數(shù)學(xué)

本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.

2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦

擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.

3.答非選擇題時(shí)，必須使用0?5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.

5.考試結(jié)束后，只將答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

上上=1

1.雙曲線28的漸近線方程為（）

A.2x±y=0B.x±2y=0C.4x±y=0D.x±4y=0

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)漸近線方程直接進(jìn)行求解.

【詳解】工一二二1的漸近線方程為）,=±2工=土莘工=±2工，

28aV2

即2x±y=0.

故選：A

2.在等差數(shù)列｛q｝中，%=3,4+綜=2,則％=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)若〃2+〃=〃+9，則品+4=4+外,求解即可.

【詳解】在等差數(shù)列｛%｝中，牝+&=%+%，，%=&+6一。3=一1?

故選:B

3.已知甲、乙兩批袋裝食鹽的質(zhì)量（單位：g）分別服從正態(tài)分布'（4戶。；）和7（〃乙,a）,其正態(tài)曲

A.Mi->〃乙，。甲>0■乙B."中>"乙,。■中<0■乙

C.4甲V〃乙，。甲>5乙D.〃甲<"乙，?！黾譜。乙

【答案】C

【解析】

【分析】觀察圖表，根據(jù)對稱軸得到平均數(shù)的大小，根據(jù)形狀特征得到方差的大小，得到答案.

（詳解】從圖總可以看出乙的對稱軸大丁甲的對稱釉，

故甲的平均數(shù)小于乙的平均數(shù)，即〃甲<"乙,

且乙“高瘦”，甲"矮胖”，即乙數(shù)據(jù)更加集中，方差比甲小，即%>分.

故選:C

（■jr（TT\\

4.函數(shù)/（x）=x+sinx的圖象在點(diǎn)-處的切線方程為（）

、LI，九

A.x+y-n-1=0B.jt+y-1=0C.x-y+1=0D.x-y=0

【答案】C

【解析】

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，然后根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)求出切線的斜率和切線方程.

【詳解】因?yàn)?（x）=x+sinx,所以/'（x）=l+cosx.

7171.7171

所以廣弓=1+cos—=1,而f3=—+sin—=—+1.

2I2/222

所以切線方程為y-:一l二x-二，即x—y+l=0.

22

故選：C

5.已知圓錐的高為1,母線與底面所成角的大小為30'，則該圓錐的體積為（）

A.兀B.技C.2兀D.3兀

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)線面角的定義，結(jié)合圓錐體積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】如圖所示，因?yàn)槟妇€與底面所成角的大小為3（r，

所以NS8O=30"，tan30"=—=>—=—=>OB=

OB3OB

所以該圓錐的體積為gx（KJF=兀，

故選：A

6.記，為等比數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和，若59+756=8邑，則｛〃〃｝的公比為（）

1I

A.2B.：C.——D.-2

22

【答案】D

【解析】

【分析】由等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)，S9-S6，S6-S3，S成等比，公比為結(jié)合S9+7S6=3S3即可求公

比.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為小

根據(jù)等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)，R-S-SG-SMI成等比，且公比為/,

XS9+7S6=8S5,即S9-S6=-8（S6-S3）,所以日=_8,

解得4=-2.

故選:D.

7.在連續(xù)五天時(shí)間里，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)分別到夕陽紅敬老院參加志愿者活動，每天一人，其中甲

參加兩天，其余三人各參加一天，則甲不在相鄰兩天的安排方法有（）

又因?yàn)槭?gt;0,所以工一。>0,故（x-4）lnx<0化簡為InxvO,所以O(shè)vxvl.

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.設(shè)函數(shù)/（x）=V—3x+3,則（）

A.“X）在上單調(diào)遞減B.支￡［0,2］時(shí)，〃司的值域?yàn)椋?,5］

C.“X）有三個零點(diǎn)D.曲線y=關(guān)于點(diǎn)（0,3）對稱

【答案】AD

【解析】

【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性、極值與最值即可判斷ABC,對于D,通過驗(yàn)證/卜）+/（一力

的值是否為6來驗(yàn)證對稱性.

【詳解】廣（司=3/-3<0,解得一1cxvl,所以/（力在上單調(diào)遞減，故A正確;

又工目?！粫r(shí)，單調(diào)遞減,X￡（l,2］單調(diào)遞增，/（0）=3,/（1）=1,/（2）=5,

所以口目0,2］時(shí),/（力的值域?yàn)椋?,5］,故B錯誤；

/（X）在（一1,1）上單調(diào)遞減，在（9，—1）和（1，+8）單調(diào)遞增，

極大一〃一l）TJ（x）極小一〃1）一1,所以只有一個零點(diǎn)，故C錯誤；

因?yàn)椤▁）+/（—司=/一3；1+3+（-療+3工+3=6,所以曲線y=/（x）關(guān)于點(diǎn)（0,3）對稱，故D正

確；

故選：AD.

10.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最

上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球……設(shè)第〃層有?！皞€球，則（）

A.%=15B.｛，向-%｝是等差數(shù)列

-111c

c.。,(亦為偶數(shù)D.1W—+—+…+—<2

%%4

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)題意為—*=〃，%-%.2=〃-1，，％-4=2,利用累加法得〃“二心士D即可判斷ABC選

2

121、111

項(xiàng)，對于D,-=-7~~穴=2-------,再根據(jù)裂項(xiàng)相消法可得一+—十+一的和，接著簡單放

an〃(〃+1)\nn+］)qa2an

縮即可判斷.

【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)〃之2時(shí)，?！耙?。"_|=〃,。,1—q-2=〃一1，，/一4=2,

累加得?！?=2+3+4+=史業(yè)』=無三，

〃122

_"("’1),易知〃=］也滿足，所以《=""")，

n22

5x6

，生=----=15,故A正確；

2

區(qū)川一?！倍?1，故B正確;

些型竺=2025x1013為奇數(shù)，故C錯誤：

+1_2(1］、

，一2，an〃(雇+1)〃+1)'

111411111「1

—+1----F——=

%a24\223nn+\)〃+1

nGN”,1<2———<2,

n+\

-111r

即—+—+H---<2,故D正確；

4%為

故選：ABD

ii.眼睛是心靈的窗戶，保護(hù)視力從青少年開始.“近視”(設(shè)為事件A)和“老花”(設(shè)為事件/n是影響中

11_9

老年人學(xué)習(xí)與生活質(zhì)量的重要視力因素.設(shè)尸(A)=5，P(B)=-,P(^|A)=-,則()

A.A與8互為對立B.A與〃相互獨(dú)立

C.P(A+B)=P?D.P(?I|B)=P(A|B)

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)對立事件及獨(dú)立事件定義判斷A,B,應(yīng)用條件概率公式判斷D,應(yīng)用概率基本性質(zhì)判斷C

即可.

??_2

【詳解】因?yàn)槭ˋ）=—，P⑻=一,F（可人）=一，

33

則可即"需=:,所以尸（助）=?

所以P（A）-。（反4）=尸（43）=；-』=［，則A與A不對立，故A錯誤;

得到P（4B）=P（A）P（B）,A與9相互獨(dú)立，故B正確；

111o_1O

而#4+8）=。（4）+汽8）一0（48）=5+丁公=不P（可=1—P（8）=l--不故

P（A+B）=P（B）,故C正確；

“4⑻「（網(wǎng)z--xP（AB）一喇-尸（甸_H

尸B但卜所一了一下尸6用一麗一2——丁一看

333

所以P（4⑻=P他同，故D正確；

故選：BCD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.fx2+-l展開式中x的系數(shù)為___________.（用數(shù)字作答）

IX）

【答案】10

【解^5］

【分析】先寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合“工的系數(shù)”，找出指數(shù)為1時(shí)，。=3,即可求出系數(shù).

【詳解】12+J展開式的通項(xiàng)公式為7；+|=。*2（，"）不’二。"1。-"，

令10-3尸=1解得廠=3,

故卜+［展開式中x的系數(shù)為《二答H。,

故答案：10

13.若函數(shù)/(x)=at-cosx在R上單調(diào)遞增，則。的取值范圍為.

【答案】［1,+8)

【解析】

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，令其大于等于0,然后根據(jù)正弦函數(shù)的值域求出。的范圍.

【詳解】因?yàn)?(x)=ar-cosx,所以/'(x)=a+sinx.

要使函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，則使'(x)N0.

即t?+sinx>0.

因?yàn)橐籭WsinxWl,要使不等式恒成立，則。之1.

故答案為：［1,+8).

14.袋中裝有大小相同的三個小球，其編號分別為1,2,3.每次從袋中隨機(jī)地摸出一個小球，記下編號后

放回袋中，攪拌均勻再進(jìn)行摸取.設(shè)第〃次摸取小球的編號為/(/?=1,2,..,7),則在

V2V2

&：一+上一=1(攵=1,2,??，6)中：圓的個數(shù)X的均值為；有且只有線是焦點(diǎn)在x軸上的橢

g%】

圓的概率為.

【答案】①.2—

729

【解析】

【分析】由題知表示圓，則為=。山計(jì)算出P(%=4+J=g，由題知X~*6,。即可得出X的均值：

焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則4算出符合要求的情況數(shù)，再利用獨(dú)立事件的乘法公式求解即可.

22

【詳解】￡*：—+—=1(^=1,2,...,6),表示圓,則4=&+1,

44+1

31

則符合的組對有：(1,1),(2,2),(3,3),則P(w=&$)=y=￡,

3XJ3

又X?所以E(X)=6x；=2；

22

首項(xiàng)紜：二十工=1(左=1,2,,6)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則&>4…

4%

當(dāng)備=2時(shí)，%=1,要使只需要考慮從1到5五個位置第一次出現(xiàn)1

的情況，共6種；

當(dāng)備=3時(shí)，%=1或%=2,兩種情況，要使4<4+]<3。<女K5,k￡N）,

只需要考慮從1到5五個位置出現(xiàn)3的次數(shù)，

如果有5個3,有1種情況；如果有4個3,有2種情況；如果有3個3,有3種情況；

如果有2個3,考慮1第一次出現(xiàn)的位置，有4種情況；如果有1個3,考慮1第一次出現(xiàn)的位置，有5種

情況；

如果有。個3,有6種情況：

所以只有線是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的情況數(shù)有6+2X（1+2+3+4+5+6）=48,

所以只有七6是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的概率p=x48=—.

⑴729

故答案為：2：瑞.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在四棱臺中，下底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱。。與底面垂直，且

D、D=DC=T.

（1）證明：BBJ/平面AC]；

（2）求平面ACR與平面的夾角的大小.

【答案】（1）證明見解析

（2）-

6

【解析】

【分析】（1）作輔助線構(gòu)造平行四邊形得到線線平行通過線面平行的判定定理可證;

（2）以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求兩個平面的法向量進(jìn)而求法向量夾角的余弦值即可.

【小問1詳解】

連接交AC于點(diǎn)E，連結(jié)。圈，D、E.

因?yàn)榈酌鍭8CO是正方形，所以E是8。的中點(diǎn).

又DC=2D、C\,所以DB=2DR,故EB=DM

由棱臺的定義，與共面，因?yàn)槔馀_的上、下底面平行，所以它們與平面8。馬丹的交線平行，即

所以四邊形石64已為平行四邊形，故BBJ/ED、.

又因?yàn)?4a平面ACQ,ERu平面ACR,所以8月〃平面AC".

【小問2詳解】

以D為原點(diǎn)，分別以O(shè)A,DC,?？谒谥本€為x軸，V軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則。(0,0,0),4(2,0,0),3(220),C(0,2,0),C,(0,1,1),刈(0,0,1).

故AC=(-2,2,0),AD,=(-2,0,1),CB=(2,0,0),CC(=(0,-1,1).

/、[m-AC=0(x.=y.

設(shè)平面4cA的法向量初=(x”y,zj,由1.得二.

m-AD]=0&=4

?。?1,得平面ACR的一個法向量而二(1,1,2).

/、n-CB=0[x,=0

設(shè)平面BCC/i的法向量〃=(%,%，22)，由＜.得.

z

nCC[=0[y2=2

取力二】，得平面GCGR的一個法向量萬=(°，1，1).

.inn1+26

tocosn=||,|=—j=_7==—.

|同?同V6-V22

所以平面AC。與平面3c￡片夾角的大小為

16.以《智，在必得”為主題的人工智能知識挑戰(zhàn)賽預(yù)賽由6道正誤判斷題組成，每位選手從中隨機(jī)抽取3

道，若能全部回答正確，則通過預(yù)賽.已知選手甲會做其中的4道題.

（1）設(shè)X表示選手甲抽到會做題目的道數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和方差；

（2）假設(shè)選手甲會做的題全部答對；不會做的題隨機(jī)判斷，答對的概率為，若各題作答結(jié)果互不影響,

求他通過預(yù)賽的概率.

【答案】（1）分布列見解析，-

5

11

（2）—

20

【解析】

【分析】（I）先確定X的可能取值，然后針對不同的取值求出對應(yīng)的概率，進(jìn)而可列出X的分布列，從而

求得期望和方差..

（2）根據(jù)條件概率和全概率公式可求得他通過預(yù)賽的概率.

【小問1詳解】

根據(jù)題意X=1,2,3.

2

P（X=\}=^C'C^=-4-=-1

'7205

2

P（X=2、）=^CC^1=—123

'7C：205

3

P（X=3）=^C^C.°=—4=i1

、7205

所以X的分布列為

X123

\_3

p

555

i3I

故隨機(jī)變量X的期望E（乂）=以5+2乂彳+3乂5=2.

JJJ

所以X的方差O（x）=（l—2『x，+（2—2『x?+（3—2『x：=2.

555

【小問2詳解】

設(shè)事件a="選手甲抽到i道會做的題目，i=l,2,3”，事件8二“選手甲通過預(yù)賽”,

則。A，4,為兩兩互斥，B=+A2B+A3B.

由（1）知，P（A）=：?又產(chǎn)（回4）=

所以尸（4田:尸缶卜尸伊隊(duì)”^；：!.

Jf4U

313

2

同理,P（^B）=P（A2）P（B|42）=-xlx-=-.

J乙1U

P（A/）=P（A）P（B|4）=?I3=（

13J___H

由全概率公式得，選手甲通過預(yù)賽的概率P（B）=

20io5~20

17.記S”為數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和,已知4=6,且（〃+2）S“=

⑴求S1,S2,S3；

（2）在下列兩個結(jié)論中，任選一個加以證明：（若兩個都證明，以首選計(jì)分）

①＜色4是等比數(shù)列；②，是等比數(shù)列.

、〃J[〃+1

（3）記看為數(shù)列⑸｝的前幾項(xiàng)和,求卻

【答案】（1）S]=2,§2=8,$3=24

（2）證明見解析（3）7；=（〃-1）-2向+2,〃￡河

【解析】

【分析】（1）分別令〃=1,〃=2可計(jì)算出結(jié)果：

qs

⑵選①依題意得到（〃+2）S“=〃⑸+1—S〃），然后變形T=2x」可得；選②依題意（3）得到當(dāng)2

〃+1n

n—\n-1

時(shí)，Si=Q/’然后得到可=六八一於可,變形即可,

選擇①、②由（2）可知S“二〃?2〃（〃￡N*）,然后使用錯位相減法求和.

【小問1詳解】

（1）令〃=1,得3s[=生.又生=6,所以S1=2.

S>=S[+a、=2+6=8.

令〃=2,得4s2=2%.又S?=8,所以%=16.

故$=S?+%=8+16=24.

【小問2詳解】

若選擇①：由己知，得(〃+2)S“=〃(S向一S").

故2(〃+l)S.=〃S〃x，所以3=2x〃EN*.

7/+1n

故<}}是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列.

〃—1

若選擇②：由已知，5'=—一故當(dāng)〃之2時(shí)，Si=—%.

7/4-2n+\

nn-\

兩式相減,得可~n+2a,,+[~~n+ia>

化簡并整理，得幺出-=*■(?>2,且.

n+2〃+1

嗎“*2,所咤=2q.

故是以1為首項(xiàng)，2為公比等比數(shù)列.

【小問3詳解】

若選擇①：由⑵知，&=2",故S'=〃-2〃(〃eN)

n

若選擇②：由(2)知，人=21,故?！?(〃+l)-2"T(〃￡N).

所以5“=q+1=〃,2”("￡N)

所以(=lx2i+2x2?++(〃-1)?2'1+〃?2”.

則27；=1x2?+2x23+…-1).2"+〃?2日.

兩式錯位相減，得一7；=2i+2?+2,+…+2〃一〃?2向=2(2"-1)-?2,,+,=(l-/?)-2M+,-2.

所以十=(，2—1>2向+2,

18.過點(diǎn)。(-1,0)作直線/與拋物線。：)，2=4工交于人，8兩點(diǎn).

(1)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求。4.OB的值；

(2)若以線段A8為直徑的圓與)'軸相切，求/的方程；

(3)過點(diǎn)夕作直線/'(不同于/)與C交于M,N兩點(diǎn)，且直線A團(tuán)與)，軸交于點(diǎn)。，證明：&PBN

與.Q8N的面積相等.

【答案】⑴5（2）2x±&y+2=0

（3）證明見解析

【解析】

【分析】（1）利用直線方程與拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，通過代數(shù)運(yùn)算求解向量點(diǎn)積.

（2）根據(jù)弦長公式先求從用，利用A3中點(diǎn)到軸的距離為半徑r=苧，建立方程求解即可;

（3）由題知「尸身V與二Q3N有相同底邊8N,要證三角形面積相等，轉(zhuǎn)化為證BN//PQ,設(shè)點(diǎn)

加（三■，出）出工一y），N卷,外，同理可得）’3”=4,設(shè)點(diǎn)。（0,〃?），利用A,M，。三點(diǎn)共線可

得〃然后即可證8N//PQ,從而得證與AQ8N的面積相等.

凹+為

由題意，直線/不與x軸重合，設(shè)/的方程X=）-1.

代入丁=4工，并整理得52-40+4=0.

由A=16『-16>0，得/<-1或f>L

設(shè)點(diǎn)A（x，yj,則%+%=4/,y），2=4.

所以O(shè)AOB=x,x2+y%=".?+'1%=1+4=5.

【小問2詳解】

由弦長公式，得|A8|=71+r-|>'I-y2|=J（1+產(chǎn)）[（y+%了一4y%]=4占-1.

%+%2

線段AB的中點(diǎn)到）'軸的距離一

2

2

又七=0；-1(/=1,2),故r=/()1+y2)-l=2/-l.

由|AB|=2r,得4J7二1=4r_2,解得r=?亞(均滿足△>()).

所以直線/的方程為2x±&y+2=0.

【小問3詳解】

/2\/2\

設(shè)點(diǎn)M號■，%（%。一%），N號■，乂，同理可得以乂=4.

又直線BN的斜率k、=J?-?）=_J_.

>2->4%+%

44,片）'3

由丫2=-，乂=—，得K=

y必

設(shè)點(diǎn)。（。，利），由A,M，。三點(diǎn)共線，得

化簡，得，〃=3-

y+必

又直線P2的斜率左2二上二="，故仁=&?

-1—0

所以BN//PQ,故.P3N與AQBN的面積相等.

19.已知函數(shù)/（x）=j.

（1）求/（x）的極值；

（2）若/（x）W2丘+攵恒成立，求k的取值范圍;

⑶證明￡舟（島（"CN）

【答案】（1）極大值J,無極小值.

（3）證明見解析

【解析】

【分析】（1）通過求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求極值；

（2）先分類討論分離參數(shù)然后構(gòu)造函數(shù)通過求導(dǎo)確定單調(diào)性進(jìn)而求最值確定攵的取值范圍；

（3）由（2）知，e（2x+l）＞/（%）,故（2%+1）1十七］，然后換元得（/+3）ln華21通過累加法即可

得證

【小問I詳解】

由得/（工）=1?

由f'（x）＞0可得XV1;由/'（x）v?？傻肵＞1;

所以/