高考數(shù)學一輪復習概率

一.選擇題（共8小題）

1.（2025春?紹興期末）從小a,i,h,e這五個字母中隨機選擇一個,則選中元音字母?；騟的

概率為（）

1124

A.一B.-C.—D.

10555

2.（2025春?清遠期末）某班級有42名學生，其中男生、女生的人數(shù)及是否喜愛籃球的人數(shù)如表所

示，從這42名學生中隨機選擇1人作為體育課代表，若選到的學生喜愛“籃球”，則該學生是女

生的概率為（）

喜愛“籃球”不喜愛“籃球”合計

男生15722

女生101020

合計251742

3215

A—B.—C.-D.一

.55221

3.（2025春?廣西期末）某網球社團有3名男生和5名女生，從中任選2名同學參加網球比賽，下

列各對事件中互斥而不對立的是（）

A.至少有1名男生與全是男生

B.至少有1名男生與全是女生

C.恰有1名男生與恰有2名男生

D.至少有1名男生與至少有1名女生

4.（2025?天津）下列說法中錯誤的是（）

A.若X詼(n，o2),則P(XWp?o)=P(X2|i+。)

B.若X7V(1,22),y7V(2,22),則p（xvi）<p（r<2）

C.|r|越接近1,相關性越弱

D.m越接近o,相關性越弱

5.（2025春?龍巖期末）現(xiàn)有6張卡片,分別寫上數(shù)字1,2,3,4,5,6.從這6張卡片中隨機抽

取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為彳，則尸鰭=4）=（)

1111

A.一B.—C.—D.一

120602010

6.（2025春?鄭州期末）一個袋子中裝有5個白球，3個黑球，從中任選4個球，取到一個白球得1

分，取到一個黑球得3分，設得分為隨機變量X,則P（X26）為（）

7.(2025春?徐匯區(qū)期末)如果事件4與事件B獨立，且P(A),P(B)6(0,\),A,后分別是

A、8的對立事件，那么以下等式一定成立的是()

A.P(AUB)=P(A)P(B)B.P(APB)=P(A)+P(B)

C.P(An萬)=PQ4)P(耳)D.PQ4U^)=P(A)+1-P(8)

8.(2025春?湖州期末)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,a2),且P(2<XW2.5)=0.1,則

P(XV2.5)=()

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

二.多選題(共4小題)

(多選)9.(2025春?杭州校級月考)已知隨機事件A,8相互獨立,且P(4)=看，P(8|4)=1則

()

44

11--

A.2(8)=可B.尸(48)=而C.P(A\B)5D.5

(多選)10.(2025春?麗水期末)甲乙兩個質地均勻的骰子，同時拋擲這兩個骰子一次，記事件A

為“兩個骰子朝上一面的點數(shù)之和為奇數(shù)”，事件B為“甲骰子朝上一面的點數(shù)為奇數(shù)”，事件

C為“乙骰子朝上一面的點數(shù)為偶數(shù)”，下列選項正確的是()

A.事件3、C是互斥事件

B.P(A)=P(B)=P(C)

C.事件A、B是相互獨立事件

D.P(ABQ

(多選)11.(2()25春?新洲區(qū)期末)小宇連續(xù)拋擲一枚骰子2次，記事件A表示“2次結果中正面

向上的點數(shù)之和為奇數(shù)”，事件8表示“2次結果中至少一次正面向上的點數(shù)為偶數(shù)”，則()

A.事件A與事件B互斥

B.事件A與事件8不相互獨立

3

C-

4

2

D.

(多選)12.(2025春?杭州期末)若PQIB)=1P(彳)=P(B)=則事件4與8的關系是()

7。。

A.事件A與B不互斥

B.事件A與B對立

C.事件A與B相互獨立

D.事件A與3既互斥又獨立

三.填空題（共4小題）

13.（2025春?浦東新區(qū)校級期末）有4個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,從中不放回地隨機

取兩次，事件人表示“第二次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，事件8表示“兩次取出的球的數(shù)字之和

是偶數(shù)，則P（用人）=.

14.（2025春?龍巖期末）投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次

投籃投中的概率為0.4,且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率

為.

15.（2025春?閔行區(qū)校級期末）某中學高一、高二、高三的學生人數(shù)比例為4：3：3,假設該中學

高一、高二、高三的學生反讀完《紅樓夢》的概率分別為0.5,0.7,0.9,若從該中學三個年級的

學生中隨機選取1名學生，則這名學生閱讀完《紅樓夢》的概率.

16.（2025?浦東新區(qū)校級模擬）某測試由8道四選一的單選題組成.學生小胡有把握答對其中4道

題，且在剩下的4道題中，他對2道有思路，其余2道則完全小會.若小胡答對每道有思路的題

的概率為點答對每道不會的題的概率為:則當他從這8道題中任抽1題作答時，能答對的概率

為■

四.解答題（共4小題）

17.（2025春?松江區(qū)校級月考）在探索數(shù)智技術賦能學科學習的過程中，某中學鼓勵學生使用某聽

說平臺進行英語口語自主練習.該中學有初中生1200人，高中生800人.為了解全校學生近?個

月內使用此聽說平臺進行英語口語自主練習的次數(shù)，從全校學生中隨機抽取200名學生進行問卷

調查，將他們的使用次數(shù)按照[0,10）,[10,20）,[20,30）,[30,40）,[40,50],五個區(qū)間

進行分組，所得樣本數(shù)據如下表：

使用次數(shù)分組區(qū)間[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50]

初中生43848246

高中生31938173

（1）從上面參與問卷調查且使用此聽說平臺進行英語口語自主練習次數(shù)不足10次的學生中隨機

抽取3人，記X為這3人中高中生的人數(shù)，求X的分布和數(shù)學期望；

（2）若將自主練習次數(shù)不少于20次稱為積極，試完成下2X2列聯(lián)表，并根據a=0.05判斷“學

2

段”與“自主練習的積極性”是否有關?附：段=g+b）器戕2）（b+dyP（X223.84I）=0.05

練習不積極練習積極合計

初中生

高考數(shù)學一輪復習概率

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1.（2025春?紹興期末）從小，a,i,h,e這五個字母中隨機選擇一個，則選中元音字母?；?。的

概率為（）

1124

A.——B.-C.-D.-

10555

【考點】古典概型及其概率計算公式.

【專題】對應思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】C

【分析】根據古典概型的概率計算公式求解即可.

【解答】解：從〃?，a,r,h,e五個字母中隨機選擇一個，

則樣本空間。={，〃,a.t.h.e},n（Q）=5.

記事件A="選中元音字母?；騟”，

則A={a,e],n（A）=2,

故P（4）=^J

故選：c.

【點評】本題考查占典概型求概率公式，屬于基礎題.

2.（2025春?清遠期末）某班級有42名學生，其中男生、女生的人數(shù)及是否喜愛籃球的人數(shù)如表所

示，從這42名學生中隨機選擇1人作為體育課代表，若選到的學生喜愛“籃球”，則該學生是女

生的概率為（）

喜愛“籃球”不喜愛“籃球”合計

男生15722

女生1()1020

合計251742

【考點】古典概型及其概率計算公式；條件概率乘法公式及應用.

【專題】對應思想；綜合法：概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】B

【分析】記事件A：選到的學生喜愛“籃球”，事件8：選到的學生是女生，利用條件概率公式可

求出PCB\A）的值.

【解答】解；記事件A；選到的學生喜愛“籃球”，事件8；選到的學生是女士,

則n（4）=25,n（AB）=10,

所以「但力）=需=蕓4

故選：B.

【點評】本題考查條件概率公式，屬于基礎題.

3.（2025春?廣西期末）某網球社團有3名男生和5名女生，從中任選2名同學參加網球比賽，下

列各對事件中互斥而不對立的是（）

A.至少有I名男生與全是男生

B.至少有1名男生與全是女生

C.恰有1名男生與恰有2名男生

D.至少有1名男生與至少有1名女生

【考點】互斥事件與對立事件.

【專題】對應思想；綜合法：概率與統(tǒng)計；邏輯思維.

【答案】C

【分析】寫出各個事件包含的情況，根據互斥事件以及對立事件的概念，依次判斷各選項即可.

【解答】解：對于4選項，事件“至少有1名男生”包括：“恰有1名男生”和“全是男生”兩

種情況，故A選項錯誤；

對于8選項，事件“至少有1名男生”包括：“恰有1名男生”和“全是男生”兩種情況，

與事件“全是女生”是互斥對立事件，故B選項錯誤；

對于C選項，事件“恰有1名男生”指“有1名男生和1名女生”，

與事件“恰有2名男生”是互斥事件，但不是對立事件，故C選項正確；

對于。選項，事件“至少有I名男生”包括：“恰有1名男生”和“全是男生”兩種情況，

事件“至少有1名女生”包括：“恰有1名女生”和“全是女生”兩種情況，

兩個事件有交事件“恰有1名男生和1名女生”，故。選項錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查互斥事件與對立事件的概念，屬于基礎題.

4.（2025?天津）下列說法中錯誤的是（）

A.若X毋（口，。2）,則p。）=P（X2“+。）

B.若XW（1,22）,K-W（2,22）,則P（X<1）<P（K<2）

C.仍越接近1,相關性越強

D.3越接近0,相關性越弱

【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義；樣本相關系數(shù).

【專題】對應思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】B

【分析】由正態(tài)分布的性質判斷4,3：由相關系數(shù)的性質判斷C,Q.

【解答】解：對于4,由正態(tài)分布的性質可知，

當XTV(H，。2)時，則p(XWp?。)=P(x)u+。)，故A正確；

對于樂由正態(tài)分布的性質可知，

當XTV(1,22),yw(2,22)時，P(X<l)=1=P(y<2),故8正確；

對于C,D,由相關系數(shù)的性質可知，

力越接近1，相關性越強，W越接近0,相關性越弱，故C，。正確.

故選：B.

【點評】本題考查了正態(tài)分布的性質、相關系數(shù)的性質，屬于基礎題.

5.(2025春?龍巖期末)現(xiàn)有6張卡片，分別寫上數(shù)字1,2,3,4,5,6.從這6張卡片中隨機抽

取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為講則夕解=4)=()

1111

A.-----B.-C.—D.—

120602010

【考點】古典概型及其概率計算公式.

【專題】對應思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】C

【分析】結合組合數(shù)的應用，利用古典概型的概率公式求解即可.

【解答】解：從這6張卡片中隨機抽取3張有/=20種情形，

事件W=4只包含4,5,6,這一種情況，

故P延=4)=*.

故選：C.

【點評】本題考查古典概型求概率公式，屬于基礎題.

6.(2025春?鄭州期末)一個袋子中裝有5個白球，3個黑球，從中任選4個球，取到一個白球得1

分，取到一個黑球得3分，設得分為隨機變量X,則尸(X26)為()

11133

A.—B.-C.—D.一

214147

【考點】離散型隨機變量及其分布列；古典概型及其概率計算公式.

【專題】對應思想：綜合法：概率與統(tǒng)計：運算求解.

【答案】C

【分析】山題意可得P(X>6)=1-P(X=4),計算求解即可.

【解答】解：由題意，從中任選4個球，除取到4個白球得4分外，其他取法的得分都不小于6,

所以P(X>6)=1-P(X=4)=1=TZ-

C8

故選：c.

【點評】本題考查離散型隨機變量的概率，結合超幾何分布求概率等知識點解題，屬于基礎題.

7.(2025春?徐匯區(qū)期末)如果事件A與事件8獨立，且P(A),P(B)￡(0,1),彳、后分別是

A、8的對立事件，那么以下等式一定成立的是()

A.P(AUB)=P(A)P(B)B.P(AQB)=P(A)+P(B)

C.PG4n與)=P(4)P(耳)D.尸(4U耳)=P(4)+1—P(B)

【考點】概率的應用；相互獨立事件的概率乘法公式；對立事件的概率關系及計算.

【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】C

【分析】根據獨立事件、對立事件的概率公式判斷.

【解答】解：根據題意，依次分析選項：

對于4因為事件A與事件B是相互獨立事件，則事件4與事件后也是相互獨立事件，

故P(AUB)=P(A)+P(/?)-P(A)P(B)，A錯誤；

對于8,事件4與事件8是相互獨立事件，P(AA8)=P(A)P(8),故B錯誤：

對于C，事件A與事件瓦也是相互獨立事件，則產(AO豆)=P(A)P(5),C正確：

對于。，P(AU互)=P(X)+P(B)-P(AB)=P(A)+1-P(B)-P(A)[1-P(B)],D

錯誤.

故選：C.

【點評】本題考行相互獨立事件的概率，涉及互斥事件的概率計算，屬于基礎題.

8.(2025春?湖州期末)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,o2),且尸(2VXW2.5)=0.1,則

P(XV2.5)=()

A.0.2B.0.4C.0.6D,0.8

【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

【專題】轉化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】C

【分析】根據正態(tài)分布的對稱性即可求解.

【解答】解：已知隨機變星X?N(2,。2),其均信口=2,

根據正態(tài)分布的對稱性，P(XW2)=0.5,

又因為『(2VXW2.5)=0.1,對于連續(xù)型隨機變量，單點概率為0,tipP(2<X<2,5)=0.1,

因此，P(XV2.5)=P(XW2)+P(2VXV2.5)=0.5+0.1=0.6.

故選：C.

【點評】本題考查了正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎題.

二.多選題(共4小題)

(多選)9.(2025春?杭州校級月考)已知隨機事件A,4相互獨立，且P(4)=2,P(BM)=1,則

()

A.P(B)=寺B.P(AB)=4C.P(A\B)=1D.P(A+萬)=[

【考點】概率的應用；相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式；條件概率.

【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】BCD

【分析】根據條件概率公式和獨立事件乘法公式即可判斷AAC再根據PQ4+后)=P(4)+P(百)-

PQ4萬)即可判斷。，綜合可得答案.

【解答】解：根據題意，依次分析選項：

對于8,P(4B)=P(A)P(B|A)=克,8正確；

對于A,P(AB)=P(A)P(8)=配(B)=蕓，變形可得P⑻=1,故A錯誤；

1

41-4

一

X-P.的5

一

川--

于C,尸(718)=尸54C15故C正硼;

4-

3134

-X-=故

--一

對于D,P(A+耳)=P(A)+P⑥-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=1+454￡)

5T

正確.

故選：BCD.

【點評】本題考查概率的乘法公式、條件概率的計算，涉及概率的性質和應用，屬F基礎題.

(多選)10.(2025春?麗水期末)甲乙兩個質地均勻的骰子，同時拋擲這兩個骰子一次，記事件A

為“兩個骰子朝上一面的點數(shù)之和為奇數(shù)”，事件8為“甲骰子朝上一面的點數(shù)為奇數(shù)”，事件

C為“乙骰子朝上一面的點數(shù)為偶數(shù)”，下列選項正確的是()

A.事件8、。是互斥事件

B.P(A)=P(B)=P(C)

C.事件A、8是相互獨立尋件

1

D.P(ABC)8一

【考點】概率的應用；相互獨立事件和相互獨立事件的概空乘法公式；互斥事件的概率加法公式.

【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】BC

【分析】由互斥事件的定義分析A,由古典概型公式分析3、。，由相互獨立事件的定義分析C,

綜合可得答案.

【解答】解：根據題意,則。={(1,I),(I,2),(1,3),(I,4),(1,5),(1,6),

(2,)(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(36),

(3,)(3,2),(3,3),(3,4),5),(36),

(4,)(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,)(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,)(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

依次分析選項:

對十人，事件仄C可以同時發(fā)生,小是互斥事件,A錯誤;

對于B,A={(1,2),(I,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,

4),(3,6),

(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,

5)},有18個基本事件,

/?、2x3x3

則P(A)=-6^6-

B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),1),(3,2),

(3,3),

4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,

6)},有18個基本事件,

P(/?)=1,

C-{(1,2),(2,2),2),(4,2),(5,2),<6,2),

(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(5,4),(6,4),

(1,6),(26),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6)},

則有P(A)=P(8)=P(C),8正確;

對于C,AB={(1,2),-1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,

4),(5,6)},有9個基本事件,

則戶(48)=磊=/，則P(A3)=P(A)P(B),事件A、6是相互獨立事件，C正確;

對于D,ABC={<1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),

(5,4),(5,6)},

則P(ABC)=^=|,。錯誤.

故選：BC.

【點評】本題考查互斥事件、相互對立事件的判斷，涉及古典概型的計算，屬于基礎題.

(多選)11.(2025春?新洲區(qū)期末)小寧連續(xù)拋擲一枚骰子2次，記事件A表示“2次結果中正面

向上的點數(shù)之和為奇數(shù)”，事件8表示“2次結果中至少一次正面向上的點數(shù)為偶數(shù)”，則()

A.事件A與事件B互斥

B.事件4與事件B不相互獨立

3

C.PQ4B)=4

D.P(48)=(2

【考點】求解條件概率；事件的互斥(互小相容)及互斥事件；由兩事件交事件的概率判斷兩事

件的相互獨立性.

【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】BD

【分析】根據題意，由互斥密件的定義分析A,由相互獨立事件的性質分析8,由古典概型公式分

析C,由條件概率公式分析Q,綜合可得答案.

【解答】解：根據題意，P(A)=*P(8)=l-z$7=p

依次分析選項：

對于A,PCAB)=笑*=2，事件4、8可以同時發(fā)生，A、8不是互斥事件，A錯誤；

oxoZ

對于從易得P(A)P(BiWP(AB),事件4與事件3不相互獨立，3正確；

對于C,PCAB)=1,。錯誤；

1

22

對于。，P(4|B)=號鬻---

33D正確.

-

4

故選：BD.

【點評】本題考查占典概型的計算，涉及互斥事件、相互獨立事件的性質，屬于基礎題.

(多選)12.(2025春?杭州期末)若P(4B)=P(彳)=I，P(B)=則事件A與8的關系是()

3^OO

A.事件4與8不互斥

B.事件A與B對立

C.事件A與B相互獨立

D.事件A與8既互斥又獨立

【考點】互斥事件與對立事件；由兩事件交事件的概率判斷兩事件的相互獨立性.

【專題】計算題：整體思想；綜合法：概率與統(tǒng)計：運算求解?.

【答案】AC

【分析】根據概率即可依次判斷.

【解答】解：因為P(45)=g,所以A與8能同時發(fā)生，不是互斥事件，故A正確，。錯誤:

2

所以P

因為PG4)因為P⑻=|,則戶(A)+P(8)=J1,所以事件4與8不是互

3*

為對立事件，故3錯誤；

因為P(/18)=3=P(A)P(8),所以事件A與8相互獨立，故C正確.

故選：AC.

【點評】本題考查了互斥事件和對立事件，屬F基礎題.

三.填空題(共4小題)

13.(2025春?浦東新區(qū)校級期末)有4個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,從中不放回地隨機

取兩次，事件A表示“第二次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，事件8表示“兩次取出的球論數(shù)字之和

是偶數(shù)，則P(W)=_1_.

【考點】求解條件概率.

【專題】對應思想；綜合法：概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】

【分析】先求出P(A),P(AB),然后結合條件概率公式即可得解.

【解答】解：由題意P(A)二義x女+義x義=

P(4B)+

故答案為：

【點評】本題考查條件概率公式，屬于基礎題.

14.(2025春?龍巖期末)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次

44

投籃投中的概率為0.4,且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為—/0.352

―125------

【考點】相互獨立事件的概率乘法公式.

【專題】對應思想；綜合法：概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】—/0.352.

【分析】各次投籃是否投中相互獨立，可以看成獨立重復試驗，利用獨立事件概率求法計算得解.

【解答】解：由題各次投籃是否投中相互獨立，該同學通過測試分為恰好投中兩次或者恰好投中

三次，

所以其概率為第x(0.4)2x0.6+(0.4)3=黑/0.352.

44

故答案為：—/0.352.

?L乙D

【點評】本題考查相互獨立事件的概率乘法公式，結合二項分布求解概率等知識點解題，屬于基

礎題.

15.(2025春?閔行區(qū)校級期末)某中學高一、高二、高三的學生人數(shù)比例為4：3：3,假設該中學

高一、高二、高三的學生閱讀完《紅樓夢》的概率分別為0.5,0.7,0.9,若從該中學三個年級的

學生中隨機選取I名學生，則這名學生閱讀完《紅樓夢》的概率0.68.

【考點】全概率公式.

【專題】對應思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】0.68.

【分析】根據全概率公式計算即可.

【解答】解：因為該中學高一、高二、高三的學生人數(shù)比例為4：3：3,

所以選取選手來自高一、高二、高三的概率分別為0.4,().3,0.3,

若從該中學三個年級的學生中隨機選取1名學生，

則這名學生閱讀完《紅樓夢》的概率為0.4X0.5+0.3X0.7+0.3X0.9=0.68.

故答案為:0.68.

【點評】本題考查全概率公式，屬于基礎題.

16.(2025?浦東新區(qū)校級模擬)某測試由8道四選一的單選題組成.學生小胡有把握答對其中4道

題，且在剩下的4道題中，他對2道有思路，其余2道則完全不會.若小胡答對每道有思路的題

的概率為"答對每道不會的題的概率為士則當他從這8道題中任抽1題作答時，能答對的概率

24

為—16—?

【考點】全概率公式.

【專題】計算題；方程思想：轉化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】見試題解答內容

【分析】設小胡從這8題中任選1題，且作對為事件A,選到能完整做對的4道題為事件選到

有思路的2道題為事件C,選到完全沒有思路為事件D,利用全概率公式進行求解即可.

【解答】解；根據題意，設事件A=”小胡從這8題中任選1題，且能答對”，

B="選到能完整做對的4道題”，C=“選到有思路的2道題”，D="選到完全沒有思路”，

則P(B)=\=\P(C)=|T，P(D)=於%

=玫*0=4，P(*D)=；,

1111111

則P(A)=P(4)P(八⑻+P(C)P(A\C)+P(O)P(川D)=1x1+廣1+廣本二苛.

故答案為：

16

【點評】本題考查全概率公式，涉及條件概率的計算，屬于基礎題.

四.解答題(共4小題)

17.(2025春?松江區(qū)校級月考)在探索數(shù)智技術賦能學科學習的過程中，某中學鼓勵學生使用某聽

說平臺進行英語口語自主練習.該中學有初中生1200人，高中生800人.為了解全校學生近一個

月內使用此聽說平臺進行英語口語自主練習的次數(shù)，從全校學生中隨機抽取200名學生進行問卷

調查，將他們的使用次數(shù)按照[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50],五個區(qū)間

進行分組，所得樣本數(shù)據如下表：

使用次數(shù)分組區(qū)間[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50]

初中生43848246

高中生31938173

(1)從上面參與問卷調行且使用此聽說平臺進行英語口語自主練習次數(shù)不足10次的學生中隨機

抽取3人，記X為這3人中高中生的人數(shù)，求X的分布和數(shù)學期望；

(2)若將自主練習次數(shù)不少于20次稱為積極，試完成下2義2列聯(lián)表，并根據a=0.05判斷“學

2

段”與“自主練習的積極性”是否有關.附：*2-…居笨P(X223.84I)=0.05

Iv€-?U}IVIvvJICvILJ(L/i14J

練習不積極練習積極合計

初中生

高中生

合計

【考點】離散型隨機變量的均值(數(shù)學期望)；獨立性檢驗.

【專題】對應思想；分析法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

9

-

【答案】(1)分布列見解析；E(X)7

(2)列聯(lián)表見解析；無關.

【分析】(I)根據古典型概率公式求出對應的概率，列出分布列，結合數(shù)學期望的公式進行求解

即可;

（2）由題意完成表格，由卡方的計算判斷可得.

【解答】解：（1）由題意可知，樣本空間中，初中生有4人，高中生有3人.

故X的所有取值范圍為0,1,2,3,

P（x=o）=3=SP（X=1）=警=弟

P（X=2）=誓=||,p（x=3）=警=9

得到X的分布列如下所示：

X0123

P_4_18121

35353535

將數(shù)據代入期望公式可得X的數(shù)學期望E（X）=^xo+蕓xl+||x2+19

35X3=7;

（2）補全聯(lián)表如下：

練習不積極練習積極合計

初中生4278120

高中生225880

合計64136200

零假設為Ho：“學段”與“自主練習的積極性”無關,

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易版2=（Q+b）（幽）7愿）（b+d）=2喂黑膝胃歌=1.241<3.481,因此零假設成立，

所以根據a=0.05判斷“學段”與“自主練習的枳極性”無關.

【點評】本題主要考查離散型隨機變量的分布列和期望以及獨立性檢驗，屬于中檔題.

18.（2025春?丹陽市期末）甲、乙兩人組成小隊參加數(shù)學趣味謎題競猜活動，每輪活動有甲、乙各

猜一個謎題，已知甲每輪猜對的概率為；，乙每輪猜對的概率為三.在每輪活動中，甲和乙猜對與

否互不影響，各輪結果也相互不影響，該小隊共參加了兩輪活動.

（1）求小隊猜對3個謎題的概率；

（2）求甲猜對謎題數(shù)量大于乙猜對謎題數(shù)量的概率.

【考點】概率的應用；相互獨立事件的概率乘法公式.

【專題】計算題；方程思想：轉化思想；綜合法：概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】（1）7：

6

【分析】分類討論，根據互斥事件以及對立事件的概率公式，即可求解(1〉(2).

【解答】解(1)根據題意，小隊猜對3個謎題共有2種情況：

①甲隊猜對2個，乙隊猜對1個：②甲隊猜對1個，乙隊猜對2個，

故要求概率P=^x^x^x(l—^)x2+2x^x(l-^)x^x^=^.

(2)根據題意，甲猜對謎題數(shù)量大于乙猜對謎題數(shù)量的情況有：

①甲猜對1個，乙猜對0個；②甲猜對2個，乙猜對1個；③甲猜對2個，乙猜對0個；

故要求概率P=2x1X(1-1)x(1-1)2+|x1x2X|x(1-1)+1X1X(1-1)2=

【點評】本題考查互斥事件的概率計算，涉及相互獨立事件的概率計算，屬于基礎題.

19.(2025春?南開區(qū)期末)八，B,C三所學校分別有6%,5%,4%的學生有“強基計劃”報名資

格，這三個學校的人數(shù)比為3：4：3,現(xiàn)從這三個地區(qū)中任選一人.

(I)求這個人有“強基計劃”報名資格的概率；

(H)如果此人有“播基計劃”報名資格.求此人選自A學校的概率.

【考點】概率的應用；相互獨立事件的概率乘法公式.

【專題】計算題；方程思想；轉化思想：綜合法；概率與統(tǒng)計：運算求解.

【答案】(1)0.05；