安徽省宿州市省、市示范高中2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期7月期末教學(xué)質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試霞

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)z=（l+i）（2+3i）,其中i為虛數(shù)單位，則z的共規(guī)復(fù)數(shù)彳在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知是空間中的兩條直線，貝是““，。無公共點”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

3.設(shè)。為是平面內(nèi)的兩個單位向量，若3b,則（。+。）電的值為（）

A.-V2B.-1C.0D.1

4.某校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為3:3:4,現(xiàn)用分層隨機抽樣的方法從該校三個年級的學(xué)生

中抽取容量為200的樣本，則從高一年級抽取的學(xué)生人數(shù)為（）

A.40B.60C.80D.100

5.某袋中有編號為1,2,3,4的4個小球（小球除編號外完全相同），甲先從袋中摸出一個球，記下編號后放

回，乙再從袋中摸出一個球，記下編號，則甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是（）

6.已知是單位圓。上的兩點（。為圓心），4408=120。，點C是線段48上不與4、B重合的動點.MN

是圓。的一條直徑，則CM.CN的取值范圍是（）

A?卜訓(xùn)B-

7.某同學(xué)為測量學(xué)校附近山上信號塔的高度A6（塔底視為點6,塔頂視為點A〉，在山腳下選取了兩點C,

。（其中4,B,C,。四點在同一個鉛垂平面內(nèi)），在點。處測得點A的仰角為30。，在點。處測得點A、B

的仰角分別為60。、15。，測得。。=36（6+1）米，則按此法測得的塔高為（）

A.67米B.72米C.74米D.76米

8.在平行六面體ABC。-A4G〃中，點M是8瓦上靠近B的三等分點，直線DM交平面8c。A于點N,

二、多選題

9.設(shè)樣本空間。={L2,3,4}含有等可能樣本點，且4={1,2},3={1,3}。={1,4},。={3,4},則下列說法正確

的是()

A.事件A與3為互斥事件B.事件A與。為對立事件

C.事件A3,C兩兩相互獨立D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

10.在VABC中，BC=4,若點。滿足：AD=^AB+^AC,lanZADC=^\AD\=4i3,則下列結(jié)論正確的

443

有()

A.CD=3BDB.AC=2

C.VA3c的面積為3D.VA8c的外接圓半徑為石

11.在正三棱柱ABC-A4G中，AB=AA1=2,E,F,G,"分別為BB「CC”A綜AG的中點，動點N在

四邊形ABAA內(nèi)及其邊界上運動，則下列說法正確的是()

A.E,F,G,，四點共面

B.切與BC所成角的余弦值為當

8

C.正三棱柱A8C-A4G的外接球表面積為08千7r

D.若CN//平面AG，，則動點N的軌跡長度為石

三、填空題

12.已知復(fù)數(shù)z=3-2i,其中i為虛數(shù)單位，則|"|=_

13.數(shù)據(jù)為的平均數(shù)元=10,方差$=20,若凹=2王+5,%=2%+5,,券=2乙+5,則數(shù)據(jù)

如必，、”的平均數(shù)9=，方差s；=.

14.已知一個圓錐的表面積為2兀，則它的體積最大值為.

四、解答題

15.己知平面向量d=(1,2)石=(T,2),c=(3,4).

⑴求〃+/,與c的夾角余弦值；

(2)若.+標)〃儂一可,求實數(shù)A的值.

16.某地區(qū)市政府為了鼓勵居民節(jié)約用電，計劃調(diào)整居民生活川電收費方案，擬確定一個合理的月用電量

標準X(千瓦時)：月用電量不超過X的部分按平價收費，超出X的部分按議價收費.為了了解居民用電情況,

通過抽樣，獲得了100位居民每人的月均用電量(千瓦時)，將數(shù)據(jù)按照[0,100),[100,200),4600,700)分成

7卻，制成了如圖所示的頻率分在百方圖.

八頻率/組距

0.0030...............

0.0020............

a...................

0.0010...................

0.0005——

。1602603/)4沁6066076古量/千瓦時

(1)求頻率分布直方圖中。的值，并且計算樣本的平均數(shù)；

(2)若該市有900萬居民，估計全市居民中月均用電量不低于400千瓦時的人數(shù)；

⑶若該地區(qū)市政府希望使85%的居民每月的用電量不超過標準；(T?瓦時)，估計x的值.(結(jié)果保留整數(shù))

17.每年的3月14日為國際數(shù)學(xué)日，也被稱為，日”，某學(xué)校在國際數(shù)學(xué)日舉辦了“數(shù)學(xué)知識競賽”，競賽

32

共分兩輪，即每位參賽選手均須參加兩輪比賽，已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為了、彳；

43

在第二輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為p、q.假設(shè)甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.若

96

甲、乙各有一輪勝出的概率為石，甲、乙兩輪都勝出的概率為天.

(1)求〃和q的值；

(2)求甲，乙兩人至少有一人兩輪都勝出的概率.

18.在VA8C中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a(6sin8+cos或=〃+c,。為邊BC上一點，

且A￡>=2.

題號12345678910

答案CADBAABCBCABD

題號11

答案ACI)

1.c

根據(jù)等式求出復(fù)數(shù)Z,進而得到共知復(fù)數(shù)三,從而可確定其象限.

【詳解】因為復(fù)數(shù)z=(l+i)(2+3i)=2+3i+2i-3=5i-l,

所以共枕復(fù)數(shù)5=-l-5i.

所以共規(guī)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(-1,-5)位于第三象限.

故選：C.

2.A

利用異面和平行直線的概念結(jié)合充分必要條件判斷.

【詳解】則〃無公共點，故充分性成立，

無公共點可推得或。，力是異面直線，故必要性不成立；

所以“力”是“4,5無公共點”的充分不必要條件，

故選：A.

3.D

根據(jù)單位向量垂直得到〃〃=。，〃〃=1，進而由向量數(shù)量積運算法則計算出答案.

【詳解】因為。與力是單位向量，且所以〃6=。，且〃為=],

所以(a+b),Z?=a力+。?。=0+1=1.

故選：D

4.B

根據(jù)分層抽樣的抽樣比即可求得結(jié)果.

【詳解】因為高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為3:3:4,

所以高一年級學(xué)生人數(shù)占三個年級總?cè)藬?shù)的比例為：=

3+3+410

3

根據(jù)分層隨機抽樣的計算方法，從高一年級抽取的學(xué)生人數(shù)為：200x^=60(人).

故選：B.

5.A

根據(jù)（甲，乙）方法得出總的取法的結(jié)果，求得符合題意的個數(shù)，可求甲、乙兩人所摸出球的編號不同的

概率.

【詳解】甲先從袋中摸出一個球，有4種可能的結(jié)果，乙再從袋中摸出一個球，有4種可能的結(jié)果,

如果按（甲，乙）方法得出總共的結(jié)果為：16個,

甲、乙兩人所摸出球的編號不同的結(jié)果為12個,

123

甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是1rz

故選:A.

6.A

根據(jù)CM=CO+OM.CN=CO+ON,利用向量的運算可以將CM?CN轉(zhuǎn)化為，進而得解.

???點C在線段AB上，且|。。卜

LZ，

CM.CN=(OM-OC).(ON-ocj=OM.ON-(OM+ON).OC+OC

=-I+OC2=-I+|OC|2,

3)

V\oc\G：.CMCNe■?°L

故選：A

7.B

設(shè)直線。。與A8交于點E,分別用AE表示出CEOE,

利用=解出AE,再解出戰(zhàn)，最后出塔高即可.

【詳解】設(shè)直線。。與A8交于點E,則A￡_LCE,

由題意，CE=-AL=y/3AE,DE=AE-=—AE,

tan300tan6003

又CO=36(G+1),^CE-DE=CD,代入解得AE=18(3+6),

從而￡>E=18(G+1),

進而BE=OEtan15°=DE-tan（60°-45°）=DE?=18（百一1）,

所以塔高A8=AE—8E=72米.

故選：B

8.C

作圖，根據(jù)線面平行的判定定理可知PM〃平面CHAR，然后杈據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知PM〃QN,可

-DN二DQDD、=CC、

得訴一~PQ~~CP~~CP,判斷即可.

【詳解】設(shè)平面D4M與CG交于點P,連接。尸交于點Q,連接QM如圖:

因為CB〃D4,C8總平面D4M,D4u平面DAM,

所以C3//平面DAM,又CBu平面CBB￡i,平面DAMD平面CBB?=PM,所以CB//PM,

因為M是三等分點，所以巖=3,因為C3u平面平面C84Q,所以〃平面C7MQ,

又PMu平面尸DM,平面CBAACI平面PQM=QV,所以QM〃QN,

,DNDQDD、CQ2…ON3

所rri以訴=無=方=苕=3,因此曲="

故選：C

9.BC

根據(jù)互斥事件的定義判斷A；根據(jù)對立事件的定義判斷B；根據(jù)獨立事件的定義判斷C；選項D需驗證三

事件同時發(fā)生的概率是否等于各自概率的乘積.

【詳解】因為A4={1},即件A與3能同時發(fā)生，不是互斥事件，A錯：

因為P(AC￡))=0且P(AD)=Q,即事件A與。不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生，

事件A與。為對立事件，B正確；

P⑷=P(8)=：=:，P(^)=P((l|)=iP(A)P(8)="!=!=P(A8),故A8獨立；

424224

P(C)=；,尸(4C)=尸({1})=；,P(A)P(C)=；=P(AC),故AC獨立；

P(BC)=P({1})=；；p(B)P(C)=g[=；=P(8C),故8,C獨立，

綜上事件ARC兩兩相互獨立，C正確；

選項D：A8C={\}t故P(A8C)=；,P(A)P(8)P(C)=H；=；,；H，，選項D錯誤.

故選：BC.

10.ABD

對于選項A,根據(jù)等式可變形化簡求出加),8。的關(guān)系，進而可求出81。的關(guān)系；對于選項B,先根據(jù)

1加4。。求出8§4。。，然后根據(jù)余弦定理求出AC的值；對于選項C,根據(jù)勾股定理可確定AC_L/3C,

進而可求出三角形面積；對于選項D,根據(jù)直角三角形外接圓半徑為斜邊的一半可求出外接圓半徑.

一一一-

【詳解】因為AO==348+;1A—C,所以4—O——A8=：1(AC—A8),

444

即BO=』8C,所以C￡>=38O,故A正確；

4

因為tan/AOC=],所以'口二二],因為sii?4/)C+cos?NAOC=1,

3cosZ4A?DC3

在AAOC中，因為CO=?4C=3,AO=jm,由余弦定理得，

4

AC2=AD2IDC22ACDCcosZADC=4,即AC=2,故B正確;

又因為從。2=4。2+。。2,所以AC_L3C,即C=90。，

因此SA8c=gAC,BC=4,故C借誤：

因為A82=4C2+BC2=20,所以A3=2石，

ARL

因此VA4c的外接圓半徑為卷=逐，故D正確.

故選：ABD.

11.ACD

對于選項A,證明M//G”即可證明E.EG,”四點共面；對于選項B,先確定“與BC所成角，然后根

據(jù)余弦定理可求出其余弦值；對于選項C,先由正弦定理求出外接圓半徑，然后根據(jù)勾股定理求出球的半

徑，從而求出球的表面積即可：對于選項D,先確定動點N的軌跡，然后根據(jù)勾股定理求出軌跡長度.

【詳解】連接因為￡F,G.”分別為明,CG，A穌4。的中點，

所以痔〃4G，G〃〃4G，從而EF//GH,故瓦EG,“四點共面，A正確；

連接EREH,因為EF〃BC,則/小石為“與所成角，

在WFE中EF=2、FH={HC；+FC；=g=?EH=^EB；+HB；=Jl+(G):=2,

由余弦定理可得cos/小石=*尸+"￡一芯2+二4=4.B錯誤；

2xHFxEF2x^x24

在等邊VA4C中，由正弦定理可得，VA8c的外接圓半徑r=1」竺_=友，

2sin6003

設(shè)止三棱柱的外接球半徑為A,且球心到平面48c的距離為1,

由勾股定理可知*=/+/=1+?=?,

33’

所以球的表面積為4兀*=竽，C正確;

在正三棱柱中，取八3的中點。，連接oq.occq,

可知DC”GC\、AGNDB\,

乂。C仁平面AGC,,GC,u平面AGC；,DB、色平面AGC；,GAu平面AGC；,

所以DC//平面AGC,,//平面AGG,

又因為是平面以4內(nèi)兩條相交直線，因此平面OC8J/平面AGG，

當點N在四邊形ABSA內(nèi)及其邊界上運動時，若CV〃平面AGG，

則CN在平面DCg內(nèi)，從而動點N的凱跡為。片,

又因為DB】=/l宿旅=忖4=下,所以動點N的軌跡長度為石，D正確.

故選：ACD.

12.1

先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法化簡言，再根據(jù)模的概念求解.

?若二洋生忐焉=事

所以

故答案為：1

13.2580

根據(jù)平均數(shù)、方差的性質(zhì)求解即可.

【詳解】由題意數(shù)據(jù)中七，，%的平均數(shù)為元一10,方差為4=20,

根據(jù)平均數(shù)和方差性質(zhì)可得

數(shù)據(jù)凹=2司+5,），2=2々+5,,”=2/+5的平均數(shù)9=25+5=2x10+5=25,

方差*=2?./=4x20=80.

故答案為：25；80

14.四

3

首先根據(jù)圓錐的底面半徑和母線長的關(guān)系以及表面積的值求出〃，,?的表達式，然后利用圓錐的體積公式和二

次函數(shù)的性質(zhì)求出體積的最大值.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為「，母線長為/,高為九則『=產(chǎn)+/,

因為圓錐的表面積為2兀，所以冗八+?！?2兀

從而/=",〃=豆匚己，JLO<r<l,

所以圓錐的體積為V=1nrh=2G-'=生L(r—p

333V4V2)

因此當〃=也時，體積V取到最大值

23

故答案為：y.

4

15.(1)-

4

⑵(=

(1)根據(jù)向量夾角的余弦公式和向量數(shù)量積的坐標公式進行求解即可.

(2)根據(jù)向量共線的坐標公式求出參數(shù)的值.

【詳解】(1)由已知，a+h=(OA),

“r/r\(a+b)-c0x3+4x44

所以以漢白+兒4=7~^―=---1===~.

\a+b\\c\4XV32+425

(2)由已知，〃+品=(1+3%,2+必),2〃一。=(一3,2),

因此由(〃+Ac)〃(2〃-。)，可得2(1+3%)=-3(2+4女),

4

解得k=-§.

16.(1)^=0.0015,395(千瓦)

(2)495萬人

⑶x、567(千瓦).

(1)根據(jù)頻率分布直方圖的頻率之和為1求出。的值，進而可求得樣本的平均值.

(2)由頻率分布直方圖求出用電量不低于400千瓦的頻率，進而求得用電量不低于400千瓦的人數(shù).

(3)根據(jù)百分位數(shù)的公式求出85%百分位數(shù)，進而可求得「的值.

【詳解】(1)由頻率之和為1,可得(0.0005+O.(X)lx3+a+0.002+0.003)x100=1,

解得“00015,

樣本的平均數(shù)為：

50：＜0.05+150x0.1+250x0.1+350x0.2+450x0.3+550x0.15+650x0.1=395(千瓦).

(2)由圖可得，用電量不低于400千瓦的頻率為0.3+0.15+0.1=0.55,

故全市居民中月均用電量不低丁400T瓦的人數(shù)為900x0.55=495萬人.

(3)由圖可得，前5組的頻率之知為0.05+0.1x2+0.2+0.3=0.75,

前6組的頻率之和為0.05+0.1x2+0.2+0.3+0.15=0.9,

設(shè)第85百分位數(shù)為x,則xs[500,600),

故0.75+(x-500)X0.0015=0.85,

解得X。567(千瓦).

34

17.(l)P=",^=-

噓

（I）根據(jù)古典概型和已知條件求出事件“甲，乙各有一輪勝出”、“甲，乙兩輪都勝出”的概率，然后求出參

數(shù)即可.

（2）甲、乙兩人至少有一人兩輪都勝出的概率等于甲兩輪勝出的概率、乙兩輪勝出的概率以及甲乙兩輪都

勝出的概率之和.

【詳解】（1）記事件A="第一輪比賽中甲勝出“，事件4=”第二輪比賽中甲勝出”,

記事件4="第一輪比賽中乙勝出"，事件員="第二輪比賽中乙勝出”,

由題意得%層相互獨立,

32

且p(A)=Z，尸(4)=p,?(4)=§,尸(用)=夕,

記事件"甲，乙各有一輪勝出“，事件E=”甲，乙兩輪都勝出”,

則P(0=P(A用+4AJP(瓦瓦+瓦區(qū))=|(l_q)+/*,

P(E)=P(AA避層)=

112

嚴嚴?34

從而有，您，解得〃=?

IZDD

pq=-

25

（2）記事件G="甲兩輪都勝出"，事件〃=”乙兩輪都勝出”,

事件K=”甲，乙兩人至少有一人兩輪都勝出”,

9248

P(G)=3N=—,2〃)=—X—=一

45203515

P(K)=P(Gm+Pd〃)+P(G〃)，J+L9+2J/3+88+72;交

201520152015300300

18.⑴A=；

⑵。=36-3

⑶6+2日

（I）由正弦定理和三角恒等變換得到2sinA-9=1,從而求出A=W兀；

16/3

（2）先計算出=+兩邊平方求出4〃+c2+2bc=36,又聯(lián)立兩式解得反J由

33b

余弦定理求出〃=3行-3：

(3)若A。為角平分線，則/8AD=m，sin/8D4=sin(8+2],在△ABD中，由正弦定理得到

6k

2"3+W，昨」,故加3如6+j+lang,根據(jù)基本不等式求出最小值.

AB=-----------sinBtan-

sinB2

【詳解】(1)由已知a(J5sin8+cosA)=Z>+c,

由正弦定理，可得sinA(>/3sinB+cosB)=sin8+sinC,

又因為sinC=sin(八+8)=sin人cos8+cos人sin8,代入上式,

化簡得：6sinAsinB=sinB+sin"cosA，

因為VABC中,Bw(O,n),所以sin8工0,從而Gsin4-cosA=1,

故2sin(A—tj=l,因為Aw(0,兀)，所以A=g.

(2)因為40=2cO,

2212

所以AO=A8+8O=48+/。=43+押(：-48)=豺8+豺(7,

由(1)知，A=1，

,->(i2A12*6124.，4

所以AZ/=-AB+-AC\=-AB~+-AC~+-\AB\\AC\cosA

U3J999

1.)4-22

=-AB~+-AC+-\AB\\AC\f

999

由已知AO=2,所以4="/+1/+晟秋?，即4〃+/+?c=36,

又?=G-1,聯(lián)立兩式解得，b-x[6,c-3^2-y/6,

z?

由余弦定理，可得/=〃+/—加=36—186，即4二36—3.

(3)若A。為角平分線，則N8AD==7T,sin/BDA=sin8+三，

6k6J

AnBDAB

在△海中，由正弦定理，得益

sinN3AD-sinNBDA

2BDAB

sinB+仁，

2sinIB+7I

所以A人[6)，BD=

sinB

sinB

?2sinBH—1+3r-.

所以4“I6)V3sinB+cosB+3

AB+3BD=---------------乙--=--------------

sinBsinB

,^B-sin^B3cos^sin^.,Br.、B

cos++4cos—+2sin~一

=出+--22I223—

T~B~~B.*D

2sin—cos2sincos

2222

HnAB+3BD=V3+^77+tan-

即A2，

tan—

2

又因為/相?,所以黑0彳,

tan—G(0,V3),

2

InR

y-,jAB+3BDNy/3+2