《第二章一元二次方程》培優(yōu)檢測(cè)卷

班級(jí)姓名學(xué)號(hào)分?jǐn)?shù)

考試范圍：全冊(cè)；考試時(shí)間：120分鐘；總分：120分

一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

1.（2022?安徽合肥?八年級(jí)期末）方程x（2丫5）=4x10化為一元二次方程的一般形式是（）

A.2x24x+5=0B.2x21+10=0C.2A29.V+10=0D.2￥29A10=0

【答案】C

【解析】

【分析】

【詳解】

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的一般形式，熟記一元二次方程的一般形式是解題關(guān)鍵.

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意直接對(duì)一元二次方程配方，然后把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊即可.

【詳解】

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查配方法解一元二次方程，注意掌握配方法的一般步驟：把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；把二次項(xiàng)的系

數(shù)化為1;等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次

項(xiàng)的系數(shù)為1,一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù).

3.（山東省濟(jì)南市高新區(qū)20212022學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知x=1是方程/-3.計(jì)c=0的一個(gè)

根，則實(shí)數(shù)c的值是（）

A.?1B.0C.1D,2

【答案】D

【解析】

【分析】

將l=1代入已知方程求出c即可.

【詳解】

解：把.1=1代入x2-3x+c=0得：1-3+c=0,

解得：c=2,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是一元二次方程的根艮］方程的解的定義.一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠

使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立.

4.（2022?福建省福州屏東中學(xué)八年級(jí)期末）新冠疫情牽動(dòng)人心，若有一人感染了新冠，在每輪傳染中平均

一個(gè)人可以傳染1個(gè)人，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有400人感染，列出的方程是（）

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，正確的理解題意，列出一元二次方程，即可得到答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確的理解題意，列出一元二次方程.

4.13B.15C.13或15D.15或19

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)方程求得方程的兩根，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得到合題意的邊，進(jìn)而求得三角形周長(zhǎng)即可.

【詳解】

團(tuán)邊長(zhǎng)2,4,7不能構(gòu)成三角形，2,6,7能構(gòu)成三角形，

團(tuán)三角形的周長(zhǎng)=2+6+7=15.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考杳一元二次方程的解法及三角形三邊關(guān)系，求三角形的周長(zhǎng)，不能盲目地將三邊長(zhǎng)相加起來(lái)，而應(yīng)

養(yǎng)成檢驗(yàn)三邊長(zhǎng)能否成三角形的好習(xí)慣，熟練掌握?元二次方程的解法及三角形三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵.

6.（2022?浙江?翠苑中學(xué)八年級(jí)期中）下列給出的四個(gè)命題，真命題的有（）個(gè)

4.4個(gè)8.3個(gè)C.2個(gè)O.1個(gè)

【答案】A

【解析】

【分析】

【詳解】

②由“2-567+5=0,

團(tuán)1-a＜（）,

田方程aF+/zr+c=0（"0）一定無(wú)解，故此選項(xiàng)符合題意；

④若方程N(yùn)+px+q=（）的兩個(gè)實(shí)根中有且只有一個(gè)根為0,

回兩根之積為0，

那么〃=0,夕=0,故此選項(xiàng)符合題意；

故選:A.

【點(diǎn)睛】

此題考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系等，熟

記各計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

【解析】

【分析】

先移項(xiàng)，再把方程的左邊分解因式，再解兩個(gè)一次方程即可.

【詳解】

【點(diǎn)睛】

本題考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握因式分解的方法解方程的步驟是解本題的關(guān)鍵.

8.（2022?江蘇?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程（加?1）血尸一（2//?+1）x-m=0是一元二次方程,

則〃?=_.

【答案】I

解：團(tuán)。是方程2.x2-7x-1=0的一個(gè)根,

02G2-la-\=0,

-7a=1,

(3a(2a-7)+5=2，產(chǎn)-7〃+5=1+5=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.將2a2

-7。當(dāng)作一個(gè)整體，代入原代數(shù)式是解題的關(guān)鍵.

【答案】1

【解析】

【分析】

利用一元二次方程解的定義得到a，+2021a+l=0,/+2021價(jià)1=0；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到：4=1,然后將

其代入(砂+20220+1)(加+2022分I)進(jìn)行求值即可.

【詳解】

解：0a,尸是方程"是方程+1=0的兩個(gè)根,

團(tuán)標(biāo)+2021。+1=0,仍+2021尸+1=0,磔=1,

□(a2+2022a+l)(尸+2022￡+1)

=(a2+2021?+l+a)(^2+2021//+l+y7)

=(0+a)(0+4)

=afi

=1.

故答案是：1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了一元二次方程解和根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)

常使用的解題方法.

12.(2022?遼寧本溪?二模)如圖，在矩形A8C。中，48=5,BC=7,點(diǎn)E為8c上一動(dòng)點(diǎn)，把財(cái)8E沿AE

折疊當(dāng)點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)"落在的角平分線(xiàn)上時(shí)，則點(diǎn)8'到6C的距離為.

【答案】2或1##1或2

【解析】

【分析】

【詳解】

解：:矩形A8CQ,

團(tuán)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)8,落在財(cái)OC的角平分線(xiàn)上，

解得：a=3,X2=4,

則點(diǎn)&到BC的距離為53=2或54=1.

故答案為：2或1.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是翻折變換的性質(zhì)，掌握翻折變換是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的形狀和大

小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

三、(本大題共5小題，每小題6分，共30分)

13.(2022?江蘇?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))解方程：

⑴(％-1)2-4=0；(2)(x+1)2=2(x+1).

【答案】⑴M=3,X2=-1

(2)川=-1,X2=l

【解析】

【分析】

(1)直接利用開(kāi)平方方法解一元二次方程:

(2)利用因式分解法解一元二次方程.

(1)

解：自(x?1)2-4=0,

(3(x-I)2=4,

則上-1=2或x-1=-2,

解得片=3,X2=-1;

⑵

解：0(x+1)2-2(x+1)=0,

0(x+1)(x-1)=0,

則1+1=0或x-1=0,

解得xi=-1,X2=l.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分

解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵.

D

B

【答案】

【解析】

【分析】

【詳解】

解：設(shè)則3C=(20-2r)機(jī)，

依題意得：x(20-2x)=50,

整理得:x2-10^+25=0,

解得：X\=X2=5.

答：邊A8的長(zhǎng)為5m.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

15.（2021?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）判斷下列方程是否為一元二次方程，如果是說(shuō)明二次項(xiàng)及二次項(xiàng)系數(shù)、

一次項(xiàng)及一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：

(1)2x2+3x+5(2)(x+5)(x+2)=X2+3A+1

(3)(2x1)(3/5)=5(4)(3x+l)(x2)=5x

【答案】（l）不是一元二次方程；（2）不是一元二次方程；（3）是一元二次方程，二次項(xiàng)為6/,二次項(xiàng)系

數(shù)為6,一次項(xiàng)為7x,一次項(xiàng)系數(shù)為7,常數(shù)項(xiàng)為0；（4）是一元二次方程，二次項(xiàng)為3f,二次項(xiàng)系數(shù)為3,

一次項(xiàng)為0,一次項(xiàng)系數(shù)為0,常數(shù)項(xiàng)為2.

【解析】

【分析】

【詳解】

（3二次項(xiàng)為6/,二次項(xiàng)系數(shù)為6,一次項(xiàng)為7x,一次項(xiàng)系數(shù)為7,常數(shù)項(xiàng)為0；

（3二次項(xiàng)為3/，二次項(xiàng)系數(shù)為3,一次項(xiàng)為0,一次項(xiàng)系數(shù)為0,常數(shù)項(xiàng)為2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的一般形式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握一元二次

方程的定義和一股形式.

16.（2022?河北保定?三模）下面是小穎同學(xué)解一元二次方程的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成任務(wù).

⑴任務(wù)一：

①小穎解方程的方法是一；

②第二步變形的依據(jù)是一；

⑵任務(wù)二：請(qǐng)你用"公式法”解該方程.

【答案】（1）配方法，等式性質(zhì)

【解析】

【分斤】

（1）任務(wù)一，結(jié)合配方法解一元二次方程的步驟求解即可;

（2）任務(wù)二，利用公式法求解即可.

（I）

解：:小穎是將方程左邊配成完全平方形式,

???小穎解方程的的方法是配方法，等式變形的依據(jù)是等式性質(zhì)；

(2)

【點(diǎn)睛】

本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分

解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵.

17.(2022?江蘇?九年級(jí))已知關(guān)于工的方程f-(3-1)X+2F+2&=0.

⑴求證：無(wú)論左取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；

⑵苦等腰三角形的底邊長(zhǎng)3,另兩邊長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩根，求此三角形的周長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析.

(2)7.

【解析】

【分析】

(1)先計(jì)算判別式，將結(jié)果寫(xiě)成完全平方形式，再根據(jù)判別式的意義得出結(jié)論.

(2)運(yùn)用因式分解法求得到方程的兩個(gè)根，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，求出等腰三角形的周長(zhǎng).

⑴

0J=Z>2-4ac=[-(3k+1)]2-4*(2k2+2k)=k2-2k+\=(A-1)2>0,

團(tuán)無(wú)論k取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；

⑵

團(tuán)等腰三角形的底邊長(zhǎng)3,另兩邊長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩根，

回等腰三角形的周長(zhǎng)為7.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一元二次方程根的判別式，本題第二問(wèn)，運(yùn)用因式分解法求得到方程的兩個(gè)根，根據(jù)等腰三

角形性質(zhì)，求出等腰三角形的周長(zhǎng).

四、(本大題共3小題，每小題8分，共24分)

【答案】⑴7

【解析】

【分析】

(1)代入可求出〃值，將〃值代入原方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求出AB+A。的長(zhǎng)，再利用平行四邊

形的周長(zhǎng)=相鄰兩邊之和x2,即可求出結(jié)論.

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)可知AB=AD,利用根的判別式4=0可求出〃值,將。=1代入原方程,解之可得出此時(shí)

菱形的邊長(zhǎng)：

(1)

(2)

(1)當(dāng)人慶人。時(shí)，平行四邊形人8。。是菱形，

0J=(4a)24X4X⑵1)=0,

團(tuán)a1=42=1.

將a=1代入原方程得：4X24A+1=0,

即(2x1)2=0,

0.ri=X2=y,

回此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)為/.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、根的判別式、解一元二次方程、根與系數(shù)的關(guān)系以及平行四邊形的性質(zhì)，

解題的關(guān)鍵是：(1)利用根的判別式/=(),找出關(guān)于〃的方程；12)利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出平行四邊形

相鄰兩邊之和.

19.(2022?四川攀枝花?九年級(jí)期末)若關(guān)于x的一元二次方程(k-1)/-4x-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

⑴求2的取值范圍:

⑵若方程的兩根川，X2,滿(mǎn)足(Xl+l)(X2+1)=4,求％的值.

【答案】⑴心?3且七I

(2)2

【解析】

【分析】

(1)由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于攵的一元一次不等式，井使攵-1工0,即可得出

結(jié)論.

(1)

解：(1)回關(guān)于x的一元二次方程(h1)f?4x?1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

瞅?100,A=/?2-4?c>0,BP(-4)2-4x(A:-1)x(-1)>0,

(3&N-3且Awl.

⑵

解：目關(guān)于X的一元二次方程(八1)x2?4x-1=0的兩根為r,X2,

0(X]+\)(X2+1)=4,

整理，得：k-1=1,

解得:k=2,

經(jīng)檢驗(yàn)，攵=2是方程的解，

歐=2.

齦的值為2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系列出方程或不等式.

20.(2022?安徽?測(cè)試?編輯教研五二模)將黑色圓點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律進(jìn)行排列，圖中黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次

為：1、3、6、10..........按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：

①②③④

⑴第⑤個(gè)圖中有個(gè)黑色圓點(diǎn)；第⑩個(gè)圖中有個(gè)黑色圓點(diǎn)；

(2)第個(gè)圖中有210個(gè)黑色圓點(diǎn).

【答案】⑴15；55

(2)20

【解析】

【分析】

通過(guò)觀察圖形，發(fā)現(xiàn)第一圖形加兩個(gè)得第二個(gè)圖形，第二個(gè)圖形加三個(gè)得第三個(gè)圖形，第三個(gè)圖形加四個(gè)

得第四個(gè)圖形，以此類(lèi)推，可找到規(guī)律.

(1)

故答案為：15；55.

(2)

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】

圖形問(wèn)題可以通過(guò)作差發(fā)現(xiàn)規(guī)律，所以注意尋找相鄰的兩個(gè)圖形中的圓圈的變化規(guī)律，從而得到規(guī)律.

五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）

21.（2022?浙江?杭州育才中學(xué)八年級(jí)期中）2021年我國(guó)脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得了全面勝利.成為“脫貧勝利年技

術(shù)扶貧也使得某縣的一個(gè)電子公司扭虧為盈，該公司的顯卡廠(chǎng)2019年電腦人型顯卡的成本是是100元/

個(gè).2020年與2021年連續(xù)兩年在技術(shù)扶貧的幫助下改進(jìn)技術(shù)，降低成本，2021年A型電腦顯卡的成本降

低到81元/個(gè).

⑴求這兩年A型電腦顯卡成本平均下降的百分率；

【答案】（1）這兩年A型電腦顯卡成本平均下降10%.

（2）單價(jià)應(yīng)降低10元.

【解析】

【分析】

（1）設(shè)這兩年小型電腦顯卡成本平均下降的百分率為-然后根據(jù)增長(zhǎng)率問(wèn)題可求解；

（I）

解：設(shè)這兩年4型電腦顯卡成本平均下降的百分率為必由題意得：

答：這兩年4型電腦顯卡成本平均下降10%;

⑵

答：?jiǎn)蝺r(jià)應(yīng)降低10元.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

22.（2022?江蘇?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀下面的材料，回答問(wèn)題：

解方程r-5r+4=0,這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)r=），，那么丁

=）2，于是原方程可變?yōu)閂-5），+4=0①，解得yi=l,”=4

當(dāng)y=1時(shí),x2=1,0x=±1；

當(dāng)y=4時(shí)，/=4,ar=±2；

原方程有四個(gè)根：xi=l,X2=-bX3=2,X4=-2

⑴在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用法達(dá)到的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.

（2）解方程:（N+方2-4（/+方-12=0

⑶已知非零實(shí)數(shù)小〃滿(mǎn)足-時(shí)-12〃=0,求;的值.

【答案】（I）換元法；降次

(2g=2,X2=-3

⑶4或-3

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)解答過(guò)程歸納出銀法為換元法，換元法的目的是將高次方程降為低次方程求解；

(2)運(yùn)用換元法求解，

(3)運(yùn)用因式分解法求得a=4A或。=-35,再代入計(jì)算即可.

(1)

解：在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想；

故答案為：換元法，降次；

(2)

解：設(shè)x>+x=y,原方程可變?yōu)?4y-12=0,

解得yi='2,”=6.

當(dāng)y=-2時(shí)，x2+x=-2,方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解；

當(dāng)y=6時(shí)，x2+x=6,

取=2或-3；

原方程有兩個(gè)根：xi=2,X2=-3：

(3)

解：(a-4b)(a+3。)=0,

a-4/?=0或a+3b=0,

所以。=4〃或〃=-3b,

即烏的值為4或-3.

D

【點(diǎn)睛】

本題考查了高次方程：通過(guò)換元法，把高次方程化為次數(shù)較低的方程求解.所以解高次方程一般要降次，

即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程.也有的通過(guò)因式分解來(lái)解.

六、(本大題共12分)

23.(2022?廣東?佛山市華英學(xué)校八年級(jí)期中)教材中這樣寫(xiě)道：“我們把多項(xiàng)式42+2帥+加及/?2必十〃

叫做完全平方式”，如果關(guān)于某一字母的二次多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)

的項(xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是

一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)

數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式最大值，最小值等.

例如：分解因式/+2x?3

原式=(f+zt+l)-4=(x+l)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(A-1)；

例如：求代數(shù)式/+標(biāo)+6的最小值

原式="+4X+4+2=(X+2)242,0(x+2)2>0,

回當(dāng)x=-2時(shí)，爐+41+6有最小值是2

根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問(wèn)題：

⑴