專題3?7立體幾何與空間向量大題專練（5類常見題）

思維導(dǎo)圖

目錄

題型一求線面角.........................................................3

題型二求二面角，面面角........................14

題型三已知線面角求其他量........................................................24

題型四已知二面角，面面角求其他量.......................................34

題型五最值與范圍........................................................44

知識(shí)點(diǎn)?梳理

線面角

范圍：

公式：sin，=cos

面面角

范圍:

公式：cos/9=

二面角

范圍:(0,句

公式：|cos〃|

重點(diǎn)題型?歸類精講

1.在四棱錐P-A8C。中，QQ1底面A8CO,CO〃4B,AO=QC=C3=1,A8=2,O〃=G.

(1)證明：BD1PA；(2)求PD與平面248所成的角的正弦值.

NAS一

「由展［顓ABC

一棱在ABC-A,BC"

幽從］，在二梭枉

\e

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B

BCSm用的正匹

：）證明：Ai。；Bg平面

AA'jBBM跑險(xiǎn)為"

g已知AA「J

4.如圖，四棱錐P-ABCD中，PA_L底面ABCD，AD〃BC，AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上

一點(diǎn)，AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).

P

(【)證明MN〃平面PAB;

(II)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

5.如圖，在直三棱柱人BC-A用G中，八5=AC=M=3,點(diǎn)/)是8c的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AA上，4Q//平面

BQE.

(1)求證：平面BC|E_L平面B同G。；

(2)當(dāng)三棱錐4-的體積最大時(shí)，求直線AC與平面BQE所成角的正弦值.

6.如圖，已知三棱柱ABC-AeG，平面人人。。_1平面48C,NA8C=90。，NBAC=30。,4八=AQ=AC,石，尸

(1)證明：EFJ.BC；

(2)求直線EF與平面ABC所成角的余弦值.

7-中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種被稱為“曲池”的幾何體.該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)

形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.在如圖所示的“曲池”中,mJ?平面A8GA，記弧4B、弧

OC的長(zhǎng)度分別為4，，2，已知AZ）=1,4=24=如，E為弧A4的中點(diǎn).

3

（2）若A4]=4ADf求直線CE與平面所成角的正弦值.

8.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC中，E,尸分別為邊4B,AC的中點(diǎn).將△AEF沿EF翻折至AAEV,

得到四棱錐A-EFCB,p為AC的中點(diǎn).

(1)證明：FP〃平面ABE；

(2)若平面\EF_L平面EFCB,求直線A/與平面BFP所成的角的正弦值.

CFI

9.如圖，四棱臺(tái)ABC。-A笈G。的下底面和上底面分別是邊4和2的正方形，側(cè)棱CG上點(diǎn)E滿足*=不

J]LJ

(1)證明：直線A,3〃平面ARE；

⑵若CG1平面/WCQ,且。4=3,求直線叫與平面4QE所成角的正弦值.

10.如圖，在四棱錐P—A8c。中，底面A8C。是平行四邊形，Z4BC=120°,AB=\,BC=2,PDLCD.

(1)證明：ABA.PB

⑵若平面的，平面PS且**求直線AC與平面.所成角的正弦值.

11.如圖，已知三棱柱ABC-A/B/。的底面是正三角形，側(cè)面8B/GC是矩形，M，N分別為8C,的中

點(diǎn)，尸為AM上一點(diǎn)，過8/C/和尸的平面交AB于E,交AC于E

(i)證明：AA///MN,且平面A，AMNJ_EB/C/F；

(2)設(shè)。為△八道/。的中心，若40〃平面E8/。尸，且AO=48,求直線8形與平面AMMVF斤成角的正弦

值.

霞S求二面角，面面角

12.如圖，直三棱柱ABC-A用G的體積為4,AABC的面積為2夜.

⑴求4到平面46c的距離；

⑵設(shè)。為的中點(diǎn)，入4二人8,平面ABC_L平面4〃用A,求二面角A—4。一。的正弦值.

13.如圖，尸0是三棱錐P—A8C的高，PA=PB,AB1AC,E是9的中點(diǎn).

(2)若Z48O=NC8O=30。，PO=3,R4=5,求二面角C—AE—3的正弦值.

14.如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)El分別在棱e上，且2Z)E=ER,BF=2FB].

(1)證明：點(diǎn)G在平面A￡尸內(nèi)；

(2)若A8=2,AD=\,M=3,求二面角A—七b―A的正弦值.

15.如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，0是圓錐底面的圓心，AE為底而直徑，AE=AD."8C是底面的內(nèi)接正三

(1)證明：尸AJ_平面P8C；

(2)求一.面角8-2。一石的余弦值.

16.如圖，在三棱臺(tái)瓦'中，AC=4,BC=2,EF=1,DE=6AD=BE=CF.

(1)求證：平面4?￡。_1平面A8C；

(2)若四面體8CDF的體積為2,求二面角七-8。-尸的余弦值.

17.如圖，在四棱錐夕一。43c中，已知OA=OP=1,CP=2,A8=4,/CPO=1,ZABC=^t/AOC=],

E為PB中點(diǎn),尸為八3中點(diǎn).

B

(1)證明：平面CM//平面PAO；

(2)若ZM=6，求平面POC與平面PAB所成夾角的余弦值.

18.如圖，四楂錐。一”8的底面是矩形，PQ_L底面ABC。，H)=￡>C=1,M為8C的中點(diǎn)，且尸B_LAW.

(1)求8C；

(2)求二面角A-PM-B的正弦值.

19.在四棱錐Q-ABC。中，底面48C。是正方形，若AO=2,0O=QA=6,QC=3.

（1）證明：平面Q/V），平面A8C。：

（2）求二面角4-。。-A的平面角的余弦值.

20.如圖，三楂錐A—BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,NAZ)8=ZAOC=60，E為BC的V點(diǎn).

(1)證明：BC1DA,

(2)點(diǎn)/滿足喬=礪，求二面角-尸的正弦值.

21.如圖，在三棱錐P-ABC中，AB1BC,AB=2,BC=2亞,PB=PC=ABP,AP,8c的中點(diǎn)分

別為。，E、O,40=6/）。，點(diǎn)”在AC上，BF1AO.

(1)證明：痔〃平面AOO：

(2)證明：平面ADO_L平面8EF：

(3)求二面角。-AO-C的正弦值.

S已知線面角求其他量

22.已知矩形4%;力中，AB=4,BC=2,E是C。的中點(diǎn)，如圖所示，沿跖將△及五翻折至△8FE,使

得平面平面ABCD.

(1)證明：BF±AE；

⑵若初5=ADB(0<2<1)是否存在2，使得PF與平面DEF所成的角的正弦值是手？若存在，求出2的值:

若不存在，請(qǐng)說明理由.

23.如圖，在多面體48COE中，平面ACD_L平面ABC,BE_L平面ABC,AABC和△ACZ)均為正三角形,

(1)求證：DEL

⑵若EM與平面ACQ所成角為?，求平面AMB與平面AC。所成銳二面角的余弦值.

24.在四棱錐尸-ABC。中，平面小。_1_平面A8CO,PA=PD,。為A。的中點(diǎn).

⑴求證：POIBCx

(2)若A8//CD,A3=8,AD=DC=CB=4,PO=2五，點(diǎn)E在棱PB上,直線AE與平面43C。所成角為

B，求點(diǎn)E到平面PC。的距離.

6

25.如圖，在四棱錐P-ABCD中，尸A_L平面A8CO,AC1AD,AB1BC^I3CA=6O°,AP=AD=AC=2,

E為CD的中點(diǎn),M在AB上，且麗？=2耐，

(1)求證：〃平面以Q；

(2)求平面PAD與平面P8C所成銳二面角的余弦值；

(3)點(diǎn)尸是線段P。上異于兩端點(diǎn)的任意?點(diǎn)，若滿足異面直線E/7與AC所成角為45。，求A尸的長(zhǎng).

26.如圖，四棱錐尸一ABC。的底面為正方形，AB=AP=2,尸AJ_平面A88，E,尸分別是線段P及尸。的

(1)求證：平面￡AG_L平面PAC；

(2)若直線AG與平面所成角的正弦值為:，且G點(diǎn)不是線段PC的中點(diǎn)，求三棱錐E-A8G體積.

27.在三棱柱ABC-AMG中，平面人同BAJ■平面ABC,側(cè)面AMR八為菱形，/4明=],AB,±AC,

AB=AC=2,E是AC的中點(diǎn).

(1)求證：AB_L平面A"C；

TTpp

⑵點(diǎn)0在線段、上(異于點(diǎn)A，E),”與平面八座所成角為“求成的值.

28.已知四棱錐S-ABCD中，底面ABC。是矩形，SA工BD,SA=AD=—CD，M是SB的中點(diǎn).

(1)證明：MCLBD-

(2)若SA_LA。，SO=2,點(diǎn)P是SC上的動(dòng)點(diǎn)，直線AP與平面4MC所成角的正弦值為畫，求經(jīng).

29.三棱柱ABC-A用G中，ABJ.AC,AA=AC=2,側(cè)面AACq為矩形，幺人5=彳，三棱錐G-4BC

的體積為氈.

3

⑴求側(cè)棱A4的長(zhǎng)；

(2)側(cè)棱CC上是否存在點(diǎn)E,使得直線AE與平面ABC所成角的正弦值為孚？若存在，求出線段GE的長(zhǎng);

若不存在，請(qǐng)說明理由.

30.如圖，該幾何體是由等高的斗個(gè)圓柱和一個(gè)圓柱拼接而成.CE,。,G在同一平面內(nèi)，且CG=ZX；.

(1)證明：平面WDL平面ACG；

(2)若直線GC與平面A8G所成角的正弦值為萼，求平面8")與平面ABG所成角的余弦值.

31.如圖，在幾何體ABCDEF中，CO_L平面ABC,CD=4AE(O<%<1),側(cè)面ABFE為正方形，4B=8C=2,

M為AB的中點(diǎn)，ZGWF=90°.

A

(1)證明：DMJ.AB；

(2)若直線MF與平面OWE所成角的正弦值為巫,求實(shí)數(shù)；的值.

5

圓已知二面角，面面角求其他量

32.如圖，AE_L平面"CO,CF//AEyAD//BCfAD1AB,AB=AD=1,AE=BC=2.

(I)求證：8/〃平面AOE；

(H)求直線CE與平面8DE所成角的正弦值：

(III)若二面角E-3O-廠的余弦值為:，求線段C廠的長(zhǎng).

33.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PAJ_平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).

(1)證明：PB〃平面AEC

(2)設(shè)二面角D-AE-C為60。，AP=1,AD=J5，求三棱錐E-ACD的體積

34.如圖，在四楂錐V—ABC。中，底面A8C。為菱形，AB=2,NBA。=60、△V8C為等邊三角形.

(1)求證：BCtVD；

(2)若二面角A-BC-V的大小為60,求直線E4與平面VBC所成角的正弦值.

35.如圖多面體A8COE/中，四邊形A8CD是菱形，ZABC=60°,E4JL平面ABC。，EA//BF,

AB=AE=2BF=2

(I)證明：平面￡4C_L平面EFC；

⑵在棱EC上有一點(diǎn)M,使得平面MB。與平面A8CO的夾角為45。，求點(diǎn)”到平面6b的距離.

36.如圖，在三棱錐產(chǎn)一A8C中，AB=BC=2&，PA=PB=PC=AC=4,。為AC的中點(diǎn).

(1)證明：夕。_1平面ABC；

(2)若點(diǎn)M在棱8c上，且二面角M-PA-C為30°,求PC與平面P4M所成角的正弦值.

37.已知三楂錐尸—A8C的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為上的球面上，APA=PB=PC=AC=BC,ACJ.BC,N

為A8的中點(diǎn).

A

(1)證明：川人平面A8C

(2)若M是線段PC上的點(diǎn)，且平面M48與平面248的夾角為45.求AM與平面尸8。所成角的正弦值.

38.如圖所示，在三棱錐A—BCD中，滿足BC=CD=3G，點(diǎn)M在CO上，且0M=5MC,AABD為邊

長(zhǎng)為6的等邊三角形，七為B。的中點(diǎn)，尸為A石的三等分點(diǎn)，且2A產(chǎn)二尸石.

人

一6........—

---------------、C

⑴求證：〃面43C；

(2)若二面角A-BO-C的平面角的大小為母，求直線石M與面ABD所成角的正弦值.

39.如圖，在正四棱柱中，/3=2,4入=4.點(diǎn)/層，4。2分別在棱明,明,毋，力。|上,

4A=1,BB]=DD2=2,CG=3.

(1)證明：B2C2//A2D2,

(2)點(diǎn)尸在棱8與上，當(dāng)二面角尸為150。時(shí)，求星P.

40.如圖甲，在矩形ABCD中，AB=2AD=2五,E為線段DC的中點(diǎn)，VAOE沿直線AE折起，使得DC=瓜,

如圖乙.

⑴求證：35_1平面人。￡;

(2)線段A4上是否存在一點(diǎn)〃，使得平面AOE與平面。"C所成的角為:？若不存在，說明理由；若存在,

4

求出〃點(diǎn)的位置.

41.如圖，在四楂錐S-49C/)中，四邊形A8CO是矩形，△弘O是正三角形，且平面SAO_L平面ABCD,八8=1,

。為棱A。的中點(diǎn)，四棱錐S-ABCZ)的體積為述.

3

(1)若石為楂S3的中點(diǎn)，求證：PE//平面SCD；

(2)在棱SA上是否存在點(diǎn)也，使得平面與平面S"＞所成銳二面角的余弦值為挈？若存在，指出點(diǎn)M

的位置并給以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.

最值與范圍

42.如圖A8是圓。的直徑，雨垂直于圓。所在的平面，C為圓周上不同于A,8的任意一點(diǎn).

（1）求證：平面附（7_1_平面尸8。；

⑵設(shè)抬="=24>4,。為P8的中點(diǎn)，M為AP上的動(dòng)點(diǎn)（不與A重合）求二面角4—8M—C的正切值的

最小值.

43.如圖，三棱臺(tái)/WC-A/G中，人8=8C=24G=2,。是4c的中點(diǎn)，E是棱AC上的動(dòng)點(diǎn).

(1)試確定點(diǎn)E的位置，使AB//立面。EC-

⑵已知/IBJ.8C1,CG，平面ABC.設(shè)直線Bq與平面OEG所成的角為仇試在(I)的條件下，求COS。的

最小值.

44.在四棱錐Q—A8CO中，底面A8CO是正方形，若AO=2,QD=QA=6,QC=3.

(1)證明：平面。4。L平面ABC。；

4

(2)若點(diǎn)。為四棱錐Q—43CQ的側(cè)面QC。內(nèi)(包含邊界)的一點(diǎn)，且四棱錐。一48co的體積為5,求BP

與平面ABC。所成角的正弦值的最小值.

45.如圖，四楂錐尸-ABCO中，AB//CD,ABJ.AD,平面BADJ_平面PCD

(1)證明：平面外。_1平面480)；

⑵若A/)=2AB=2,PB=五,PDW,8c與平面PC。所成的角為＜9,求sin。的最大值.

46.如圖，四棱錐P-ABCO的底面為正方形，PO_L底面A8CO.設(shè)平面陶。與平面P8C的交線為/.

(1)證明：/，平面尸。C；

(2)已知PD=AD=1,。為/上的點(diǎn)，求P8與平面