由.

②問題解決：如圖二，若點。的坐標為（1,5）,求QP+PF的最小值.

【答案】（1）向上平移1個單位，再向右2個單位；（2）①（0,1）,②6

【詳解】分析：（1）找到拋物線頂點坐標即可找到平移方式.

（2）①設(shè)出點P坐標，利用計算8F,求得/坐標；

②利用PM=PP,將QP+P”轉(zhuǎn)化為QP+QM,利用垂線段最應(yīng)解決問題.

詳解：（1）???拋物線y=：（x+2）2-l的頂點為（-2,-1）

???拋物線y=；（x+2『-l的圖象向上平移1個單位，再向右2個單位得到拋物線y=的圖象.

（2）①存在一定點F,使得PM=PF恒成立.

法一：先考慮特殊位置找出F點，再證明一般情況成立

考慮特殊位嵬，當P點在頂點B時，可得F點坐標為（（），1）或（0,-1）（舍掉），以下證明P在拋物線任

意位置，均滿足PF=PM:

沒P點坐標為），則PF=0）2+（；〃/—1）2=+］）2=,

PM=—nr-(-1)=—w2+1=—nr+\,:.PF=PM，

444

...當F點坐標為(0,1)時，PM=PF恒箴立.

法二：如圖一，過點。作P8JL)，軸于點8

的最小值

當Q、P、M三點共線時，QP+QM有最小值為點。縱坐標與M級坐標絕對值的和6.

，。尸+尸產(chǎn)的最小值為6.

廣東深圳沖考真題

41.如圖1,拋物線產(chǎn)av2+法+3(?#))與x軸交于A(-3,0)和8(1,0),與)，軸交于點C,頂點

為。.

9

(2)如圖2,過拋物線上任意一點M(〃]，〃)向直線/：y作垂線，垂足為E試問在該拋物線

的對稱軸上是否存在一點憶使得若存在，請求F點的坐標；若不存在，請說明理由.

4

【答案】(1)尸-1-2x+3:(2)存在，F(xiàn)(-l,—).

4

【分析】(1)運用待定系藪法解答即可：

(2)設(shè)尸點坐標為(-1,。、點MG%〃)，則有〃=一加2一2m+3、進而求得ME,然后分別通過線

段的和差和勾股定理求得MF的長，然后得到等式、化簡、對比即可求得I即可.

【詳解】解：(1)將A(-3,0)和B(I,0)代入拋物線解析式尸奴2+屬+3中，可得：

0=9〃-38+3\a--\

八八二,解得：Lo

0=a+b+3[/?=-2

拋物線解析式為y=-N-2x+3：

(2)假設(shè)存在，設(shè)尸點坐標為(?1,。、點M(m,n)

n=-m2—2m4-3

/.M￡=--/?=--(-nr-2/?z4-3)=nr+2m+—

22v72

Z.MF=ME--=m2+2m+-

44

而MF=yj(/n+1)2+(2〃?+3—Z)

,()\2f,5

(m+1)~+(一〃r-Im+3-rj=Itn+2ni+—

315

.\r-3=-,即

44

4

四川自貢?中考真題

42.如圖，已知直線44與拋物線。：)，=依2+2方+。相交于點力(-1,0)和點秋2,3)兩點

(1)求拋物線C函數(shù)表達式:

(2)在拋物線C的對稱軸上是否存在定點F,使拋物線C上任意一點〃到點尸的距離等于

若不存在，請說明理由.

無論x取任何實數(shù)，均有=理由見解

析.

【分析】(I)由題意把點(?1,0)、(2,3)代入y=ax2+2x+c,

。-2+c=0.

得，4。+4+”3'解得a』,c=3,，此拋物線C函數(shù)表達式為：)，=*+2?3

17

(2)問題已經(jīng)很明顯了，v=U是拋物線準線，我們要求妁F是焦點.

4

易求拋物線對稱軸為直線x=l,不妨取特殊位置得到結(jié)果，再證明.

當點P在拋物線頂點時，P點坐標為(I,4),此時點P到直線y=1Z的距離為故此時點P到點F

44

的距離也為_1,滿足條件的F點坐標有(1,叫)(1,12),考慮到(1,12)在直線y=1Z上，故窯舍去，

4444'4

F點可能的坐標只有1,春)

【常規(guī)法】：，對稱軸為直線x=l,當y=0時，xi=-l,X2=3,

??.拋物線與x軸正半軸交于點C(3,0),

的垂線，垂足為N,H,

|7

拋物線對稱軸上存在點F,使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線y::的距離，設(shè)F

4

(1,a),連接BF,CF,則BF=BN=U-3=2,CF=CH=—,