高三數(shù)學上學期專題突破練：平面向量及其應用

一.選擇題（共8小題）

1.(2025春?南通月考)已知向量2=(2,x),b=(1,2),若ZIIb,貝ijx=(

A.-1

2.（2026?杭州校級開學）用12根等長的火柴棒拼三角形（全部用上，不可折斷、重疊），不可以拼

成的是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

3.（2026?杭州校級開學）已知△ABC的三邊長為8、12、18,又知△48］。也有一邊長為12,且與

△ABC相似而不全等，則這樣的山I。個數(shù)為（）

4.（2025?浙江一模）已知向量2=（1,1）工=（-1,1）,則向量之十;在向量2上的投影向量為（）

A.(1,1)B.(-1,1)C.(0,1)D.(0,0)

5.（2025?梅河口市校級二模）已知|&|=|而|=1,|辰1=0,OA+OB+OC=0,設&與辰的夾

角為a,則a=（）

A.240°B.225°C.135°D.90°

6.（2025?棗莊模擬）已知△ABC中，BC=\,AB=2,+殺=si"B-0,若NB的平分

線交AC于點O,則BD的長為（）

（春?云南月考）已知△的內(nèi)角B,。的對邊分別為若b=AA

7.2025ABCA,a",c,a=3,3/3,o

則C=（）

7171717r_^7T

A.—B.-C.-D.一或一

63262

8.（2025春?沙市區(qū)校級月考）如圖，現(xiàn)有一塊半徑為10m（1勺半圓形草坪，圓心記為。，4D是圓。

的一條直徑，現(xiàn)計劃在草坪內(nèi)修建一條步道A?8?C?。，8和。在弧4。上（不與A,。重合）

AB=CD,則步道長的最大值為（）

--------

D0A

A.25mB.30/z:C.205/2mD.15+15V2m

二.多選題（共3小題）

（多選）9.（2025春?項城市校級期末）若{3,屆}是平面內(nèi)的一個基底，則下列四組向量不能作為

平面向量的基底的是（）

A.{di一％,%—e1}

TTT]—?

B-12Gl—,C]—2°z）

C.{2。2—，6g-462）

T-?TT

D.?+e2,g+3e2}

（多選）10.（2025春?重慶校級期中）已知向量2=（1,m）,3=（2,-4）,則下列說法正確的是

（）

A.若|。+匕|=VT5,則〃?=5

B.若0〃6,則m=-2

C.若Q1bt則ni=-1

D.若m=1,則向量工b的夾角為鈍角

（多選）11.（2025春?蘇州校級期中）已知點M為△A8C所在平面內(nèi)?點，則下列說法正確的是（）

7TTf273T

A.若乙48C=G，AB=4,BC=5,則/B在BC上的投影向量為《一BC

B.若忌，誦,靛兩兩的夾角相等，且|忌|=1,|麻|=1,|%|=3,則|總+麻+&|=2

C.若（膽+羋）?晶=0,且空?考■=：,則△ABC為等邊三角形

\AB\\AC\\AB\\AC\2

D.^AM=xAB+yAC,且4+y=寶則的面積是△居（?面積的]

三.填空題（共3小題）

12.（2025春?柳州月考）己知向=5,荷=4,%與]的夾角￡=冬，貝1伍+片）工=.

13.（2025春?合江縣校級期中）己知銳角△43C中，內(nèi)角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,且

滿足：b2-a2-ac=0,則角4的取值范圍是.

14.（2025春?寧波校級月考）鄂州十景之一“二寶塔”中的文星塔位于文星路與南浦路交匯處，至

今已有四百六十多年的歷史，該塔為八角五層樓閣式磚木混合結構塔.現(xiàn)在在塔底共線三點4、8、

C處分別測塔頂?shù)难鼋菫?0°、45°、60°,且=筍〃?，則文星塔高為

15.(2025春?南通月考?)己知點A(I,0),B(0,2),C(2,1).

(1)求|幾十前|；

(2)求cosNBAC.

16.(2025?龍華區(qū)校級模擬)在銳角三角形ABC中，角A,B,。的對邊分別為小b,c,^{acosC+

ccosA)=2hsinB.

(1)求角8的值；

(2)若b=2g,求J+J的取值范圍.

T1TTTT.

17.(2025春?雁江區(qū)校級期中)如圖，在平行四邊形ABC7)中，AM=^ADt令4B=Q,AC=b.

(I)用工b表示力M,BM\

(2)若4B=4M=2,且易?昂=10.求cosG，b).

18.(2025春?項城市校級期末)在△ABC中，角4,B,C所對的分別為a,b,c.向量獲=(V?a,b),

—>TT

n=(sinA,cosB),且m||n.

(1)求4的大?。?/p>

(2)若6=3,sinC=2sinA,求a,c的值;

(3)若a=2,6=V7,求△A8C的面積.

19.(2025春?云南月考)在平面向量中，我們已經(jīng)學習了兩個向量Z1的一種乘積運算一一內(nèi)積(記

作a-b)運算，即我們平時所說的數(shù)量積運算，它的運算結果是一個數(shù)量.在神經(jīng)網(wǎng)絡的激活函

數(shù)計算中，還會經(jīng)常用到一種向量的乘積運算一一哈達瑪積(記作運算，它是將兩個向量

高三數(shù)學上學期專題突破練：平面向量及其應用

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

題號12345678

答案DDCBCCDB

二.多選題（共3小題）

題號91011

答案ABCBDBCD

一.選擇題（共8小題）

1.（2025春?南通月考）已知向量2=（2,x）,b=（1,2）,若往||3,則1=（）

A.-IB.0C.1D.4

【解答】解：向量：=（2,x）,b=（1,2）,之|工，則有2X2-xXl=0,解得x=4.

故選：D.

2.（2026?杭州校級開學）用12根等長的火柴棒拼三角形（全部用上，不可折斷、重疊），不可以拼

成的是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【解答】解：不妨設一根火柴為一個單位長度，所以12根火柴可以拼成的三角形有，

（4,4,4）,（2,5,5）,（3,4,5）分別為等邊三角形，等腰三角形，直角三角形.

故選：D.

3.（2026?杭州校級開學）己知△A4C的三邊長為8、12、18,又知mCi也有一邊長為12,且與

△48。相似而不全等，則這樣的△AiBiCi個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：根據(jù)題意可知，△ABC的三邊長為8、12、18,

根據(jù)相似三角形的性質，對應邊成比例可得，

12可以是最小邊，與8成比例；也可以是最大邊，與18成比例，所以有兩個三角形.

故選：C.

4.（2025?浙江二模）已知向量Z=（1,1）/=（一1,1）,則向量Z+,在向量I上的投影向量為（）

A.(1,1)B.(-1,1)C.(0,1)D.(0,0)

【解答】解：向量3=(1，1)，1=

則3+6=(0,2),

(a+b)b=2,\b\=Vl+1=V2,

TTTT

t——(a+b}bbt

故向量a+b在向量b上的投影向量為-------x—=b=(-1,1).

回Wl

故選：B.

5.（2025?梅河口市校級二模）已知|&|=|辦|=1,|后|=VLOA+OB+OC=0,設&與辰的夾

角為a,則a=（）

A.240°B.225°C.135°D.90°

【解答】解：由&+荒+辰=6,可得兀=一(&+辰)，

即嫌2=(0A+0C)2f

因為|&|=|茄|=1,\OC=V2,則有1=1+2&cosVok00+2,

解得cos〈&,OC)=-1&

逅=_亍

因為0°W<OAfOC><180°,

所以（后,品）=135°.

故選：C.

6.（2025?棗莊模擬）已知△ABC中，BC=1,48=2,倔出（8+看）=s譏（8—9，若N8的平分

線交AC于點。，則4。的長為（）

【解答】解：根據(jù)J5sin(#+Q=sin(3—號)，可得百sin(4+5)=-cosg+(3—5)],

即VSsin(8+[)=-cos(B+5),可得lan(B+J)=s,，：：=_錚,

o6oCOS(8+G)J。

結合3+江y),可知8+髀,所以B=等.

因為8。平分角48C,所以NO84=/O8C=&

根據(jù)S.\AffU+S/\HCD=S.\AHCf可得一A6?6ZXiii*H■一BC*BDshr~=-/Afi*fiCsin--?

232323

即1x2XBOx字+/xlX8Ox字=/x2Xlx空，化簡得2BO+8D=2,解得8。=系

故選：C.

7.（2025春?云南月考）已知aABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a”,c,若”=3,b=3V3,A=^,

則。=（）

7171n

A.-B.-C.一D.落

632

【解答］解：若a=3,b=3-/3,力=看，

abbsinA_3Gx；_73

由正弦定理可得，布=而即》

sB=3一2，

因為〃>a,所以8>A,即8=黑8=等經(jīng)檢驗均符合題意,

所以C屋或C=￡.

故選：D.

8.（2025春?沙市區(qū)校級月考）如圖，現(xiàn)有一塊半徑為10”?的半圓形草坪，圓心記為。，是圓。

的一條直徑，現(xiàn)計劃在草坪內(nèi)修建一條步道A-8-C-Q,4和C在弧A。上（不與A,。重合）

AR=CD,則步道長的最大值為（)

C.20企mD.15+15V2m

【解答】解：取8C、CD的中點M、N,連接OM、ON、OB、OC,則0M_L8C,0N1CD,

因為/DOC+ZAOB+ZBOC=ZOCB+ZOBC+/BOC=wZOCB=ZOBC,

所以NOC8=NO8C=NQOC=NAO8,可得故OM_LAD.

設NCOO=8,0<0<^,則NOON=/CON=?,NCOM=>0,

0

譏

故CM=BM=lOsin得一。)=lOcosO,CN=DNOS2一

AA°nn

故AB+CD+BC=20sin^+20sin^+20cos0=4Osin￡+20(1-2sin27)=-40sin2￡+

乙乙乙乙乙

0A1

40sin2+20=-40(sin—力2+30,

因為BE(0>~l?所以B|J0<stn^<

因此當以避=主即e=q時，一40區(qū)年一》2+30取得最大值，最大值為30,故步道長的最大

值為30m.

故選:B.

二.多選題(共3小題)

(多選)9.(2025春?項城市校級期末)若{3,1}是平面內(nèi)的一個基底，則下列四組向量不能作為

平面向量的基底的是()

TTT—

A.?-e2>a-e1}

T—>T]T

B.{2e1—e2>q—之與}

C.{2。2-3e-—462)

D.{A+E，A+3E}

【解答】解：對于4,e1-e2=-(e2-^),不能作為平面向量的基底；

對于8,2溫一扇=2(3-9屆)，不能作為平面向量的基底；

對于C,23^=-灰63-4房)，不能作為平面向量為基底：

對于。，由于3+居與3+3扇不共線，可以作為平面向量的基底；

故選：ABC.

(多選)10.(2025春?重慶校級期中)已知向量3=(1,mJ,6=(2,-4),則下列說法正確的是

()

A.若區(qū)+b\=V10,則m=5

B.若之〃￡則加=-2

C.若Z1b,則w=-1

D.若m=l,則向量Z1的夾角為鈍角

【解答】解：對于A,因為Q=(1,m),b=(2,—4j,所以a+8=(3,m—4),\a+b\=

J9+(m-4)2=V10,解得m=5或m=3,故A錯誤;

對于8,因為之〃3,所以2〃?=-4,解得〃=-2,故8正確；

對于C,因為a_Lb,所以；?8=2—4m=0,解得m=:,故。錯誤；

對于。，當〃?=1時，a=（1,1）,a.'b=2-4=-2<0?乂因為此時a,匕不共線，所以向量Z

8的夾角為鈍角，故。止確.

故選：BD.

（多選）11.（2025春?蘇州校級期中）已知點M為△A8C所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是（）

7TTT2x^3-

A.若〃BC=會，AB=4,8c=5,則力B在BC上的投影向量為《一BC

B.若易，MB,前兩兩的夾角相等，且|M*=1,|薪|=1,|加|=3,順最+薪+加|=2

TT'r

C.若('絲+~4￡)?BC=0,且=工，則△ABC為等邊三角形

\AB\\AC\\AB\\AC\2

TT12

D.若力M=QW+%4C,且x+y=：,則△M8C的面積是△ABC面積的三

【解答】解：已知點M為△/1BC所在平面內(nèi)一點，

對于A選項，若乙4BC=Q48=4,BC=5,

,?ZBC=[,A<AB,BC>=^t

?,.而在應?上的投影向量為|欣cos緡潞:4x（-空）x器二一?立，故A選項錯誤;

對于B選項，若忌，詁,麻兩兩的夾角相等，且|而|二L|詁|=1,|麻|=3,

記向量而，MB,加分別為Zb,c,

2TC

它們之間的夾角不可能都為0,故夾角為不，

則區(qū)+b+"|=J(a+b+c)2=Ja2+2a-b+b2+2a?c+2b?c+c2

=71-1+1-3-3+9=2,故8選項正確；

TT—T

d工廠洋市./加上AC、晶八ABAC1

對于C選項，右(r—+r-)?BC=0,且A一=L?-=L=-，

\AB\\AC\\AB\\AC\2

...AB.AC.二\AB\\BC\(-cosB),\AC\\BC\cosC

?{-^r-+-^-)-DC=-----------=；-----------1-----------------

\AB\MC|\AB\\AC\

T

=\BC\(cosC-cosB)=0,

cos5=cosC?又B,Cc（0,TT）,

y=cosx在區(qū)間（0,TT）上單調遞減，則8=。，

ABAC1

乂■:-=r-?-=r-=-=cosA,

\AB\\AC\2

.?.A=],.?.8=C=1,AABC為等邊三角形,故C選項正確;

TTT1

對于。選項，=xAB4-yAC,且％+y=吾，

令幾=3/=3%R+3yG,Vx+y=1,

???3%+3y=l,AD,B,C三點共線，

又???G=3薪，???M是線段AO上靠近點4的三等分點，

2

即點M到BC邊的距離是點4到BC邊的距離的？

旦兩三角形的底相同，高之比等于:，

.2

，

??S&MBC=3^A/lfiC

2

則△M8C的面積是△AAC面積的二，故。選項正確.

三.填空題（共3小題）

12.（2025春?柳州月考）已知質|=5,畝=4,:與%的夾角6=竽，則/+3）工=6.

【解答】解：由題意，；與了的夾角為?，|Q|=5,日|=4,

則G+b）?b=2?b+從

27T

=5x4xcos-^-+42=6.

故答案為：6.

13.（2025春?合江縣校級期中）已知銳角△48C中，內(nèi)角八，B,C所對應的邊分別為a,b,c,且

滿足：h2-a2-ac=0,則角A的取值范圍是點，》.

—o4—

【解答】解；根據(jù)〃2/ac=Qt可得〃2=a2{qc,

結合正弦定理得sin2^=sin'A+sinAsinC=sinA(sin/HsinC),

b2+c2-a2c2+ac_a+c_sinA+sinC

因為

cos/=-2bc-~2bc~=~2b=2sinB

sinA(si7i4+si7iC)_

所以

2sinBcosA=sirt4+sinC=sinA-sinA'

可得2sirt4cosA=sinB,即sin2A=sinB,

因為是銳角三角形，0<24<兀，0<B所以8=24,E^,B+2A=n,

①當8+2A=TT時，結合B+A+C=m可得A=C,即a=c,

結合后=〃2+cV此時B為直角，矛盾，不符合題意；

②當8=2A時，可得B=2AV*即AV?

結合C=4一4一8=7T-34V?,可得A>為所以,V4V巴.

,064

綜上角A的取值范圍是（『力.

故答案為：（看，

14.（2025春?寧波校級月考）鄂州十景之一“二寶塔”中的文星塔位于文星路與南浦路交匯處，至

今已有四百六十多年的歷史，該塔為八角五層樓閣式磚木混合結構塔.現(xiàn)在在塔底共線三點A、B、

C處分別測塔頂?shù)难鼋菫?。。、45°、6。°,且抽="=竽,小則文星塔高為

【解答】解：如圖所示，設建筑物的高為夕0=歷〃,

由題意可得N%0=30°,NPBO=45°,NPCO=60°,48=BC=4芻〃,

則昨益嬴=薪=2兒同理可得依=舊，心竽/?,

PB2+AB2-PA2/lg2-2/i2

在AAB尸中,由余弦定埋可得coszP8/l==

2PBAB~2ABx72h，

PD2+DC2-PC2

在△「灰?中,cosZ.PBC=

-2PBBC-2mxAB'

因為/P8A+NP8C=n,故cosNPB4+cosZPBC=0,

2222

(iAB-2hh+AB

即------+------=0?

2ABx>/2h2y/2hxAB

-rzq,在人口屈70屈70

可得h=尸48=亍x—5—=丁m.

70

故答案為：

四.解答題(共5小題)

15.(2025春?南通月考)已知點A(L0),B(0,2),C(2,1).

(1)求成十啟；

(2)求cosNBAC.

【解答】解：(1)由題意得幾=(一1,2),AC=(1,1),所以h=(0,3),

可得|筋+AC\=VO2+32=3；

(2)因為應=(-1,AC=C\,1),所以cos4BAC=ABAC-1+2、口U

=,

\AB\\AC\',巾"，中1T

16.（2025?龍華區(qū)校級模擬）在銳角三角形4BC中，角4,B,C的對邊分別為小b,c,心(acosC+

ccosA)=2bsinB.

(1)求角B的值；

(2)若匕=2代,求J+c2的取值范圍.

【解答】解：(I)因為V5(acosC+ccosA)=2bsinB,

由正弦定理邊化角可得V5(sin4cosc+sinCcosA)=IsinBsinB,

所以遮sE(4+C)=x/3sin5=2sEBsinB,又sinBWO,

所以sEB=*,又B為銳角，則8=*

b26

（2）由正弦定理sinAsinCsinB叵*

2

則a=4sinA,<?=4sinC>

W6r2+c2=16sin2A+16sin2C=8(1-cos2A)+8(1-cos2C),

=16-8cos2A-8cos2C=16-8cos2A-8cos2(n-A-

=16-8cos2A—8(—4cos24—苧sin2A)

—16+4y/3sm2A—4cos2A

=16+Ssin(2A-4)，

fo<A<"5Ji7T

因為在銳角△ABC中12得v4V

[o<7T-/l-^<^62

“…乃n57r

所以:<2/1--<—,

666

則:<sin(2A-^)<1,20<16+8sin(2/-^)<24

所以。2+J的取值范圍為(20,24].

17.(2025春?雁江區(qū)校級期中)如圖，在平行四邊形A3CO中，AM=|AD,令n=￡AC=b.

（1）用Z1表示京,BMi

(2)若A8=AM=2,且AC-8M=10,求cos(Zb).

【解答】解：(1)因為n=工AC=b,且A8CO是平行四邊形,

所以應?=幾一n=3一展，

所以AM="D=《(b-a),

OO?J

TTT1TT.114―

所以8M=AM-AB=g(b—a)—a=gb~2a,

4t

11T——1--a

(2)由(1)知力M=^(b-a),BM=*b3

乂/=b,ACBM=10,AB=AM=2,

所”.以(L如一4亂T)二10,《1(b—a)|=2,|Ta|=2,

?3O*J

即爐—4a-b=30,b2+a2-2a-b=36,

解得a?b=l,\b\=V34,

ab=1=/34

所以cos<a,b>=麗=

18.（2025春?項城市校級期末）在△ABC中，角A,B,C所對的分別為“，Ac.向量獲=（、6a,匕）,

n=(sinA,cosB),且m||n.

(1)求〃的大小;

(2)若匕=3,sinC=2sin>4,求a,c的值；

(3)若a=2,b=6求△ABC的面積.

【解答】解：(1)因為m=(V5a,b),n=(sinA,cosB),且m

所以VSacosB=bsinA,

由正弦定理得Bsim4cosB=sinBsinA,

又(0,TI),sinAXO,

所以百cosB=sinB,所以ECUIB=6,

因為0VB<m所以8=§.

(2)因為sinC=2siM,則由正弦定理得c=2a,

又由余弦定理得h2=a2+c2-2accosb,所以a2+c2-ac=9,

即3〃2=9,解得所以c