專題2?3焦點(diǎn)弦和焦半徑公式在高考中的應(yīng)用

每當(dāng)談到高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，我們總是避不開(kāi)這樣一個(gè)話題，教材上沒(méi)有、高考要考，而且是有效的解題利

器，那就是——二級(jí)結(jié)論。

比如說(shuō)2022年全國(guó)一卷第16題，硬做當(dāng)然可以做出來(lái)，但是不僅容易翻車(chē)而且很耗時(shí)間，就算其算對(duì)了，

4

在考場(chǎng)上又有幾人有魄力相信〃=—的答案呢？

13

不過(guò)，必須指出的是二級(jí)結(jié)論要想在考場(chǎng)上玩的轉(zhuǎn)，必須熟練掌握，注意是必須，光知道是不夠的。

有人認(rèn)為只要知道它在那里，可以考場(chǎng)上推一次再用，然而以某人某段時(shí)間的悲慘經(jīng)歷可以告訴大家：“你，

想多了

因?yàn)楝F(xiàn)推耗時(shí)耗力不說(shuō)，在考場(chǎng)上大部分人是推不出的。

其實(shí)以上想依靠現(xiàn)推來(lái)解題的想法不過(guò)是在偷懶，很多非常實(shí)月的二級(jí)結(jié)論的推導(dǎo)需要極其巧妙的手法，

在高度整張的環(huán)境中，著實(shí)很難把到，不如就先記住并熟練掌握。

再者，高考題越來(lái)越新、越來(lái)越活，很多題放在那里你都不一定知道該用什么結(jié)論，更何況你如果不熟練

呢？

怎么會(huì)用？

從實(shí)際操作的角度來(lái)講，我們必須記憶。

記得我們高中數(shù)學(xué)老師第一節(jié)課就曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)好的第一個(gè)必要條件就是記憶力好

當(dāng)然，不是指死記硬背，更不是指不要死記硬背。

某些同學(xué)曾經(jīng)陷入過(guò)一個(gè)誤區(qū)，認(rèn)為只要理解就可以記住或者只要在刷題中鞏固就可以熟練掌握。

這其實(shí)是矯枉過(guò)正，我們過(guò)度重視了理解與實(shí)踐，而在最基本的層面上一些機(jī)械性的成分其實(shí)必不可少，

因?yàn)闄C(jī)械記憶是所謂一切種種的根基所在。

真的，各位千萬(wàn)不要忽略記憶的重要性，某些同學(xué)深受其害，到高三才意識(shí)到事情的嚴(yán)重性。

因?yàn)?，如果你不先記住，怎么在刷題中想到去應(yīng)用去實(shí)踐？

而且理解了也不代表掌握，功利地講，在考場(chǎng)上如果不能直接運(yùn)用結(jié)論，理解其實(shí)也沒(méi)什么用。

不過(guò)話說(shuō)回來(lái)，我并不是說(shuō)記憶就夠了，也并不是在抹黑理解與應(yīng)用，我只想說(shuō)死記硬背其實(shí)是第一步，

千萬(wàn)不要忽視。

目錄

酶O橢圓焦半徑最值.....................................................................6

2023?深圳市一模.........................................................................6

2023屆?溫州市第一次適應(yīng)性考試（11月）.................................................6

7

2023屆?湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考......................................7

2023屆?佛山二模第11題一無(wú)坐標(biāo)系，焦半徑公式與交點(diǎn)弦公式.............................8

11

2023浙江紹興二模T16——橢圓的中的對(duì)稱...............................................II

2023?浙江嘉興二模......................................................................12

酗四雙曲線焦點(diǎn)弦與焦半徑公式..........................................................14

2023屆?湖南雅禮中學(xué)高三月考T16......................................................14

2023屆?山東省新高考3月聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)...................................................15

2023屆?青島三模T8——2個(gè)二級(jí)結(jié)論....................................................16

17

2024屆?浙江省Z20名校聯(lián)盟高三上學(xué)期第一次聯(lián)考T16......................17

2024屆?長(zhǎng)郡中學(xué)月考（三）T15............................................18

知識(shí)點(diǎn)?梳理

橢圓焦半徑與焦點(diǎn)弦?jiàn)A角公式

焦半徑長(zhǎng)公式：|PE|=---（長(zhǎng)），依川=---（短），\pn\=—如&—

111a-ccos91"G+CCOS。1a2-c2cos2a

證明：在△耳P鳥(niǎo)中，由余弦定理得怛斤斗舊圖2"閨用?osa

將叵4=2。一帆”代入得：忻42_4a閨耳+4a2=|￡31244c2_4c帆耳.cos氏

22,2

移項(xiàng)合并得：忻尸|（4c?cos夕一4〃）=4/-4a2=>\F.P\="一’一=——-----,

11IV7111a-ccosOa-ccosO

同理，在^耳。乙中，由余弦定理得優(yōu)0『=|片2|2+忻國(guó)2一2忻0卜內(nèi)修8§（兀一夕），

22?2

將|以2|=24-舊”代入化簡(jiǎn)得：舊。|二&一L:—-——

a+Lcos。a+ccos3

則回+|明=J婆

a-ccosa

2-\

焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分成定比：若歸用二川?；?，則e-cos6=——（注：拋物線默認(rèn)e=i）

A4-1

爾'HInrIMeedb~4"1"14

簡(jiǎn)正：PF】=2QFA=>--------=---------=>---------=---------n--------

a-ccosOa+ccosOa-ccos60+ccos。1-ecos。1+GCOS。

2-1

交義相乘得:1+ecos0=A-Aecos0=>ecos。（丸+1）=2-1=>e-cos0-

I+T

雙曲線焦半徑與焦點(diǎn)弦?jiàn)A角公式

22

已知雙曲線二一與二1（。>力〉o）,求出2種情況下的焦半徑4月，8￡以及焦點(diǎn)弦48

crb-

已知橢圓。：￡+與=1（。＞8＞0），。的上頂點(diǎn)為4,兩個(gè)焦點(diǎn)為片，尺，離心率為；.過(guò)月且垂直于4居

a-h-2

的直線與C交于。，E兩點(diǎn),|OE|=6,則zMOE的周長(zhǎng)是一

【答案】13

【解析】易知AAf；鼻為等邊三角形,

【法二工通性通法

【分析】利用離心率得到橢圓的方程為￡+工=1,即3分+4/_12c?=0,根據(jù)離心率得到直線

4c"3c-

從人的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線OE的斜率，寫(xiě)出直線OE的方程：x=6y-c,

代入橢圓方程短+4戶⑵』，整理化簡(jiǎn)得到：13戶6Gcy-9c2=0,利用弦長(zhǎng)公式求得c=?

O

13

得口=2c弋,根據(jù)對(duì)稱性將V4力E的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為

4a=13.

【詳解】???橢圓的離心率為e=￡=:，???a=2c,Ab2=a2-e2=3c2,二橢圓的方程為

a2

E+==1,即3爐+4），2-12°2=0,不妨設(shè)左焦點(diǎn)為6,右焦點(diǎn)為尸2,如圖所示，

4c'3c

AF.=a,O￡=c,a=2ct:,乙AFQ=%,.?.八4月心為正三角形，二?過(guò)七且垂直于A"的直線與C

交于D,E兩點(diǎn)、,。石為線段從右的垂直平分線，???直線DE的斜率為正，斜率倒數(shù)為赤，直

3

線DE的方程:x=s/3y-cf代入橢圓方程*+4?-12/=0,整理化簡(jiǎn)得到：13yz一6岳＞，-9c?=。，

判別式△=（6后c）+4x13x9c2=62X16XC2,

.\|DE|=Jl+（＞/3y|yI-y2|=2x^-=2x6x4x-^=6,

"1J1w*

13產(chǎn)、13

至，付a=2c=i，

???DE為線段斗鳥(niǎo)的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，AD=DFrAE=EF2fJVA/）E的周長(zhǎng)等于△鳥(niǎo)。石

的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到△名。七周長(zhǎng)為

\DF2\+\EF2|+|D￡|=|DF21+|%|+|DK|+|EF\|=|M+|DF21+|EF}\+\EF2\=2?+=4?=13.

重點(diǎn)題型?歸類精講]

橢圓焦半徑最值

2023?深圳市一模

I.若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值是最小值的2倍，則該橢圓的離心率為

【答案】5

【詳解】依題意，由圖象的性質(zhì)可知，

點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為4+C,最小值為（l-C,

所以空￡=2,化簡(jiǎn)得￡=；,即離心率”?

a-ca33

2023屆?溫州市第一次適應(yīng)性考試（11月）

2.己知￡,鳥(niǎo)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在。上，且I"媚"％|的最大值是它的最小值的2倍，則橢圓

的離心率為.

【答案】①

2

【分析】先結(jié)合橢圓的定義表示出眼制周=|M用（2a-|M用），化簡(jiǎn)后結(jié)合慳國(guó)的范圍可求出

周的最值，然后列方程可表示出的關(guān)系，從而可求出橢圓的離心率.

【詳解】因?yàn)閨ME|+|"g|=2a,

所川周=眼用（2〃-|加制）=-w"『+2〃四胃=-（四間-4）2+/,

所以當(dāng)|岬|=。時(shí)，閭?cè)〉米畲笾?/p>

因?yàn)閨“用=3-CM+C],所以|加中阿閭的最小值為"+1=",

因?yàn)閈MFt\-\MF2\的最大值是它的最小值的2倍，

所以〃2=32,

所以(?=a2-b'=b',所以a=0b、c=h,

所以橢圓的離心率為6=￡=3=也

a42b2

題理S拋物線焦點(diǎn)弦與焦半徑公式

3.己知拋物線y=16x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)/作直線/交拋物線于M,N兩點(diǎn)，則‘一+」一二________

\MF\\NF\

1恒4

的最小值為

9|MF|

1I1

【答案】----------1----------7=一

MF|N可4，3

__1___+__1____1_+_c_o_s__0_+1_-_c_o_s__0__2__1_

【解析】（1）\MF\\NF\~一p——p—"7"4

1I14,4

(2)由----1-1----i=—=1-----r=]-1----i

?6MF|7VF|4\MF\|N日'

2023屆?湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考

4.（多選）已知A8是拋物線C：）7=4x上兩動(dòng)點(diǎn)，歹為拋物線C的焦點(diǎn)，則（）

A.直線A8過(guò)焦點(diǎn)/時(shí)，|A卻最小值為4

B.直線AB過(guò)焦點(diǎn)/且傾斜角為60時(shí)（點(diǎn)A在第一象限），|4目=2忸耳

C.若AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3,則|A同最大值為8

D.點(diǎn)A坐標(biāo)（4,4）,且直線4尸,人區(qū)斜率之和為0,4k與拋物線的另一交點(diǎn)為。，則直線，BD方程為:

4x+8y+7=0

提示:C選項(xiàng)用|/叫,,|/用+|明

D選項(xiàng)可不聯(lián)立，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)，用AD斜率求D點(diǎn)坐標(biāo)（斜率公式中消x）

【答案】ACD

【解析】直線A8過(guò)焦點(diǎn)產(chǎn)，當(dāng)垂直于工軸時(shí)，|A?取最小值4,A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由

題可知：恒用=—=4,|BF|=-=故8錯(cuò)誤；由于A3為兩動(dòng)點(diǎn)，所以

1-cos601+cos603

忸月=/+4+2=8,當(dāng)且僅當(dāng)直線A8過(guò)焦點(diǎn)/時(shí)等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D選

4v-丫八4（IA<49A

項(xiàng)，依題意，==,故）7=-1,即。7,-1,同理可得8丁,一7,

3%+為14J14J

故直線8。方程為4x+8y+7=0,。正確.

2023屆?佛山二模第11題一無(wú)坐標(biāo)系，焦半徑公式與交點(diǎn)弦公式

5.（多選）如圖拋物線口的頂點(diǎn)為A,焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為乙，焦準(zhǔn)距為4；拋物線上的頂點(diǎn)為4,焦點(diǎn)也

為F，準(zhǔn)線為乙，焦準(zhǔn)距為6.和和口交于P、Q兩點(diǎn)，分別過(guò)P、Q作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足

分別為M、N、S、T,過(guò)尸的直線與封閉曲線A尸8Q交于C、D兩點(diǎn),則（）

B.四邊形/WNST的面積為100

25

c.FSFT=0D.|普的取值范圍為5,；

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的定義可得|4耳二5判斷A,以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件

可得拋物線口的方程為），2=8X,可得|M7|=|NS|=4",進(jìn)而判斷B,利用拋物線的定義結(jié)合

條件可得NTFS二三可判斷C,利用拋物線的性質(zhì)結(jié)合焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可判斷D.

【詳解】設(shè)直線48與直線44分別交于G,〃，由題可知|G4|=|AF|=2,|冏=忸川=3,

所以|G〃|=|MN|=1O,\AI3\=5,故A正確；

如圖以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則F（2,0）,/,：x=-2,

所以拋物線「1的方程為/=8x,

連接刊"由拋物線的定義可知|P同=|阿V丹=WH，又|MN|=10,

所以為,二3,代入產(chǎn)二以，可得力=2幾，

所及|MT|=|NS|=46，又|M/V|=10,故四邊形MV57的面積為406，故B錯(cuò)誤:

連接QJ因?yàn)閨QT=|Q7]=|QS],所以4QFT=4QTF,4QFS=4QSF,

所以ZTFS=/QFT+/QFS=〃口產(chǎn)+NQ"=K

故FSFT=U,故C正確；

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)。在封閉曲線AP8Q的上部分，設(shè)C,。在直線44上的射影分別

為C出,

當(dāng)點(diǎn)。在拋物線B尸，點(diǎn)。在她物線AQ上時(shí)，|8|二|。。+|?！▅,

當(dāng)C,。與AB重合時(shí)，|CD|最小,最小值為|cq=5,

當(dāng)D與P重合，點(diǎn)。在拋物線AQ上時(shí)，因?yàn)榫W(wǎng)3,2"），尸（2,0）,直線CD:y=2祈（X—2）,

與她物線「I的方程為y2=8"關(guān)立，可得3/-13x+12=0,設(shè)。（刀,,）,力（占,必）,

1325

則再+/=,|C7)|=%+/+4=,

25~

所以|CD|w5,—；

當(dāng)點(diǎn)。在拋物線P4,點(diǎn)。在她物線AQ上時(shí)，設(shè)CO:x=）+2,

與拋物線吟的方程為，=8x聯(lián)立,可得/_8\_16=0,設(shè)。（知外），力（％乂）,

則以+必=g,|西=七+玉+4=（％+乂）+8=8/+828,當(dāng)f=0,

-95~

即CD_LAB時(shí)取等號(hào),故此時(shí)|CO|w8,y；

-25~

當(dāng)點(diǎn)。在拋物線Q4,點(diǎn)。在拋物線QB上時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，|CD|e5,y；

os'

綜上，|CD|G5,—,故D正確.

6.已知Q為拋物線C：V=4.r的焦點(diǎn)，過(guò)尸作兩條互相垂直的直線，直線乙與C交A,B兩點(diǎn)，直線4

與C交于。，E兩點(diǎn),則IABI+IOE］的最小值為.

【答案】16

【詳解】

2P

思路一：設(shè)網(wǎng)"懸

則cos20

4444

則|陰+四|=赤+嬴/，而西+阿」乘"'即可

思路二：由題意拋物線焦點(diǎn)為尸。，0）,

顯然直線//的斜率都存在且都不為0,設(shè)直線4方程為y=?x-i）,A（N，X）,B（JK）,

=4X,得長(zhǎng)一-2(及2+2)4+公=。，所以.+.*=伏：)=1,

由22,

y=k(x-\)k“

\AB\=J1+yXJ(X]+%2y-4內(nèi)電=4"+,")

1Y

41+

同理可得|OEj=—」=4(1+&).

所閃4同+|0同=4(1+4)+4(1+產(chǎn))=8+4(-!+&2)28+4乂2

?:2=16,當(dāng)且僅當(dāng)左=±1時(shí)等號(hào)成立.

kk

故答案為：16.

橢圓焦點(diǎn)弦公式與焦半徑公式

2023浙江紹興二模T16------橢圓的中的對(duì)稱

r2v2

7.已知橢圓。：與+4=1（?！?〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為"，K.若巴關(guān)于直線），=2x的對(duì)稱點(diǎn)尸恰好在

a-b~

。上，且直線尸E與。的另一個(gè)交點(diǎn)為。，則cos/￡OK=

1?

【答案】U

【詳解】

思路一：

設(shè)片，。的中點(diǎn)為M,易知OM_Lf；P,故鳥(niǎo)尸_1_大尸，故歸用=生叵°,歸用=3叵c,a

55

42

2J5"—及_5C_4石

cos^=cosZ^P=—*S=4+CCOS6=3小2下=石，'

55

則”=2“-拽”辿LPQ2故COS〃QA二第Y

“2252525\QF2\13

思路二：

設(shè)好（-c,0）關(guān)于直線），=2x的對(duì)稱點(diǎn)。（內(nèi)，y）,

由產(chǎn)十。，得尸亨肯），可知附上至c,|明=出盤(pán)又知勾=2°,

M_2,x「C55

.~2~'~2~

所以|W『+|P段2=忻周2,則4P6為直角，

由題意，點(diǎn)P恰好在C上，根據(jù)橢圓定義|尸國(guó)+歸周=2。，得4=包5以

5

|。用+|綏|=2°,設(shè)|。制=",叫=2〃一-=地c-m,

5

在立角三角形△QP八中，(〃Z+±^C)2+(2^C)2=c-m)2,

解得機(jī)=勺叵c,從而|QK|=2，"c,|°P|=246c,

251J251125

\QP\12

所以cos/用況=品=-

\QF2\13

2023?浙江嘉興二模

8.已知橢圓C：H=1（。>。>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，入，離心率為e,點(diǎn)p在橢圓上，連接夕入并延

長(zhǎng)交。于點(diǎn)。，連接Q6,若存在點(diǎn)產(chǎn)使中。=|。用成立，則」的取值范圍為.

【答案】［8>/2-11,1）

【分析】設(shè)|Q周=〃?，閥|=",所以存在點(diǎn)P使閘=|。周等價(jià)于（阿-匹1）小°，由3+）課可

求|尸。-血周=2〃2+〃-2〃的最小值，求得雪的范圍，從而得到J的取值范圍.

設(shè)|Q制=〃?,仍用=〃，則|。閭=勿-，〃.顯然當(dāng)〃靠近右頂點(diǎn)時(shí)，|PQ|>|Q周,

所以存在點(diǎn)產(chǎn)使I叫二|。勾等價(jià)于（IPQH。國(guó)）四W0，仍。|-|。段=2〃葉〃-2a,

在乙尸片寫(xiě)中由余弦定理得尸8=。k+￡62_2心.寫(xiě)修8$。，

即(2。一〃了=〃2+4c2-2〃-2c-cos夕，角不得〃=-------

a-ccos6

同理可得加=——-——-,所以上+'=言，

a+ccosJ，〃nb-

上3+〃)仕+R上(3+巳空R叱空,

所7人2m+n

2a\mn)2八mnJ2a

所以(2〃?+n-2?)min=(&+"2--la,當(dāng)且僅當(dāng)〃=時(shí)等號(hào)成立.

2a

由巫生三一2。40得*12-8后,所以8血-11?/vl.

2aa'

故答案為：［8忘-11,1）

關(guān)犍點(diǎn)：求離心率范圍關(guān)鍵是建立〃泊工的不等式，此時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（歸。|-|。用Ln40，從而

?oa

只需求|尸。-依國(guó)=2，〃+，2-勿的最小值，求最小值的方法是結(jié)合焦半徑性質(zhì)赤+萬(wàn)萬(wàn)=”使用基

本不等式求解.

9.如圖/是橢圓《+f=1的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)產(chǎn)作條與坐標(biāo)軸不垂直的直線/交橢圓于點(diǎn)A,B,

43

線段AB的中垂線/交x軸于點(diǎn)M,證明：丹瞿二4

|kM|

【答案】

翁折??設(shè)ZAFO=a，則NBFO二兀一a

則由橢圓的焦半徑公式可知

叫"…cosa=r^，

\BF\=------------=---.

a-ccos（7r-a）2+cosa

\AB\=\AF\+1FBI=-------+---:---=-----；—

2-cosa2+cosa4-cos'a

設(shè)15的中點(diǎn)為N,則

23_6cos?

2網(wǎng)=網(wǎng)-同=

2-coscr2+cosa4-cos2a

3cosa

即WM=

4-cos2a

在RtAA^VF中,

cosa4-cos'a

于是\A局B\=4.

@雙曲線焦點(diǎn)弦與焦半徑公式

2023屆?湖南雅禮中學(xué)高三月考T16

10.過(guò)雙曲線￡—《=1（。>（）,〃>0）的右焦點(diǎn)/作其中一條漸近線的垂線，垂足為。，直線FQ與雙曲線

a2b‘

的左、右兩支分別交于點(diǎn)M,N,若|MQ|=3|QN|,則雙曲線的離心率是.

【答案】75

【分析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為《，連接歷片設(shè)/。尸。二夕，分別求得^M|=—--=—,同理

ccosO-ab-a

/N|=--—=—，結(jié)合|MQ|=3|QN|,求得a=進(jìn)而求得離心率.

COS6+Qh+a2

【詳解】如圖所示，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)/到直線y=\x的距離為匕，

設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為片，連接回"則|嗎|=忻根一2〃，

cose=2,\\_

汲4QFO=e,則fm=Z_=J_,|F/V|=_工_:工,

cCCOSO-Qb-accosO+ob+a

因?yàn)镸Q=3|QN|=yM4=3(|QF|-3,

則有￡_〃=3伍￡匕昨(/—〃)/:2電_/)=4-小=〃=2%

b-aIb+a)b~-a~、)

所以。二；6,故離心率為上.

2023屆?山東省新高考3月聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)

11.過(guò)雙曲線--)2=1的左、右焦點(diǎn)作兩條相互平行的弦AB,CD,其中48在雙曲線的左

支上，A,C在x軸上方，則|A制?|C可的最小值為.當(dāng)48的傾斜角為5時(shí)，四邊

形4月入。的面積為.(提示：參考焦半徑公式與焦點(diǎn)弦公式)

【答案】1,2的

解析：方法1:設(shè)AB：x=6-忘，聯(lián)立得(d—I)/—2也"+1=0.所以＞科=+］.

2

b+12

所以.|.|C圖二.|.忸用=(/+1)㈠加=耳1T=一"匚淳N1,

當(dāng)且僅當(dāng)％=0時(shí)等號(hào)成立.S=4(|A用+|Cg|)?忻巴|?sin工=34?|?忻巴|?sin二=2#.

方法2:M用［C居］=6用-忸卜=|/,八..1,(提示：］用一5八，〃是焦準(zhǔn)距)

l-2cos“81-ecos。

S=g(|叫+|C曰).|甲小如6=沒(méi)5=26

2023屆?青島三模T8------2個(gè)二級(jí)結(jié)論

12.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:※一號(hào)=1（。>0/>0）的左，右焦點(diǎn)分別為耳，鳥(niǎo)，過(guò)C的右焦點(diǎn)鳥(niǎo)

且傾斜角為2的直線交C于4,8兩點(diǎn),48中點(diǎn)為W,優(yōu)W|=J?主，則離心率e=：AF】AB

的周長(zhǎng)等于12,則“=.

【答案】V2,1

(1)易知怩叫=，小+從=c=>/W=5O=>Ow=tan3(F=亭,又攵.=tan60。=,

(2)易知耳A=gA+2〃，F(xiàn)[B=F?B+2a,則AEAB的周長(zhǎng)為2A/+4a

AR_2加_2/

由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可知2，，兀一、1一，故2A3+4a=l勿=12=。=1

a-ccos—a-2a?—

34

焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分成定比

2-1

若AB是過(guò)焦點(diǎn)的弦，JLAF=ABF(A>I),則e?cos8=------

A+1

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22

13.已知橢圓C：二+=的右焦點(diǎn)為尸